Khoá luận tốt nghiệp toán cấu trúc của tập nghiệm toán pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc trong không gian định chuẩn

Trong không gian hữu hạn chiều, một số nhà toán học đã nghiên cứu các bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc khi các hàm mụcticu là lồi và nón sinh thứ tự là đa diộn xcm Pi [16

K H O A T O Á N

H O À N G T H Ị N H U N G

CẤU TRÚC CỦA TẬP NGHIỆM PARETO YEU

CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU

ĐA MỤC TIÊU TU Y Ế N TÍNH TỪNG KHÚC TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CH UA N

K H O Á L U Ậ N T Ố T N G H IỆ P Đ Ạ I HỌ C

C huyên ngành: Toán giải tích

H À N Ộ I, 2015

LỜI C Ả M Ơ N

Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới T h s N g u y ễ n V ăn

T uyên, người thầy đã truyền thụ kiến thức, tận tình giúp đỡ, hướng dẫn em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này

Em xin được gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2, các thầy cô giáo khoa Toán đã giúp đỡ em trong quá trình học tập tại trường và tạo điều kiện cho em hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp Trong quá trình nghiên cứu, không tránh khỏi những thiếu sót

và hạn chế, em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và toàn thể bạn đọc đổ khóa luận được hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 5 năm 20ỉ 5

Sinh viên

H oàng T hị N hung

LỜI C A M Đ O A N

Em xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của thầy giáo N gu yễn Văn Tuyên

khóa luận của em được hoàn thành không trùng với bất kì đề tài nào khác

Trong khi làm khóa luận này, em đã kế thừa thành quả khoa học ciia các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 5 năm, 2015

Sinh viên

H oàng T hị N hung

B ai toan to i \iu vector

Mot so khai niem cd ban

Quan he hai ngoi va quan he th \i tii.

Diem hffu hieu

Sif ton tai ciia diem hiiu hieu,

Bai toan toi mi vector (VOP)

3

38

10

1315

M Ở Đ Ầ U

Tối ưu đa mục tiêu tuyến tính được nghiên cứu rộng rãi và được áp dụng

để giải quyết nhiều vấn đề khác nhau trong kinh tế, tổ chức khoa học, năng lượng, Ta biết rằng họ các hàm tuyến tính từng khúc lớn hơn họ các hàm tuyến tính và tồn tại một lớp rộng các hàm có thẻ xấp xỉ bằng các hàm tuyến tính từng khúc Vì thế việc nghiên cứu các bài toán tối

ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc càng có ý nghĩa quan trọng hơn Trong không gian hữu hạn chiều, một số nhà toán học đã nghiên cứu các bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc khi các hàm mụcticu là lồi và nón sinh thứ tự là đa diộn (xcm Pi [16])

Trong khóa luận này chúng tôi nghiên cứu các bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc trong không gian định chuẩn với thứ tự được sinh bởi một nón lồi đóng với phần trong khác rỗng

Như chúng ta đã biết, một trong những vấn đề quan trọng trong tối

ưu đa mục ticu là nghicn cứu vồ cấu trúc của tập nghiệm Parcto (xcm

ps 0 ,0 , [BỊ [2ÕỊ, EH [24]) Arrow, Barankin và Blackwell ỊH] đã chứng minh rằng nếu hàm mục tiêu là một ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian hữu hạn chiều và nếu nón thứ tự và tập ràng buộc là các đa diện thì tập tấ t cả các nghiệm Pareto yếu là hợp hữu hạn các đa diện và là liên thông đường

Mục đích của khóa luận này là trình bày các kết quả trong bài báo

[27] Các kết quả này là một mở rộng của Ẹị từ trường hợp các không

1

gian hữu hạn chiều sang trường hợp các không gian định chuẳn Chúng tôi sõ chỉ ra rằng nếu hàm mục ticu là tuyến tính từng khúc, lồi theo nón giữa hai không gian định chuẩn, nón thứ tự có phần trong khác rỗng và tập ràng buộc là đa diện thì tập các nghiệm Pareto yếu là hợp hữu hạn các đa diện và là liên thông đường Nếu bỏ qua giả thiết về tính lồi theo nón của hàm mục tiêu, bằng phản ví dụ, chúng ta thấy rằng các kết quả trcn không còn đúng Nhưng nếu nón thứ tự là đa diện và hàm mục ticu

là tuyến tính từng khúc (không nhất thiết lồi), thì chúng tôi cũng chỉ ra rằng tập nghiệm Pareto yếu là hợp hữu hạn các đa diện

Khóa luận được chia thành hai chương Chương 1 giới thiệu một số kiến thức cơ bản về tối ưu vector

Chương 2 trình bày cấu trúc của tập nghiộm Parcto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc trong không gian định chuan Các ví dụ cũng được trình bày trong chương này để phân tích các kết quả đạt được

C hương 1

B ài to á n tố i ưu v ecto r

1.1 M ột số khái niệm cơ bản.

Giả sử E là không gian tuyến tính, R là tập các số thực.

Đ ịnh nghĩa 1.1 Tập Ả c E được gọi là lồi, nếu:

Vxi,x2 G ^4ịVÀ G M : 0 ^ A ^ 1 =7* Axi -\- (1 — A)x2 £ Á.

V í d ụ 1.1 Các nửa không gian là các tập lồi Hình tam giác, hình tròn trong mặt phẳng là các tập lồi Hình cầu đơn vị trong không gian Banach

là tập lồi

N hận x é t 1.1 a) coA là một tập lồi Dó là tập lồi bé nhất chứa A;

b) A lồi khi và chỉ khi A — CO A.

Đ ịnh nghĩa 1.2 Tập c c E được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu:

Vx G C,VÀ > 0 ^ Àx Ễ c

c được gọi là nón có đỉnh tại x OÌ nếu c — x 0 là nón có đỉnh tại 0

Đ ịnh nghĩa 1.3 Nón c có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi, nếu c là một

tập lồi, nghĩa là:

Vx, y € c , VÀ, n > 0 =^> Xx + ịiy G c.

V í dụ 1.2 Các tập sau đây trong Rn:

€ R " : 6 SâO,i =(nón orthant không âm)

{fi> Ỉ2ì •••5 £n £ M'1 : > 0, i = 1 , n}

(nón orthant dương)

là các nón lồi có đỉnh tại 0 Đó là nón lồi quan trọng trong Mn

Ngoài ra, nếu cho D C R m là một nón lồi, nón cực dương của D được

Đ ịnh nghĩa 1.4 Phần trong tương đối của tập A c Mn là phần trong

của A trong a f f A (bao affine); kí hiộu là riA Cấc điổm thuộc rii4 được gọi là điểm trong tương đối của tập Ả.

N hận x é t 1.2.

i nt A := {X € Rn : 3e > 0, X + dB c ^4} ,

riA := {x £ a f f A : 3e > 0, (x + eB) n a f f A c A} ,

trong đó, B là hình cầu đơn vị đóng trong Rn

T iế p th eo, chúng ta s ẽ đỉ x e m x é t m ộ t số n ó n thường gặp

Cho c là nón lồi trong không gian vector tôpô E.

Kí hiệu l(C) := c n ( - C ) (phần tuyến tính của ơ ); clơ (bao đóng

của C); một tập con A c E, A c là phần bù của A trong E, nghĩa là

A c = E\ A.

Đ ịnh nghĩa 1.5 Chúng ta nói nón c là:

(a) Nhọn nếu l(C) = 0;

(b) Nón sắc nếu bao đóng của nó là nhọn;

(c) Nón có giá chặt nếu C\ l ( C) là được chứa trong một nửa không gian

mở thuần nhất;

(d) Nón đúng nếu (cỉC) + C\ l ( C) c c , hoặc tương đương

clC + C\ l ( C) C C\l{C).

V í dụ 1.3 Theo định nghĩa L5

1 Cho Mn là không gian Euclide n-chiều Khi đó, nón orthant không

âm gồm tấ t cả các vcctor của w n với toạ độ không âm là nón lồi,

sắc, đóng, có giá chặt và là nón đúng

Tập {0} cũng là một nón, nhưng là nón tầm thường

2 Cho là không gian vector gồm tấ t cả dãy X = {xn} số thực Cho

c = {x E £} : x n ^ 0,Vn}, thì c là nón nhọn, lồi Tuy nhiên, ta chưa

biết nón c là nón đúng hoặc nón sắc vì ta chưa biết tôpô xác định trên

không gian này

3 Nón thứ tự từ điển: Cho

l p = | T E n : | | t | | = |.Tn |p ) ỉ I , 1 ^ p < o o

Kí hiệu c là hợp của 0 và các dãy mà số hạng đầu tiên khác không củadãy là dương Dây là một nón lồi, còn gọi là nón thứ tự từ điển Nó lànón nhọn nhưng không là nón đúng và cũng không phải là nón có giáchặt

M ệ n h đ ề 1.1 Nón c là đúng khỉ và chỉ khi một trong các điều kiện sau thoả mẫn:

Đ ịn h n g h ĩa 1.6 Cho một nón с trong không gian E Một tập в ç E

sinh ra nón С và viết с = cone(B) nếu

С — {tb : b G Æ, t ^ 0} Hơn nữa, nếu В không chứa 0 và với mỗi с E с , с Ỷ 0, tồn tại duy nhất

b G Æ, t > 0 sao cho с — tb thì D được gọi là cơ sở của с Khi đó в là một tập hữu hạn, cone(coĩiv(B)) được gọi là một nón đa diện.

N h ậ n x é t 1.3 Rõ ràng trong không gian hữu hạn chiều một nón có cở

sở là lồi, đóng bị chặn khi và chỉ khi nó là nhọn, đóng Tuy nhiên, nó không đúng trong không gian vô hạn chiều

M ệ n h đ ề 1.2 Nếu E là không gian Hausdorff thì một nón với một cơ

sở lồi, đóng bị chặn là nón đóng, nhọn vì vậy nó là nón đúng.

Chứng minh Trước hết ta chỉ ra rằng с là đóng Cho dãy{cữ} là một

lưới từ С hội tụ tới c Do в là một cơ sở nên tồn tại một lưới {ba} từ

В và một lưới {ta} các số dương mà ca — taba Dỗ thấy ta là bị chặn.

Thật vậy, giả sử ngược lại lim ta = 00 Vì E là không gian Hausdorff nên lưới {ba = ca/ t a} hội tụ tới 0 Hơn thế nữa D là đóng, dẫn tới mâu thuẫn: 0 = lim ba E B Bằng cách này, ta có thổ giả sử {ta} hội tụ tới

điểm t 0 ^ 0 Nếu ta = 0 thì từ tính bị chặn của D , lim taba = 0 Do đó

c = 0 và hiển nhicn c G c Nếu t0 > 0, ta có thể giả sử tn > e, Va, e > 0

Từ ba = ca/ t a hội tụ tới c / t 0 và hơn nữa, D đóng nên vector c / t a G D

Do đó c G c và c đóng nên c nhọn là hiển nhiên □

1.2 Quan hệ hai ngôi và quan hệ th ứ tự.

Cho một tập hợp E tuỳ ý, một quan hệ hai ngôi trong E được định nghĩa bởi một tập con D của tập hợp tích E X E Diồu này có nghĩa là,

một phần tử X € E có quan hệ với y E E nếu 0 ,y) G B.

Đ ịn h n g h ĩa 1.7 Cho B là một quan hệ hai ngôi trong E Ta nói quan

hệ này là:

(a) Phản xạ nếu (x,x) G D với mọi X G E]

(b) Dối xứng nếu(x, y ) G D suy ra (y , x) G D với mỗi X, y G

(c) Bắc cầu nếu (x,y) € B , (y, z) G B suy ra (x,z) € D với x , y , z € D; (d) Dầy đủ hoặc liên thông nếu (x,y) G D hoặc (y,x) G D với mỗi

Dể làm rõ định nghĩa này, chúng ta xem xét một số ví dụ cổ điển sau

Cho E là một cộng đồng dân cư của một thành phố và chúng ta định

nghĩa quan hộ hai ngôi như sau (số dân cư được gán bởi X , y, z, )

1 (x,y) G Bị nếu X , y là những người tuổi cao hoặc có tuổi

2 (x, y) G B 2 nếu X , y là hai giới tính khác nhau

3 (x, y) € B 3 nếu X , y là những người có họ

Ta thấy rằng Dị là phản xạ, bắc cầu, không đối xứng, đầy đủ B 2

không phản xạ, đối xứng, không bắc cầu, không đầy đủ z?3 là phản xạ, không bắc cầu, đối xứng, không đầy đủ

Đ ịnh nghĩa 1.8 Quan hộ hai ngôi là một quan hộ thứ tự nếu nó là

phản xạ, bắc cầu

T hật vậy, nếu D là một quan hộ thứ tự mà là tuyến tính trong một

không gian vector thì tập

C = { x e E : (.T, 0) € B}

là một nón lồi Hơn nữa, nếu D là không đối xứng thì c là nhọn Ngược lại, mỗi nón lồi trong E cho một quan hệ hai ngôi

Bc = {{x, y) e E X E : X - y e C}

là phản xạ, bắc cầu và tuyến tính Ngoài ra, nếu c là nhọn thì Dc là

không đối xứng Bây giờ, chúng ta SC xct một vài thứ tự sinh ra bởi

các nón lồi Dôi khi chúng ta viết: X ^ c y thay cho X — y € C; hoặc

X >c y nếu X ^ c y và không phải là y ^ c X, hay là X G y + C\l (C) Khi ỉ n t c 0, x ^>c y nghĩa là X > K y với K = {0} u i n t c

V í d ụ 1.4 1 Cho Ш 11 và tập с = R” Thì в с là phản xạ, bắc cầu,

tuyến tính, đóng, không đối xứng nhưng không đầy đủ

Cho X = {xu ,xn) , y = (ỉ/1, 2/„) G Mn:

X ^ с У khi và chỉ khi Xị ^ у ị với i = 1, , n;

X > c у khi và chỉ khi Xi ^ Уг với i = 1, , n và ít nhất m ột bất đẳng

thức là ngặt;

X ^ с У k h i v à c h ỉ k h i X ị > Ui v ớ i m ọ i i = 1 , , Ĩ1.

2 Trong M2 Nếu С = (м 1, o) thì B c là phản xạ, bắc cầu, tuyến tính, đóng và đối xứng Trong trường hợp này X ^ с у khi và chỉ khi hai thành

phần của các vcctor trùng nhau Thứ tự này không đầy đủ

3 Nón thứ tự từ điển là một quan hệ phản xạ, bắc cầu, tuyến tính

đầy đủ trong lp.

1.3 Đ iểm hữu hiệu.

Cho E là không gian vector tôpô thực với quan hệ thứ tự (^ ) được sinh bởi một nón lồi С

Đ ịn h n g h ĩa 1.9 Cho A là một tập con khác rỗng của E Ta nói rằng: (a) X G A là một điểm hữu hiệu lí tưởng (hoặc cực tiểu lí tưởng) của A tương ứng với С nếu у ^ х,Уу E A;

Tập các điểm cực tiểu lí tưởng của A được kí hiệu là I E (Ả , C)\ (b) X G A là điểm hữu hiộu (cực tiểu-Parcto hoặc không cực tiểu) của

A tương ứng với С nếu X ^ у , у € A thì у ^ x\

Tập các điểm hữu hiệu của A kí hiệu là E{ A, C) \

(c) X G A là điểm hữu hiệu thực sự (toàn cục) của A tương ứng với с

nếu tồn tại một nón lồi к ф E với ỉ n t K D C\ l ( C) sao cho X £ E( A, K)\ Tập các điổm hữu hiộu toàn cục của A được kí hiộu là P r E ( A , C)\ (d) Giả sử i n t c Ф 0,.T G A là một điểm hữu hiệu yếu của A tương ứng với С nếu X £ E(A, {0} u ỉntC)\

Tập các điểm hữu hiệu yếu của A kí hiệu là w E ( A , C).

(b) X G Ĩ E ( A ) khi và chỉ khi A n (x — C) c X + l(C) hoặc tương đương:

ß y G >4 sao cho X > y Dặc biệt khi c là nhọn, X G E( A) khi và chỉ khi

Rõ ràng, I E ( A ) C -E(i4) Nếu I E ( A ) Ỷ 05 ch° X € I E ( Á ) thì X €

£ (A ) Cho y G i£(j4) thì y > X vì vậy T ^ y Lấy một điểm bất kì

2 G Ấ có 2 ^ X vì I G suy m z ^ y là y € I E( A) Do đó,

I E ( A ) = E(A) Ngoài ra, nếu c là nhọn .T ^ y và y > X chỉ có thể xảy

ra trường hợp X = y Vậy I E ( A ) là tập một điểm □

Đ ịn h n g h ĩa 1.10 Cho X £ E Tập n (x — C) được gọi là một nhát

cắt A tại X và kí hiệu A x

N hận x ét 1.4 Quan hệ P r E ( A x) Ç P r E ( A ) nói chung không đúng

trừ một số trường hợp đặc biột

1.4 Sự tồ n tạ i của điểm hữu hiệu.

Đ ịnh nghĩa 1.11 Cho lưới {.Ta : a € 1} từ E được gọi là lưới giảm

( tương ứng với C) nếu x a >c X ß với OLì ß G /; ß > a.

Đ ịnh nghĩa 1.12 Cho A Ç E được gọi là C- đầy đủ (tương ứng C-

đầy đủ mạnh) nếu nó không có phủ dạng {(xa — clCỴ : a G 1 } (tương ứng {(xa — C Ỵ : a G I}) với {xa } là một lưới giảm trong A.

Đ ịn h lý 1.1 Giả sử С là một nón lồi đúng và Ả là một tập khác rỗng trong E Thì E ( A , C ) Ф 0 khi và chỉ khi A có một nhát cắt C- đầy đủ

và khác rỗng.

Chứng minh Nếu E ( A , C ) Ỷ 0 thì mọi điểm của tập này cho ta một nhát cắt C- đầy đủ vì không tồn tại lưới giảm Ngược lại, cho A x khác rỗng là một nhát cắt C- đầy đủ của A Theo Mệnh đề 1.5 thì ta chỉ cần chứng minh E ( A Xì С) Ф 0 Xét tập p bao gồm tấ t cả các lưới giảm trong A Vì А Ф 0 suy ra p Ф 0 Với a, b € p ta viết а у b nếu b Ç a

Rõ ràng (V) là quan hệ thứ tự trong p , và một xích bất kì trong p đều

có cận trcn T hật vậy, giả sử {ал; Л G Ả} là một xích trong p Gọi в là tập tấ t cả các tập con hữu hạn в của Л được sắp thứ tự bỏi bao hàm,

rằng lưới này không thể lớn nhất, dẫn tới mâu thuẫn Vậy định lí được

1.5 B ài toán tố i ưu vector (V O P ).

Cho X là một tập con khác rỗng của một không gian tôpô và F là một ánh xạ đa trị từ X vào E , ở đây, E là không gian vector tôpô thực được

ở đây, F ( X ) là hợp của các tập F(x) trên X Các phần tử của

E ( F ( x ), C) được gọi là giá trị tối ưu của VOP Tập các điểm hữu hiện của VOP được kí hiệu là S { X \ F ) Thay thế I E , P r E , W E cho E ( F ( X ) , с ) chúng ta có các khái niộm I S ( X ] F ), P r S ( X ] F ) và w S ( X \ F).

Quan hệ giữa các điếm hữu hiệu, hữu hiệu thực sự và hữu hiệu yếu của VOP được trình bày trong mệnh đề sau:

M ệ n h đ ề 1.6 Cho VOP, chúng ta có các bao hàm thức sau:

Chứng minh Giả sử phản chứng rằng F ( X ) không là с đầy đủ Điều

này có nghĩa là có một lưới giảm {aa : a € 1} của F ( X ) sao cho

{{aa - d { C ) ) c : a e 1}

là phủ của F ( X ) Lấy x a G X với aữ € F ( x a) Không mất tính tổng

quát, giả sử lim xa = X G X Khi đó, với mỗi lân cận V của F(x) trong

E có một chỉ số ß G I sao cho

aa G V + С, Va ^ ß.

Do {ал} là dãy giảm, псп

CLa G ciỹ “Ь О , Vố ^ Oi.

Từ đây suy ra:

aa G cl(F(x) + C) = F(x) + c , \fa.

Dẫn tới mâu thuẫn: F(x) + с không thể là C- đầy đủ □

Trong phần này, cho X, Y là các không gian định chuẩn và cho c c Y

là nón lồi với int (C) ^ 0, khi đó xác định một quan hệ thứ tứ <c trong Y : với 2/1,2/2 e Y , y 1 < c 2/2 ^ 2/2 - ỉ/i e c Ijị <c 2/2 có nghĩa là

ỉ/2 - 2/1 £ int (C).

Cho một tập con Ẩ của y , gọi a E i4 là một diem Pareto yếu nếu không

có phần tử y G A sao cho y <c a- Kí hiộu, w E (i4, C) là tập tất cả các điểm Pareto yếu của A Rõ ràng là,

a G W E (A, C) <^> a G A và (a — int (ơ)) n i = 0.

Kí hiện X* là không gian đối ngẫu của X Một tập con p của X được

gọi là đa diện nếu nó tồn tại G X* và Cl, ,cn G M sao cho:

p = { x E X : ( # * , x) < Cị, i — 1 , n } .

Kí hiệu I/ (X, y ) là lớp tấ t cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào

Y Một ánh xạ / : X —)■ Y được gọi là tuyến tính từng khúc nếu tồn tại

17