một số kỹ thuật giải bài toán tối ưu đa mục tiêu theo hướng quy về một mục tiêu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC... ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC... Bài toán phân b dòng ch y..... trình ch'n l'c tham gia vào vi c tái t,o ra các chuIi NST m.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

M C L C

Trang

M c l c 1

Danh m c b ng 3

Danh m c hình 3

Danh m c các ch vi t t t 4

M U …5

Ch ng 1: T NG QUAN V T I U A M C TIÊU 7

1.1 M t s bài toán c th 7

1.1.1 Bài toán thi t k h 7

1.1.2 Bài toán phân b dòng ch y 8

1.1.3 Bài toán thi t k nhà 10

1.2 Bài toán t ng quát 12

1.3 M t s ph ng pháp gi i c th 14

1.3.1 Ph ng pháp nh ng b d n 14

1.3.2 Ph ng pháp th a hi p c a TAMM 16

1.3.3 Ph ng pháp gi i theo dãy m c tiêu ã c s p x p 17

1.3.4 Thu t toán thích nghi n nh t i u hoá vect 18

Ch ng 2 GI I BÀI TOÁN T I U A M C TIÊU THEO H NG QUY V M T M C TIÊU 20

2.1.Gi i thu t di truy!n 22

2.1.1 C ch th"c hi n gi i thu t di truy!n 22

2.1.2 Các thành ph n trong gi i thu t di truy!n 24

2.1.3 Các tham s trong gi i thu t di truy!n 31

2 2 Ph ng pháp tìm nghi m có kho ng cách ng n nh#t n nghi m lý t ng 32

2.2.1 Nghi m lý t ng c cho b i yêu c u ng $i s% d ng ho&c theo ý ki n chuyên gia 35

2.2.2 Nghi m lý t ng có th t" xác nh trong quá trình tính toán nh$ áp d ng gi i thu t di truy!n 36

2.3 Ph ng pháp tr'ng s 39

2.4 Bài toán th% nghi m 42

2.4.1 Bài toán 1 44

2.4.2 Bài toán 2 49

2.4.3 Bài toán 3 52

2.4.4 Bài toán 4 54

K(T LU)N 57

TÀI LI*U THAM KH O 58

DANH M C B NG BI U

+ ng 1.1 Chi phí xây d"ng 11

+ ng 1.2 B ng th ng ph,t 15

B ng 2.1 thích nghi trung bình sau 5 l n ch,y c l p 46

B ng 2.2 M t s l$i gi i c a bài toán 1 theo ph ng pháp tr'ng s 48

B ng 2.3.Giá tr trung -.nh c a 3 hàm m c tiêu sau 4 l n ch,y c l p 50

B ng 2.4 /0123425 a 51c 67m 8 c tiêu 592 236:ch nghi t t nh#t 50

B ng 2.5 M t s l$i gi i c a bài toán 2 theo ph ng pháp tr'ng s 51

+ ng 2.6 M t s l$i c a bài toán 3 53

+ ng 2.7 Giá tr trung -.nh c a 3 hàm m c tiêu sau 5 l n ch,y c l p 55

+ ng 2.8 /0123425 a 51c 67m 8 c tiêu 592 236:ch nghi t t nh#t 55

DANH M C HÌNH Hình 1.1 S h ch;a và dòng ch y 9

Hình 1.2 S thi t k nhà 10

Hình 1.3 Minh h'a cho t p Pareto 13

Hình 2.1.Minh h'a tr $ng h p nghi m lý t ng c cho tr <c 35

Hình 2.2 Minh h'a cho tr $ng h p nghi m lý t ng t" xác nh 37

Hình 2.3 Bi u giá tr hàm m c tiêu 46

Hình 2 4 Bi u 2giá tr 2 hàm m c tiêu s% d ng phép lai SBX 56

M U

Nhi!u bài toán trong th"c t là nh ng bài toán t i u, trong ó, t i u a m c tiêu là l<p bài toán r#t th $ng g&p trong thi t k , ch t,o c?ng nh nhi!u l@nh v"c khác ChAng h,n, khi ng $i ta ch t,o thi t b thì luôn mong mu n t n ít v t li u,

gi m th$i gian c?ng nh v n u t trong khi ch#t l ng ph i t t Tuy có ý ngh@a th"c ti>n cao và c?ng ã c nghiên c;u nhi!u, song bài toán t i u a m c tiêu luôn là m t thách th;c l<n vì chúng g n nh không có nghi m t i u Có nh ng

m c tiêu c bi u di>n b i nh ng hàm t ng t" nhau nh ng yêu c u t i u theo hai h <ng ng c nhau, ó là ch a k n nh ng khó khBn v! mi!n ràng bu c, v! các d,ng hàm s phi tuy n, th m chí không liên t c, …

V<i mong mu n tìm hi u sâu v! l<p bài toán t i u a m c tiêu, tôi ã ch'n

! tài “M t s kC thu t gi i bài toán t i u a m c tiêu theo h <ng quy v! m t

m c tiêu” làm Lu n vBn t t nghi p c a mình

M c ích c a ! tài là nghiên c;u m t s ph ng pháp gi i bài toán t i u a

m c tiêu ch y u theo h <ng quy v! m t m c tiêu và minh h'a qua m t s bài toán c th

Lu n vBn c trình bày trong hai ch ng

Ch ng 1 nêu nh ng nét t ng quan v! bài toán t i u a m c tiêu, xu#t phát t= m t vài bài toán th"c t n mô hình toán h'c t ng quát ng th$i c?ng a ra

m t s ph ng pháp gi i ã c bi t n

Ch ng 2 là ph n tr'ng tâm c a lu n vBn Ch ng này trình bày nh ng nét

c b n c a gi i thu t di truy!n, m t gi i thu t mô ph ng quá trình ti n hóa t" nhiên và thích h p v<i l<p bài toán t i u Ch ng này c?ng trình bày chi ti t hai

cách ng n nh#t n nghi m lý t ng và gi i thu t di truy!n k t h p v<i ph ng pháp tr'ng s K t qu th% nghi m c ti n hành cùng v<i nhóm nghiên c;u v!

gi i thu t di truy!n c a khoa Toán, tr $ng ,i h'c S ph,m - HTN

B n lu n vBn này c hoàn thành d <i s" h <ng dDn tr"c ti p c a Th y giáo

Ti n s@ V? M,nh Xuân Lu n vBn sE không c hoàn thành n u thi u nh ng chF

b o t n tình c a th y trong su t quá trình h'c t p và làm lu n vBn c a tác gi Nhân d p này, tác gi xin c g%i l$i c m n sâu s c n th y

Tác gi xin g%i l$i c m n n ban lãnh ,o tr $ng ,i h'c Khoa h'c- HTN, các th y cô giáo và cán b trong tr $ng ã t,o i!u ki n thu n l i trong su t quá trình h'c t p c a tác gi Xin g%i l$i c m n n b,n bè, gia ình, cùng t#t c nh ng ng $i thân ã giúp G, t,o i!u ki n và ng viên tác

gi tác gi có th hoàn thành b n lu n vBn này

Do h,n ch v! th$i gian, i!u ki n nghiên c;u và s;c kh e b n thân nên m&c

dù ã r#t c g ng, song lu n vBn m<i chF ,t c v! c b n m c tiêu &t ra Tác gi

CH NG 1

T NG QUAN V T I U A M C TIÊU

Nhi!u bài toán ;ng d ng trong các l@nh v"c khác nhau c a khoa h'c kC thu t c?ng nh th"c ti>n cu c s ng c a con ng $i có th mô hình hoá b i m t bài toán t i u Th"c t , cùng m t lúc ng $i ta th $ng mu n theo u i nhi!u

m c tiêu khác nhau (ví d : Khi l"a ch'n mua xe hay mua nhà , ng $i ta luôn tính n nhi!u y u t nh giá c , hình th;c, ti n nghi…, nh ng th $ng giá rH thì ti n nghi ho&c hình th;c l,i kém h n…) i!u ó dDn n l<p bài toán t i

u a m c tiêu (quy ho,ch a m c tiêu) Ch ng 1 trình bày v! l<p bài toán này qua m t s ví d c th , ng th$i nêu ra m t s ph ng pháp gi i bài toán t i u a m c tiêu

1.1 M t s bài toán c th

1.1.1 Bài toán thi t k h ch a n c [1]

Gi s% c n thi t k m t h ch;a n <c trong kho ng th$i gian

Nh v y, ta có th phát bi u bài toán:

( )

min( f ) min f max( f )

1 2 3

trong ó, các hàm m c tiêu f , f , f1 2 3 xác nh nh trên, ng th$i các bi n x1

ph i x% lý c a mIi i t ng c?ng nh l ng n <c thông r%a tháo t= h ch;a

ra

Gi s% các bi n quy t nh x ( i i =1, , N )là l ng ch#t th i ph i x% lý, c n

th a mãn i!u ki n 0 45 ≤ ≤ 0 99 x i G'i y là l ng n <c c n thông r%a mà h

ch;a sE cung c#p cho h th ng Khi ó các m c tiêu c n ,t c là:

trong ó q là l ng n <c th i c a i t ng th; i i

Hình 1.1 S h ch;a và dòng ch y

L ng n <c tr trong h ch;a tính b i

f2 = −S y trong ó S là dung tích h ch;a

N ng ôxy trong n <c dòng ch y t,i b#t kL th$i i m nào có th tính t=

ph ng trình Streeter-Phelps theo công th;c:

trong ó, các a ( i i =1, ,N ), b , b , c , c1 2 1 2 là các tham s c xây d"ng tùy thu c vào v trí và i!u ki n c th c a dòng ch y

Tóm l,i, ta có th phát bi u bài toán nh sau:

( )

min( f ) max f max( f )

1 2 3

Trong ó, các hàm m c tiêu f , f , f1 2 3 xác nh nh trên, ng th$i các bi n

m t s thông s và ràng bu c c cho tr <c V#n ! là c n xác nh các thông

s còn l,i sao cho t ng di n tích là l<n nh#t nh ng t ng chi phí l,i là nh nh#t

Chi phí xây d"ng c cho trong b ng 1.1

1.2 Bài toán t ng quát

Ta có th phát bi u bài toán t i u a m c tiêu d,ng t ng quát nh sau

min( max ) F x x D { ( ) }

∈ ( 1.1) v<i các ràng bu c 0 n 1

Các bài toán t i u a m c tiêu th $ng có nhi!u hàm m c tiêu v<i các ràng

bu c khác nhau và các l$i gi i khác nhau Các l$i gi i này th òng không so sánh

(b) M t vect x∈ n c g i là nghi m t i u Pareto (hay i m Pareto )

T p t t c các nghi m Pareto t i u g i là t p t i u Pareto

(c) M t vect x∈ n là nghi m t i u Pareto y u n u không t n t i y∈ n

mà F( y ) F( x )<

nh ngh@a nào ó thì không ph thu c vào cách nh ngh@a ã ch'n, nghi m t i

u ó ph i là m t nghi m Pareto t i u (t;c là, nghi m ó ph i thu c t p Pareto

t i u)

Hình 1.3 Minh h'a cho t p Pareto Hình 1.3 minh h'a cho t p Pareto trong tr $ng h p bài toán t i u có hai m c

không th nói i m nào t t h n, i m A có giá th#p thì tF l r i ro l,i l<n, i m B

có tF l r i ro th#p thì giá l,i cao Các i m nh v y minh h'a cho hàm vect

th so sánh v<i nhau tìm ra ph ng án t t h n, nh trong minh h'a trên thì

Trên th"c t , vi c tìm t p l$i gi i Pareto c a các bài toán t i u a m c tiêu là khó khBn và th $ng ít th"c hi n c Vì v y, m t s chi n l c tìm ki m ngDu nhiên (nh thu t toán ti n hóa, ph ng pháp vùng c#m, mô ph ng luy n

xác nh chính xác t p t i u Pareto, nh ng !u c g ng tìm ra m t t p x#p xF

u Pareto T= ó dDn n các khái ni m ε -tr i, ε −x p x Pareto, ε −Pareto

Nghi m cu i cùng c a bài toán này l#y làm nghi m cho bài toán ban u

1.3.2 Ph ng pháp th"a hi#p c$a TAMM

Gi i bài toán:

min F x x D{ ( ) }

∈

v<i các ràng bu c g ( x ) i ≥0 , x D , i , ,m∈ =1

Thu t toán gi i nh sau:

B c 1 Gi i k bài toán m t m c tiêu riêng rE Gi s% các nghi m t i u

t ng ;ng là x , i i ( = 1 ,k)

x f

M − ( ) ≤ W

i

i i

M

x f

B c 2 Gi i bài toán: min W

i

i i

M

x f

Khi ó, nghi m c a bài toán b <c k là nghi m c a bài toán ban u

1.3.4 Thu't toán thích nghi n % nh t i u hoá vect

f v = v

∃

Vect x là l$i gi i t i u c a:

k v x

f f

E{ 0v − v( )} = 0 , = 1 ,

D x

x f f

∈

→

− ( ) } min { 0

(ký hi u E là kL v'ng toán h'c)

ng $i nh n l$i gi i ng ý rJng trên D có m t hàm ý thích Còn quan h tr i c rút ra thông qua vi c so sánh các hàm m c tiêu

CH NG 2

GI I BÀI TOÁN T I U A M C TIÊU THEO H (NG

QUY V M)T M C TIÊU

toán t i u a m c tiêu, nh ng nói chung th $ng qua hai b <c chính:

Tìm t p các ph ng án t i u Pareto

X% lý, thu g'n t p t i u Pareto thu c nghi m t i u

ti n theo dõi, ta phát bi u l,i bài toán t i u a m c tiêu t ng quát

v<i th"c t khách quan Quá trình ti n hóa th hi n tính t i u chI: th h sau

bao gi$ c?ng t t h n (phát tri n h n, hoàn thi n h n) th h tr <c Xuyên su t quá trình ti n hóa t" nhiên, các th h m<i luôn c sinh ra b sung, thay th cho th h c? nh$ hai quá trình c b n: sinh s n và ch'n l'c t" nhiên, mIi cá th

mu n t n t,i và phát tri n ph i thích nghi v<i môi tr $ng, cá th nào thích nghi

h n thì t n t,i, cá th nào kém thích nghi thì b tiêu di t

Trong t" nhiên, mIi cá th có m t t p các nhi>m s c th (NST), mIi NST

g m nhi!u gen liên k t v<i nhau theo c#u trúc d,ng chuIi, quy nh các tính

tr,ng c a cá th ó Các cá th thu c cùng m t loài có s l ng và c#u trúc NST

&c tr ng nh ng c#u trúc các gen thì khác nhau, i!u ó t,o nên s" khác bi t

gi a các cá th trong cùng loài và quy t nh s" s ng còn c a cá th ó Do môi

tr $ng t" nhiên luôn bi n i nên c#u trúc NST c?ng thay i thích nghi v<i môi tr $ng và th h sau luôn thích nghi h n th h tr <c C#u trúc này có c

do s" trao i thông tin có tính ngDu nhiên v<i môi tr $ng bên ngoài ho&c gi a các NST v<i nhau

T= ý t ng ó, các nhà khoa h'c ã nghiên c;u và xây d"ng nên gi i thu t di truy!n d"a trên c s ch'n l'c t" nhiên và quy lu t ti n hoá Gi i thu t di truy!n

mô ph ng b n quá trình c b n c a t" nhiên: lai ghép, t bi n, sinh s n và ch'n

l'c t" nhiên MIi cá th c &c tr ng b i m t t p nhi>m s c th , nh ng n

gi n khi trình bày, ta xét tr $ng h p t bào mIi cá th chF có m t NST Các NST

(hay NST) bi u di>n m t l$i gi i có th c a bài toán Quá trình ti n hoá duy t trên t p các NST t ng ng v<i vi c tìm ki m l$i gi i trong không gian l$i

gi i c a bài toán Quá trình tìm ki m ph i ,t c hai m c tiêu:

Khai thác nh ng l$i gi i t t nh#t

Ta có th nh n th#y, GA làm vi c trên m t qu n th ch; không chF trên m t

cá th , h n n a GA d"a vào quy lu t ti n hóa t" nhiên tìm ra l$i gi i do ó

GA là gi i thu t phù h p cho vi c gi i bài toán t i u m t m c tiêu V<i m c ích nghiên c;u kC thu t gi i bài toán t i u a m c tiêu theo h <ng quy v! m t

m c tiêu thì ch'n GA làm công c tính toán là thích h p Vì v y, tr <c tiên ta sE

tìm hi u nh ng i m c b n c a GA, sau ó sE áp d ng GA cho l<p bài toán t i

u a m c tiêu

2.1 Gi i thu't di truy*n

2.1.1 C ch th+c hi#n gi i thu't di truy*n

M t thu t gi i di truy!n (hay m t ch ng trình ti n hóa b#t kL) gi i m t bài toán c th ph i bao g m nBm thành ph n sau ây:

Mã hoá l$i gi i - Cách bi u di>n di truy!n cho l$i gi i c a bài toán Cách kh i t,o qu n th ban u

ra các cá th m<i bJng cách lai ghép các cá th ã có và t bi n chúng theo m t

các cá th t ng i “x#u” thì ch t i, t,o ra th h m<i t t h n th h tr <c

Procedure Gi i_thu t_di_truy n;

Until (tho i!u ki n d=ng);

End;

Gi i thích:

T,i l n l&p th; t, GA xác nh m t t p h p các l$i gi i có th (các cá th hay NST) g'i là qu n th P(t) = { xt1, xt2, , xtm } (s cá th m g'i là kích cG qu n

Nh v y, b n ch#t GA là m t gi i thu t l&p, nhJm gi i quy t các bài toán tìm

ki m d"a trên c ch ch'n l'c nhân t,o và s" ti n hoá c a các gen Trong quá trình ó, s" s ng còn c a cá th ph thu c vào ho,t ng c a các NST và quá

trình ch'n l'c (tham gia vào vi c tái t,o ra các chuIi NST m<i bJng cách gi i mã các chuIi NST và t,o ra m i liên k t gi a các NST trong các cá th khác nhau)

GA s% d ng các toán t%: ch'n l'c, lai ghép, t bi n trên các NST t,o ra chuIi m<i Nh ng toán t% này th"c ch#t là vi c sao chép chuIi, hoán v các chuIi con và sinh s ngDu nhiên

không òi h i các thông tin hI tr khác

Các thao tác c b n trong gi i thu t d"a trên kh nBng tích h p ngDu nhiên, mang tính xác su#t ch; không ti!n nh

2.1.2 Các thành ph!n trong gi i thu't di truy*n

2.1.2.1 Mã hoá l,i gi i - Bi u di-n di truy*n cho l,i gi i c$a bài toán

ây là công vi c u tiên c n th"c hi n khi gi i bài toán v<i GA GA làm

vi c v<i t p mã c a bi n ch; không ph i b n thân bi n, do ó khi mã hóa l$i gi i

ta ng th$i ph i ti n hành hai công vi c:

Xây d"ng c#u trúc gen cho mIi l$i gi i c a bài toán t=

mIi l$i gi i ta có th mã hoá thành m t NST (chuIi các gen)

TuL thu c vào &c i m c a t=ng bài toán mà ta có cách mã hoá khác nhau

c b n nh#t c s% d ng ngay t= b <c ban u khi nghiên c;u GA

Trong ph ng pháp này mIi NST(l$i gi i) là m t chuIi nh phân (chuIi các

bit 0 và 1) có chi!u dài: m=

x1( các giá tr trong kho ng [a1,b1]), m2 bit ti p theo bi u di>n giá tr c a x2…

Trong ó decimal(chu i 2) cho bi t giá tr th p phân c a chuIi nh phân ó

Nh v y n u bài toán có s chi!u, mi!n giá tr c a các bi n l<n và yêu c u chính xác tính toán cao thì chi!u dài c a các NST sE r#t l<n, do ó mà cách mã

hóa này chF phù h p v<i các bài toán có s chi!u, mi!n giá tr các bi n nh (hay không gian tìm ki m không l<n)

MIi NST c mã hoá là m t véc t trong không gian Rn, mIi ph n t% bu c

th n m b o yêu c u này

ChAng h,n bài toán trên mIi NST là m t vect : x = (a 1 , a 2 , , a n ) v<i các

a i∈ R bi u hi n giá tr th"c c a x i

Cách mã hoá này th $ng t" nhiên i v<i các bài toán t i u s , và phát huy

hi u qu khi áp d ng gi i bài toán c n chính xác cao, trong m t không gian

v<i s chi!u l<n, do ó c phát tri n r#t m,nh trong th$i gian g n ây

2.1.2.2 Kh i t.o qu!n th ban %!u

T p l$i gi i ban u th $ng c kh i t,o ngDu nhiên t= mi!n xác nh c a các l$i gi i

Cách t,o l p t p l$i gi i ban u ph thu c r#t nhi!u vào cách mã hoá NST:

V i ph ng pháp mã hoá nh phân: xây d"ng NST bJng cách t,o ngDu nhiên chuIi các bit 0 ho&c 1, c?ng có th s% d ng nh ng hi u bi t v! phân ph i xác

su#t kh i t,o

V i mã hoá s th c: t,o ngDu nhiên m véc t th"c trong R n

2.1.2.3 Xác % nh hàm l ng giá

l$i gi i theo yêu c u bài toán Hàm này c xây d"ng cho t=ng bài toán v<i yêu

tiêu c a bài toán

2.1.2.4 Các toán t/ di truy*n

Toán t/ ch0n l0c

Toán t% ch'n l'c có vai trò r#t quan tr'ng trong quá trình ti n hóa, nh$ quá

còn các cá th phù h p th#p b lo,i b M t s d,ng toán t% ch'n l'c:

Ch n l c d a trên thích nghi trung bình

MIi qu n th &c tr ng b i m t thích nghi trung bình MIi l n ti n hoá ta

chF gi l,i các cá th có thích nghi l<n h n thích nghi trung bình thì c

ch'n

Ch n theo k thu t quay bánh xe (bánh xe Rulet)

Tính thích nghi c a mIi cá th , tìm t ng giá tr thích nghi c a toàn qu n

Lai ghép là quá trình hình thành nhi>m s c th m<i trên c s các nhi>m

s c th cha-mM, bJng cách ghép m t hay nhi!u o,n gen c a hai nhi>m s c th cha-mM v<i nhau Lai ghép giúp t,o ra các th h thích nghi h n th h tr <c tho mãn quy lu t ti n hoá c a t" nhiên

Sau khi ch'n l'c c m NST, l n l t l#y ra t=ng c&p NST lai ghép t,o

ra hai NST m<i M t s d,ng toán t% lai ghép hay dùng là:

sau v trí v=a ch'n gi a hai NST cha và mM nh n c hai NST con

o Lai ghép hai i m: ch'n ngDu nhiên hai v trí trong m t NST, sau ó hoán v các giá tr ;ng gi a hai i m ã ch'n c a hai NST cha mM nh n

o Lai ghép u ho c lai ghép m t n : t,o m t m&t n, ngDu nhiên có s bit

bJng chi!u dài c a NST Ta sE hoán v các giá tr c a hai NST cha và mM

nh ng v trí t ng ;ng v<i v trí bit 1 c a m&t n,

i v<i ph ng pháp mã hoá th"c, mIi NST c mã hoá bJng m t vect s

th"c có cùng dài v<i vect l$i gi i nên v<i mã hoá s th"c ta còn s% d ng các phép lai sau:

• Lai s h c: Phép lai này c nh ngh@a là t h p tuy n tính c a hai

vect x 1 và x 2, các con sinh ra sE là :

Toán t% này dùng giá tr ngDu nhiên α∈[ ]0 , 1, b o m x ,x1' '2∈ D

Nó dùng các giá tr hàm m c tiêu quy t nh h <ng tìm ki m,