Giải thuật di truyền giải bài toán tối ưu đa mục tiêu

+ w f x sao cho ieffi" ứng với mỗi bộ trọng số Wi ta sẽ tìm được một nghiệm tối ưu Pareto Ví dụ 1.16: Giải bài toán tối ưu hai hàm mục tiêu sau:... Phương pháp tổng trọng sổ chấp nhận đư

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

Hà Nội - 2015

NGUYỄN THI NHUNG

GIẢI THUÂT DI TRUYỀN GIẢI BÀI TOÁN TỐI ưu

Trước khi đi vào từng phần cụ thể của khóa luận tốt nghiệp này, tôi muốn gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến

TS Phạm Thanh Hà- người đã đưa ra đề tài, tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong suốt thời gian tôi thực hiện khóaluận này

Tôi xin cảm ơn phòng quản lý và đào tạo sau đại học trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiệnthuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện khóa luận Đồng thời tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân

NGUYỄN THI NHUNG

GIẢI THUÂT DI TRUYỀN GIẢI BÀI TOÁN TỐI ưu

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS.Phạm Thanh Hà

thành nhất đến gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn đôn đốc, tạo điều kiện, hỗ trợ về mặt tinh thần cho tôi trong quátrình thực hiện luận văn.

Cuối cùng tôi xin cảm ơn các bạn cao học khóa 17 chuyên ngành toán ứng dụng trường Đại học sư phạm HàNội 2 đã quan tâm, chia sẻ và đóng góp ý kiến để tôi hoàn thành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội tháng 10 năm 2015

Hoc viền *

Nguyễn Thị Nhung

/(/¡W,/2W) : Vector hàm mục tiêu

* = (*!

>-,*„) : Vector biến quyết định

ni : Số lượng đoạn cần mịn hóa thứ i

li : Chiều dài đoạn thứ i

larg : Chiều dài trung bình của tất cả các đoạn ở mỗi bước

Pl,p2 : Điểm cuối của đoạn

ỗi : Khoảng cách vuông góc từ các điểm trên biên đến nón R+Q

Axb AX 2 : Kích thước của lưới

f(x,p) : Hàm mục tiêu của vector X và véc tơ tham số cố định p

p : Vector tham số cố định

h(x,p) : Vector ràng buộc đẳng thức với tham số p

Np ; SỐ lượng cá thể trong quần thể/ kích thước tập p

k : Tham số của mật độ tính toán: k = f E

nu : Số nghiệm trội hơn nghiệm u

s : Tập nghiệm trội bởi nghiệm u

Po,Pt : Quần thể ban đầu và tại thế hệ thứ t

Qt

Fj : Quần thể con tạo thành từ các cá thể trong pt

: Biên chứa các nghiệm không trội Với j=l,

Hi

=Ri=E(ri) : Kỳ vọng của Ti

ƠI : Phương sai của Tị

Oij : Hiệp phương sai giữa Tị và Tj

peR : Vector giá trị kỳ vọng của Tị

Hình 3.12 Kết quả chạy thuật toán với số lượng thế hệ tối đa là 50 và số

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đè tài

Bài toán tối ưu hóa đa mục tiêu đặt ra yêu cầu tìm phương án tốt nhất đểđạt được cực tiểu, cực đại nhiều mục tiêu cùng lúc, nếu có một phương án nhưyậy thì ta gọi là phương án lý tưởng

Tuy nhiên trong bài toán tối ưu nhiều mục tiêu thường thì các mục tiêuxung đột với nhau nên việc cố gắng làm tăng giá trị tiểu, cực đại của mục tiêunày kéo theo giảm (tăng) cực đại, cực tiểu của mục tiêu khác, do đó việc tồn tạiphương án lý tưởng là rất hiếm

Thông thường cách tốt nhất là tìm một phương án nhằm thỏa mãn cácyêu cầu các mục tiêu trong một mức độ chấp nhận được và phương án như thếgọi là phương án thỏa hiệp các mục tiêu

Trên thực tế có rất nhiều bài toán tối ưu đa mục tiêu, đặc biệt trong kinh

tế, kỹ thuật như các bài toán về thiết kế, lập kế hoạch

Thuật toán tiến hóa hình thành dựa trên quan niệm cho rằng: quá trìnhtiến hóa tự nhiên là quá trình hoàn hảo nhất, họp lý nhất, và nó tự mang tính tối

ưu Quan niệm này được xem là tiền đề đúng, không chứng minh được, nhưngphù hợp với thực tế khách quan Quá trình tiến hóa thể hiện tính tối ưu ở chỗthế hệ sao bao giờ cũng tốt hơn (phát triển hơn, hoàn thiện hơn) thế hệ trước

Tiến hóa tự nhiên được duy trì nhờ hai quá trình cơ bản: sinh sản vàchọn lọc tự nhiên Xuyên suốt quá trình chọn lọc tự nhiên, các thế hệ mới luônđược sinh ra để bổ sung, thay thế thế hệ cũ Cá thể nào phát triển hơn, thích ứnghơn với môi trường sẽ tồn tại Cá thể nào không thích ứng với môi trường sẽ bịđào thải Sự thay đổi của môi trường là động lực thúc đẩy quá trình tiến hóa.Ngược lại, quá trình tiến hóa cũng tác động ngược lại làm thay đổi môi trường

Các cá thể mới được sinh ra trong quá trình tiến hóa nhờ sự lai ghép ởthế hệ cha-mẹ Một cá thể mới có thể mang những tính trạng của cha-mẹ (di

9

truyền), cũng có thể mang những tính trạng hoàn toàn mới (đột biến) Di truyền

và đột biến là hai cơ chế có vai trò quan trọng như nhau trong quá trình tiếnhóa, dù rằng đột biến xảy ra với xác xuất nhỏ hơn nhiều so với hiện tượng ditruyền Các thuật toán tiến hóa tuy có những điểm khác biệt, nhưng tất cả đều

mô phỏng bốn quá trình cơ bản: lai ghép, đột biến, sinh sản và chọn lọc tựnhiên

Với những khả năng tiềm tàng của giải thuật tiến hóa Luận văn sẽ tậptrung nghiên cứu xây dựng giải thuật tiến hóa để giải quyết bài toán tối ưu đamục tiêu

2 Mục đích nghiền cứu

Nghiên cứu bài toán tối ưu đa mục tiêu và một số phương pháp giải bàitoán tối ưu đa mục tiêu

Nghiên cứu giải thuật tiến hóa trong đó có giải thuật di truyền

Nghiên cứu xây dựng giải thuật di truyền trong giải bài toán tối ưu đamục tiêu

Cài đặt chương trình giải quyết một bài toán ứng dụng tối ưu đa mụctiêu

3 Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu

Nghiên cứu bài toán tối ưu đa mục tiêu và một số phương pháp giải bàitoán tối ưu đa mục tiêu

Nghiên cứu giải thuật tiến hóa trong đó có giải thuật di truyền

Nghiên cứu xây dựng giải thuật di truyền trong giải bài toán tối ưu đamục tiêu

4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý thuyết kết hợp với cài đặt thực nghiệm

5 Ý nghĩa khoa học của đè tài

Hệ thống các kiến thức về tối ưu đa mục tiêu và giải thuật di truyền,

1 0

nghiên cứu ứng dụng giải thuật di truyền giải bài toán tối ưu hóa đa mục tiêu.

1 1

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC Cơ BẢN VÈ TỐI ưu ĐA MỤC TIÊU

1.1 Quan hệ thứ tự trong không gian

Trong Toán học, quan hệ hai ngôi là sự kết họp hai phần tử bất kỳ trongcùng một tập họp hoặc với các phần tử của tập họp khác Quan hệ hai ngôi được

sử dụng trong nhiều nhánh khác nhau của toán học như trong số học ta có cácquan hệ: lớn hơn hoặc bằng, bằng Trong hình học ta có các quan hệ: đồngdạng, đối xứng, song song, Trong lý thuyết đồ thị ta có các quan hệ: kề nhau,liên thông, Quan hệ hai ngôi cũng được sử dụng trong khoa học máy tính, nhất

là trong các mô hình quan hệ cơ sở dữ liệu như: các quan hệ: một nhiều, nhiều nhiều

-Trong lý thuyết tối ưu nhiều mục tiêu quan hệ thứ tự hai ngôi có ý nghĩarất quan trọng trong việc đưa ra các khái niệm về nghiệm tối ưu Thông qua cáckhái niệm này ta lựa chọn nghiệm nào là nghiệm tốt nhất cho bài toán

Định nghĩa 1.1: Quan hệ hai ngôi trên tập A là tập con R của AxA Ta

gọi đơn giản là quan hệ hai ngôi

Ký hiệu: aRb hoặc R(a,b) hoặc (a,b) E R gọi là “ a R- quan hệ b”

Ví dụ 1.1: Xét tập họp s = {1,2,3,4,5} thì quan hệ “<” là tập họp các cặp

Ví dụ 1.3: Nếu xét quan hệ R: “Người” X “ăn” được định nghĩa bởi: a Rb

oaănb, b R-l a ob thì được ăn bởi a

Định nghĩa 1 3: Cho R là một quan hệ 2 ngôi trên tập A, khi đó R gọi là:

i) Phản xạ nếu (a, a) e R, Va e A ( hoặc là a VK (aRa) )

Ví dụ 1.4: Các quan hệ =, 'có cùng tính chất toán học’, <=>

<=, >=, Œ, =>, là phản xạ

ii) Phi phản xạ nếu (a, a) Ể R, Va £ A hoặc là Va eA ( -aRa )

Ví dụ 1.5: Quan hệ <, >, ‘có tính chất toán học khác nhau’, d là phi phản xạ

iii) Đối xứng nếu Va, b e A sao cho (a, b) £ R => (b, a) £ R Ví dụ 1.6: Quan

Ví dụ 1.10: Nếu “ chó sói ăn cừu ” và “ cừu ăn cỏ ” nhưng “ sói không ăn

cỏ ” thì quan hệ “ ăn ” là phủ định và bắc cầu

yiii) Phản bắc cầu nếu: Va, b, c : aRb A bRc => -■aRc Ví dụ 1.11: Nếu “

A quen B” và “ B quen C” nhưng “ A chưa chắc quen C” thì quan hệ “ quen” là phản bắc cầu

ix) Liên hợp nếu V a, b eA sao cho a^b=>(a,b)eR hoặc (b,a)eR

Ví dụ 1.12: Cho A là tập các số chẵn thì quan hệ chia hết là lien họp.x) Liên hợp mạnh nếu Va, beA=>(a,b)eR hoặc (b,a)eR

Ví dụ 1.13: Cho A=N Thì quan hệ <,>, là liên họp mạnh

Định lý 1.1: R là đối xứng khi và chỉ khi R= R-1 Chứng minh:

=> Giả sử R là đối xứng Thì: (x,y) eR <=>(y,x) eR <=>(x,y) eR-1 <= Giả

sử R = R-\ Thì: (x,y) eR <=>(x,y) eR-1 <=>(y,x) eR Định nghĩa 1.4: Cho

R là một quan hệ 2 ngôi trên A khi đó:

i) R được gọi là quan hệ tương đương nếu R có tính chất phản xạ, đối xứng

và bắc cầu

ii) R được gọi là tiền thứ tự nếu R có tính chất phản xạ và bắc cầu.

Ví dụ 1.14: =; “các tập tương đương”; “chia hết”; mod

Trong trường hợp quan hệ R là tiền thứ tự thì cặp (A,R) được gọi là tập tiền thứ tự Để tiện ta thay đổi quan hệ R là <• Do đó ta quy ước viết: a < b thay cho (a, b) e < a < b thay cho (a, b) Ể <

với bất kỳ một quan hệ < là tiền thứ tự nào thì cũng có quan 2 quan hệ khác mà ta định nghĩa chúng như sau:

x < y < = > x < y r á y í x (1.1) x ~ y < = > x < y r à y < x (1.2)

Mệnh đề 1.1: Cho < là một tiền thứ tự trên tập A Khi đó:

• Quan hệ < định nghĩa trong (1.1) là phi phản xạ và bắc cầu.

• Quan hệ ~ định nghĩa trong (1.2) là quan hệ tương đương

Mênh đè 1.2:

• Một quan hệ hai ngôi phản xứng là phi phản xạ.

• Một quan hệ hai ngôi bắc cầu và phi phản xạ là phản xứng

Định nghĩa 1.5: Một quan hệ hai ngôi < trên A là:

i) Tiền thứ tự tổng quát nếu < là phản xạ, bắc cầu và liên hợp

ii) Thứ tự tổng quát nếu < là tiền thứ tự tổng quát phi đối xứng Như quan hệ

< đối với số nguyên là thứ tự tổng quát

iii) Thứ tự yếu chặt nếu < là phản xứng và phủ định bắc cầu

Mênh đề 1.3:

Nếu < là tiền thứ tự tổng quát trên A, khi đó quan hệ <là thứ tự yếu chặt

Nếu < là thứ tự yếu chặt trên A, khi đó < định nghĩa bởi:

X < y <=> X < y hoặc (x < y và y < X )(7.3) là tiền thứ tự tổng.

Định nghĩa 1.6: Quan hệ hai ngôi < được gọi là thứ tự từng phần nếu là

phản xạ, bắc cầu và phi đối xứng

Định nghĩa 1.7: Quan hệ hai ngôi < được gọi là thứ tự từng phần chặt nếu

< là phản xứng và bắc cầu ( hoặc < là phi phản xạ và bắc cầu )

Trong luận văn này chúng ta sử dụng quan hệ thứ tự trên không gian Euclid_Rn

Khi đó ta có môt số thứ tư trên Rn

Định nghĩa 1.8: Một tập con K ÇRn được gọi là nón nếu: fix EK với mọi X

Nếu Xỉ' <yi với i= l, ,n Neu Xỉ'

<yi với i= l, ,n; xỶy Neu Xỉ' < yi

với i= l, ,n Neu X* < y k hoặc X =

y Neu maxi=l, ,n{xi}<

maxi=l, ,n{ yi}

Thứ tự từng phần yếu Thứ tự từng phần Thứ

tự từng phần chặt Thứ

tự tự điển Max_thứ tự

EKvaß ER,ß > 0 Ví dụ 1.15: K=R 2 + ={xeR 2 \x l >0,i=l,2} là nón Định

nghĩa 1.9: Nón k trong Rn gọi là:

Không tầm thường nếu K Ỷ 0V&KÏ Rn

Lồi nếu axi + (1 - axß EK với mọi X ] , x 2 EK và 0 < a < 1

Do đó:ßu =ß(x - y) =ßx -ßy EK^VỚiß >0

Định lý 1.2 : Cho < một quan hệ 2 ngôi trên Rn là phép nhân vô hướng.

Khi đó:

i) 0 EK<neu < là Phản xạ

ii) K<lồi nếu < là Bắc cầu

iii) K< nhọn nếu < là Phi đối xứng

Chứng minh:

(i) : Giả sử quan hệ: < là Phản xạ Khi đó: X <y vớix ERn =>x - X = 0 (Ü):

Giả sử quan hệ < là Bắc cầu và Cho u, r Nên: u - 0 và 0 - r E-K<

Điều này có nghĩa là: 0 và -r <0 Mà < là Bắc cầu => -r Do đó: u - r = u +

r EK tức là K lồi (iii): Giả sử ta có 0 Ỷ u EK<

Thì u=y - X EK^vầ -U = X - y với x,y ERn Do 0 Ỷ u nên X <y và y <x

nhưng X Ỷ y Điều này vô lý.

Định nghĩa 1.10: Cho K là nón Ta định nghĩa thứ tự theo nón là:

X <*y <^>y - X EK (1.12)

Mệnh đề 1.5: Cho K là nón và thứ tự theo nón < A : trong (1.12) là phép

nhân vô hướng và cộng trong Rn Hơn nữa:

i) <K là phản xạ nếu 0 e K

ii) <K là bắc cầu nếu K lồi

iii) <K là phi đối xứng nếu K nhọn

Chứng minh: Cho x,y,z ERnvầO < ß ER với X <*y Ta có: y - X EK Do K

là nón nên,- ß(x - y) EK =>ßx ßy Và X ^y nghĩa 1 à: y - X = (z + y) - (x + z)

Hình 1.1 Mô phỏng bài toán tối ưu đa mục tiêu Định nghĩa

1.11: Một nghiệm X* G X của bài toán (Pi) được gọi là nghiệm lý tưởng nếu:

Nói một cách khác một nghiệm mà nó thỏa mãn tất cả các hàm mục tiêucần tối ưu ứng với miền chấp nhận được là X Thực tế thì những nghiệm như vậyrất ít tồn tại Nếu đưa ra một số khái niệm khác về tối ưu có vẻ ‘ mềm dẻo’ hơn

đó là nghiệm tối ưu Pareto

Định nghĩa 1.12: Một nghiệm x = (x l ,x 1 , ,x ) được gọi là trội hơn nghiệm

L3ve(i »} f j { * ) í f j { y )

Định nghĩa 1.13: x = (x ỉ ,x ỉ , ,x ) được gọi là nghiệm không trội hơn

nghiệm y = {y l ,y ĩ , ,y n ) nếu VxeX, không tồn tại yeX sao cho: y y x x

1.4 Các khái niêm tối ưu

1.4.1 Tối ưu pareto

Định nghĩa 1.14: Một nghiệm / el được gọi là một nghiệm tối ưu Pareto

nếu không tồn tại một nghiệm sao cho X trội hơn X Nghĩa

là: / ( * ) < / ( * )

Tính chất

i) Nếu x là nghiệm tối ưu Pareto thì /(**) gọi là điểm hữu hiệu

ii) Nếu X 1 , X 2 z X và / ( * ) < / ( * 2 ) thì ta gọi X 1 trội hơn X 2 và / (* ‘ ) trội hơn f ( x2)iii) Tập họp tất cả các nghiệm tối ưu Pareto và tập các điểm hữu

hiệu y = / Ị / ỊE7 lần lượt là: X píĩ và reff

Định nghĩa 1.15: Các định nghĩa tương đương khác.

i) Không tồn tại một nghiệm X e X sao cho: f ( x ) trội hơn / (* * )

ii) Không tồn tại một nghiệm X e X sao cho: / ( * ) - / ( * ) e - R K\{O}

iii) /(*)-/ (x*) E R K \ \ Ịojj ,VÍEJ

iv) /(*)n(/(* )-£+)={/(*)}

v) Không tồn tại/(x)e/(x)\Ị/(x*)Ị sao cho f { x ) & f { x ' ^ - R K

vi) /(*)</(*•) với xeX nghía là: f { x ) = f ( x )

Hình 1.2a: Minh họa cho i, iv,v Hình 1.2b: Minh họa cho ii,iii

1.4.2. Nghiệm tối ưu Pareto chặt và yếu

Định nghĩa 1.16: Nghiệm X * E X được gọi là một nghiệm tối ưu yếu Pareto

nếu không tồn tại một nghiệm X EXsao cho:

f(x) «f(x*)i = {1, k}

Khi đó: Điểmy =f(x*) E Y gọi là điểm hữu hiệu yếu.

Tập nghiệm tối ưu Pareto yếu và tập các điểm hữu hiệu yếu lần lượt ký hiệu là:

Xw-par và Yw-eff

Định nghĩa 1.17:

Nghiệm X * EX được gọi là một nghiệm tối ưu chặt Pareto nếu không tồn

tại một nghiệm X E X v ầ X Ỷ X * sao cho: f(x) < f(x*).

Khi đó: Tập nghiệm tối ưu Pareto chặt ký hiệu là: xs_par Từ định nghĩa

ta nhận xét rằng:

Yẹff c Y w _ e ff Y r~ Y r~

Y

Định nghĩa 1.18: Cho X cRn, một ánh xạ f : X ^ > R v ầ x EX Khi đó:

L<(f( x ))= {X E X \ f ( x ) <f(x x )} được gọi là tập mức của/tại x

L = ( f ( x ) ) = { X E X \ f ( x ) =f(x )} được gọi là mặt mức của/tại *

L< (.f( x )) = L<(f(x~))\L=(f(x~)) = {x E X \ f ( x ) < f(x~)} được gọi là tập mức chặt

của /tại X

Nhận xét: Từ định nghĩa ta nhận thấy: L=(f(x )) czL<(f(x ))

Định lý 1.3: Cho X* E X v ầ định nghĩa yq = f q (x*) khi đó:

1) X* là nghiệm tối ưu Pareto chặt nếu và chỉ nếu:

(1): “ X* là nghiệm tối ưu Pareto chặt ”

<=> không tồn tại một nghiệm X e X và X Ỷ X* sao cho: /(x) < /(x*) o không tồn tại một nghiệm X E X y ầ x Ỷ x * sao cho:

fq(x) < fq(x*) với 9 =

không tồn tại một nghiệm X E X v è i X Ỷ x * sao cho:

q=\ q=1

(2) “ X * là nghiệm tối ưu pareto” không tồn tại một nghiệm xeX sao cho

f q { x ) < f q ụ ) với q = l , k và với f J ( x ) < f J ự ) với ỹ = {l,

không tồn tại một nghiệm xeX sao cho

(3) “ X* là nghiệm tối ưu pareto yếu ”

<=> không tồn tại một nghiệm xeX sao cho

Theo định nghĩa tối ưu Pareto ta nhận thấy rằng nếu X* là một nghiệm tối

ưu Pareto thì nó không cho phép cải thiện giá trị của một hàm mục tiêu trong khivẫn duy trì giá trị của các hàm mục tiêu khác Do đó để cải thiện một hay nhiềugiá trị của hàm mục tiêu này ta buộc phải làm “giảm” giá trị của các hàm mụctiêu khác đã được chấp nhận mà ta gọi đây là sự thỏa hiệp Sự thỏa hiệp giữa các

tiêu chuẩn này được đo bằng cách tính toán việc giảm giá trị của hàm mục tiêu fj trên đơn yị tăng về mặt giá trị của hàm mục tiêu fj.

Định nghĩa 1.19: (Geoffrion 1986)

X* £ X được gọi là tối ưu Pareto chính thường theo Geoffrion nếu X* là

nghiệm tối ưu Pareto và nếu có một số M > 0 sao cho: mỗi i rà V X £ X thỏamãn /i(x) < /i(x*) và tồn tại một chỉ số j sao cho /j(x*) < /j (x) Hơn nữa:

Khi đó giá trị hàm mục tiêu đạt được tương ứng tại X* là: y* = /(x*) gọi là điểm hữu hiệu chính thường

Nhận xét: Một nghiệm tối ưu Pareto chính thường có biên thỏa hiệp giữatất cả các hàm mục tiêu.

Ta xét bài toán lồi sau đây: min ^ Ẳị/ị (x) (P2)

i=1Thì (P2) gọi là bài toán trọng tổng số

Trong đó: Ậ với i = 1, , k là các trọng số không âm đối với các hàm

Điều này mâu thuẫn với tính tối ưu của X* đối với bài toán (*) Do đó giả

sử của chúng ta là sai và X* là nghiệm tối ưu Pareto chính thường

Định lý 1.5: Cho X c Rn là một tập lồi và giả sử rằng hi: Rn —> R là hàm

lồi, i = 1 , k Khi đó bất đẳng thức hi < 0 với i = 1 , k không có

đối với bài toán (*) với Ai > 0 với i = 1 , k Chứng minh:

Do định lý 1.5 chúng ta chỉ cần chứng minh điều kiện cần của định lý này

là đủ

Cho X* là nghiệm tối ưu Pareto chính thường Nghĩa là có một số M >0

sao cho: vi = 1 , k thì hai bất đẳng thức sau không có nghiệm:

/ O Os /(*,')

■ /(*’1-/00

- V 7 i k - M °/w +M /w< f,ụ)+w,ụ)yj*i

Tính chất của hàm lồi mà chúng ta phát biểu trong định lý 1.6 trên nghĩa là

, , , , * đôi với hai bât đăng thức thứ i như yậy, tôn tại À'j > 0, j=l, ,k với ^Ai

= 1 .k với X* là nghiệm tối ưu của bài toán (*)

1.5 Một số các phương pháp giải bài toán tối ưu đa mục tiêu

a) Mô hình bài toán: Cho một bài toán đa mục tiêu với p mục tiêu

Minự^x),/

Sao cho x e R "

Trong đó: * = )ER " là không gian quyết định

Ta chuyển bài toán trên thành bài toán rằng buộc là: Maxf )Sao cho JC = eR"

f k ( X l , ,x n )>L k

Trong đó mục tiêu thứ h được tùy ý lấy max Công thức này là bài toán đơn mục tiêu Do đó có thể giải được bằng phương pháp đơn hình cho bài toán

quy hoạch tuyến tính, b) Thuật toán:

Bước 1: Xây dựng một thỏa hiệp

- Giải lần lượt p bài toán đơn mục tiêu với các ràng buộc tương ứng Gọi nghiệm ứng với mục tiêu thứ k là: x k = (*!*, ,**) với k = 1 , S a u đótính giá trị của p hàm mục tiêu này đạt được tại các ỵk tương ứng, ta gọi là:

./ỉ(*i*)-/2(*2*)-".,/;(**)

- Sắp xếp p giá trị tương ứng với p mục tiêu vừa tính được ở trên vào trong bảng Ở đây, hang ứng với các X 1 , ,x k và cột là nhãn của mục tiêu Bảng thỏa hiệp cho một bài toán với p hàm mục tiêu

Tìm số lớn nhất và nhỏ nhất trong cột thứ k, lần lượt kí hiệu là M k ,n k

Bước 2: Quy ước một bài toán quy hoạch được cho ở (2.1) tương ứng với bài toán ràng buộc của nó

Bước 3: Chọn giá trị của Lỵ với kịh, trong đoạn [n h Mk\ ra r phần bằng

nhau

L k có thể nhận một trong r giá trị sau:

L k =n k +-!—{M k -n k ),t = ữ,\ ,r-\

r — ì

Bước 4: ứng với mỗi giá trị của Lỵ ta giải bài toán (2.2) và mỗi bài toán

cho một nghiệm chấp nhận được Trong những nghiệm này ta chon nghiệmtốt nhất

1.5.2 Phương pháp tổng trọng sổ

Bài toán tối ưu nhiều mục tiêu dạng tổng quát được phát biểu:

Min{f ì {x),f 1 {x), ,f p {xỹị sao cho x e R "

Trong đó: * = (*!, ,*„)ER" là không gian nghiệm

Ta chuyển bài toán trên thành một bài toán tổng sau:

Minf = w l f l (*) + w 2 f 2 (*) + + w f (x) sao cho ieffi"

ứng với mỗi bộ trọng số Wi ta sẽ tìm được một nghiệm tối ưu Pareto Ví dụ 1.16: Giải bài toán tối ưu hai hàm mục tiêu sau:

Sau khi thực hiện các bước tính toán ta xác định được giá trị của mỗi hàmmục tiêu như sau:

1.5.3 Phương pháp tổng trọng sổ chấp nhận được đổi với bài toán tối ưu 2 muc tiêu

a) Khái niệm cơ sở

Trong phần trình bày này chúng ta giới thiệu một phương pháp xác địnhhiệu quả biên Pareto đối với bài toán tối ưu hai mục tiêu và đây cũng chính là cơ

sở giúp ta nghiên cứu phương pháp tổng trọng số chấp nhận được đối với bàitoán tối ưu đa mục tiêu Phần trình bày trước phương pháp tổng trọng số tìmkiếm từng nghiệm một - tối ưu Pareto bằng cách thay đổi trọng số tương ứng củacác hàm mục tiêu mà các trọng số này được lựa chọn từ người giải Phương phápnày thường sinh ra trên biên Pareto rất ít các nghiệm tối ưu và đặt biệt là sẽkhông tìm ra nghiệm tối ưu Pareto trên miền không lồi

Mục đích chính của phương pháp tổng trọng số chấp nhận được là tậptrung tìm kiếm nghiệm tối ưu trên những vùng chưa được tìm kiếm nằm trênbiên Pareto bằng cách thay đổi một cách hợp lý các trọng số, hơn là ưu tiên vàoviệc lựa chọn các trọng số và chỉ định các ràng buộc bất đẳng thức bổ sung.Phương pháp này sẽ tìm được nhiều nghiệm tối ưu Pareto hơn và tìm đượcnghiệm tối ưu trong miền không lồi, đồng thời bỏ qua các nghiệm non- Pareto

nỉ : số lượng đoạn cần mịn hóa thứ i

li : Chiều dài của đoạn thứ i

larg : Chiều dài trung bình của tất cả các đoại tại mỗi bước

Pi, p2: Điểm cuối của đoạn

ỗj: Khoảng cách từ các điểm trên biên Pareto đã được tuyến tính thành từng đoạn đến nón +RQ

ồịi Khoảng cách vuông góc từ các điểm trên biên đến nón +RQ

ÀXI, AX 2: Kích thước của lưới

Hình 1.3 Tuyến tính hóa các đoạn trên biên Pareto

Trong phần này ta phát biểu bài toán tối ưu 2 mục tiêu dưới dạng như sau

minw ^^ + (1 -w) ^^ sao cho xeX

/2W /2WTrong đó: X = { X ER Q \g(x) <; h(x) = 0 r à w E[0,1]}

/i (*)>/2 (*): là các hàm chuẩn hóa tương ứng của /i(x) và /2(x)

b) Phương pháp tổng trọng sổ chấp nhận được dành cho bài toán 2 muc tiều:

«

Sau đây là các bước chi tiết để giải bài toán tối ưu 2 mục tiêu bằngphương pháp Tổng trọng số chấp nhận được:

Bước 1: Chuẩn hóa các hàm mục tiêu trong không gian hàm mục tiêu Khi

xi* là vector nghiệm tối ưu cho từng bài toán một mục tiêu /i(x) với i =

1,2 thì hàm mục tiêu chuẩn hóa /i được xác định như sau: fi =

Trong đó:

fU\ là điểm Utopia và được định nghĩa là:

fN: là điểm Nadir và được định nghĩa là: f N = [_/;*,/* ] (3)

Bước 2\ Giải bài toán đa mục tiêu bằng phương pháp tổng trọng số với số

nhỏ của phép chia n0 Ta sẽ lấy n0 = 5—10 Từ đó tính giá trị của trong số wtheo công thức: Aw= —

n0

Bước 3: Tính toán độ dài của các đoạn giữa tất cả các nghiệm lân cận

nhau trên biên Pareto Xóa các nghiệm trùng nhau Khi sử dụng phương pháptổng trọng số để tìm nghiệm tối ưu sẽ xảy ra trường hợp các nghiệm tối ưu

trùng nhau khi đó khoảng cách Euclid giữa chúng là 0, trong các nghiệm này chỉ

có duy nhất một nghiệm tối ưu nằm trên biên Pareto sẽ được chọn

Bước 4: Xác định số lượng đoạn cần tinh lọc (liên quan với chiều dài

trung bình của tất cả các đoạn), nếu đoạn nào dàỉ hơn thì cần phải được tỉnh lọchơn Việc tinh lọc trên biên Pareto được xác định dựa ưên độ dài tương

Trong đó ni: là số lượng cần lọc đối với đoạn thứ i

li: là chiều dài của đoạn thứ i larg: là chiều dài trung

bình của tất cả các đoạn C:là hệ số nhân, ta thường

lấy giá trị của c = [1,2]

Bước 5: Nếu ni < 1 thì không cần phải lọc đoạn này

Nếu ni > 1 thì thực hiện bước 6

Bước 6: Tính khoảng cách của §1 và ỗ2 dựa trên Sj như sau:

3 = Ổjcosớ,ẩj = ổ 2 sin ớ

đối của các đoạn: cho mỗi đoạn thứ i

Xác định khoảng cách giữa ỏ\ và ổ2 , dựa trên ỎJ Hình 1.4 Xác định khoảng cách

giữa ô| và §2 dựa trên ỗj

Và 0 được tính như sau; & -

tan-1

( p' -p,-'

k - k j ,íị=(i51 ,íf),í>2=(íỉí

Bước 7: Giải bài toán tối ưu con:

Mỉnwf x (x) + (l - w)/2 (x)

~ f x ( x ) < p ? - 5 x

fi (x) - ^1 ~õ 2

h(x) = 0, g(x) < 0,w e [0,1]

Trong đó Pị, Pị là yị trí X và y tương ứng của các điểm cuối

Sau đó ứng với mỗi nỉ đã xác định trong bước 4 Ta tính toán wi cho

mỗi miền chấp nhận được AWj = —

1.5.4.1 Giới thiệu phương pháp tổng trọng sổ chấp nhận được

Phần này giới thiệu phương pháp “Tổng trọng số chấp nhận được” chobài toán tối ưu hóa nhiều mục tiêu Xuất phát từ phương pháp “tổng trọng số chấp nhận được” dành cho bài toán hai mục tiêu - xác định một cách hình thức không gian nghiệm tối ưu Pareto, tìm nghiệm trên tập không lồi và bỏ qua các nghiệm tối ưu non-Pareto Tuy nhiên phương pháp này chỉ có thể giải bài toán tối ưu với 2 hàm mục tiêu Tổng trọng số chấp nhận được là phương pháp mở rộng của phương pháp tổng trọng số chấp nhận được hai mục tiêu để giải bài toán tối

ưu với nhiều hàm mục tiêu Trong phần trước thì phương pháp Tổng trọng số đã được trình bài để xấp xỉ tập nghiệm Pareto một cách

nhanh chóng Đồng thời mạng lưới các điểm trên biên Pareto cũng được xácđịnh hay tập nghiệm Pareto được chia ra thành nhiều đoạn biên Pareto nhỏ.Sau đó mỗi đoạn trên biên Pareto được lọc bớt đi bằng cách áp thêm các ràngbuộc đẳng thức thông qua điểm giả Nadir và các nghiệm tối ưu Pareto chấpnhận được trên từng đoạn của không gian hàm mục tiêu.

Phương pháp Tổng trọng số chấp nhận được sẽ sinh ra các đoạn nằmtrên biên Pareto có sự phân bố tốt trên tập nghiệm Pareto, đồng thời phươngpháp này cũng cho phép chúng ta tìm nghiệm đối với tập không lồi

chuẩn hóa /u : Điểm utopia /N : Điểm

nadir /i* : Điểm anchor thứ i

Pj :Vector vị trí của nghiệm chấp nhận được thứ j trên từng đoạn tuyến tính nằm trên biên Pareto cần được mịn hóa

Bài toán tối ưu nhiều mục tiêu được phát biểu như sau: min /(x, g)

Sao cho: g(x, g) <

0 h(x, g) = 0

x iiLB <Xị <x iiUB với i = 1, n

Trong đó: x i>LB và x i>UB; là các biên dưới và biên trên của các biến thứ i tương ứng

1.5.4,2 Các khái niệm cơ sở

Đặt trưng cơ bản của phương pháp Tổng trọng số chấp nhận được là làm

mịn một cách chấp nhận được biên Perato.

Trong gỉaỉ đoạn thứ nhất, phương pháp này xác định hình dạng gầ ghềlúc đầu của biên Perato Đằng tính toán kích thước của từng đoạn nằm dọc theobiên Perato (là một đoạn thẳng trong trường hợp 3 chiều), sau đó ta tiến hànhmịn hóa biên Pareto trong không gian mục tỉêu đã được xác định

Giai đoạn tiếp theo, các đoạn này được xem là miền chấp nhận đối vóibài toán con - Sub- Optimizaton bằng cách thêm vào các ràng buộc (trongphương pháp tổng trọng số chấp nhận được hai mục tiêu, miền chấp nhận đượckhi tìm kiếm thêm thì được xác định bằng cách thêm 2 ràng buộc bất đẳngthức) Sau đó chúng ta giải bài toán con - Sub-Optimization trong các miềnchấp nhận này để đạt được nhiều phương án tối ưu Pareto hơn Khỉ tập cácphương án tối ưu Pareto mới được xác định, thông qua việc tính toán để xácđịnh kích thước của từng đoạn trên biên Pareto được xem như là quá ưình làmmịn biên Pareto Bước này được lặp lại cho đến khi tìm được nghiệm Pareto tối

ưu nhất

Hình 1.5 sau so sánh phương pháp Tổng ừọng số cổ điển với phươngpháp tổng trọng số chấp nhận được hai mục tiêu cho cùng một bài toán mà cómiền phẳng và không lồi

Hình 1.5 Biên Pareto tìm được bằng phương pháp tổng trọng số

Hình 1.6 Biền Pareto tìm được bằng phương pháp tổng trọng sổ chấp

nhận được hai mục tiều

Ta thấy rằng ràng buộc bất đẳng thức như là biên cho việc xây dựngmiền chấp nhận được không phù họp đối với bài toán tối ưu đa mục tiêu Miềnchấp nhận được đối với việc mịn hóa trong trường họp 2 chiều có thể được địnhnghĩa một cách dễ dàng bằng cách đặt 2 ràng buộc bất đẳng thức song song đếnmỗi trục mà khoảng cách đã được chỉ định từ điểm cuối vì biên Pareto là đườngcong 2 chiều và luôn có 2 điểm cuối đối với mỗi đoạn thuộc biên Pareto

Tuy nhiên trong trường họp lớn hơn 2 chiều thì biên Pareto sẽ là mộtsiêu phẳng (nếu có nhiều hơn 3 hàm mục tiêu), và điều này trở nên rất khó đểthiết lập các ràng buộc cho bài toán con - Sub-Optimization trên từng đoạnthuộc biên Pareto vốn đã được lựa chọn và mịn hóa sao cho chấp nhận được Vìcác đoạn trên biên Pareto có thể có những hình dạng tùy ý và số cạnh của mỗiđoạn biên Pareto rất đa dạng Hơn nữa, khi số đỉnh lớn hơn số chiều của khônggian hàm mục tiêu, thì tất cả các đỉnh hoặc cạnh liên kết các đỉnh này có thểkhông nằm trong cùng một mặt phang hay siêu phang, do đó rất khó để thiết lậpcác ràng buộc cho bài toán con - Sub- Optimization và để mịn hóa thích hợptrong các giai đoạn tiếp theo

Hình L7: Minh họa phưong pháp Adaptive Weight Sum

1.5.4.3 Các thủ tục của phương pháp tổng trọng số chấp nhận được đa mục tiêu

Trong phần này chúng ta trình bày chi tiết các thủ tục cho việc thực hiện phương pháp tổng trọng số chấp nhận được đa mục tiêu

Bước ỉ: Chuẩn hóa các hàm mục tiêu.

Khi xi* là vector nghiệm tối ưu đối với hàm mục tiêu fì thứ i Điểm Utopia fu được định nghĩa như sau:

fư = [fi(xl*) ỉ 2 (x2*) fm (xm*)]

Điểm giả Nadừ JN được định nghĩa là:

r=[Ẫ N

Trong đó: Mỗi thành phần được xác định bởi:

Điểm anchor fi* thứ i được định nghĩa như sau:

fl* = [ í ỉ (xì*) f2(xi*) fm (xi*) ]

Bước 3: Loại bỏ các nghiệm trùng nhau Vì khi sử dụng phương pháp Tổng trọng số có thể sinh ra ra các

nghiệm trùng nhau này Khoảng cách Euclid giữa các nghiệm này là 0 và trọng số các nghiệm trùng nhau này chỉchọn 1 nghiệm nằm trên biên Pareto Trong khi thực hiện tính toán nếu khoảng cách giữa các nghiệm trong khônggian mục tiêu nhỏ hem e - e khoảng cách đã xác định trước đó, thì khỉ đó ta nhận tất cả các nghiệm này và sẽ xóa bỏnghiệm trước đó

Bước 4: Nhận dạng các đoạn trên biên Pareto Các đoạn với hình dạng bất kỳ nào được dùng, nhưng trong

phèn trình bày này ta sử dụng mặt có hình dạng là tứ giác trong bài toán 3 chiều 4 nghiệm tối ưu Pareto trở thành 4nốt của mỗi mặt và các cạnh là các đoạn thẳng nối 2 điểm cạnh nhau cùa mỗi mặt Việc xây dựng và duy trì các lướitrên biên Pareto có thể sẽ rất dài dòng nhưng có 2 thuận lợi:

i) Các mặt đóng vai trò quan trọng khi sử dụng mịn hóa các mặt trong những pha tiếp theo