Theo tiếp cận trên không gian quyết định decision space, việc giải bài toán MOP được xem như việc xác định toàn bộ hay một phần của tập nghiệm hữu hiệu XEhoặc tập nghiệm hữu hiệu yếu XW
Trang 1LỜI MỞ ĐẦU
1 Giới thiệu bài toán tối ưu đa mục tiêu
Trong những năm 50 của thế kỷ 20, Quy hoạch đa mục tiêu, hay còn được gọi là Tối
ưu đa mục tiêu hoặc Tối ưu véc tơ, đã trở thành một chuyên ngành toán học, thu hút
sự quan tâm của nhiều tác giả và được phát triển mạnh mẽ suốt gần 70 năm qua Cácthành tựu của Quy hoạch đa mục tiêu được ứng dụng rộng rãi trong thực tế, đặc biệt
là trong lý thuyết ra quyết định, kinh tế, tài chính, kỹ thuật, viễn thông, (xem [23],
[64], [83], [93], [94], ) Bài toán quy hoạch đa mục tiêu được phát biểu dưới dạng
Min f (x) = ( f1(x), f2(x), , fp(x)) với điều kiện x∈ X, (MOP)trong đó X ⊂ Rnlà tập các phương án chấp nhận được, fj : X → R, j = 1, , p,
p≥ 2, là các hàm mục tiêu Do không gian giá trị Rpkhông có thứ tự đầy đủ nênthay vì khái niệm nghiệm tối ưu thông thường, tối ưu véc tơ sử dụng khái niệmnghiệm hữu hiệu được xác định theo thứ tự từng phần do G Cantor (1845-1918) [21]
và F Hausdorff (1868-1942) [37] đề xuất
Bài toán (MOP) được gọi là bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi, ký hiệu là
(CMOP), nếu X là tập lồi và f1, , fplà các hàm lồi Đây là trường hợp đặc biệt củabài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng, ký hiệu là (GMOP), trong đó f1, , fp
là các hàm lồi suy rộng và tập chấp nhận được X cũng là tập lồi Nếu tất cả các hàmf1, , fpđều là hàm tuyến tính và X là tập lồi đa diện thì ta gọi (MOP) là bài toán
quy hoạch đa mục tiêu tuyến tínhvà ký hiệu là (LMOP) Như đã biết, (LMOP) làtrường hợp đơn giản nhất của bài toán (MOP) nói chung và (CMOP) nói riêng
Theo tiếp cận trên không gian quyết định (decision space), việc giải bài toán
(MOP) được xem như việc xác định toàn bộ hay một phần của tập nghiệm hữu hiệu
XEhoặc tập nghiệm hữu hiệu yếu XW E Đây là một việc khó, vì ngay cả trong trườnghợp đơn giản nhất của (MOP) là bài toán quy hoạch đa mục tiêu tuyến tính (LMOP),tập nghiệm hữu hiệu XEvà tập nghiệm hữu hiệu yếu XW Eđã là các tập không lồi vớicấu trúc rất phức tạp Theo H.P Benson [11], khối lượng tính toán để sinh ra toàn bộtập nghiệm hữu hiệu XE hoặc tập nghiệm hữu hiệu yếu XW E của bài toán (LMOP)tăng rất nhanh khi kích thước của bài toán (tức số biến n, số hàm mục tiêu p và sốràng buộc biểu diễn tập chấp nhận được) tăng
Với hy vọng giảm khối lượng tính toán, các thuật toán theo hướng tiếp cận trên
không gian ảnh hay không gian giá trị (outcome space) được thiết kế để xác định
toàn bộ hay một phần của tập ảnh hữu hiệu YE= f (XE) hoặc tập ảnh hữu hiệu yếu
YW E= f (XW E) Theo định nghĩa, YE và YW E tương ứng là tập điểm hữu hiệu và tậpđiểm hữu hiệu yếu của tập ảnh Y = f (X ) của tập chấp nhận được X qua ánh xạ f
Lý do chính cho hướng tiếp cận này là: i) Các bài toán tối ưu đa mục tiêu nảy sinhtrong thực tế thường có số hàm mục tiêu p nhỏ hơn rất nhiều so với số biến n, hay thứnguyên của không gian ảnh Rpnhỏ hơn rất nhiều so với thứ nguyên của không gian
Trang 2quyết định R ; ii) Nhiều điểm của tập nghiệm hữu hiệu (tương ứng , tập nghiệm hữuhiệu yếu) có thể có cùng một ảnh qua ánh xạ f nên tập ảnh hữu hiệu YE(t.ư., tập ảnhhữu hiệu yếu YW E) có cấu trúc đơn giản hơn XE (t.ư., XW E); iii) Trong quá trình đưa
ra quyết định, người ta thường lựa chọn phương án dựa trên giá trị hữu hiệu hơn làdựa trên nghiệm hữu hiệu (xem [11])
Trong tối ưu đa mục tiêu, việc nghiên cứu để giải bài toán quy hoạch đa mục tiêutuyến tính (LMOP) có thể xem gần như hoàn chỉnh Đã có nhiều cuốn sách chuyênkhảo về bài toán (LMOP) (xem [57], [59], [92], [93], và danh mục tài liệu thamkhảo kèm theo) Rất nhiều thuật toán đã được đề xuất theo cả hai hướng tiếp cận trênkhông gian quyết định và không gian ảnh để giải bài toán này bằng nhiều phươngpháp khác nhau như phương pháp đơn hình đa mục tiêu, phương pháp tham số,phương pháp vô hướng hóa, phương pháp nón pháp tuyến, phương pháp xấp xỉ ngoàihoặc kết hợp của các phương pháp đó, chẳng hạn xem M Zeleny [94], P Armandand C Malivert [7], R.E Steuer [83], J.P Dauer và Y.H Liu [27], H.P Benson [11],N.T.B Kim và D.T Lục [44], [45], M Ehrgott, A L¨ohne và L Shao [29], Với bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi và không lồi, đã có một số thuật toán được
đề xuất Hầu hết các thuật toán theo tiếp cận trên không gian quyết định được thiết
kế dựa trên các phương pháp trọng số [25], phương pháp ε−ràng buộc [36], phươngpháp hàm lợi ích [93], phương pháp lexicographic [20], phương pháp Tchebycheff[83], để sinh một phần tập nghiệm hữu hiệu hay hữu hiệu yếu của bài toán Theotiếp cận trên không gian ảnh, các thuật toán thường sử dụng kỹ thuật xấp xỉ ngoài đểxây dựng một dãy các tập xấp xỉ tập ảnh, trong đó ta có thể dễ dàng xác định đượctập hữu hiệu các tập xấp xỉ này Với cách tiếp cận này, một mặt, thuật toán sinh ramột phần của tập ảnh hữu hiệu của bài toán, mặt khác, nó sinh ra tập xấp xỉ của tậpảnh hữu hiệu chứa toàn bộ tập ảnh hữu hiệu (xem [30], [34], [62] và danh mục tàiliệu tham khảo kèm theo) Trong [65], K Miettinen đã phân loại chi tiết và so sánhcác phương pháp hiện có để giải các bài toán quy hoạch đa mục tiêu phi tuyến Cácphương pháp để sinh ra tập xấp xỉ của tập nghiệm hữu hiệu và tập ảnh hữu hiệu đượcthống kê trong [78]
Hai bài toán tối ưu toàn cục quan trọng có liên quan chặt chẽ đến bài toán quyhoạch đa mục tiêu là bài toán tối ưu một hàm thực trên tập nghiệm hữu hiệu của bài
toán quy hoạch đa mục tiêu (gọi tắt là Bài toán tối ưu trên tập nghiệm hữu hiệu) và
bài toán quy hoạch tích cũng như các dạng mở rộng của nó
Bài toán tối ưu trên tập nghiệm hữu hiệu có mô hình toán học như sau
trong đó h(x) là một hàm số thực xác định trên Rnvà XE là tập nghiệm của bài toánquy hoạch đa mục tiêu (MOP) Việc giải bài toán này có ý nghĩa đặc biệt vì nó giúp
ta chọn được nghiệm hữu hiệu tốt nhất theo một tiêu chuẩn nào đó mà không nhất
1 Từ sau đây đến hết luận án, cụm từ "tương ứng" sẽ được viết tắt là "t.ư.".
Trang 3thiết phải xác định được toàn bộ tập nghiệm hữu hiệu Tuy nhiên, đây là một bài toánkhó, thậm chí khi h là hàm tuyến tính và XElà tập nghiệm hữu hiệu của bài toán quyhoạch đa mục tiêu tuyến tính (LMOP), vì tập chấp nhận được XE, nói chung, là tậpkhông lồi với cấu trúc phức tạp và không có mô tả tường minh Bài toán (P) do Philip[73] đưa ra lần đầu tiên vào năm 1972 và đã thu hút được sự quan tâm đặc biệt của rấtnhiều tác giả trong và ngoài nước Nhiều thuật toán đã được đề xuất để giải bài toán(P) Các thuật toán này cũng có thể được phân loại theo hai hướng tiếp cận bao gồmtiếp cận trên không gian quyết định Rn(xem H.P Benson [10], J.P Dauer và T.A.Fosnaugh [26, 1995], L.T.H An, L.D Mưu và P.D Tảo [4], L.T Lực và L.D Mưu[60], L.D Mưu [67], N.T.B Kim [42], N.V Thoại [87], L.D Mưu và H.Q Tuyến[70], N.V Thoại, Y Yamamoto và D Zenke [39], L.T.H An, P.D Tảo, N.C Nam vàL.D Mưu [5], L.D Mưu và L.Q Thủy [69], ) và tiếp cận trên không gian ảnh Rp(xem R Horst và N.V Thoại [38], J Fulop and L.D Mưu [31], Y Yamamoto [91],N.T.B Kim và L.D Mưu [47], N.V Thoại [88], H.P Benson [16], ) Ta cũng có thểphân loại các thuật toán dựa theo phương pháp được dùng để xây dựng thuật toán,như thuật toán xấp xỉ ngoài, thuật toán nhánh cận, thuật toán theo tiếp cận đối ngẫu,thuật toán tìm đỉnh kề, thuật toán tìm đỉnh không kề, (xem [92])
Bài toán quy hoạch tích và các dạng mở rộng của nó (gọi chung là bài toán quy
hoạch tích mở rộng) có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khác nhau nhưkinh tế tài chính, tối ưu hóa quy trình sản xuất, tối ưu danh mục đầu tư, thiết kế chipVLSI, Đây cũng là lớp các bài toán tối ưu toàn cục khó và thú vị nên đã thu hút sựquan tâm đặc biệt của nhiều tác giả Bài toán quy hoạch tích được phát biểu như sau
minp
lồi , ký hiệu là (CMP) Bài toán (MP) được gọi là bài toán quy hoạch tích tuyến tính,
ký hiệu là (LMP), khi f1, , fplà các hàm tuyến tính và X là tập lồi đa diện Trong[63], T Matsui đã chỉ ra rằng, ngay cả trường hợp đơn giản nhất của bài toán (MP),tức là bài toán (LMP) với p = 2 và X là đa diện khác rỗng, cũng thuộc lớp bài toánNP−khó Hiện nay đã có nhiều thuật toán được đề xuất để giải bài toán quy hoạchtích tuyến tính (LMP) (xem H Konno và T Kuno [52], S Schaible và C Sodini[80], H.P Benson và G.M Boger [17], T Kuno [53], N.T.B Kim [43], N.T.B Kim,T.T.H Yên và N.T.L Trang [48], L Shao và M Ehrgott [82], ) và quy hoạch tích lồi(CMP) (xem N.V Thoại [86], T Kuno, Y Yajima, và H Konno [54], H.P Benson[12], R.M Oliveira, và P.A.V Ferreira [71], N.T.B Kim, N.C Nam, L.Q Thủy [46],
L Shao và M Ehrgott [81], ) Theo hiểu biết của tác giả, mặc dù có nhiều ứng dụngthực tiễn nhưng có rất ít công trình nghiên cứu bài toán quy hoạch tích mở rộng
Trang 42 Mục đích nghiên cứu và ý nghĩa của đề tài
Như đã trình bày, mặc dù bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi và các vấn đề liên quan
đã được nghiên cứu tương đối hoàn chỉnh nhưng cho đến nay vẫn còn rất ít thuật toángiải bài toán tối ưu đa mục tiêu lồi suy rộng [92] Hơn nữa, do nhu cầu ứng dụng,việc nghiên cứu xây dựng các thuật toán hiệu quả để giải bài toán quy hoạch đa mụctiêu lồi suy rộng, bài toán quy hoạch tích mở rộng, cũng như bài toán tối ưu trên tậpnghiệm hữu hiệu là các vấn đề thời sự và luôn cần đầu tư nhiều công sức Luận ánnày nghiên cứu và đề xuất các thuật toán mới để giải các bài toán sau:
1 Bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng
Min f (x) = ( f1(x), f2(x), , fp(x)) v.đ.k x∈ X, (GMOP)trong đó X ⊂ Rnlồi compact khác rỗng và f là hàm véc tơ giả lồi vô hướng trên X
2 Bài toán quy hoạch tích lồi suy rộng tương ứng với bài toán (GMOP)
minm
k= 2, đã có một số thuật toán hữu hiệu được đề xuất để giải bài toán (GIMP) (xem[6], [14], [68], ) Theo hiểu biết của chúng tôi, cho đến nay, hầu như chưa có thuậttoán nào được đề xuất để giải bài toán (GIMP) trong trường hợp tổng quát
4 Hai bài toán tối ưu trên tập nghiệm hữu hiệu XE của bài toán quy hoạch hai mụctiêu lồi Đó là bài toán
min h(x) = ϕ( f (x)) v.đ.k x ∈ XE, (QP)trong đó ϕ : R2→ R là hàm tựa lõm trên tập ảnh Y và bài toán
max h(x) = ϕ( f (x)) v.đ.k x ∈ XE, (DP)với ϕ : R2→ R là hàm đơn điệu tăng trên tập ảnh Y Dạng hàm mục tiêu h(x) =
ϕ ( f (x)) với hàm số thực ϕ : Y → R xuất hiện nhiều trong các bài toán nảy sinh từthực tế và cũng đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn [47], [87],[88], [91] và danh sách tài liệu tham khảo kèm theo
Trang 5Ngoài các bài toán trên, chúng tôi đã nghiên cứu và đề xuất thuật toán giải bài toán
giải bài toán này Kết quả này đã được nhận đăng ở Pacific Journal of Optimization
[84] Tuy nhiên, do khuôn khổ có hạn nên luận án không bao hàm kết quả này
3 Cấu trúc và kết quả của luận án
Chương 1 “Bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng” dành để giới thiệu mô
hình toán học của bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng (GMOP) cùng một
số khái niệm và kết quả cơ bản liên quan Các khái niệm và kết quả được trình bày ởđây là sự chuẩn bị để thiết lập cơ sở lý thuyết cho các thuật toán được đề xuất trongcác chương sau của luận án
Chương 2 “Thuật toán hướng pháp tuyến giải bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi
suy rộng”đề xuất một thuật toán hướng pháp tuyến giải bài toán quy hoạch đa mụctiêu lồi suy rộng (GMOP), trong đó sử dụng kỹ thuật xấp xỉ ngoài trên không gianảnh để xác định tập nghiệm hữu hiệu yếu θ −xấp xỉ của bài toán (GMOP) Thuậttoán được chứng minh là hội tụ Đây là một đóng góp quan trọng về mặt lý thuyếtcho các phương pháp xấp xỉ ngoài giải bài toán quy hoạch đa mục tiêu vì chưa cócông trình nào trước đây chứng minh chặt chẽ được tính chất này Các kết quả tínhtoán thử nghiệm chứng tỏ tính hiệu quả và ưu việt của thuật toán
Chương 3 “Thuật toán giải một số bài toán quy hoạch tích mở rộng” đưa ra các
thuật toán theo tiếp cận trên không gian ảnh để giải hai bài toán quy hoạch tích: Bàitoán quy hoạch tích lồi suy rộng (GMP) và Bài toán quy hoạch tích lõm mở rộng(GIMP) Thuật toán giải bài toán (GMP) được thiết lập dựa trên mối quan hệ củabài toán (GMP) và bài toán (GMOP) tương ứng với nó, và cũng được xem như làmột ứng dụng của thuật toán giải bài toán (GMOP) đã thiết lập ở Chương 2 Bằngcác biến đổi thích hợp, việc giải bài toán (GIMP) được đưa về việc giải bài toán cựcđại một hàm đơn điệu tăng trên tập các điểm hữu hiệu của một tập lồi đóng trong R2.Các tính toán thử nghiệm chứng tỏ thuật toán đề xuất là hiệu quả
Chương 4 “Thuật toán giải bài toán tối ưu trên tập nghiệm hữu hiệu” đề xuất các
thuật toán trên không gian ảnh để giải hai bài toán (QP) và (DP) Bằng cách biến đổicác bài toán gốc về bài toán tương đương trên không gian ảnh và tận dụng cấu trúcđặc biệt của tập ảnh hữu hiệu và tính chất đặc thù của các hàm mục tiêu, chương này
đề xuất một thuật toán nhánh cận giải bài toán (QP) và một thuật toán nhánh cận kếthợp với lược đồ xấp xỉ ngoài giải bài toán (DP)
Việc đánh số của các chương, mục, định lý, trong bản tóm tắt này được giữ nguyênnhư ở trong luận án
Trang 6Chương 1 BÀI TOÁN QUY HOẠCH ĐA MỤC TIÊU LỒI SUY RỘNG
Tất cả các bài toán được nghiên cứu trong luận án này đều liên quan gần gũi đếnbài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng (GMOP) và trường hợp riêng của nó làbài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi (CMOP) Chương này giới thiệu mô hình toánhọc của bài toán (GMOP) cùng một số khái niệm và kết quả cơ bản liên quan
1.1 Hàm lồi suy rộng
Cho tập lồi khác rỗng S ⊆ Rn Hàm số h xác định trên tập mở chứa S được gọi là
hàm giả lồi (pseudoconvex) trên S(xem [66, tr 141]) nếu h khả vi trên S và
h∇h(x2), x1− x2i ≥ 0 ⇒ h(x1) − h(x2) ≥ 0, ∀x1, x2∈ S
Định lý 1.2 và Định lý 1.3 khẳng định: Nếu h là hàm lồi trên S thì h là giả lồi trên
S Nếu h là giả lồi trên S thì h là tựa lồi trên S
Hàm véc tơ f (x) = ( f1(x), , fp(x)), trong đó f1, , fplà các hàm xác định trên
S, được gọi là hàm véc tơ tuyến tính (t.ư., lồi, tựa lồi, giả lồi) nếu các hàm f1, , fpđều là các hàm tuyến tính (t.ư., lồi, tựa lồi, giả lồi) (xem [9, 56, 58])
Định nghĩa 1.1 Hàm véc tơ f được gọi là giả lồi vô hướng (scalarly pseudoconvex)
trên S nếu ∑i=1p λifilà hàm giả lồi trên S với mọi λ = (λ1, , λp) ≥ 0
Nhận xét 1.2 Nếu f là hàm véc tơ giả lồi vô hướng trên S thì f cũng giả lồi trên S.
Điều ngược lại, nói chung, chưa chắc đúng Nếu f là hàm véc tơ lồi trên S thì f cũnggiả lồi vô hướng trên S
Cho hàm giả lồi h và các hàm tựa lồi g1, , gmxác định trên Rn Xét bài toán
trong đó S = {x ∈ Rn| gi(x) ≤ 0, i = 1, , m} Dễ thấy S là tập lồi.
Với mỗi điểm ¯x∈ S, ký hiệu I( ¯x) = {i ∈ {1, , m} | gi( ¯x) = 0} Số phần tử củatập I( ¯x) được ký hiệu là |I( ¯x)| Định lý KKT sau đây đóng vai trò quan trọng trongviệc thiết lập cơ sở lý thuyết của thuật toán giải bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồisuy rộng được trình bày trong Chương 2
Định lý 1.4 ([66, Định lý 10.2.7, tr 156] và [66, Định lý 10.1.2, tr 151]) Cho hàm
giả lồi h và hàm véc tơ tựa lồi g = (g1, , gm) khả vi liên tục trên một tập mở chứa
S Giả sử điều kiện Slater được thỏa mãn, tức
Trang 71.2 Điểm hữu hiệu và hướng pháp tuyến
Như thường lệ, với hai điểm bất kỳ a, b ∈ Rp, ta viết a ≥ b nếu a − b ∈ Rp+và
a> b nếu a − b ∈ intR+ Cho tập khác rỗng Q ⊂ Rp p Ký hiệu MinQ và MaxQ lần
lượt là tập tất cả các điểm hữu hiệu theo nghĩa cực tiểu và cực đại của Q,
MinQ := {q∗∈ Q |6 ∃q ∈ Q : q∗≥ q, q∗6= q} = {q∗∈ Q | (q∗− R+p) ∩ Q = {q∗}};MaxQ := {q∗∈ Q |6 ∃q ∈ Q : q ≥ q∗, q∗6= q} = {q∗∈ Q | (q∗+ R+p) ∩ Q = {q∗}}
Ký hiệu WMinQ và WMaxQ lần lượt là tập tất cả các điểm hữu hiệu yếu theo
nghĩa cực tiểu và cực đạicủa Q,
WMinQ := {q∗∈ Q |6 ∃q ∈ Q : q∗> q} = {q∗∈ Q | (q∗− intR+p) ∩ Q = /0};WMaxQ := {q∗∈ Q |6 ∃q ∈ Q : q > q∗} = {q∗∈ Q | (q∗+ intR+p) ∩ Q = /0}
Dễ thấy MinQ ⊆ WMinQ ⊆ Q và MaxQ ⊆ WMaxQ ⊆ Q Một tập compact khácrỗng thì luôn có điểm hữu hiệu và điểm hữu hiệu yếu ([57, Hệ quả 3.11, tr 50]).Với θ ∈ R+pcho trước, tập tất cả các điểm hữu hiệu θ -xấp xỉ và tập tất cả các điểmhữu hiệu yếu θ -xấp xỉ của Q được ký hiệu lần lượt là Min(Q, θ ) và WMin(Q, θ ),
Min(Q, θ ) := {q∗∈ Q |6 ∃q ∈ Q : q∗− θ ≥ q, q∗− θ 6= q};
WMin(Q, θ ) := {q∗∈ Q |6 ∃q ∈ Q : q∗− θ > q}
Điểm q∗∈ Rpđược gọi là điểm hữu hiệu yếu θ −xấp xỉ ngoài (theo nghĩa cực tiểu)
của tập Q ⊆ Rpnếu q∗+ θ ∈ WMin(Q, θ )
Cho một tập đóng khác rỗng Q ⊂ Rpvà một điểm q∗∈ Q Véc tơ v ∈ Rpđược
gọi là một hướng pháp tuyến (trong) của Q tại q∗nếu hv, q − q∗i ≥ 0 với mọi q ∈ Q.Tập tất cả các hướng pháp tuyến của Q tại q∗được gọi là nón pháp tuyến của tập Q
tại q∗và ký hiệu là NQ(q∗) (xem [77, Định nghĩa 6.3, tr 199])
Định nghĩa 1.2 Cho v ∈ NQ(q∗) ⊂ Rp Khi đó, v được gọi là hướng pháp tuyến
dươngnếu v ∈ intR+p và ta gọi v là hướng pháp tuyến không âm nếu v ∈ Rp+\ {0}
Định lý 1.5 (xem [57, Định lý 2.10, Định lý 2.11, tr 91]) Cho tập lồi khác rỗng
Q⊂ Rp Nếu tồn tại một hướng pháp tuyến dương của Q tại q∗∈ Q thì q∗∈ MinQ;
Điểm q∗∈ WMinQ khi và chỉ khi tồn tại hướng pháp tuyến không âm của Q tại q∗.
Mệnh đề 1.6 (Xem [58, Mệnh đề 5.24]) Nếu Q ⊂ Rplà đóng thì WMinQ là tập
đóng Nếu Q là compact thì WMinQ là tập compact.
Định lý 1.6 (Xem [40, Định lý 1.2] và [74, Định lý 3]) Cho Q ⊂ R2lồi đóng khác rỗng và MinQ 6= /0 Khi đó, MinQ đồng phôi với một đoạn đóng khác rỗng trong R.
Xét một tập đóng khác rỗng Q ⊂ Rp Ký hiệu
Q+= Q + R+p, Q−= Q − R+p (1.2)
Trang 8Mệnh đề 1.7 (xem [11], [93]) Cho tập đóng khác rỗng Q ⊂ R Khi đó,
i) MinQ = MinQ+vàMaxQ = MaxQ−;
ii) WMinQ = WMinQ+∩ Q và WMaxQ = WMaxQ−∩ Q;
iii) Nếu y∗∈ WMinQ+và q∗∈ Q thỏa mãn y∗≥ q∗, thì q∗∈ WMinQ;
iv) Nếu y∗∈ WMaxQ−và q∗∈ Q thỏa mãn y∗≤ q∗, thì q∗∈ WMaxQ
Theo Mệnh đề1.7(i), để thuận tiện, ta gọi Q+và Q−là các tập tương đương hữu
hiệucủa Q theo nghĩa cực tiểu và theo nghĩa cực đại, tương ứng Ký hiệu ∂ Q là biêncủa một tập Q ⊂ Rp
Mệnh đề 1.8. ∂ Q+= WMinQ+và ∂ Q−= WMaxQ−
Gọi ymvà yM tương ứng là điểm lý tưởng theo nghĩa cực tiểu và theo nghĩa cực
đạicủa tập Q Nếu ym∈ Q thì MinQ = {ym} và nếu yM∈ Q thì MaxQ = {yM}.Chọn hai điểm b, yO∈ Rpthỏa mãn
Định lý 1.7 (Xem [58, Định lý 5.14, Định lý 5.15]) Cho tập compact khác rỗng
Q⊂ Rpthỏa mãn Q+là tập lồi Khi đó, tập điểm hữu hiệu MinQ là liên thông và
tập điểm hữu hiệu yếu WMinQ là tập liên thông đường.
1.3 Bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng
Chương 2 của luận án xét bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng
Min f (x) = ( f1(x), f2(x), , fp(x))T v.đ.k x∈ X, (GMOP)trong đó X = {x ∈ Rn: g(x) ≤ 0} là tập lồi compact khác rỗng, g : Rn→ Rmlà hàmvéc tơ tựa lồi khả vi liên tục trên Rn, f (x) = ( f1(x), , fp(x)) là hàm véc tơ giả lồi
vô hướng xác định trên X Dễ thấy, bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi (CMOP) khi
f và g là các hàm véc tơ lồi và bài toán quy hoạch đa mục tiêu tuyến tính (LMOP)khi f và g là hàm véc tơ tuyến tính là hai trường hợp đặc biệt của bài toán (GMOP)
Trang 9Ký hiệu Y = f (X ) = { f (x) | x ∈ X }, là tập giá trị hay tập ảnh (outcome set) của
bài toán (GMOP) Tập các nghiệm hữu hiệu và tập các nghiệm hữu hiệu yếu của bài
toán (GMOP)lần lượt được ký hiệu là XE, XW E,
XE= {x0∈ X | f (x0) ∈ MinY }, XW E= {x0∈ X | f (x0) ∈ WMinY }.Đặt YE= f (XE) và YW E= f (XW E) Dễ thấy YE= MinY và YW E = WMinY Tập YE
và YW Elần lượt được gọi là tập ảnh hữu hiệu và tập ảnh hữu hiệu yếu của (GMOP).
Kết quả sau là hệ quả trực tiếp của Định lý 1.7
Mệnh đề 1.9 Với giả thiết Y+= Y + Rplà tập lồi, ta có YElà liên thông và YW E là liên thông đường.
Ký hiệu XE,θ và XW E,θ lần lượt là tập các nghiệm hữu hiệu θ −xấp xỉ và tập các
nghiệm hữu hiệu yếu θ −xấp xỉ của bài toán (GMOP) và được định nghĩa là
XE,θ:= {x0∈ X | f (x0) ∈ Min(Y, θ )}, XW E,θ:= {x0∈ X | f (x0) ∈ WMin(Y, θ )}
Chương 2 THUẬT TOÁN HƯỚNG PHÁP TUYẾN GIẢI BÀI TOÁN
QUY HOẠCH ĐA MỤC TIÊU LỒI SUY RỘNG
Xét bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng
trong đó X = {x ∈ Rn: g(x) ≤ 0} là tập lồi compact khác rỗng, g : Rn→ Rmlà hàmvéc tơ tựa lồi, khả vi liên tục trên Rn, hàm véc tơ f : X → Rplà giả lồi vô hướng trên
Xvà điều kiện Slater được thỏa mãn, tức tồn tại x∗∈ X sao cho g(x∗) < 0
Tương tự lược đồ chung của các thuật toán xấp xỉ ngoài trên không gian ảnh,
thuật toán nón pháp tuyến Solve(GMOP) giải bài toán (GMOP) sinh ra một dãy các
đa diện {Bk} lồng nhau thỏa mãn B0⊃ B1⊃ · · · ⊃ Bk⊃ · · · ⊃ Y⊃ Y, trong đó,
Y⊂ Rplà một tập lồi compact khác rỗng và WMinY∩Y = WMinY Đa diện Bk+1được xác định bởi Bk+1=y ∈ Bk| hλk, yi ≥ hλk, yki , trong đó yk∈ WMinY và
λk∈ NY(yk) Đó cũng là lý do cho tên gọi thuật toán hướng pháp tuyến trên không
gian ảnh Khi thuật toán kết thúc, ta nhận được một phần tập WMin(Y, θ ) chứa toàn
bộ tập WMinY và một phần tập XW E,θ chứa toàn bộ tập XW E, trong đó θ = εe với
e= (1, , 1) ∈ Rpvà ε ≥ 0 là sai số cho trước Đặc biệt, nếu bài toán (GMOP) làmột bài toán quy hoạch đa mục tiêu tuyến tính thì sau hữu hạn bước lặp, với ε = 0,
ta nhận được tập YW E và tập XW E
2.1 Xác định điểm ảnh hữu hiệu yếu và hướng pháp tuyến
Xác định hai điểm lý tưởng ymvà yMcủa tập Y Chọn yO, b, d ∈ Rpsao cho
yO< b < ym≤ yM< d (2.1)
Trang 10và đặt B0= B[b, d] = (b + R+) ∩ (d − R +), Y= Y+∩ (d − R+) Rõ ràng Ylà tậpcompact, có thứ nguyên đầy đủ và Y ⊂ Y⊂ B0.
Mệnh đề 2.1 MinY = MinYvàWMinY = WMinY∩Y
Nhận xét 2.1 Theo định nghĩa, nếu v ∈ B0\ Y thì v ∈ B0\ Y+ Theo Mệnh đề1.9, xuất phát từ điểm yOtheo hướng (vk− yO) ta có thể xác định được một điểm
wk= yO+ tk(vk− yO) ∈ WMinY+, trong đó tklà giá trị tối ưu của bài toán
)v.đ.k g(x) ≤ 0 (P2(vk))
Đây là bài toán cực tiểu một hàm giả lồi trên tập lồi Vì vậy, bài toán (P2(vk)) có thểgiải được bằng các thuật toán của quy hoạch lồi
Định lý 2.1 Cho wk∈ WMinY+và xklà nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (GMOP) thỏa mãn f (xk) ≤ wk Khi đó, véc tơ khác không λkthuộc NY+(wk) ∩ R+p khi và chỉ khi tồn tại một véc tơ µk∈ R|I(x k )|sao cho (λk, µk) là một nghiệm của hệ
Nhận xét 2.3 Véc tơ λkchính là véc tơ pháp tuyến của siêu phẳng tựa H của tập
Y tại điểm yk, trong đó H = {y ∈ Rp| λk, y k, yk } Để thuận tiện, ta gọi
yk= f (xk) là điểm giá trị hữu hiệu yếu của bài toán (GMOP) tương ứng với wk Do
YW E= WMinY = WMinY∩Y nên H là siêu phẳng tựa của tập Ytại yk
2.2 Thuật toán hướng pháp tuyến trên không gian ảnh
Cho trước một số thực ε ≥ 0 và véc tơ θ = εe với e = (1, , 1) ∈ Rp Ký hiệu
Vklà tập tất cả các đỉnh của Bkngoại trừ điểm d; EO là tập các điểm hữu hiệu yếu
θ −xấp xỉ ngoài của tập Y; EY là tập các điểm hữu hiệu yếu của tập ảnh Y
Thuật toán Solve(GMOP)
Bước 0 (Bước khởi tạo) Chọn sai số ε ≥ 0;
Giải các bài toán (Pm(i)) và (PM(i)), i = 1, , p, để tìm ymvà yM;
Chọn ba điểm b, d ∈ Rpvà yOthỏa mãn b < ym, yM< d và yO< b;Đặt k = 0, EO = /0, EY = /0 và B0= B[b, d]; Xác định tập đỉnh V0
Trang 11Bước 1 If V ⊆ EO Then Thuật toán dừng
Else Chọn một điểm bất kỳ vk∈ Vk\ EO và chuyển sang Bước 2
Bước 2 Tìm nghiệm tối ưu (xk,tk) của bài toán (P(v k));
Đặt yk= f (xk), wk= yO+ tk(vk− yO) và EY = EY ∪ {yk}
Bước 3 If kwk− vkk ≤ ε Then EO := EO ∪ {vk} và quay lại Bước 1
Else Giải hệ (2.2) để xác định λk
Bước 4 Đặt Bk+1=y ∈ Bk| hλk, yi ≥ hλk, yki và xác định tập đỉnh Vk+1;
Đặt k := k + 1 và quay lại Bước 1
Giả sử thuật toán dừng tại Bước lặp k Khi đó, thuật toán sinh ra tập EO và EY Đặt
Yin: = (convEY + R+) ∩ (d − Rp +p),
Yout: = (convEO + R+) ∩ (d − Rp p+) ≡ Bk.Định lý 2.3 chỉ ra rằng Yinvà Yout tương ứng là các tập xấp xỉ trong và tập xấp xỉngoài của Y Hơn nữa, tất cả các điểm hữu hiệu yếu của Yinđều là điểm hữu hiệuyếu θ −xấp xỉ của Y, tức WMinYin⊆ WMin(Y, θ ), và tất cả các điểm hữu hiệuyếu của Youtđều là điểm hữu hiệu yếu θ −xấp xỉ ngoài của Ytức WMinYout+ θ ⊆WMin(Y, θ ) Dựa trên tập Yout , ta thiết lập được tập xấp xỉ ngoài EX của tậpnghiệm hữu hiệu yếu XW Ecủa bài toán (GMOP) Cụ thể là EX =S
¯ y∈WMin(Y out ,θ ){x ∈
X | f (x) ≤ ¯y} Hơn nữa, EX bao gồm các nghiệm hữu hiệu yếu θ - xấp xỉ của bàitoán (GMOP) và cũng chứa toàn bộ tập nghiệm hữu hiệu yếu XW E (Hệ quả 2.1)
2.3 Sự hội tụ của thuật toán
Kết quả sau chỉ ra rằng các đa diện Bk, k = 0, 1, , được xây dựng trong thuậttoán là các xấp xỉ ngoài của tập Yvã dãy {Bk} hội tụ tới Y
Định lý 2.2 Với một sai số ε ≥ 0 cho trước, các tập Bk, k ≥ 0, được xây dựng trong
thuật toán thỏa mãn Y⊆ Bk+1⊆ Bk Hơn nữa, với ε = 0, các khẳng định sau đúng: i) Nếu Ylà một đa diện thì tồn tại số k ≥ 0 sao cho Bk= Y;
ii) Nếu Bk6= Yvới mọi k ≥ 0 thì
ii) WMinY⊆ WMin(Yout, θ ) ∩Y⊆ WMin(Y, θ );
iii) WMinYout+ θ ⊆ WMin(Y, θ );
iv) WMinYin⊆ WMin(Y, θ )
Hệ quả 2.1 Với sai số ε > 0 cho trước, thuật toán dừng sau một số hữu hạn bước lặp
và nhận được XW E⊆ EX ⊆ XW E,θ Hơn nữa, nếu bài toán (GMOP) là quy hoạch đa
Trang 12mục tiêu tuyến tính thì thuật toán dừng sau một số hữu hạn bước ngay cả khi ε = 0,
và khi đó XW E≡ EX ≡ XW E,θ
2.4 Tính toán thử nghiệm
Việc tính toán thử nghiệm thuật toán Solve(GMOP) được thực hiện trên máylaptop HP Pavilion 1.8Ghz, RAM 2GB sử dụng mã nguồn được viết trên ngôn ngữMatlab 2009a Ví dụ 2.1 và Ví dụ 2.2 cho thấy với ε = 0, thuật toán giải bài toán quyhoạch đa mục tiêu tuyến tính kết thúc sau hữu hạn bước lặp và nhận được chính xáctập WMinY và XW E Để tiện kiểm định, kết quả tính toán giải bài toán (GMOP) bằngthuật toán Solve(GMOP) được so sánh với một số kết quả đã công bố Các bài toántrong các Ví dụ 2.3, 2.4 và 2.6 được lấy trong [28], [61], [30] tương ứng Ví dụ 2.5
là một thử nghiệm của thuật toán Solve(GMOP) cho bài toán (GMOP) trong trườnghợp f là không lồi và X là đa diện khác rỗng Kết quả tính toán của Ví dụ 2.7 và 2.8với dữ liệu đầu vào được sinh ngẫu nhiên đã chứng tỏ tính hiệu quả của thuật toán
Chương 3 THUẬT TOÁN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN QUY HOẠCH TÍCH MỞ RỘNG 3.1 Thuật toán giải bài toán quy hoạch tích lồi suy rộng
Xét bài toán quy hoạch tích lồi suy rộng
Như thường lệ, bài toán (GMP) được xét với giả thiết fj(x) > 0, j = 1, 2, , p,với mọi x ∈ X Do đó, tập ảnh Y = f (X ) của bài toán (GMP) thỏa mãn Y+⊂ intR+p.Bài toán quy hoạch tích trên không gian ảnh tương ứng với bài toán (GMP) là
Bổ đề 3.1 Giá trị tối ưu của (GMP) và bài toán (3.2) là như nhau Hơn nữa, nếu y∗∈
Argmin (3.2) và x∗∈ X thỏa mãn f (x∗) ≤ y∗thì y∗∈ WMinY và x∗∈ Argmin(GMP).
Theo Bổ đề 3.1, thay vì giải bài toán (GMP) hay bài toán (3.2), ta xét bài toán
Trang 13Bk⊃ Y ⊃ WMinY, trong đó B0= B[b, d], hai điểm b, d được xác định như (2.1) và
Y= Y+∩ (d − R+) ⊂ Rp +p là tập lồi compact có thứ nguyên đầy đủ Đa diện Bk+1
được xác định như mô tả ở Bước 2 và Bước 3 của thuật toán Solve(GMOP).
Quá trình xây dựng dãy đa diện {Bk} sẽ đồng thời sinh ra hai dãy cận trên và cậndưới của bài toán (GMPY) và cho phép ta nhận được nghiệm và giá trị tối ưu xấp xỉcủa bài toán (GMPY)
Giả sử ta có điểm ¯y∈ WMinY Hiển nhiên là ¯α = ϕ ( ¯y) là một cận trên của bàitoán (GMPY) Cho số thực ε > 0 đủ nhỏ Điểm ¯y được gọi là một nghiệm ε-xấp xỉ
của bài toán (GMPY) nếu tồn tại một cận dưới ¯β của bài toán này sao cho ¯α − ¯β ≤ ε Theo Bổ đề 3.1, bất kỳ ¯x∈ X thỏa mãn f ( ¯x) ≤ ¯y, trong đó ¯y là một nghiệm ε-xấp xỉcủa bài toán (GMPY), là một nghiệm ε-xấp xỉ của (GMP).
Tại mỗi bước lặp k điển hình, cận dưới tốt nhất hiện tại của bài toán (GMPY) là
βk= min{ϕ(y) : y ∈ Bk} = min{ϕ(y) : y ∈ Vk}, và cận trên tốt nhất hiện tại của
bài toán (GMPY) là αk= min{ϕ(y) : y ∈ EY }, trong đó EY là tập các điểm hữu hiệuyếu đã xác định được của tập ảnh Y Điểm ¯yk∈ EY thỏa αk= ϕ( ¯yk) là nghiệm chấp
nhận được tốt nhất hiện tại
Thuật toán Solve(GMPY).
Bước 0 (Bước khởi tạo) Chọn sai số ε > 0;
Xác định ba điểm b, d và yO(như Bước 0 của thuật toán Solve(GMOP));Đặt B0= B[b, d] và xác định tập đỉnh V0(tập đỉnh của B0trừ đỉnh d);Đặt EY = /0 và k = 0
Bước 1 Tìm vk∈ Vksao cho ϕ(vk) = min{ϕ(y) : y ∈ Vk};
Đặt βk= ϕ(vk) (cận dưới tốt nhất hiện tại).
Bước 2 Giải bài toán (P(vk)) và nhận được một nghiệm tối ưu (xk,tk);
Đặt yk= f (xk), wk= yO+ tk(vk− yO) và EY = EY ∪ {yk};
Xác định ¯yk∈ EY thỏa mãn ϕ( ¯yk) = min{ϕ(y) : y ∈ EY };
Đặt αk= ϕ( ¯yk) (cận trên tốt nhất hiện tại).
Bước 3 If αk− βk≤ ε Then Dừng thuật toán ( ¯yklà nghiệm ε-xấp xỉ của bài toán
(GMPY) và ¯xktương ứng là nghiệm ε-xấp xỉ của bài toán (GMP))
Else Giải hệ (2.2) để tìm hướng pháp tuyến λkcủa tập Ytại yk∈ WMinY
Bước 4 Đặt Bk+1=y ∈ Bk| hλk, yi ≥ hλk, yki và xác định Vk+1 Đặt k := k + 1
và chuyển sang Bước 1
Nhận xét 3.1 Thuật toán Solve(GMPY) cũng có thể được sử dụng để giải các bàitoán tối ưu min{h(x) : x ∈ XW E}, trong đó h(x) = Φ( f (x)), và Φ : Rp→ R là mộthàm liên tục tựa lõm, đơn điệu tăng
Định lý 3.1 Nếu ε > 0 thì thuật toán dừng sau hữu hạn bước lặp và sinh ra một
nghiệm ε-xấp xỉ của bài toán (GMPY) Nếu ε = 0 thì hoặc là thuật toán dừng sau
hữu hạn bước và sinh ra một nghiệm chính xác của bài toán(GMPY), hoặc là nó sinh
ra một dãy {y¯k} sao cho {ϕ( ¯yk)} hội tụ tới giá trị tối ưu của bài toán (GMPY)
Trang 14Nhận xét 3.2 Dãy { ¯y} mô tả trong Định lý 3.1 không nhất thiết phải hội tụ nhưng
do Y là tập compact nên nó chứa một dãy con hội tụ và mỗi điểm tụ của nó làmột nghiệm tối ưu của bài toán (GMPY) Tương tự, mỗi điểm tụ của dãy { ¯xk} với
f( ¯xk) = ¯yklà một nghiệm tối ưu của bài toán (GMP)
Thuật toán được cài đặt bằng ngôn ngữ Matlab và thực hiện trên máy laptop HPPavilion 1.8Ghz, RAM 2GB Kết quả tính toán của Ví dụ 3.1, trong đó hàm f khônglồi và X là đa diện khác rỗng, đã chứng tỏ tính đúng đắn của thuật toán
3.2 Thuật toán giải bài toán quy hoạch tích lõm mở rộng (GIMP)
Xét bài toán quy hoạch tích lõm mở rộng
maxx∈X Φ(x) = f0(x) +
trong đó k ≥ 2 và X ⊂ Rn là tập lồi compact khác rỗng, với mỗi i = 0, 1, , k,
fi(x) > 0, với mọi x ∈ X
Xét bài toán trên không gian ảnh tương ứng với bài toán (GIMPX)
max ϕ(y) v.đ.k y ∈ Y (GIMPY)Nhắc lại rằng, tập tất cả các điểm hữu hiệu theo nghĩa cực đại của Y được địnhnghĩa bởi MaxY := {y ∈ Rp| (y + R+p) ∩Y = {y}}
Mệnh đề 3.1 Nếu y∗∈ Argmax(GIMPY) thì y∗∈ MaxY
Mệnh đề 3.2 Nếu y∗∈ Argmax(GIMPY) và x∗∈ X thỏa mãn f (x∗) ≥ y∗thì x∗∈
Argmax(GIMPX).
Theo Mệnh đề 3.1, việc giải bài toán (GIMPY) có thể đưa về việc giải bài toán
max ϕ(y) v.đ.k y ∈ MaxY (EPY)Xét tập lồi đóng khác rỗng, có thứ nguyên đầy đủ Y−= Y − R2+ Theo Mệnh đề 1.7,
ta có MaxY−= MaxY Do đó, (EPY) tương đương với bài toán
max ϕ(z) v.đ.k z ∈ MaxY− (EPY−)Giả thiết zI6∈ Y−, trong đó zIlà điểm lý tưởng của Y− Trong trường hợp này, tậpđiểm hữu hiệu MaxY−là một đường cong liên thông trên biên của Y−với điểm đầu
zstartvà điểm cuối zend
Trang 15Nhận xét 3.3 Cho z ∈ (zI− R2
+) \ Y Theo hình học, nếu p là hình chiếu của zlên Y−thì p∗là điểm hữu hiệu của Y−và p∗là nghiệm duy nhất của bài toán
min kz∗− zk v.đ.k z ∈ Y− (Pro(z∗))Theo [61], d∗= (z∗− p∗)/ ∑2i=1(z∗i− p∗i) là véc tơ pháp tuyến của siêu phẳng tựa của
Y−tại p∗ Để thuận tiện, ta gọi d∗là véc tơ pháp tuyến tương ứng với p∗ Dễ thấy,véc tơ dstart= (0, 1) và dend= (1, 0) lần lượt là các véc tơ pháp tuyến của siêu phẳngtựa của Y−tại zstartvà zend
3.2.1 Các thao tác cơ bản của lược đồ nhánh cận
a) Cận trên của bài toán con
Xét hai điểm z`, zr ∈ MaxY− thỏa mãn zr
1> z`1 và z`2> zr
2, vàE ⊆ MaxY− làđường cong duy nhất nối z` với zr Đặt d`và dr lần lượt là các véc tơ pháp tuyếntương ứng với z`và zr Rõ ràng rằng nếu z`= zstart và zr= zendthìE ≡ MaxY−và
d`= (0, 1), dr= (1, 0) Xét bài toán con
max ϕ(z) v.đ.k z ∈E (SP(E ))
Dễ thấy, bài toán (SP(E )) thuộc một trong ba trường hợp sau:
Trường hợp 1 (d`= tdrvới t > 0):E = [z`, zr] và bài toán SP(E ) trở thành
max ψ(t) v.đ.k t ∈ [0, 1], (Psub1 )trong đó ψ(t) = ϕ(z) = ϕ(zr+ t(z`− zr)) Gọi toptlà một nghiệm của (Psub1 ) Khi đó,
ˆz = zr+ topt(z`− zr) ∈ MaxY− Hơn nữa, α = α(E ) = ϕ(ˆz) là một cận trên chínhxác của bài toán (SP(E ))
Trường hợp 2 (d`và drđộc lập tuyến tính và hệ
d`, z `, z`
hdr, zi = hdr, zri , (3.9)
có nghiệm z∗∈ {z`, zr}):E = [z`, zr] và ta giải (SP(E )) như Trường hợp 1
Trường hợp 3 (d`và drđộc lập tuyến tính và hệ (3.9) có nghiệm z∗6∈ {z`, zr}): Khi
đó z∗∈ (zI− R2
+) \Y− Ký hiệu S(E ) = conv{z`, zr, z∗} Dễ thấyE ⊂ S(E ) Giả sử ˆz
là một nghiệm của bài toán nới lỏng sau
max ϕ(z) v.đ.k z ∈ S(E ) (RP(E ))Khi đó, α = α(E ) = ϕ(ˆz) là một cận trên của bài toán (SP(E ))
Nhận xét 3.1 Mọi nghiệm tối ưu của bài toán (RP(E )) phải thuộc vào Max(S(E )).
Dễ thấy WMax(S(E )) = [z`, z∗] ∪ [z∗, zr] ⊇ Max(S(E )) Bài toán (RP(E )) trở thành
max φ (t) v.đ.k t ∈ [−1, 1], (Psub2 )