Phương pháp tổng trọng sỗ chấp nhận được đối với bài toán tối ưu 2 muc tiêu Khái niệm cơ sở Trong phần trình bày này chúng ta giới thiệu một phương pháp xác định hiệu quả biên Pareto đối
Trang 2Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN THỊ NHUNG
GIẢI THUÂT DI TRUYỀN GIẢI BÀI TOÁN TÓI ưu
ĐA MUC TIÊU
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nôi - 2015
Trang 3p=(pl, p2) : là vector tham số cố định.
g : là vector ràng buộc bất đẳng thức.
h : là vector ràng buộc đẳng thức.
w = (wl, ,wn): là vector trọng số
7, : Hàm mục tiêu được chuẩn hóa
ni : số lượng đoạn cần mịn hóã thứ i
/i : Chiều dài của đoạn thứ i.
larg : Chiều dài trung bình của tất cả các đoại tại mỗi bước
21
1.5.3 Phương pháp tổng trọng sỗ chấp nhận được đối với bài toán tối ưu 2 muc tiêu
Khái niệm cơ sở
Trong phần trình bày này chúng ta giới thiệu một phương pháp xác định hiệu quả biên Pareto đối YỚi bài toán tối ưu hai mục tiêu và đây cũng chính là cơ sở giúp ta nghiên cứu phương pháp tổng trọng số chấp nhận được đối với bài toán tối ưu đa mục tiêu Phần trình bày trước phương pháp tổng trọng số tìm kiếm từng nghiệm một - tối
ưu Pareto bằng cách thay đổi trọng số tương ứng của các hàm mục tiêu mà các trọng số này được lựa chọn từ người giải Phương pháp này thường sinh ra trên biên Pareto rất ít các nghiệm tối ưu và đặt biệt là sẽ không tìm ra nghiệm tối ưu Pareto trên miền không lồi
Mục đích chính của phương pháp tổng trọng số chấp nhận được là tập trung tìm kiếm nghiệm tối ưu trên những vùng chưa được tìm kiếm nằm trên biên Pareto bằng cách thay đổi một cách hợp lý các trọng số, hơn là ưu tiên vào việc lựa chọn các trọng
số và chỉ định các ràng buộc bất đẳng thức bổ sung Phương pháp này sẽ tìm được nhiều nghiệm tối ưu Pareto hơn và tìm được nghiệm tối ưu trong miền không lồi, đồng thời bỏ qua các nghiệm non- Pareto
Môt sổ kỉ hiêu:
f = ( f l (x),f2(x)) : là vector hàm mục tiêu.
X = (xl, ,xn) : là vector quyết định
Sau khi thực hiện các bước tính toán ta xác định được giá trị của mỗi hàm mục tiêu như sau:
20
{Á (-*i ’ X 2 ) ’ fl (-*i ’ X 2 )}
min
-4<X 1 ,X
1
ứng với mỗi bộ trọng số Wi ta sẽ tìm được một nghiệm tối ưu Pareto Ví dụ
1.16: Giải bài toán tối ưu hai hàm mục tiêu sau:
Bước 2: Quy ước một bài toán quy hoạch được cho ở (2.1) tương ứng với bài toán ràng buộc của nó
Bước 3: Chọn giá trị của L k YỚi kệ-h trong đoạn [n k ,M k ] ra r phần bằng
nhau
L k có thể nhận một trong r giá trị sau:
L k =n k +-^—ẠM k -n k ),t = 0,\, ,r-\
Bước 4: ứng với mỗi giá trị của L k ta giải bài toán (2.2) và mỗi bài toán cho một nghiệm chấp nhận được Trong những nghiệm này ta chon nghiệm tốt nhất
1.5.2 Phương pháp tổng trọng số
Bài toán tối ưu nhiều mục tiêu dạng tổng quát được phát biểu:
Afỉ'n{./;(x),/2 (x)Ị sao cho xeK"
Trong đó: X = (jCp ,X ) e R " là không gian nghiệm.
Ta chuyển bài toán trên thành một bài toán tổng sau:
Minf = w ỉ f ỉ (*) + w 2 f 2 (x) + + w / (x) sao cho x e R "
Tìm sô lớn nhât và nhỏ nhât trong cột thứ k, lân lượt kí hiệu là M k ,n k
19
1
2
k X M ỵ k ) f 2 { x k ) f p ( ỵ k ) Bảng thỏa hiệp cho một bài toán với p hàm mục tiêu Sao cho X e R" Trong đó: X = )el" là không gian quyết định Ta chuyển bài toán trên thành bài toán rằng buộc là: Maxf ) Sao cho x = (xỉ , ,x ) e R " f k ( X l , , x n ) > L k k = \, ,h -\ ,h,h + l , ,p Trong đó mục tiêu thứ h được tùy ý lấy max Công thức này là bài toán đơn mục tiêu Do đó có thể giải được bằng phương pháp đơn hình cho bài toán quy hoạch tuyến tính, b) Thuật toán: Bước 1: Xây dựng một thỏa hiệp Giải lần lượt p bài toán đơn mục tiêu với các ràng buộc tương ứng Gọi nghiệm ứng với mục tiêu thứ k là: x k =(xf, ,**) với Sau đó tính giá trị của p hàm mục tiêu này đạt được tại các ỵk tương ứng, ta gọi là: f l ( x ĩ ) , f 2 ( x ị ) , , f p ( x k ) sắp xếp p giá trị tương ứng với p mục tiêu vừa tính được ở trên vào trong bảng Ở đây, hang ứng với các X , ,x k và cột là nhãn của mục tiêu 18 Cho X* là nghiệm tối ưu Pareto chính thường Nghĩa là có một số M >0 sao cho: vi = 1 , к thì hai bất đẳng thức sau không có nghiệm: f s M 0 f‘ M + Щ M < f j ( x ‘ ) + M f j ( x ‘ ) < v > * ‘ f j ( x ) - f j \ x ) Tính chất của hàm lồi mà chúng ta phát biểu trong định lý 1.6 trên nghĩa là i ’ 1 Ạ, đối với hai bất đắng thức thứ i như vậy, tồn tại A,j > 0, j=l, ,k với ỵ^Ẫi = 1 i—1 sao cho VxeX ta được ^4(x)+'LKfM+ M 'Lx 1 f,{*)* x A*)+'L x ,f,{*Y M 'L x fA x ') j*i j*i j*i j*i =» ịú М+мХ ад w = tv< ( X ') +M ZV, (*') =>íW+lfE'1JíWỉ-í(ji")tMS,liií(1’) j*i j*i Lấy tổng hai vế của bất đẳng thức trên YỚi biến chạy ỉ ta được i=1 i=l j*i i=1 i=l j*i ^Ё|1+м£д;]/ЛФЁ|1+м 2>;]/Л* -)>Ух£Х -V j*‘ / i=1 V j*‘ Chủng ta chuẩn hóa giá trị 1 + M^Ẳ 1 để ta lấy tổng đến 1 và có Ai >0, i j*i = 1 .k với X* là nghiệm tối ưu của bài toán (*) 1.5.Một số các phương pháp giải bài toán tối ưu đa mục tiêu 1.5.1 Phương pháp rằng buộc a) Mô hình bài toán: Cho một bài toán đa mục tiêu YỚi p mục tiêu ^ỊẤ(Ạ/2W /,w| 17 /j (x*) < /j (x) Do đó ft (** ) ■- ft (*) > -J-Aj (fj (* ) - fj (*)) i * j bằng cách chọn M Nhân hai vế của bất đẳng thức trên với rồi sau đó lấy tổng hai vế k 1 ta được 2 7“, (■£ (**)-■£ M) > z Ẳ J ự j { * ) - f j w) j*i K 1 j#i => 4( f i (**) ■- f t M) > Z Ẫ j f j ( x ) - Z Á j f j (**) j*i j*i => A/;- (* ) + E V; (*) > V; M + Z Ả j f j w j*l j*i Ị Ị Ả j f j ( x ) > Ị Ị Ả j f j M j*i j*t Điều này mâu thuẫn với tính tối ưu của X* đối với bài toán (*) Do đó giả sử của chúng ta là sai và X* là nghiệm tối ưu Pareto chính thường Định lý 1.5: Cho X c Rn là một tập lồi và giả sử rằng /li: Rn —> R là hàm lồi, i = Khi đó bất đẳng thức hi < 0 YỚi i = l-,-k- không có k nghiệm X ex, tồn tại À,i > 0 sao cho X ^ỉ = 1 và VxeX, thỏa mãn i=1 M ^ 0 i=l Định lý 1.6 ( Geoffrion 1968) Cho X c Rn là một tập lồi và giả sử rằng /i: X —» R là ánh xạ lồi Khi đó X* 6 X là nghiệm tối ưu Pareto chính thường nếu và chỉ nếu X* là nghiệm tối ưu đối YỚi bài toán (*) YỚi Ai > 0 YỚi i = 1 , k Chứng minh: Do định lý 1.5 chúng ta chỉ cần chứng minh điều kiện cần của định lý này là đủ 16 Nhận xét: Một nghiệm tối ưu Pareto chính thường có biên thỏa hiệp giữa tất cả các hàm mục tiêu k Ta xét bài toán lồi sau đây: min ^ Ẳị/ị (*) (P2) i=ì Thì (P2) gọi là bài toán trọng tổng số Trong đó: Ải với i = 1, k là các trọng số không âm đối với các hàm k mục tiêu và y, Ậ = 1 i=1 Định lý 1.4 (Geoffrion 1968): Cho Ầ >0 với i = 1, k YỚi i=l, ,k * với = 1 Nêu X* là nghiệm tôi ưu Pareto của bài toán (P2) khi đó X* là i=l nghiệm tối ưu Pareto chính thường Chứng minh : Cho X* là nghiệm tối ưu Pareto của bài toán (P2) Để thấy rằng X* là nghiệm tối ưu Pareto ta giả sử rằng tồn tại xr £ X với /(xr) < /(x*) Bi > 0 với i = 1, k và /i(xr) - /i(x*) hàm ý sự mâu thuẫn rằng: /—1 z'=l Để thấy rằng X* là nghiệm tối ưu Pareto chính thường, ta chọn một số M thích hợp sao cho có một sự thỏa hiệp lớn hơn M dẫn đến sự mâu thuẫn vối tính tối ưu của X* đối YỚi bài toán tổng trọng số Cho: M = ( Q - l)max4^ ij i Giả sử X* không là nghiệm tối ưu Pareto chính thường Tức là tồn tại một i và X E X sao cho /i (x*) < /i (x) và /i (x*) - /i(x) > M (/j'(x) - /j(x*)) vj sao cho: 15 Khi đó giá trị hàm mục tiêu đạt được tương ứng tại X* là: y* = /(x*) gọi là điểm hữu hiệu chính thường 1.4.3 Nghiệm tối ưu Pareto chính thường và điểm hữu hiệu chính thường Theo định nghĩa tối ưu Pareto ta nhận thấy rằng nếu X* là một nghiệm tối ưu Pareto thì nó không cho phép cải thiện giá trị của một hàm mục tiêu trong khi vẫn duy trì giá trị của các hàm mục tiêu khác Do đó để cải thiện một hay nhiều giá trị của hàm mục tiêu này ta buộc phải làm “giảm” giá trị của các hàm mục tiêu khác đã được chấp nhận mà ta gọi đây là sự thỏa hiệp Sự thỏa hiệp giữa các tiêu chuẩn này được đo bằng cách tính toán việc giảm giá trị của hàm mục tiêu fj trên đơn vị tăng về mặt giá trị của hàm mục tiêu fj. Định nghĩa 1.19: (Geoffrion 1986) X* E X được gọi là tối ưu Pareto chính thường theo Geoffrion nếu X* là nghiệm tối ưu Pareto và nếu có một số M > 0 sao cho: mỗi i rà V X G X thỏa mãn /i(x) < /i(x*) và tồn tại một chỉ số j sao cho /j(x*) < /j (x) Hơn nữa: q=1 q=\ « n 4 ( ^ ) = n ^ U ) * e f|4 (y q ) và XEÌ < (>>,) và j = {l Ả:} 14 L=(f( x ) )= {x EX\f(x) =f(x )} được gọi là mặt mức của/tại X L< (f( x )) = L<(f(x~))\L=(f(x~)) = {x ex\f(x) < f(x~)} được gọi là tập mức chặt của / tại x Nhận xét: Từ định nghĩa ta nhận thấy: L=(f(x )) cL<(f(x )) Định lý 1.3 : Cho X* E X v ầ định nghĩayq = f q (x*) khi đó: 1) X* là nghiệm tối ưu Pareto chặt nếu và chỉ nếu: fKW = K} q=ì 2) X* là nghiệm tối ưu Pareto nếu và chỉ nếu: q=\ q= 1 k 3) X* là nghiệm tối ưu Pareto yếu nếu và chỉ nếu: q=1 Chứng minh: (1) : “ X* là nghiệm tối ưu Pareto chặt ” không tồn tại một nghiệm X 6 X và X Ỷ X* sao cho: /(x) < /(x*) không tồn tại một nghiệm X EX và X ý: X* sao cho: fq(x) < fq(x*) với t ỉ = ^’k <^> không tồn tại một nghiệm X GX và X Ỷ X* sao cho: q=l q =1 (2) “ X* là nghiệm tối ưu pareto” không tồn tại một nghiệm xeX sao cho f q M < f q (*) với q = l,k và với / (*) < / [x ) với j = {ì, ,k} o không tồn tại một nghiệm xeX sao cho 13 Hình 1.2a: Minh họa cho i, iv,v Hình 1.2b: Minh họa cho ỉi,ỉỉỉ 1.4.2 Nghiệm tối ưu Pareto chặt và yếu Định nghĩa 1.16: Nghiệm X*E X được gọi là một nghiệm tối ưu yếu Pareto nếu không tồn tại một nghiệm X € X sao cho: f(x) «f(x*)i = {1, k} Khi đó: Điểmy =f(x*) E Y gọi là điểm hữu hiệu yếu. Tập nghiệm tối ưu Pareto yếu và tập các điểm hữu hiệu yếu làn lượt ký hiệu là: Xw-par và Yw-eff Định nghĩa 1.17: Nghiệm X* EX được gọi là một nghiệm tối ưu chặt Pareto nếu không tồn tại một nghiệm X GX và X ^x*sao cho: f(x) < f(x*) Khi đó: Tập nghiệm tối ưu Pareto chặt ký hiệu là: x s par Từ định nghĩa ta nhận xét rằng: Yeff Y w ẹff Y r~ y y *-s-par ^*-par -**-w-par Định nghĩa 1.18: Cho X cRn, một ánh xạ /: X—> R và X EX Khi đó: L<(f( x ))= { X EXI f(x) < f(x x )} được gọi là tập mức của/tại x 12 Định nghĩa 1.12: Một nghiệm x = (x 1 ,x 2 , ,x ) được gọi là trội hơn ị,- _ ( \ w ị, 1' x < y I \ f i ( x ) ^ f i { y ) ie{l, nghiệm y = (y l ,y 2 , ,y n ) ký hiệu là: xs y,nểu: r ’ Định nghĩa 1.13: x = (xl ,x 2 , ,x ) được gọi là nghiệm không trội hơn nghiệm y = ( y l , y 2 , , y ) nếu V x e X , không tồn tại y & x sao cho: y > - x X 1.4.Các khái niêm tối ưu 1.4.1 Tối ưu pareto Định nghĩa 1.14: Một nghiệm x'el được gọi là một nghiệm tối ưu Pareto nếu không tồn tại một nghiệm xjtx* eX sao cho X trội hơn X* Nghĩa là: /(*)</(*’) Tính chất i) Nếu x là nghiệm tối ưu Pareto thì / (x*) gọi là điểm hữu hiệu ii) Nếu x l , x 2 e X và f { x ) < f ( x 2 ) thì ta gọi * trội hơn X 2 và / ( * ) trội hơn f [ x2) iii) Tập hợp tất cả các nghiệm tối ưu Pareto X * € X và tập các điểm hữu hiệu y = f (jt*) G Y làn lượt là: X ar và 7eff Định nghĩa 1.15: Các định nghĩa tương đương khác X là nghiệm tối ưu Pareto nếu: i) Không tồn tại một nghiệm X e X sao cho: /(jc) trội hơn /(**) ii) Không tồn tại một nghiệm x e X sao cho: (x*) e- R * \{o} iii) f ( x ) - f ( x ) e RK\{-< lịoịv.El iv) /(;r)n(/(*)-.R,)={/(*-)} v) Khôngtồntại /(x)g/(x)\ị/(x')Ị sao cho vi) / (x) < / (x*) với X e X nghía là: f { x ) = f (x* Ị 11 ĩx/ Hình 1.1 Mô phỏng bài toán tối ưu đa mục tiêu Định nghĩa 1.11: Một nghiệm /eI của bài toán (Pi) được gọi là nghiệm lý tưởng nếu: fi(x) ^ eX,i ={1 Nói một cách khác một nghiệm mà nó thỏa mãn tất cả các hàm mục tiêu cần tối ưu ứng YỚi miền chấp nhận được là X Thực tế thì những nghiệm như vậy rất ít tồn tại Nếu đưa ra một số khái niệm khác về tối ưu có vẻ ‘ mềm dẻo’ hơn đó là nghiệm tối ưu Pareto KHỔNG GIAN OUYỂT ĐĨNH KHỔNG GIAN MUC TIỂU 1.3.Bàỉ toán tối ưu đa muc tiêu Có rất nhiều lớp khác nhau để biểu diễn cho bài toán tối ưu đa mục tiêu Trong phạm vi luận văn này ta sẽ biểu diễn bài toán tối ưu đa mục tiêu dưới dạng sau: Minựi[x), ,f k (x)} (i^), sao cho- x<zX Trong đó: x: là biến quyết định X = ỊxeM" /g (x)<0;/ỉ (jc) = 0,7 = l, ,p <nỊ là không gian quyết định f t : M" -> M với i = 1 là các hàm mục tiêu. Đặt: 7 = = (*), ,/* (x))eR*| là không gian hàm mục tiêu 10 Chứng minh'. (i) : Giả sử quan hệ: =* là Phản xạ Khi đó: X với X ERn =^x - X = 0 EK< (ii) : Giả sử quan hệ < là Bắc cầu và Cho u, r Eк< Nên: и - 0 €K^ và 0 — r E-K< Điều này có nghĩa là: о < и và -r < 0 Mà < là Bắc cầu => -r < и Do đó: и - r = и + r G К tức là к lồi (iii): Giả sử ta có о ф и EK< Thì и = y — X G К< và - и = X - у với X, у G Rn Do о фи nên X <у vày nhưng X ф у Điều này vô lý Định nghĩa 1.10: Cho к là nón Ta định nghĩa thứ tự theo nón là: x^ K y<=^y — x€K (112) Mệnh đề 1.5: Cho к là nón và thứ tự theo nón =* K trong (1.12) là phép nhân vô hướng và cộng trong Rn Hơn nữa: i) là phản xạ nếu 0 £ к ii) <K là bắc cầu nếu К lồi iii) là phi đối xứng nếu К nhọn Chứng minh: Cho X, y, z ERnvầO <ß ER với X <к у. Ta có: у - X ЕК Do К là nón nèn:ß(x - y) Eк =>ßx ßy Và X nghĩa là: y - X = (z + y) - (x + z) Do đó: (z + y) ^ K (x + z) Cho* ERn Khi ầóx - X = 0 EK <£=>x <' K x Cho X ^ K y và y ^K z khi đó: y — X G к vàz - y EK Do К loi nên: y - x + z - y = z - x € K =>x ^ K z (3) Cho X, y ERn với X <' K y vàj; =* K X Khi đó ta CÓ: y - X EKvầx - y GK.y - X GK(-K) = {0} Do đó: y = X 9 Định nghĩa 1.8: Một tập con K QRn được gọi là nón nếu: fix EK với mọi X EKvầJ3 6R,fi > 0 Ví dụ 1.15: K=R 2 + ={x eR 2 \Xi>0,1=1,2} là nón Định nghĩa 1.9: Nón k trong Rn gọi là: Không tàm thường nếu K Ỷ 0và KỶRn Lồi nếu ơXj + (1 - ax 2 ) E K với mọi x h x 2 EK và 0 < a < 1 Nhọn nếu K n (~k) (={0} Mệnh đề 1.4: Cho một quan hệ thứ tự < trên Rn, ta định nghĩa tập: = {y - X \ X Khi đó nón Chứng minh: Cho u ỂÂ^khi đó: u = y - X với X, y ERn X =} fix <fiy với >0 Do đó: fiu =fi(x - y) =fix -fiy EK^yởi fi >0 Định lý 1.2 : Cho =* một quan hệ 2 ngôi trên Rn là phép nhân vô hướng Khi đó: i) 0 EK^ nếu < là Phản xạ ii) K^ỉồi nếu < là Bắc cầu iii) K< nhọn nếu < là Phi đối xứng Định nghĩa Tên gọi X <y X < y X «y X —Lex y X Sdoy Nêu xỉ <yi với i= l, ,n Neu xỉ <yi với i= x±y Neu xỉ < yỉ với ỉ= l, ,n Nếu x k < y k hoặc X =y Neu maxi=l, ,n{xi}< maxi=l, ,n{ yi} Thứ tự từng phân yêu Thứ tự từng phàn Thứ tự từng phàn chặt Thứ tự tự điển Maxthứ tự 8 x < y » x * < ỵ r à y ỉ x (1.1) x ~ y < = ^ x ^ y r ổ y ^ x (1.2) Mệnh đề 1.1: Cho < là một tiền thứ tự trên tập A Khi đó: • Quan hệ -< định nghĩa trong (1.1) là phi phản xạ và bắc cầu • Quan hệ ~ định nghĩa trong (1.2) là quan hệ tương đương Mệnh đề 1.2: • Một quan hệ hai ngôi phản xứng là phi phản xạ • Một quan hệ hai ngôi bắc cầu và phi phản xạ là phản xứng Định nghĩa 1.5: Một quan hệ hai ngôi < trên A là: i) Tiền thứ tự tổng quát nếu < là phản xạ, bắc cầu và liên hợp ii) Thứ tự tổng quát nếu < là tiền thứ tự tổng quát phi đối xứng Như quan hệ < đối với số nguyên là thứ tự tổng quát iii) Thứ tự yếu chặt nếu < là phản xứng và phủ định bắc cầu Mệnh đề 1.3: ■ Nếu < là tiền thứ tự tổng quát trên A, khi đó quan hệ -<là thứ tự yếu chặt Nếu < là thứ tự yếu chặt trên A, khi đó < định nghĩa bởi: X =< y X < y hoặc ( x < y v ầ y < x )(1.3) là tiền thứ tự tổng. Định nghĩa 1.6: Quan hệ hai ngôi < được gọi là thứ tự từng phần nếu là phản xạ, bắc cầu và phi đối xứng Định nghĩa 1.7: Quan hệ hai ngôi < được gọi là thứ tự từng phần chặt nếu =* là phản xứng và bắc càu ( hoặc =* là phi phản xạ và bắc càu ) Trong luận văn này chúng ta sử dụng quan hệ thứ tự trên không gian EuclidRn Khi đó ta có một số thứ tự trên Rn 7 Ví dụ 1.9: Quan hệ “ >, <, >, = “ là bắc cầu vii) Phủ định bắc cầu nếu Va, b, с E A sao cho (a, b) Ể R và (b, c)ỂR => (a, c)ẾR Ví dụ 1.10: Nếu “ chó sói ăn cừu ” và “ cừu ăn cỏ ” nhưng “ sói không ăn cỏ ” thì quan hệ “ ăn ” là phủ định và bắc cầu viii) Phản bắc cầu nếu: Va, b, с : aRb A bRc => -,aRc Ví dụ 1.11: Nếu “ A quen B” và “ в quen C” nhưng “ A chưa chắc quen C” thì quan hệ “ quen” là phản bắc cầu ix) Liên hợp nếu V a, b eA sao cho a^b=>(a,b)eR hoặc (b,a)eR Ví dụ 1.12: Cho A là tập các số chẵn thì quan hệ chia hết là lien hợp x) Liên hợp mạnh nếu Va, b e A=>(a,b) e R hoặc (b,a) e R Ví dụ 1.13: Cho A=N Thì quan hệ <, >, là liên hợp mạnh Định lý 1.1: R là đối xứng khi và chỉ khi R= R-1 Chủng minh: => Giả sử R là đối xứng Thì: (x,y) eR <=>(y,x) eR <=>(x,y) eiỉ-1 <= Giả sử R = R-l Thì: (x,y) eR <^>(x,y) GR-Ỉ <^>(y,x) eR Định nghĩa 1.4: Cho R là một quan hệ 2 ngôi trên A khi đó: i) R được gọi là quan hệ tương đương nếu R có tính chất phản xạ, đối xứng và bắc càu ii) R được gọi là tiền thứ tự nếu R có tính chất phản xạ và bắc cầu. Ví dụ 1.14: =; “các tập tương đương”; “chia hết”; mod
Trong trường hợp quan hệ R là tiền thứ tự thì cặp (A,R) được gọi là tập tiền thứ tự Để tiện ta thay đổi quan hệ R là Do đó ta quy ước viết: a < b thay cho (a, b) G < a =£ b thay cho (a, b) £ < với bất kỳ một quan hệ =* là tiền thứ tự nào thì cũng có quan 2 quan hệ khác mà ta định nghĩa chúng như sau: 6 Ký hiệu: aRb hoặc R[a,b) hoặc (a,b) e R gọi là “ a R- quan hệ b” Ví dụ 1.1: Xét tập hợp s = {1,2,3,4,5} thì quan hệ “<” là tập hợp các cặp thứ tự: {(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)} Quan hệ hai ngôi R tương ứng với hàm đặc trưng P R :AxB—> ịTrue,FalseỊ Định nghĩa 1 2: Quan hệ ngược là một quan hệ 2 ngôi R:AxB được xác định: R-l := {(b, a)|(a, b)e R} Ví dụ 1.2: <-1 = {(b, a) I a < b} = {(b, a) I b > a} = > Ví dụ 1.3: Nếu xét quan hệ R: “Người” X “ăn” được định nghĩa bởi: a Rb oaầnb, b R-1 a <=>bûlì được ăn bởi a Định nghĩa 1 3: Cho R là một quan hệ 2 ngôi trên tập A, khi đó R gọi là: i) Phản xạ nếu (a, a) 6 R, Va 6 A ( hoặc là a VA (aRa) ) Ví dụ 1.4: Các quan hệ =, 'có cùng tính chất toán học’, <=, >=, Œ, =>, là phản xạ ii) Phi phản xạ nếu (a, a) Ể R, Va E A hoặc là VaeA ( -ßRa ) Ví dụ 1.5: Quan hệ <, >, ‘có tính chất toán học khác nhau’, c là phi phản xạ iii) Đối xứng nếu Va, b 6 A sao cho (a, b) 6 R =* (b, a) 6 R Ví dụ 1.6: Quan hệ “ = ” là đối xứng iv) Phản xứng nếu Va, b 6 A sao cho (a, b) E R =) (b, a) Ề R Ví dụ 1.7: Quan hệ “ < ” là phản xứng v) Phi đối xứng nếu Va, b G A sao cho (a, b) E R và (b, a) E R => a = b Ví dụ 1.8: các quan hệ “ >, <, ÇZ, =” là Phi đối xứng vi) Bắc cầu nếu Va, b, с E A sao cho (a, b) G R rà (b, c)ER=> (а, с) E R 5 CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC Cơ BẢN VỀ TỐI ưu ĐA MỤC TIÊU 1.1 Quan hệ thứ tự trong không gian Trong Toán học, quan hệ hai ngôi là sự kết hợp hai phần tử bất kỳ trong cùng một tập hợp hoặc YỚi các phàn tử của tập hợp khác Quan hệ hai ngôi được sử dụng trong nhiều nhánh khác nhau của toán học như trong số học ta có các quan hệ: lớn hơn hoặc bằng, bằng Trong hình học ta có các quan hệ: đồng dạng, đối xứng, song song, Trong lý thuyết đồ thị ta có các quan hệ: kề nhau, liên thông, Quan hệ hai ngôi cũng được sử dụng trong khoa học máy tính, nhất là trong các mô hình quan hệ cơ sở dữ liệu như: các quan hệ: một - nhiều, nhiều - nhiều Trong lý thuyết tối ưu nhiều mục tiêu quan hệ thứ tự hai ngôi có ý nghĩa rất quan trọng trong việc đưa ra các khái niệm về nghiệm tối ưu Thông qua các khái niệm này ta lựa chọn nghiệm nào là nghiệm tốt nhất cho bài toán 1.2 Các định nghĩa Xuất phát từ khái niệm tích Đe-cát của hai tập hợp các cặp có thứ tự của hai tập hợp А, в bất kỳ AxB = ịịa,b)lя e A, b G i?j Một cách tổng quát, một quan hệ n ngôi là một tập họp bất kỳ của các bộ n-thứ tự từ n tập hợp Chúng ta chỉ xét trường hợp đơn giản nhất là quan hệ hai ngôi trên một tập hợp Điều này có nghĩa là tập hợp của cặp có thứ tự, ứng với các phàn tử của mỗi tập là thuộc cùng một tập A Định nghĩa 1.1: Quan hệ hai ngôi trên tập A là tập con R của AxA Ta gọi đơn giản là quan hệ hai ngôi 4 5 Ý nghĩa khoa học của đề tài Hệ thống các kiến thức về tối ưu đa mục tiêu và giải thuật di truyền, nghiên cứu ứng dụng giải thuật di truyền giải bài toán tối ưu hóa đa mục tiêu 3 Các cá thể mới được sinh ra trong quá trình tiến hóa nhờ sự lai ghép ở thế hệ cha-mẹ Một cá thể mới có thể mang những tính trạng của cha-mẹ (di truyền), cũng có thể mang những tính trạng hoàn toàn mới (đột biến) Di truyền và đột biến là hai cơ chế có vai trò quan trọng như nhau trong quá trình tiến hóa, dù rằng đột biến xảy ra với xác xuất nhỏ hơn nhiều so YỚi hiện tượng di truyền Các thuật toán tiến hóa tuy có những điểm khác biệt, nhưng tất cả đều mô phỏng bốn quá trình cơ bản: lai ghép, đột biến, sinh sản và chọn lọc tự nhiên Với những khả năng tiềm tàng của giải thuật tiến hóa Luận văn sẽ tập trung nghiên cứu xây dựng giải thuật tiến hóa để giải quyết bài toán tối ưu đa mục tiêu 2 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu bài toán tối ưu đa mục tiêu và một số phương pháp giải bài toán tối ưu đa mục tiêu Nghiên cứu giải thuật tiến hóa trong đó có giải thuật di truyền Nghiên cứu xây dựng giải thuật di truyền trong giải bài toán tối ưu đa mục tiêu Cài đặt chương trình giải quyết một bài toán ứng dụng tối ưu đa mục tiêu 3 Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu Nghiên cứu bài toán tối ưu đa mục tiêu và một số phương pháp giải bài toán tối ưu đa mục tiêu Nghiên cứu giải thuật tiến hóa trong đó có giải thuật di truyền Nghiên cứu xây dựng giải thuật di truyền trong giải bài toán tối ưu đa mục tiêu 4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết kết hợp với cài đặt thực nghiệm 2 MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài Bài toán tối ưu hóa đa mục tiêu đặt ra yêu cầu tìm phương án tốt nhất để đạt được cực tiểu, cực đại nhiều mục tiêu cùng lúc, nếu có một phương án như vậy thì ta gọi là phương án lý tưởng Tuy nhiên trong bài toán tối ưu nhiều mục tiêu thường thì các mục tiêu xung đột với nhau nên việc cố gắng làm tăng giá trị tiểu, cực đại của mục tiêu này kéo theo giảm (tăng) cực đại, cực tiểu của mục tiêu khác, do đó việc tồn tại phương án lý tưởng là rất hiếm Thông thường cách tốt nhất là tìm một phương án nhằm thỏa mãn các yêu cầu các mục tiêu trong một mức độ chấp nhận được và phương án như thế gọi là phương án thỏa hiệp các mục tiêu Trên thực tế có rất nhiều bài toán tối ưu đa mục tiêu, đặc biệt trong kinh tế, kỹ thuật như các bài toán về thiết kế, lập kế hoạch Thuật toán tiến hóa hình thành dựa trên quan niệm cho rằng: quá trình tiến hóa tự nhiên là quá trình hoàn hảo nhất, hợp lý nhất, và nó tự mang tính tối ưu Quan niệm này được xem là tiền đề đúng, không chứng minh được, nhưng phù hợp YỚi thực tế khách quan Quá trình tiến hóa thể hiện tính tối ưu ở chỗ thế hệ sao bao giờ cũng tốt hơn (phát triển hơn, hoàn thiện hơn) thế hệ trước Tiến hóa tự nhiên được duy trì nhờ hai quá trình cơ bản: sinh sản và chọn lọc tự nhiên Xuyên suốt quá trình chọn lọc tự nhiên, các thế hệ mới luôn được sinh ra để bổ sung, thay thế thế hệ cũ Cá thể nào phát triển hơn, thích ứng hơn với môi trường sẽ tồn tại Cá thể nào không thích ứng với môi trường sẽ bị đào thải Sự thay đổi của môi trường là động lực thúc đẩy quá trình tiến hóa Ngược lại, quá trình tiến hóa cũng tác động ngược lại làm thay đổi môi trường 1 Hình 3.12 Kết quả chạy thuật toán YỚi số lượng thế hệ tối đa là 50 và số lượng cá thể trong mỗi thế hệ là 50 62
Hình 3.13 Kết quả thực hiện thuật toán với thông số đầu vào: số lượng cá thể trong mỗi thế hệ là: 50 và số lượng thế hệ tối đa là 50 63
Hình 3.14 Kết quả thực hiện thuật toán với thông số đàu vào: số lượng cá thể trong mỗi thế hệ là: 100 và số lượng thế hệ tối đa là 100 63
Hình 3.15 Kết quả thực hiện thuật toán với thông số đầu vào: số lượng cá thể trong mỗi thế hệ là: 200 và số lượng thế hệ tối đa là 200 64
Hình 1.1 Mô phỏng bài toán tối ưu đa mục tiêu 10
Hình 1.2a: Minh họa cho i, iv,v Hình 1.2b: Minh họa cho 11,111 12
Hình 1.3 Tuyến tính hóa các đoạn trên biên Pareto 21
Hình 1.4 Xác định khoảng cách giữa õi và ỗ2 dựa trên 5j 23
Hình 1.5 Biên Pareto tìm được bằng phương pháp tổng trọng số 26 Hình 1.6 Biên Pareto tìm được bằng phương pháp tổng trọng số chấp nhận được hai mục tiêu 27
Hình 1.7: Minh họa phương pháp Adaptive Weight Sum 28
Hình 1.8: Trong trường hợp 3 chiều, biên Pareto là mặt và mảnh biên Pareto đã được tuyến tính hóa bằng 4 đoạn thẳng nối 4 đỉnh 30
Hình 1.9 Minh họa 3 chiều mô tả ràng buộc đẳng thức bổ sung cho quá trình minh hóa biên Pareto 32
Hình 2.1 Sơ đồ lai ghép 1 điểm cắt 36
Hình 3.1: Minh họa bán kính ơshar ° 49
Hình 3.2: Minh họa thuật toán MOGA 50
Hình 3.3: Minh họa tính toán độ thích nghi của các cá thể 52
Hình 3.4.Minh họa cách xóa bỏ các nghiệm nào có ơ k nhỏ nhất 52
Hình 3.5 Sơ đồ khối của thuật toán SPEA2 53
Hình 3.6: Minh họa biên chứa các nghiệm không trội và thứ hạng tương ứng 54
Hình 3.7 Sơ đồ khối thể hiện thuật toán NSGA-II 57
Hình 3.8 Minh họa khoảng cách quy tụ quanh nghiệm i 57
Hình 3.9 Minh họa các biên và thứ hạng 58
Hình 3.10 Minh họa sự quy tụ của các nghiệm quanh một nghiệm 58
DANH MUC CÁC HÌNH P0,Pt ; Quàn thể ban đầu và tại thế hệ thứ t Qt : Quần thể con tạo thành từ các cá thể trong pt Fj ; Biên chứa các nghiệm không trội Với j=1, , R Hi =Ri=E(ri) : Kỳ vọng của ĩị ƠI Phương sai của Tị Oij : Hiệp phương sai giữa Tị và Ij fx e R : Vector giá trị kỳ vọng của li reR™ : Ma trận hiệp phương sai của Oịj /ưĩ (*)> /2 (*)) : Vector hàm mục tiêu X = (x,, , xn) yector qUyết định rii : Số lượng đoạn càn mịn hóa thứ i li : Chiều dài đoạn thứ i larg Chiều dài trung bình của tất cả các đoạn ở mỗi bước c : Hệ số nhân Pi, p2 : Điểm cuối của đoạn ỗi : Khoảng cách vuông góc từ các điểm trên biên đến nón R+Q Axi, AX2 ; Kích thước của lưới f(x,p) : Hàm mục tiêu của vector X và véc tơ tham số cố định p p : Vector tham số cố định g(x, p) : Vector ràng buộc bất đẳng thức YỚi tham số p h(x,p) : Vector ràng buộc đẳng thức với tham số p p, w : Vector trọng số fi : Hàm mục tiêu được chuẩn hóa f Điểm utopia f Điểm nadir /* Điểm anchor thứ i NE Số lượng lớn nhất mà tập E có thể chứa được các tập nghiệm không trội Np Số lượng cá thể trong quần thể/ kích thước tập p k : Tham số của mật độ tính toán: k = f E nu : Số nghiệm trội hơn nghiệm u s : Tập nghiệm trội bởi nghiệm u DANH MUC CÁC KÝ HIÊU • • 2.2.Thuật toán di truyền 39
2.3.Giới thiệu thuật toán di truyền (Genetic Algorithm) 46
CHƯƠNG 3 GIẢI THUẬT DI TRUYỀN GIẢI BÀI TOÁN TỐI ưu ĐA MỤC TIÊU 48
3.1.Một số thuật toán di truyền giải bài toán tối ưu đa mục tiêu 48
3.1.1 Thuật toán MOGA ( Multi-Objective Genetic Algorithm) 48
3.1.2 Thuật toán SPEA 50
3.1.3 Thuật toán SPEA2 51
3.1.4 Thuật toán NSGA (Thuật toán di truyền sắp xếp các nghiệm không trội ) 54
3.1.5 Thuật toán NSGA-II 55
3.2.Khoảng cách quy tụ - Crowding Distance 57
3.3.So sánh ưu điểm và khuyết điểm của các thuật toán di truyền đa mục tiêu 60
3.4.Giải bài toán với thuật toán SPEA2: 61
3.5.Các giải thuật tiến hóa cho bài toán tối ưu đa mục tiêu 64
KẾT LUẬN 69
TÀI LIỆU THAM KHẢO 70
Trang LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU DANH MỤC CÁC HÌNH MỞ ĐẦU 1
CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC cơ BẢN VỀ TỐI ưu ĐA MỤC TIÊU
4 1.1 Quan hệ thứ tự trong không gian 4
1.2 Các định nghĩa 4
1.3.Bài toán tối ưu đa mục tiêu 10
1.4.Các khái niệm tối ưu 11
1.4.1 Tốiưupareto 11
1.4.2 Nghiệm tối ưu Pareto chặt và yếu 12
1.4.3 Nghiệm tối ưu Pareto chính thường và điểm hữu hiệu chính thường 14 1.5.Một số các phương pháp giải bài toán tối ưu đa mục tiêu 17
1.5.1 Phương pháp rằng buộc 17
1.5.2 Phương pháp tổng trọng số 19
1.5.3 Phương pháp tổng trọng số chấp nhận được đối với bài toán tối ưu 2 mục tiêu 20
1 5.4 Phương pháp tổng trọng số chấp nhận được cho bài toán tối ưu đa mục tiêu 24
CHƯƠNG 2 CÁC KHÁI NIỆM cơ BẢN VỀ GIẢI THUẬT DI TRUYỀN 34
MUC LUC
Nguyễn Thị Nhung
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp
đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc
Hà Nội tháng 10 năm 2015
Học viên
LỜI CAM ĐOAN
Nguyễn Thị Nhung
Trước khi đi vào từng phần cụ thể của khóa luận tốt nghiệp này, tôi muốn gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến TS Phạm Thanh Hà- người đã đưa ra đề tài, tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong suốt thời gian tôi thực hiện khóa luận này
Tôi xin cảm ơn phòng quản lý và đào tạo sau đại học trường Đại học sư phạm
Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện khóa luận Đồng thời tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn đôn đốc, tạo điều kiện, hỗ trợ về mặt tinh thần cho tôi trong quá trình thực hiện luận văn
Cuối cùng tôi xin cảm ơn các bạn cao học khóa 17 chuyên ngành toán ứng dụng trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã quan tâm, chia sẻ và đóng góp ý kiến để tôi hoàn thành luận văn
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội tháng 10 năm 2015
Học viền
LỜI CẢM ƠN
Hà Nội - 2015
Người hướng dẫn khoa học: TS.Phạm Thanh Hà LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC
GIẢI THUẬT DI TRUYỀN GIẢI BÀI TOÁN TÓI UU
ĐA MUC TIÊU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12
NGUYỄN THỊ NHUNG
Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
Pi, p 2 : Điểm cuối của đoạn.
ỗj: Khoảng cách từ các điểm trên biên Pareto đã được tuyến tính thành từng
đoạn đến nón +R Q
5j: Khoảng cách vuông góc từ các điểm trên biên đến nón +R Q Axi, Ax 2 : Kích
thước của lưới.
Hình 1.3 Tuyến tính hóa các đoạn trên bỉên Pareto
22 Trong phần này ta phát biểu bài toán tối ưu 2 mục tiêu dưới dạng như
sau
minw ^ + (1 -w) ^^ sao cho xeX /2W f2 (x)
Trong đó: X = { X ER Q \g(x) < ; h(x) = 0 rà w €[0,1]}
/j (jc),/2 ( x ) : là các hàm chuẩn hóa tương ứng của /i(x) và /2(x)
b) Phương pháp tổng trọng sổ chấp nhận được dành cho bài toán 2 muc tiều:
Sau đây là các bước chi tiết để giải bài toán tối ưu 2 mục tiêu bằng phương pháp Tổng trọng số chấp nhận được:
Bước 1: Chuẩn hóa các hàm mục tiêu trong không gian hàm mục tiêu Khi
xi* là vector nghiệm tối ưu cho từng bài toán một mục tiêu /i(x) với i =
— f u
1,2 thì hàm mục tiêu chuân hóa /i được xác định như sau: ft = N v
ft fi
Trong đó:
f U : ỉ à điểm Utopia và được định nghĩa là:
fN: là điểm Nadir và được định nghĩa là: f N = \_ff ,f 2 N ] (3)
Bước 2\ Giải bài toán đa mục tiêu bằng phương pháp tổng trọng số với số nhỏ
của phép chia n0 Ta sẽ lấy no = 5~10 Từ đó tính giá trị của trong số w
theo công thức: Aw=—
n0
Bước 3: Tính toán độ dài của các đoạn giữa tất cả các nghiệm lân cận nhau trên
biên Pareto Xóa các nghiệm trùng nhau Khi sử dụng phương pháp tổng trọng số để tìm nghiệm tối ưu sẽ xảy ra trường hợp các nghiệm tối ưu
Trang 4trùng nhau khi đĩ khoảng cách Euclid giữa chứng là 0, trong các nghiệm này chỉ cĩ duy nhất một nghiệm tối ưu nằm trên biên Pareto sẽ được chọn.
Bước 4: Xác định số ỉượng đoạn cần tinh lọc (liên quan với chiều dài
trung bình của tất cả các đoạn), nếu đoạn nào dài hơn thì cần phải được tinh lọc hơn Việc tinh lọc trên biên Pareto được xác định dựa trên độ dài tương
1
đối của các đoạn: n = cho mỗi đoạn thứ i
Trong đĩ ni: là số lượng càn lọc đối với đoạn thứ i li: là
chiều dài của đoạn thứ ỉ larg: là chiều dài trung bình
của tất cả các đoạn C:là hệ số nhân, ta thường lấy giá trị
của c = [1,2]
Bước 5: Nếu ni < 1 thì khơng cần phải lọc đoạn này.
Nếu ni > 1 thì thực hiện bước 6 Bước 6: Tính khoảng cách củãi và ỗ2 dựa ữên ơj như sau:
Đoạn trên biên Pareba
can đuực tuyên tĩnh hĩa
Miên chẩp
nhậ
Nghiệm mĩi cĩ
đưạc
(a) Đoạn tuyển tính hĩa /,
-Đạt được £>J vá S-ĩ (c) Các nghiệm mĩi đạt cĩưrtc trang
mỉen châp nhận được Xác định khoảng cách giữa ổị và S2 , dựa trên ỎJ
Hình 1.4 Xác định khoảng cách giữa 5| và §2 dựa trên ỗj
S x = ỔyCosỡ^ = ổ 2 sin ớ
Và 0 được tính như sau: 6 = tan1 Py-Py
24
Bước 7: Giải bài tốn tối ưu con:
Minwf ỉ (*) + (l - w)/2 (*)
J ( x ) Z P * - ơ i 7 Ỉ ( X ) < P ^
-S 2
h ( x ) = 0, g ( x ) < 0, w E [0,1]
Trong đĩ P ị , Pị là vị trí X và y tương ứng của các điểm cuối
Sau đĩ ứng với mỗi ni đã xác định trong bước 4 Ta tính tốn wi cho
„ 1 mơi miên châp nhận được ẢW; =
—
n t
Bước 8: Tính chiều dài của các đoạn giữa các nghiệm lân cận nhau Xĩa các
nghiệm trùng nhau
Nếu chiều dài của tất cả các đoạn nhỏ hơn chiều dài đã được chỉ định thì kết thúc thuật tốn
Nếu cĩ một đoạn mà chiều dài lớn hơn tất cả các chiều dài thì lặp lại bước 4
1 5.4 Phương pháp tổng trọng số chấp nhận được cho bài tốn tối ưu đa mục tiêu 1.5.4.1. Giới thiệu phương pháp tổng trọng số chấp nhận được
Phần này giới thiệu phương pháp “Tổng trọng số chấp nhận được” cho bài tốn tối ưu hĩa nhiều mục tiêu Xuất phát từ phương pháp “tổng trọng số chấp nhận được” dành cho bài tốn hai mục tiêu - xác định một cách hình thức khơng gian nghiệm tối
ưu Pareto, tìm nghiệm trên tập khơng lồi và bỏ qua các nghiệm tối ưu non-Pareto Tuy nhiên phương pháp này chỉ cĩ thể giải bài tốn tối ưu với 2 hàm mục tiêu Tổng trọng
số chấp nhận được là phương pháp mở rộng của phương pháp tổng trọng số chấp nhận được hai mục tiêu để giải bài tốn tối ưu với nhiều hàm mục tiêu Trong phần trước thì phương pháp Tổng trọng số đã được trình bài để xấp xỉ tập nghiệm Pareto một cách
25 nhanh chĩng Đồng thời mạng lưới các điểm trên biên Pareto cũng được xác định hay tập nghiệm Pareto được chia ra thành nhiều đoạn biên Pareto nhỏ Sau đĩ mỗi đoạn trên biên Pareto được lọc bớt đi bằng cách áp thêm các ràng buộc đẳng thức thơng qua điểm giả Nadir và các nghiệm tối ưu Pareto chấp nhận được trên từng đoạn của khơng gian hàm mục tiêu
Phương pháp Tổng trọng số chấp nhận được sẽ sinh ra các đoạn nằm trên biên Pareto cĩ sự phân bố tốt trên tập nghiệm Pareto, đồng thời phương pháp này cũng cho phép chúng ta tìm nghiệm đối với tập khơng lồi
Mơt sổ kỉ hiêu:
y(x,p) : là hàm mục tiêu của vector X và vector tham số cố định p X = (xl, ,xn): là vector quyết định p: vector các tham số cố định g(x,p): vector ràng buộc bất đẳng thức h(x,p): vector ràng buộc đẳng thức m: số lượng hàm mục tiêu w = (w 1, ,wn): là vector trọng số /i : Hàm mục được chuẩn hĩa /u : Điểm
utopia /N : Điểm nadir /i* : Điểm anchor thứ i
đoạn tuyến tính nằm trên biên Pareto cần được mịn hĩa
Bài tốn tối ưu nhiều mục tiêu được phát biểu như sau: min /(x, g)
Sao cho: g(x, g) < 0
h(x, g) = 0
Xi,LB <Xị <Xi'UB với i = 1, n
Trong đĩ: x i>LB và x i)UB; là các biên dưới và biên trên của các biến thứ i tương ứng
26
1.5.4.2 Các khái niệm cơ sở
Đặt trưng cơ bản của phương pháp Tổng trọng số chấp nhận được là ỉàm mịn một cách chấp nhận được biên Perato.
Trong giai đoạn thứ nhất, phương pháp này xác định hình dạng gồ ghề lúc đầu của biên Perato Bằng tính tốn kích thước của từng đoạn nằm dọc theo biên Perato (là một đoạn thẳng ưong trường hợp 3 chiều), sau đĩ ta tiến hành mịn hĩa biên Pareto ữong khơng gian mục tiêu đã được xác định.
Giai đoạn tiếp theo, các đoạn này được xem là miền chấp nhận đối với bài tốn con - Sub- Optimizaton bằng cách thêm vào các ràng buộc (trong phương pháp tổng trọng số chấp nhận được hai mục tiêu, miền chấp nhận được khi tìm kiếm thêm thì được xác định bằng cách thêm 2 ràng buộc bất đẳng thức) Sau đĩ chúng ta giải bài tốn con - Sub-Optimization trong các miền chấp nhận này để đạt được nhiều phương
án tối ưu Pareto hơn Khi tập các phương án tối ưu Pareto mới được xác định, thơng qua việc tính tốn để xác định kích thước của từng đoạn trên biên Pareto được xem như là quá trình làm mịn biên Pareto Bước này được lặp lại cho đến khi tìm được nghiệm Pareto tối ưu nhất.
Hình 1.5 sau so sánh phương pháp Tổng ưọng số cổ điển với phương pháp tổng trọng số chấp nhận được hai mục tiêu cho củng một bài tốn mà cỏ miền phẳng và khơng lồi.
Hình 1.5 Bỉên Pareto tìm được bằng phưomg pháp tổng trọng số
27
Hình 1.6 Biên Pareto tìm được bằng phương pháp tổng trọng sổ chấp
nhận được hai mục tiêu
Ta thấy rằng ràng buộc bất đẳng thức như là biên cho việc xây dụng miền chấp nhận được khơng phù hợp đối YỚi bài tốn tối ưu đa mục tiêu Miền chấp nhận được đối với việc mịn hĩa trong trường hợp 2 chiều cĩ thể được định nghĩa một cách dễ dàng bằng cách đặt 2 ràng buộc bất đẳng thức song song đến mỗi trục mà khoảng cách
đã được chỉ định từ điểm cuối YÌ biên Pareto là đường cong 2 chiều và luơn cĩ 2 điểm cuối đối YỚi mỗi đoạn thuộc biên Pareto
Tuy nhiên trong trường hợp lớn hơn 2 chiều thì biên Pareto sẽ là một siêu phẳng (nếu cĩ nhiều hơn 3 hàm mục tiêu), và điều này trở nên rất khĩ để thiết lập các ràng buộc cho bài tốn con - Sub-Optimization trên từng đoạn thuộc biên Pareto vốn đã được lựa chọn và mịn hĩa sao cho chấp nhận được Vì các đoạn trên biên Pareto cĩ thể
cĩ những hình dạng tùy ý và số cạnh của mỗi đoạn biên Pareto rất đa dạng Hơn nữa, khi số đỉnh lớn hơn số chiều của khơng gian hàm mục tiêu, thì tất cả các đỉnh hoặc cạnh liên kết các đỉnh này cĩ thể khơng nằm trong cùng một mặt phẳng hay siêu phẳng,
do đĩ rất khĩ để thiết lập các ràng buộc cho bài tốn con - Sub- Optimization và để mịn hĩa thích hợp trong các giai đoạn tiếp theo
Trang 51 2 . NP - 1 NP
Trong đóyo là độ thích nghi của nghiệm X
ii Lựa chọn dựa trên cơ sở thứ hạng của mỗi cá thể Theo cách này thì các cá thể xi, i = {1, , NP } trong quần thể được sắp xếp theo thứ tự giảm dần dựa trên độ thích nghi của chúng Các cá thể sẽ được lựa chọn dựa trên thứ hạng của chúng
Ví dụ 21: Bảng sau đây minh họa số lượng cá thể được chọn làm cha dựa trên phần trăm số lượng cá thể trong quần thể:
у = 1,2, N
P s ( x , ) =
a Quá trình lựa chọn:
Sự lựa chọn là một toán tử lựa chọn 2 cá thể cha (được mã hóa bằng 2 chuỗi nhị phân) nhằm mục đích tạo một cá thể mới mà ta gọi là cá thể con Trong toán tử lựa chọn, cá thể nào có độ thích nghi càng cao thì càng có nhiều
cơ hội được chọn lựa YỚi tư cách là cá thể cha Có 2 cách thức để lựa chọn được cá thể cha:
Một là: lựa chọn ngẫu nhiên (hay còn được gọi là vòng quay roulette) Hai là: lựa chọn dựa trên thứ hạn của mỗi cá thể.
Lựa chọn ngẫu nhiên bằng cách sử dụng toán tử lựa chọn Cho Np là
số lượng cá thể
trong quần thể p - kích thước quần thể Mỗi nghiệm/ cá thể
xi, i = {1, , NP } được lựa chọn làm cá thể cha với khả năng là PS(xi)
và được tính như sau:
/(*.)
41
Ỷ Yes Kết thúc
)
/• "V Khởi tạo các cá thể trong quần thể
V J
Gán độ thích nghi
Áp dụng toán tử Lựa chọn
ị
Áp dụng toán tử chéo hoá
ị
Áp dụng toán tử đột biến
—' Điều kiện dừng No
thỏa mãn ? ^
Sơ đồ khối của thuật toán Di truyền
Bước 3: Đột biến - Dùng toán tử đột biến để tạo sự biến đổi ở mỗi nghiệm X
eQt với mức biến đổi cho trước
Bước 4: Gán độ thích nghi cho mỗi cá thể trong quần thể.
X eQt dựa trên giá trị hàm mục tiêu và khả năng không chấp nhận của nghiệm này
Bước 5:Lựa chọn NP cá thể từ Qt dựa trên độ thích nghi của chúng và đưa tất
cả các nghiệm này vào tập Pt+1
Bước 6:
• Dừng nếu điều kiện dừng thỏa mãn (ví dụ như: số lượng cá thể trong quần thể, số lượng thế hệ ) và đưa ra quần thể hiện tại
• Ngược lại: t <—1+1 và quay lại thực hiện bước 2.
40
Ta thấy rằng trong thế hệ ban đầu độ thích nghi cao nhất là 576 và độ thích nghi trung bình là 292 Còn trong thế hệ mới, độ thích nghi cao nhất là 729 và độ thích nghi trung bình là 438 Như vậy chỉ qua một thế hệ, các cá thể đã “tốt lên” rất nhiều
2.2.Thuật toán di truyền.
Sau đây là các bước trong thuật toán di truyền:
Bước 1:
Đặt: t = 0
Tạo ngẫu nhiên NP >1 cá thể để hình thành quàn thể thứ 1 gọi là: Pt
Đánh giá độ thích nghi của nghiệm trong quàn thể Pt
Bước 2\ Chéo hóa - Dùng toán tử Chéo hóa để tạo quần thể con Qt như sau:
Chọn 2 nghiệm X và y trong quàn thể Pt dựa trên độ thích nghi
Sử dụng toán tà chéo hóa tạo nghiệm con và bổ sung nghiệm con này vào tập Qt
Để thực hiện quá trình đột biến, ta chọn xác suất đột biến pm=0.001, tứ là ta hy vọng có 5 X 4 X 0.001 = 0.02 bit được đột biến, do đó sẽ không có bit nào được đột biến Như vậy thế hệ quần thể mới là quần thể sau lai ghép
Quân thê sau chon
loc • •
Điêm ghép
Quân thê sau lai ghép
f(x)=x 2
Ket quả lai ghép được cho trong bảng sau, trong bảng này, chuỗi thứ nhất được lai ghép YỚi chuỗi thứ hai YỚi điểm lai ghép là 4, hai chuỗi còn lại được lai ghép với nhau với điểm ghép là 2
39
Thực hiện quá trình lai ghép với xác suât lai ghép Pc=l, cả 4 cá thê sau chọn lọc đều được lai ghép
chon •
Giải thuật di truyền phụ thuộc vào bộ 4 (N,p c ,pm, G), trong đó:
N - số cá thể trong quần thể; p c - xác suất lai ghép; p m - xác suất đột biến; G - số
thế hệ cần tiến hoá Đây chính là các tham số điều khiển của giải thuật SGA
Cá thể có giá trị hàm mục tiêu tốt nhất của mọi thế hệ là lời giải cuối cùng của giải thuật SGA Quần thể đầu tiên được khởi tạo một cách ngẫu nhiên
Ví dụ 2.1: xét bài toán tìm max của hàm J{x) = X 2 với X là số nguyên trên
đoạn [0,31]
Để sử dụng giải thuật di truyền ta mã hóa mỗi số nguyên X trong đoạn [0,31] bởi một số nhị phân có độ dài 5, chẳng hạn chuỗi 11000 là mã của số nguyên 24
Hàm thích nghi được xác định chính là hàmy(x)=x2
Quần thể ban đầu gồm 4 cá thể (kích thước quần thể n=4)
Thực hiện quá trình chọn lọc ta có bảng sau, trong bảng này ta thấy cá thể 2 có
độ thích nghi cao nhất nên nó được chọn 2 lần, cá thể 3 có độ thích nghị thấp nhất không được chọn lần nào, mỗi cá thể 1 và 4 được chọn 1 lần
38
quần
Thủ tụcSGAO /* Giải bài toán tối ưu */
{ k = 0;
//Khởi tạo quần thể p 0 một cách ngẫu nhiên.
khởi tạo (P k );
// Tỉnh giá trị hàm mục tiêu cho từng cá thế.
tính_hàm_mục_tiêu (P k );
// Đặt lời giải của giải thuật bằng cá thể có giá trị hàm mục tiêu tốt
nhất.
Xbest = tốt nhất (P k );
do {// Chuyển đổi giả trị hàm mục tiêu thành giá trị độ phù hợp và
II tiến hành chọn lọc tạo ra quần thể bổ mẹ pparent
Pparent = chọn lọc (P k );
// Tiến hành lai ghép và đột biến tạo ra quần thể cá thể
con pchild
Pchild = đột biến (lai_ghép (Pparent));
// Thay thế quần thể hiện tại bằng quần thể cá thể con
k = k + 1;
ĩ*k Pchildỉ
tính_hàm_mục_tiêu (Pk);
// Nếu giá trị hàm mục tiêu obj của cá thể tốt nhất X trong // thể p k lớn hơn giá trị hàm mục tiêu của x best thì thay thế lời giải
X = tốtnhất (P k );
if ( obj (X) > obj (X best ) ) x best = X;
} while( k< G); /* Tiến hành G thế hệ */
return (X best ); /* Trả về lời giải của giải thuật GA*I
}
37
Điều đáng lưu ý là giải thuật GA không yêu càu toán tử lai ghép luôn xảy ra đối với hai cá thể bố mẹ được chọn Sự lai ghép chỉ xảy ra khi số ngẫu nhiên tương ứng YỚi cặp cá thể bố mẹ được sinh ra trong khoảng [0, 1) không lớn hơn một tham
số Pc (gọi là xác suất lai ghép) Nếu số ngẫu nhiên này lớn hơn Pc, toán tử lai ghép
không xảy ra Khi đó hai cá thể con là bản sao trực tiếp của hai cá thể bố mẹ
Tiếp theo, J H Holland xây dựng toán tử đột biến cho giải thuật SGA Toán tử
này được gọi là toán tử đột biến chuẩn Toán tử đột biến duyệt từng gien của từng cá
thể con được sinh ra sau khi tiến hành toán tử lai ghép và tiến hành biến đổi giá trị từ
0 sang 1 hoặc ngược lại với một xác suất p m được gọi là xác suất đột biến.
Cuối cùng là chiến lược thay thế hay còn gọi là toán tò tái tạo Trong giải thuật SGA, quàn thể con được sinh ra từ quần thể hiện tại thông qua 3 toán tử là chọn lọc, lai ghép và đột biến thay thế hoàn toàn quần thể hiện tại và trở thành quàn thể hiện tại của thế hệ tiếp theo
Sơ đồ tổng thể của giải thuật được thể hiện qua thủ tục GSA() trình bày dưới đây
+ Sinh một số ngẫu nhiên j trong khoảng [1, L - 1] Hai cá thể con được tạo ra bằng
việc sao chép các ký tự từ 1 đến j và tráo đổi các ký tự từ7 + 1 đến L.
36 Tóm lại, có 6 khía cạnh cần được xem xét, trước khi áp dụng giải thuật GA để giải một bài toán, cụ thể là:
+ Mã hoá lời giải thành cá thể dạng chuỗi
+ Hàm xác định giá trị độ phù hợp
+ Sơ đồ chọn lọc các cá thể bố mẹ
+ Toán tử lai ghép
+ Toán tử đột biến
+ Chiến lược thay thế hay còn gọi là toán tử tái tạo
Có nhiều lựa chọn khác nhau cho từng Yấn đề trên Phần tiếp theo sẽ đưa ra cách lựa chọn theo J.H Holland khi thiết kế phiên bản giải thuật GA đàu tiên Giải thuật này được gọi là giải thuật di truyền đơn giản (SGA)
2.1.2 Giải thuật di truyền đơn giản
Trong giải thuật di truyền của mình J H Holland sử dụng mã hoá nhị phân để biểu diễn các cá thể, lý do là phần lớn các bài toán tối ưu hoá đều có thể được mã hoá thành chuỗi nhị phân khá đơn giản
Hàm mục tiêu, hàm cần tối ưu, được chọn làm cơ sở để tính độ phù hợp của
từng chuỗi cá thể Giá trị độ phù hợp của từng cá thể sau đó được dùng để tính toán xác suất chọn lọc
Sơ đồ chọn lọc trong giải thuật SGA là sơ đồ chọn lọc tỷ lệ Trong sơ đồ chọn lọc này, cá thể có độ phù hợp fi có xác suất chọn lựa
P i = f ị / ^ N f j , ở đây N là số cá thể có trong quàn thể.
Toán tà lai ghép trong giải thuật SGA là toán tử lai ghép một điểm cẳt Giả sử chuỗi cá thể có độ dài L (có L bít), toán tử lai ghép được tiến hành qua hai giai đoạn
là:
+ Hai cá thể trong quần thể bố mẹ được chọn một cách ngẫu nhiên với phân
bố xác suất đều
35
CHƯƠNG 2 CÁC KHÁI NIỆM Cơ BẢN VỀ GIẢI THUẬT DI TRUYỀN
2.1.Các khái niệm cơ bản của giải thuật di truyền
2.1.1 Giới thiệu chung
Giải thuật GA thuộc lớp các giải thuật tìm kiếm tiến hoá Khác YỚi phàn lớn các giải thuật khác tìm kiếm theo điểm, giải thuật GA thực hiện tìm kiếm song song
trên một tập được gọi là quần thể các lời giải có thể.
Thông qua việc áp dụng các toán tử di truyền, giải thuật GA tráo đổi thông tin giữa các cực trị và do đó làm giảm thiểu khả năng kết thúc giải thuật tại một cực trị địa phương Trong thực tế, giải thuật GA đã được áp dụng thành công trong nhiều lĩnh vực
Giải thuật GA lần đầu được tác giả Holland giới thiệu vào năm 1962 Giải
thuật GA mô phỏng quá trình tồn tại của các cá thể có độ phù hợp tốt nhất thông qua
quá trình chọn lọc tự nhiên, sao cho khi giải thuật được thực thi, quần thể các lời giải
tiến hoá tiến dàn tới lời giải mong muốn.
Giải thuật GA duy trì một quần thể các lời giải có thể của bài toán tối ưu hoá Thông thường, các lời giải này được mã hoá dưới dạng một chuỗi các gien Giá trị
của các gien có trong chuỗi được lấy từ một bảng các kỷ tự được định nghĩa trước Mỗi chuỗi gien được liên kết với một giá trịđược gọi là độ phù hợp Độ phù hợp được dùng trong quá trình chọn lọc.
Cơ chế chọn lọc đảm bảo các cá thể có độ phù hợp tốt hơn có xác suất được lựa chọn cao hơn Quá trình chọn lọc sao chép các bản sao của các cá thể có độ phù
hợp tốt vào một quần thể tạm thời được gọi là quần thể bổ mẹ Các cá thể trong quàn thể bố mẹ được ghép đôi một cách ngẫu nhiên và tiến hành lai ghép tạo ra các cá thể
con
Sau khi tiến hành quá trình lai ghép, giải thuật GA mô phỏng một quá trình
khác trong tự nhiên là quá trình đột biến, trong đó các gien của các cá thể con tự thay
đổi giá trị với một xác suất nhỏ
34
Bước 7: Mịn hóa biên Pareto Trong phương pháp tổng trọng số chấp nhận
được đối với bài toán 2 hàm mục tiêu, nghiệm tối ưu non-Pareto thì được loại bỏ một cách tự động nên việc lọc thì không cần thiết Tuy nhiên theo phương pháp tổng trọng
số chấp nhận được đa mục tiêu thì bất cứ nghiệm nào dựa trên ràng buộc đẳng thức đều chấp nhận được và nghiệm tối ưu non-Pareto có được
Trong mỗi bước, ta cần phải thực hiện việc mịn hóa biên Pareto để đạt được biên Pareto thực
Bước 8: Xóa nghiệm trùng nhau Nhận dạng các đoạn (siêu phang) trên biên
Pareto YỚi tất cả nghiệm tối ưu Pareto kể cả nghiệm đã đạt được ở các bước trước Nếu tiêu chuẩn cuối cùng được tìm thấy thì dừng ngược lại quay lại bước 5, một vài tiêu chuẩn dùng có thể được dùng là:
i) Số pha đáp ứng yêu cầu.
ii) Kích thước đoạn (mặt) trên biên Pareto lớn nhất tương ứng giá trị đã được chỉ định
iii) Độ lệch chuẩn giữa kích thước của tất cả các đoạn (mặt) trên biên
Pareto tương ứng với giá trị đã được chỉ định
Trong phần trình bày này, số lượng lớn nhất của các pha thì được sử dụng như
là tiêu chuẩn để kết thúc
Nghiệm hiện tại có được sau khi chuẩn hoá thứ j, P J sẽ khác với nghiệm chấp
được cực tiểu để xác định nghiệm gần điểm Utopia theo hướng của
33
Hình 1.9 Minh họa 3 chiều mô tả ràng buộc đẳng thức bỗ sung cho quá
trình minh hóa biên Pareto
Ràng buôc đăng thức: -= 1
-j _rĩ N \_r? N p - f /(*)-/
Làm cho 2 vector ị p j - f N j và (/(*)- f N ) trở nên đồng tuyến tính Do đó ràng buộc
này đảm bảo rằng nghiệm đạt được chỉ nằm trên đường thẳng
kết nối nghiệm chấp nhận được trên các “mảnh”mặt phang tuyến tính và điểm giả
Nadir Hàm mục tiêu -Ị// - f N Ỵ f { x ) là một hàm vô hướng cần
p - f
/ỉ(x)
= 0 g(x)<
0
Trong đó: w=-ỊpJ - f N a d i r j: giá trị trọng số
h ( x ) , g ( x ): Các véc tơ rằng buộc đẳng thức và bất đẳng thức tương ứng Chú ý rằng:
điểm nadir chuẩn hóa - J N là véc tơ đơn vị Tức là
—=7^= -zr^- = l (13)
/(*)-/
32
Sao cho
Sub-ptimization được định nghĩa như sau: min P - f N
Trong đó: p ] i là tọa độ thứ i của vector Pj Mức độ mịn được đặc trưng bởi giá
trị của trọng số thì được xác định dựa trên độ dài trung bình tương đối của mặt trên mỗi hướng
Bước 6: Áp đặt ràng buộc bất đẳng thức bổ sung cho mỗi nghiệm chấp nhận
được và giải bài toán con Sub-Optimization bằng phương pháp tổng trọng số Đối với nghiệm chấp nhận được các hàm chuẩn hóa thứ j, p-j, bài toán con
thấp hơn thì lớn hơn, nên nó sẽ được làm mịn nhiều Trong mỗi lưới (gồm nhiều mặt tạo thành), vị trí của nghiệm chấp nhận được xác định bằng phép nội suy và bài toán con Sub-Optimization được giải cùng với đường thẳng nối điểm giả Nadir và các nghiệm chấp nhận được Nghiệm hiện tại có thể khác biệt với nghiệm chấp nhận được và có thể có nghiệm trội - nghiệm này sẽ được xóa đi trong quá trình làm mịn biên Pareto
Vector vị trí của nghiệm chấp nhận được thứ j trên từng mặt đã được làm mịn trên biên Pareto
- Pj đạt được như là tổng trọng số của 4 vector nghiệm (ương ứng là 4 node) như sau:
Trong đó: Ni là vector vị trí nút thứ i của mảnh biên Pareto
pi là nhân tố trọng số đối với phép nội suy
31 chọn 1 nghiệm nằm trên biên Pareto Trong khi thực hiện tính toán nếu khoảng cách giữa các nghiệm trong không gian mục tiêu nhỏ hơn £ - £ khoảng cách đã xác định trước đó, thì khi đó ta nhận tất cả các nghiệm này và sẽ xóa
bỏ nghiệm trước đố
Bước 4: Nhận dạng các đoạn trên biên Pareto Các đoạn với hình dạng
bất kỳ nào được dùng, nhưng ttong phần trình bày này ta sử dụng mặt có hình
dạng là tứ giác trong bài toán 3 chiều 4 nghiệm tối ưu Pareto trở thành 4 nốt
của mỗi mặt và các cạnh là các đoạn thẳng nối 2 điểm cạnh nhau của mỗi mặt Việc xây dựng và duy trì các lưới trên biên Pareto có thể sẽ rất dài dòng nhưng có 2 thuận lợi:
Các mặt đóng vai ưò quan ưọng khi sử dụng mịn hỏa các mặt ưong những pha tiếp theo
ii) Nếu chỉ tìm thấy điểm không trội thì rất khó vẽ hay hình dung ra
hình dạng của biên Pareto Nhưng khi cỏ lưới thì việc này sẽ dễ hơn nhất là khỉ các lưới là hữu hạn
Bước 5: Xác định cách bố trí để mịn hổa mỗi mặt ưên biên Pareto Khi
các mặt càng lớn thì nó càn phải được lọc nhiều hơn
iVgíirVíH ỉìartiiìi tíf{'
<a) Mtrtih ĩttin (ĩií 17 (b> ỉtă (Tĩtợr wịj; fcỉ Miitiỉỉ đã ơmrc
Hình 1.8: Trong trường hợp 3 chiều, bỉên Pareto là mịt và mảnh bỉên Pareto đã
được tuyến tính hóa bằng 4 đoạn thẳng nốỉ 4 đỉnh Hình ảnh này cũng cho thấy ví dụ về quá trình mịn hóa, trong đó các mặt được tạo thành bởi 4 nốt trong không gian mục tiêu 3 chiều Vì mặt dưới
30
Bước 2: Tối ưu nhiều mục tiêu sử dụng cách tiếp cận bằng phương pháp tổng
trọng số với số lượng phân chia nhỏ - n0
Đối với bài toán 3 hàm mục tiêu, hàm mục tiêu tổng/roíữl với các trọng số wi đạt
được như sau:
Lua = w [■ w ifi + ( ! - w )fi ] ■ + í 1
■ - w 2) / 3 = w 2 / 1 + ( l - w 1 ) w 2 / 2 + ( l
-w 3 ) / 3 , w, G[0,1]
Một cách tổng quát, hàm mục tiêu tổng /"; của m hàm mục tiêu được
xác định bởi: f m
total = wmA fZãì + (1 _ Wm-1 )fm’m ^ 2 Trong
đó f: tal =f x
Chú ý rằng m-1 nhân tố trọng số thì cần để tìm không gian mục tiêu m
chiều
Bước hình thức kích thước của nhân tố trọng số thứ i là wi được xác định bởi số lượng phân chia ban đầu cùng YỚi số chiều của hàm mục tiêu thứ i * 1 1 1
1: AW; =—=
»0,-Trong phần trình bày này, ta sử dụng cùng một giá trị của trọng số wi Có một lược đồ để xác định giá trị của trọng số wi một cách có hệ thống, điều này sẽ giúp ích rất nhiều trong việc tạo ra nghiệm có sự phân bố tốt hơn Tuy nhiên trong phương pháp Tổng trọng số chấp nhận được thì đẳng thức (10) có thể được dùng đến duy chỉ một lần
và sau đó quá trình mịn hóa sẽ được áp dụng đối với bài toán tối ưu đa mục tiêu xấp xỉ
Bước 3: Loại bỏ các nghiệm trùng nhau Vì khi sử dụng phương pháp Tổng
trọng số có thể sinh ra ra các nghiệm trùng nhau này Khoảng cách Euclid giữa các nghiệm này là 0 và trọng số các nghiệm trùng nhau này chỉ
29
(6)
fi* = [ fỉ(xi*) f2(xỉ*) fm (xi*)]
Và bây giờ hàm mục tiêu chuẩn / được xác định bởi
Điểm anchor /ỉ* thứ i được định nghĩa như sau:
Trong đó: Môi thành phân Ji được xác định bởi:
fU = [ f ỉ ( x l * ) f 2 (x2*) fm (xm*)]
Điểm giả Nadừ JN được định nghĩa là:
tiêu
Trong phần này chứng ta trình bày chi tiết các thủ tục cho việc thực hiện
phương pháp tổng ữọng số chấp nhận được đa mục tiêu.
Bước 1: Chuẩn hóa các hàm mục tiêu.
Khi xi* là vector nghiệm tối ưu đối với hàm mục tiêu fi thứ i Điểm Utopia fu
được định nghĩa như sau:
Hình 1.7: Minh họa phương pháp Adaptive Weight Sum
1.5.4.3 Các thủ tục của phương pháp tổng trọng số chấp nhận được đa mục
Nghiệm hiện tại
t
Điếm giả Nadir
28
Trang 6ai Ü Ü ]ũỊo] 1 [ü|o| 1 Ch
Ị 10 0 1 00 1 00
Toán tử Chéo hóa áp dụng cho chuỗi số nguyên hoán vị
Điếm chéo I
3 8 6 9 4 2 5 6 В
4 3 9 7 1 5 2 1 7
Con
I Con
4 3 9 7 Ị 11 2 [ 5
3 % 6 9 4 5 2 1 7
Cha
t
Cha
Điểm
chéo ị
Quá trình Chéo hóa:
Toán tử Chéo hóa dùng để tạo cá thể mới từ các cá thể cha đã được chọn Toán
tử Chéo hóa thường áp dụng trên cá thể cha - được mã hóa bằng các chuỗi nhị phân
và chuỗi hoán vị Ta xét một vài toán tử Chéo hóa sau: ỉ Chéo hóa tại một điểm:
Chéo hóa tại một điểm là toán tử thường dùng nhất cho chuỗi nhị phân Toán
tử này thì áp dụng trên các chuỗi cha đã được chọn lựa như sau: Điểm Chéo hóa được lựa chọn ngẫu nhiên giữa hai chuỗi nằm trong hai cá thể cha nhằm tạo ra hai cá thể con mới bằng cách hoán đổi phần đầu tính từ điểm chéo hóa của mỗi chuỗi
42
0 Con I 0 0 I 0 0 Ü 0
Con 2 0 0 1 Ü 0 I 1 0 0
Toán tử chéo hóa áp dụng cho chuỗi nhị phân,
ii Chéo hóa thứ tự tại một điểm.
Chọn một điểm chéo hóa tại một vị trí bất kỳ trong cá thể cha thứ I Sau đó thay các gen tính từ điểm bắt đầu chéo hóa bằng các gen của cá thể cha thứ II Từ đây
ta được một cá thể con
Trang 7Bli
T°
Cha I I 7 ] 8 19 13 14 Ị 6 12 15
ГП Con |7|8|9|3|4|6|5|
Cha 2 |3 |5 |8 |2 I 1 Ị 7 19 14 [б]
Toán tử Chéo hóa áp dụng cho chuỗi hoán vị
iii Chéo hóa thứ tự tại hai điểm.
Cá thể con được tạo thành như sau: chọn hai điểm chéo hóa bất kỳ trong cá thể cha thứ I Sau đó thay thế các gen nằm giữa hai điểm chéo hóa này bằng các gen tương ứng của của cá thể cha thứ II
Đi Im chéo
Ỷ i Cha I I 7 I 8 \9 | 3 | 4 | b | 2 \s I 1 ~ |
О О
C o n | 7 | 8 | 3 [ 9 | 4 | б | 2 | д I i l
C h a 2 3 5 8
ì | 5 | 8 | 2 I | 7 | 9 | 4 | 6
iv Chéo hóa bằng cách cố định vị trí của các gen.
Chọn và cố định vị trí một vài gen của cá thể cha thứ I Sau đó thay thế các gen còn lại trong cá thể cha thứ I này bởi các gen tương ứng của cá thể cha thứ II
Cha I
Con
| 7 | 8 | 9 | 3 | 4 | 6 | 2 | s | l
í
7 Í 3 | 9 | 5 | 8 | 6 | 2 | 1 | 4
t///t
C h a 2 j 3 151S 1 2 1 1 | 7 |
9 | 4 | ổ
Trang 87 5 | 9 3 8 6 4 2 1
7 4 | 9 3 5 6 8 2 1
7 5 | ọ 3 4 6 8 2 1
7 s|9 3 5 6 4 2 1
7 [ 8 | 9 | 3 | 4 | 6 | 5 | 2 | 1
iii Tạo đột biến ba gen cách xa nhau
Ba cá thể cách xa nhau sẽ hoán vị cho nhau để tạo nên sự biến đổi -trong cách Đột biến này thì có nhiều cá thể mới tạo thành một cách ngẫu nhiên
Đột biển
715 1 9 1 3 i 4 1 6 1 8 \l 1 1
Đột biến
7 8 9 3 4 6 5 7 1
*
ii Tạo đột biến hai gen cách xa nhau
Hai cá thể cách xa nhau thì được hoán vị cho nhau để tạo sự biến đổi
7 9 8 3 4 6 5 2 1
7 8 9 3 4 6 5 2 I
V Ngoài ra còn có các toán tử Chéo hóa khác như: artially matched crossover
in Goldberg [23],(5) Cycle crossover in Oliver et al.[89], Edge recombination crossover in Whitley et al.[118], Enhanced Edge recombination crossover in Starkweather et al.[101]
c) Quá trình tạo đột biến:
Toán tử Đột biến nhằm tạo sự biến đổi ở mỗi cá thể mà sau khi áp dụng toán
tử Chéo hóa trên cá thể cha để tạo cá thể mới này Ta xét một số toán tử Đột biến sau:
i Tạo đột biến hai gen gần nhau
Hai cá thể gần nhau thì được hoán vị cho nhau để tạo sự biến đổi hay đột biến
44 45
iv Tạo đột biến bằng cách dịch chuyển:
Chọn ngẫu nhiên hai chromosome của cá thể, sau đó chèn 1 gen vào vị trí của gen còn lại để tạo sự biến đổi
* 7
8
9 3
4
6 5
2 1
7 5 8 9 3 4
6 2 ]
,»
7
9
3 4 6 5
8 2 ]
V Tạo đột biến bằng cách đảo ngược chuổi con.
Chọn ngẫu nhiên một dãy con gồm các gen của một cá thể cha thông qua việc chọn hai gen tùy ý cách xa nhau Sau đó đảo ngược dãy gồm các gen này để tạo sự đột biến
*
Đột biến
Nhận xét: Việc sử dụng 2 toán tử chéo hóa và đột biến trong thuật toán di truyền có thể sẽ giúp cho thuật toán di truyền trở nên hiệu quả hơn trong quá trình tính toán kết quả và thời gian thực thi Nhưng việc áp dụng toán tử nào trong các toán
tử chéo hóa và đột biến sẽ ảnh hưởng đến tính hiệu quả về mặt toán học của thuật toán di truyền
Giải thuật di truyền (Genetic Algorithm, viết tắt là GA) là giải thuật tìm kiếm, chọn lựa các giải pháp tối ưu để giải quyết các bài toán khác nhau dựa trên cơ chế chọn lọc tự nhiên của ngành di truyền học
Trong cơ thể sinh vật, các gen liên kết với nhau theo cấu trúc dạng chuỗi gọi là nhiễm sắc thể, nó đặc trưng cho mỗi loài và quyết định sự sống còn của cơ thể đó
Một loài muốn tồn tại phải thích nghi với môi trường, cơ thể sống nào thích nghi với môi trường hơn thì sẽ tồn tại và sinh sản YỚi số lượng ngày
46 càng nhiều hơn, trái lại những loài không thích nghi với môi trường sẽ dần dần bị diệt chủng
Môi trường tự nhiên luôn biến đổi, nên cấu trúc nhiễm sắc thể cũng thay đổi
để thích nghi với môi trường, và ở thế hệ sau luôn có độ thích nghi cao hơn ở thế hệ trước, cấu trúc này có được nhờ vào sự trao đổi thông tin ngẫu nhiên với môi trường bên ngoài hay giữa chúng với nhau
Dựa vào đó các nhà khoa học máy tính xây dụng nên một giải thuật tìm kiếm tinh tế dựa trên cơ sở chọn lọc tự nhiên và quy luật tiến hóa, gọi là giải thuật di truyền
Các nguyên lý cơ bản của giải thuật được tác giả Holland đề xuất lần đàu vào năm 1962 Nen tảng toán học của giải thuật GA được tác giả công bố trong cuốn sách
“Sự thích nghỉ trong các hệ thống tự nhiên và nhân tạo” xuất bản năm 1975.
Giải thuật GA được xem như một phương pháp tìm kiếm có bước chuyển ngẫu nhiên mang tính tổng quát để giải các bài toán tối ưu hoá
2.3.Giói thiệu thuật toán di truyền (Genetic Algorithm)
Ý tưởng thuật toán di truyền được đề xuất bởi John Holland vào những năm
1970 Lấy cảm hứng từ quá trình chọn lọc một cách ngẫu nhiên các cá thể thông qua
sự tác động của môi trường tự nhiên Nếu cá thể nào có mức độ thích nghi cao với sự tác động này thì chúng sẽ tiếp tục sống sót, ngược lại sẽ chúng sẽ bị loại bỏ Ý tưởng này đã được áp dụng để giải quyết các bài toán tối ưu một mục tiêu bằng cách xấp xỉ các nghiệm thành biên Pareto từ một số nghiệm khởi tạo ban đàu Tuy nhiên từ thực
tế số lượng hàm mục tiêu càn tối ưu tăng lên rất nhiều ít nhất là 2 mục tiêu và thường thì các mục tiêu này là xung đột nhau như: bài toán lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu nhiều người ta cố gắng cực đại lợi nhuận thu được trong khi giảm thiểu rủi ro đến mức có thể hay bài toán trong sản xuất ta cố gắng cực tiểu số lượng nhân công nhưng vẫn
47 cực đại được sản lượng Như vậy việc tìm một phương án hay nghiệm thỏa mãn tất cả các mục tiêu đặt ra như trên xem ra rất lý tưởng, nhưng trên thực tế có rất ít bài toán nào tồn tại phương án lý tưởng này Do đó ta chuyển sang tìm một phương án khả thi khác mà ta gọi là phương án thỏa hiệp Phương án thỏa hiệp sẽ thỏa mãn các mục tiêu đặt ra ở một mức độ chấp nhận tối đa có thể được
Trên cơ sở này người ta cố gắng áp dụng thuật toán di truyền để giải quyết các bài toán loại này Thuật toán di truyền đa mục tiêu xuất hiện trên cơ sở này Cho đến nay có rất nhiều thuật toán di truyền để giải bài toán tối ưu đa mục tiêu dựa trên
cơ sở thuật toán di truyền chẳng hạn: thuật toán MOGA, NSGA, NSGA II, SPEA, SPEA2, MOEA Ứng với mỗi thuật toán đều có những thuật lợi và khó khăn nhất định Từ việc phân tích này tôi đã lựa chọn trình bày 3 thuật toán là: MOGA, SPEA
và NSGA Thông qua các thuật toán này ta có thể xấp xỉ được biên Pareto tốt nhất từ các nghiệm khởi tạo ban đầu
48 CHƯƠNG 3 GIẢI THUẬT DI TRUYỀN GIẢI BÀI TOÁN TÓI ưu ĐA MỤC TIÊU
3.1.Một sổ thuật toán di truyền giải bài toán tối ưu đa mục tiêu
3.1.1 Thuật toán MOGA (Multi-Objective Genetic Algorithm)
Sau đây là các bước chính yếu trong thuật Toán MOGA:
Bước 1: Khởi tạo các cá thể trong quần thể p0 ngẫu nhiên;thiết lập t=0 Bước 2: Dừng nếu điều kiện dừng thỏa mãn và trả về tập pt Bước 3: Đánh giá độ thích nghi của quàn thể như sau
i Gán cho mỗi nghiệm xe P t một thứ hạng tương ứng là: r(jc,í) = 1 +
nq{x,t)
Trong đó: nq(x,t) là số nghiệm trội của thế hệ thứ t
Gán độ thích nghi cho mỗi nghiệm dựa trên thứ hạng của nghiệm như sau:
Trong đó nk là thứ hạng thứ k
nghiệm x G p <.
Trong đó: d(x ;y)- là khoảng cách euclid giữa các cặp nghiệm trong
không gian hàm mục tiêu 0 và 1
Với /ị”1“,/”“ là giá trị cực đại và cực tiểu củafk(.) xác định được trong quá
trình tìm kiếm
49
• ơ skare là bán kính cỗ tâm tính từ nghiệm X được xác định như sau:
C T ,W,=2 JỀa/; 2
Với &f l =Max.§f,(x)-f,(y)\:x,yeP?ị
ơ.
Hỉnh 3.1: Minh họa bán kính
iv Từứi độ thích nghi được chia sẻ của mỗi nghiệm xePt bằng cách sau:
/OM)
V Chuẩn hóa độ thích nghi bằng cách sử dụng độ thích nghi chia sẻ:
n x ) =/<*•'Km/( t)
ysP t
r(y,t)=r(x,t)
Bước 4: Dùng phương pháp lựa chọn ngẫu nhiên dựa ữên f” để chọn cha cho
nhóm phối giống
• Áp dụng toán tử Chéo hóa và đột biến vào nhỏm phối giống cho đến khi quần thể con đạt được kích thước là N:
Tức là |Qt|=Qt
Trang 950 Thiết lập Pt+i=Qt
yeP,
Bước 5: Thiết lập t=t+l và quay lại ‘bước 2’
Hình 3.2: Minh họa thuật toán MOGA
3.1.2 Thuật toán SPEA
Bước I: Khởi tạo bằng cách gán cho mỗi nghiệm X SE một chỉ số thuộc một
cụm nào đó gọi
Bước 2: Tính khoảng cách giữa tất cả các cặp cụm ci rà cj như sau:
1
| C i I \ C j I xec t ,ytCj
Trong đó: d(x,y)- là khoảng cách giữa hai cá thể được xác định bằng công thức:
-Trong không gian hàm mục tiêu: d (*, y) = /* (*)-/* ừ)
/
v max Ẩ'
k Jk
Ị 1 M
-Trong không gian quyêt định: d ( x , y ) = — ỵ,(x, - ỵ , )
'ịM w
min
k J
51
Bước 3: Trộn các cặp ci rà cj nào có khoảng cách nhỏ nhất trong tất cả các cặp
vào trong một“cụm”
Bước 4: Nếu I c I < N thực hiện tiếp bước 5 Ngược lại quay lại bước 2.
Bước 5: Đối với mỗi cụm xác định nghiệm nào mà có khoảng cách trung bình
nhỏ nhất so YỚi tất cả các nghiệm khác trong cùng một cụm - ta gọi là nghiệm trung tâm Lưu trữ các nghiệm trung tâm đối với mỗi cụm và xóa các nghiệm từ tập E
Các nghiệm trong Pt+1 được lựa chọn từ tập Pt u Et, điều này được thực hiện bằng cách gán độ thích nghi cho mỗi nghiệm trong Pt u Et Sau đó N nghiệm được lựa chọn cho thế hệ tiếp theo Pt+1 dựa trên độ thích nghi, ứng với điều trình bày trên
ta có thuật toán SPEA2 như sau:
3.1.3 Thuăt toán SPEA2
9 Một sổ kỷ hiệu:
NE: Số lượng lớn nhất mà tập E có thể chứa được các nghiệm không trội NP:SỐ lượng cá thể trong quần thể/kích thước tập p
k:Tham số của mật độ tính toán: k = ■S ỊN E + N p
Bước 1: Tạo ngẫu nhiên các nghiệm đầu tiên trong PO và thiết lập EO = 0 Bước 2: Tính toán độ thích nghi của mỗi nghiệm X trong Pt u Et như sau:
r(x> t) = Xy £ Pt u Et s(y, t) y < s
Trong đó: s(y,t) là số nghiệm trong Pt u Et mà trội bởi y
Trang 10■ À
ãr
ũ
4 1
f 2 (x)
Ọ
p-.
ã
(~)i O/
9
0
f 2 (x)
52
I
lị
■l
o7
■ p
14(3+4+3+2+1+1)
■ p
a
2 i
Mx)
só Cfi thỉ
trội
Gán giả trị tiiií-u vgUi
Hình 3.3: Minh họa tính toán độ thích nghi của các cá thể
i) Tính toán mật độ nghiệm như sau: m{x,t) = (<7* +2)1
ơ*
Trong đó: * là khoảng cách giữa nghiệm X đêm nghiệm lân cận gân nhất
thứ k trong tâp Et+1
ii) Gán độ thích nghi như sau: /(x, t) = r(x, t) + m(x, t)
Bước 3: Sao chép tất cả các nghiệm không trội trong Pt u Et vào Et+1 Điều
này sẽ dẫn đến 2 trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu I Et+l| > NE thì giảm đi (|Et+l| - NE ) nghiệm bằng cách
xóa bỏ các nghiệm nào có ok nhỏ nhất thông qua kiểm tra các ol rói 1 = còn lại
Hình 3.4.Mỉnh họa cách xóa bỏ các nghiệm nào có ơ k nhỏ nhất
53
Trường hợp 2: Nếu |Et+l| < NE thì sao chệp (NE - |Et+l I) nghiệm trội có độ
ứiích nghi tương ứng từ Pt и Et vào Et+1
Bước 4: Nếu điều kiện dừng thỏa mãn ( t > T, với T là số thế hệ lớn nhất cần
đạt được) thì dừng và xuất ra các nghiệm không trội trong Et+1
Bước 5: Chọn các cá thể cha từ Et+1 bằng cách sử dụng toán tử lựa chọn vòng
nhị phân
Bước 6: Sử dụng toán tử chéo hóa và đột biến để tạo NP cá thể con từ các
nghiệm cha Sao chép các cá thể COĨ1 vào Pt+1, gán t = t+1 và quay lại bước 2
Hình 3.5 Sư đề khếỉ của thuật toán SP£A2
54
3.1.4 Thuật toán NSGA (Thuật toán di truyền sắp xếp các nghiệm không trội)
Biên chứa các nghiệm không trội và thứ hạn Để gán độ thích nghi của các cá thể
trong quần thể ta thường gán cho các cá thể các thứ hạng tương ứng bằng cách đưa
các xếp cá thể phù hợp vào các biên chứa các nghiệm không ưội
Hình 3.6: Minh họa bỉên chứa các nghỉệm không trộỉ và thứ hạng tương
ứng Nghiệm hay cá thể nào nằm trên biên thứ nhất - RI thì có độ thích nghỉ cao
nhất và tất cả các nghiệm này được gán là hạng thứ 1
Tất cả các nghiệm nằm trên củng một biên chứa các nghiệm không trội thì
có cùng độ thích nghi và chúng có cùng thứ hạng,
b) Kỉ hiệu và thuật toán NSGAĩ Các kỉ kiệuỉ
IV Số nghiệm trội hơn nghiệm u
su: Tập nghiệm trội bởi nghiệm u
P: Quần thể ban đầu
55 Fj: Biên chứa các nghiệm không trội thứ j, j=l, R Q:
Tập lưu trữ nghiệm không trội qua mỗi thế hệ
Thuật toán NSGA:
Bước 1: VueP Gán nu=0 ; su=0 Bước 2: VueP Nếu u
trội V Su=Suu{v}
Ngược lại nếu V trội hơn u Gán: nu=nu+l Bước 3:
VueP Nếu: nu=0
Giữ u trong biên chứa các nghiệm trội thứ nhất Gánj=l
Bước 4: Trong khi Fj^0 thì khởi tạo Q=0 VueFj VVeSu
nv=nv-l
Nếu nv=0 tìiì Q=QU{Y}
Gánj=j+1
Fj=Q
3.1.5 Thuăt toán NSGA-II
■
Các kí hiệu và thuật toán trong thuật toán NSGA - II cải tiến từ thuật toán
NSGA
Các biến:
Pt - Quàn thể cha
Qt - Quàn thể con tạo thành từ các cá thể trong Pt Fj - Biên chứa các nghiệm
không trội, với j=l, ,R N - Là số lượng cá thể trong quần thể Pt Bước 1:
Tạo ngẫu nhiên quần thể cha PO với I PO I = N Gán t = 0
56 Bước 2:
Tạo ngẫu nhiên quần thể cha PO với I PO I = N G á n t = 0
Áp dụng toán tử chéo hóa và đột biến đối với các cá thể trong quàn thể PO để
tạo quần thể con QO YỚi |QO| = N Bước 3
Nếu điều kiện dừng thỏa mãn thì dừng và xuất ra các cá thể trong quần
thể Pt
Bước 4: Đặt Rt = Pt u Qt
Bước 5: Dùng thuật toán sắp xếp các nghiệm không trội - NSGA để nhận diện
các biên chứa các nghiệm không trội Fi, F2, F k trong Rt Bước 6: Với mỗi i = 1,
, k ta thực hiện các bước sau:
i Tính khoảng cách “quy tụ” của các nghiệm trong Fi
ii Tạo quần thể Pt+1 như sau:
Trường hợp 1: Nếu |Pt+l I + |Fi| < N thì thiết lập Pt+1 = Pt u Fi Trường hợp 2:
Nếu |Pt+l I + |Fi I > N thì bổ sung N - |Pt+l I nghiệm mà có các cá thể khác quy tụ là
ít nhất từ quần thể Fi vào Pt+1
Bước 7: Sử dụng toán tử lựa chọn vòng nhị phân dựa trên khoảng cách quy tụ
quanh nghiệm X để lựa chọn các cá thể cha từ quần thể Pt+1 Áp dụng toán tử chéo
hóa và đột biến đối với quần thể Pt+1 để tạo quần thể con Qt+1 với IQt+11 = N
Bước 8: Gán: 14— t + 1 Quay lại “bước 3”
