Chuyên đề: LƯỢNG GIÁCA... - Trong quá trình biến đổi ưu tiên việc biến đổi thành tích A.B = 0 trước, sau đó là ưu tiên đưa về cùng một góc lượng giác... - Nếu trong phương trình có chứa
Trang 1Chuyên đề: LƯỢNG GIÁC
A CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1) Hệ thức giữa các giá trị lượng giác của các cung góc có liên quan đặc biệt:
* Cung đối nhau:
cos(-x) = cosx; sin(-x) = -sinx; tg(-x) = - tgx; cotg(-x) = - cotgx
* Cung bù nhau:
cos( π - x) = - cosx sin( π - x) = sinx tg( π - x) = - tgx cotg( π - x) = -cotgx
* Cung phụ nhau:
cos( x
2
π − ) = sinx sin( x
2
π − ) = cosx tg( x
2
π − ) = cotgx cotg( x
2
π − ) = tgx
* Cung hơn kém nhau π :
cos( π + x) = - cosx sin( π + x) = - sinx tg( π - x) = tgx cotg( π - x) = cotgx
2) Công thức cộng:
cos(a + b) = cosa cosb - sina sinb cos(a - b) = cosa cosb + sina sinb
sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa sin(a - b) = sina cosb - sinb cosa
tg(a + b) =
tgatgb 1
tgb tga
−
+
tg(a - b) =
tgatgb 1
tgb tga
+
−
3) Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina cosa;
cos2a = 2cos2a - 1 = 1 - 2sin2a = cos2a - sin2a;
tg2a =
a tg 1
tga 2 2
−
4) Công thức hạ bậc:
) a 2 cos 1 ( 2
1 a
2
1 a
a 2 cos 1
a 2 cos 1 a
tg2
+
−
=
5) Công thức tính sina, cosa, tga theo t =
2
a tg
2 2
2
t 2 tga
; t 1
t 1 a cos
; t 1
t 2 a
sin
−
= +
−
= +
=
6) Công thức biến đổi tổng thành tích:
2
b a cos 2
b a cos 2 b cos a
; 2
b a sin 2
b a sin 2 b cos a
2
b a cos 2
b a sin 2 b sin a
; 2
b a sin 2
b a cos 2 b sin a
b cos a cos
) b a sin(
tgb tga
; b cos a cos
) b a sin(
tgb
7) Công thức biến đổi tích thành tổng:
2cosacosb = cos(a - b) + cos(a + b)
2sinasinb = cos(a - b) - cos(a + b)
2sinacosb = sin(a - b) + sin(a + b)
Trang 2B PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Các dạng phương trình đã biết cách giải tổng quát:
1) PTLG cơ bản:
π +
=
⇔
= π
+
=
⇔
=
π +
±
=
⇔
=
π +
− π
=
π +
=
⇔
=
k v u gv cot gu cot
; k
v u tgv tgu
2 k v u v cos cou
; 2 k v u
2 k v u v sin u sin
2) PT bậc nhất, bậc hai, theo một HSLG
3) Phương trình bậc nhất theo sinu và cosu: asinu + bcosu = c
- Cách giải: Chia hai vế cho a2 +b2 Đặt: = α
+ α
=
b
; cos b
a
a
2 2 2
2
- Điều kiện có nghiệm: a2 +b2 ≥c2
4) Phương trình đẳng cấp: asin2u+bsinucosu+c.cos2u=0
- Xét cosu = 0
- Trường hợp cosu 0≠ , chia hai vế của phương trình cho cos2u
5) Phương trình theo sinu±cosuvà sinu.cosu:
- Đặt t = sinu±cosu, suy ra: sinu.cosu =
2
1
t2 −
±
4 u sin(
2 u cos u
, u ≤ 2
Bài tập:
Bài 1: Giải các phương trình:
a) ) cotgx 0
5 x (
tg −π + = b) cos(1150 - 2x) = -sin3x c) tgx.cotg3x = 1
Bài 2: Giải các phương trình:
4
3 x cos 2 x
2
3 9 tgx 4 x
d)
2
5 x 6 cos 4 3 x 2
−π +
2
1 tgx x sin 2 x 2
Bài 3: Giải các phương trình:
a) sinx+ 3cosx = 2 b) 2x) 3sin( 2x) 1
2
c)
2
3 3 4 x sin 4 x sin
− π +
+ π
d) 3sinx 4 0
2
x sin
Bài 4: Giải các phương trình
a)
2
1 x cos 2 x sin x sin2 + − 2 = b) sin3x+2sin2 x.cosx−3cos3x=0
c) 8sin2x.cosx = 3 sinx + cosx
Bài 5: Giải các phương trình:
a) 2(sinx + cosx ) + 3sin2x - 2 = 0 b) ) 3 0
2
x cos 2
x (sin 2 2 x
c) sin3 x+cos3x =1+( 2−2)sinxcosx d) 5(sinx+cosx)+sin x−cos x=2 2(2+sin x) e) 1 - sin2x = |cosx + sinx|
Một số gợi ý giải phương trình lượng giác:
- Đối với một PTLG tổng quát, trong quá trình giải ta cố gắng dùng các công thức lượng giác thích hợp để đưa về PTLG đã biết cách giải tổng quát ở trên hoặc là tích của các phương trình đó
- Trong quá trình biến đổi ưu tiên việc biến đổi thành tích A.B = 0 trước, sau đó là ưu tiên đưa về cùng một góc lượng giác
Trang 3- Nếu trong phương trình có chứa mẫu thức hoặc tan, cot thì phải đặt điều kiện trước khi giải Tùy theo trường hợp mà điều kiện có thể để nguyên phương trinh lượng giác cơ bản hay giải tường minh ra x
- Nếu đưa được PT về theo một hàm lượng giác của cùng một góc thì dùng ẩn phụ (với điều kiện tương ứng)
- Nếu trong phương trình chỉ chứa tgx và sin2x, cos2x, tan2x, cot2x hoặc chỉ chứa toàn bộ các hàm lượng giác của cùng góc x thì đặt t = tanx (Nếu Pt bậc n thu được giải được)
Lưu y: Các nhận xét trên chỉ mang tính chất tương đối, nhiều phương trình phải dựa vào đặc trưng
riêng của phương trình đó mà đưa ra cách giải thích hợp
Bài 6 Giải các phương trình sau:
a) 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x
b) sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x
c) 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8
d) (2sinx + 1)(3cos4x + 2sinx – 4) + 4cos2x = 3
e) cos3x + sin3x = sin2x + sinx + cosx
cos sin (cos sin )sin 2 cos sin
2
g) cos22x+2(cosx+sinx)3 −3sin x−3=0
h) cos3x + cos2x + 2 sinx - 2 = 0
Bài 7: Giải các phương trình sau:
a) 2sin3x−cos2x+cosx =0 b)
x cos
1 ) tgx 1 ( 3 x cos 2 x sin
c) tanx.sin2x – 2sin2x = 3(cos2x + sinx.cosx) d) 5 + cos2x = 2(2 - cosx)(sinx -cosx)
e) sinx−4sin3x+cosx =0
g) 2cos2x + 2cos22x + 2cos23x – 3 = (2sin2x + 1)cos4x
h) cos x− 3sin x− 3sinx−cosx+4 = 0 i)cos3x+sinx−3cosxsin2x =0
Bài 8: Giải các phương trình sau:
a)
x 2 sin
x 2 cos 1 x 2 g cot
1 x sin x cos 2
x cos x sin 2 x cos
− +
−
c) 16(1 cos4x)
x 2 cos
x tg x g
+
=
x sin 2 1
x sin x cos x sin
+
+ +
e)
x sin 8
1 x g cot 2
1 x
sin 5
x cos x sin4 4
−
=
x cos
x 3 sin ) x sin 2 ( 1 x
2
2
1 x sin tgx 1
x cos 1 gx
+
=
x sin
2 x sin 4 tgx gx cot − + = (B-2003)
Bài 9: Giải các phương trình sau:
2
3 4 x sin 4 x cos x sin x
−π
−π +
b) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 (B - 2005)
c) cos23xcos2x - cos2x = 0 (A - 2005)
Bài 10: Giải các phương trình sau:
a)
2(cos x sin x) sin x cos x
0
2 2sin x
x cot x sin x(1 tan x.tan ) 4
2
c) cos3x + cos2x –cosx –1 = 0 (D-2006) d) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x
1 sin cos
2
2 sin cos
−
−
−
x x
x x
g) (sin4x + cos4x) + sin4x – 2 = 0
Bài 11: Giải các phương trình
a) 3(cotx - cosx) - 5(tanx - sinx) = 2 b) sin 3 sin 5
=
Trang 4Bài 12: Định m để phương trình: sin 2x m 0
4
1 x cos x cos x sin4 + 4 − + 2 + = có nghiệm a) Định m để phương trình sau có nghiệm thuộc ;
2 2
π π
−
:
cos
m x x
+ + =
b) Định m để phương trình sau có nghiệm thuộc 0;
2
π
2 2
+ + − =
x x m x x
c) Định m để phương trình sau có nghiệm:
(m+1) tan x−3 (1 tan ) tanm + x x+4 (1 tan )m + x =0
Bài 13 Giải các phương trình
a) 2
3x = cos x b) 2cosx −2sinx =sinx−cosx
c) sinx + cosx = tanx + cotx d) 2sin2x−2 2 sinx+3tan 22 x−2 3 tan 2x+ =2 0 e) cos2x – cos6x + 4(3sinx – 4sin3x + 1) = 0
sin cos 2(sin cos ) cos 2
4
Bài 14:Giải các phương trình sau :
a) (A-2007) (1+sin2 x)cosx+(1+cos2 x)sinx=1+sin2x
b) (B-2007) 2sin22x+sin7x−1=sinx
c) (D-2007) 3cos 2
2
cos 2 sin
2
= +
=
−
x
7 sin 4 2
3 sin
1 sin
π
e) (B-2008) sin3 x− 3cos3 x=sinxcos2 x− 3sin2 xcosx
f) (D-2008) 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx
g) (D-2009) 3 cos5x−2sin 3 cos 2x x−sinx=0
h) (B-2009) sinx+cos sin 2x x+ 3 cos3x=2 cos 4( x+sin3x)
i) (A-2009) ( )
(1 2sin1 2sin cos) (1 sin ) 3
k) (D-2010) sin2x – cos2x + 3sinx – cosx – 1 = 0
l) (B-2010) (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0
m) (A-2010) (1 sin cos 2 )sin
1
x x
π
= +
Bài 15 Giải các phương trình sau (các đề thi dự bị)
a) (A-2006)
8
2 3 2 sin 3 sin cos
3 cos x 3x− x 3 x= +
b) (B-2007)
2
3 cos 2 4
2
cos 4
2
5
−
−
x
x x
x
cot tan
sin
2 cos cos
2
d) (A-2007) 2cos2 x+2 3sinxcosx+1=3(sinx+ 3cosx)
x x
x
2 sin
1 sin
2
1 sin
2
Trang 5Lượng giác trong tam giác:
MỘT SỐ LƯU Ý
- Nắm vững các hệ thức lượng trong tam giác
- Giữa các góc, ta có: A+B+C=π ;
2 2
C 2
B 2
A+ + = π
2
C 2 2
B 2
A + = π− + =π−
suy ra: sin(A + B) = sinC; cos(A + B) = -cosC;
2
C cos 2
B 2
A sin =
+
- Ta thường biến đổi cạnh ra góc, góc ra cạnh bằng định lí hàm số sin và cosin:
a = 2RsinA,
R 2
a A sin = ;
bc 2
a c b A cos = 2 + 2 − 2
BÀI TẬP Bài 1: Trong tam giác ABC, chứng minh:
a)
2
C cos 2
B cos 2
A cos 4 C sin B sin A
2
C sin 2
B sin 2
A sin 4 1 C cos B cos A
2
A tg 2
C tg 2
C tg 2
B tg 2
B tg 2
A
e) sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC e) cos2A+cos2B+cos2C=1−2cosAcosBcosC
Bài 2: Trong tam giác ABC, chứng minh:
abc
c b a gC cot gB cot gA
cot + + = 2+ 2+ 2 b) S = 2R2sinAsinBsinC
c) (acosA bcosB ccosC)
2
R
4
1
e)
2
C cos 2
B cos 2
A cos
4
p
R =
f)
2
C sin 2
B sin 2
A sin R 4
r
=
Bài 3:
a) Cho tam giác ABC không vuông và góc A = 450 Chứng minh:
(1 + cotB)(1 + cotC) = 2 b) Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: Nếu: b4 + c4 = a4
thì: 2sin2A = tanB.tanC c) Chứng minh rằng: Trong tam giác ABC, nếu : 2b = a + c thì: 3
2
C g cot 2
A g
d) Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: Nếu a2 + b2 = c2 + 4R2
1 tgAtgB
1 tgAtgB = 2
− +
e) Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: nếu cotg
2
C g cot , 2
B g cot , 2
A g cot lập thành cấp số cộng thì: 3
2
C g
cot
2
A
g
Bài 4:
Chứng minh rằng tam giác ABC cân nếu thỏa một trong các điều kiện sau:
a) tanA + tanB = 2cot
2
C
b) tanA + 2tanB = tanA.tan2B
−
=
2
C g cot tgB b tgA 2
C g cot
2
1 B sin A sin
B cos A
2 2
2 2
+
= +
+
Trang 6e) (atgA btgB)
2
C tg b
c a 4
c a 2 B
sin
B cos 1
−
+
= +
Bài 5: Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu thỏa một trong các điều kiện sau:
a)
C sin B sin
a C
cos
c B cos
b c
a gA cot A sin
1
−
= +
c) sinA + sinB + sinC = 1 - cosA + cos B + cos C d) S = (a b c)(a c b)
4
Bài 6: Chứng minh tam giác ABC vuông hoặc cân nếu thỏa mãn một trong các hệ thức:
a) acosB - bcosA = asinB - bsinA b)
2
B A tg ) b a ( btgA
Bài 7: Chứng minh tam giác ABC đều nếu thỏa mãn một trong các hệ thức:
a)
=
=
− +
4
1 B cos A cos
1 ab
c a
b b
b)
− +
− +
=
=
a c b
a c b a
C cos b a
3 3 3
2 c) 3S = 2R2(sin3A + sin3B + sin3C)
d) 2(a.cosA + b.cosB + c.cosC) = a + b + c
e) cotgA + cotgB + cotgC =
2
C tg 2
B tg 2
A
Bài 8: Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn và có bán kính đường tròn ngoại tiếp R = 1.
Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 > 8
Bài 9: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2 Chứng minh:
a2 + b2 + c2 + 2abc < 2
Bài 10: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta đều có: 2
C cos B cos coaA
C sin B sin A
+ +
+ +
Bài 11: Cho tam giác ABC thỏa:
3
1 2
B tg 2
A
tg = Chứng minh:
2
b a
c= +
Bài 12: Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn điều kiện:
= +
+
<
+ +
0 C 5 sin B 5 sin A 5 sin
1 C cos B cos A
Chứng minh rằng tam giác có ít nhất một góc bằng 360
Bài 13: Cho ba số dương x, y, z thỏa xy + yz + zx = 1.
2 2
2
2 2
2
2 2
z 1
) x 1 )(
y 1 ( z y
1
) z 1 )(
x 1 ( y x
1
) z 1 )(
y 1 ( x M
+
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
=
Bài 14: Chứng minh tam giác ABC đều nếu thỏa điều kiện:
2
C cos 2
B cos 2
A cos C
sin B sin A
Bài 15: Chứng minh tam giác ABC đều nếu thỏa điều kiện:
2
C g cot 2
B g cot 2
A g cot tgC
tgB
Bài 16: Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện: cos 2A 2 2 cos B 2 2 cosC 3+ + =
Tính ba góc của tam giác ABC (A-2004)