PHUONG TRINH LUONG GIAC luyen thi ĐH THPTQG

Kế hoạch học tập hợp lý: Để tiết kiệm thời gian và sức lực, đồng thời có kết quả cao nhất thì cần có một kế hoạch học tập hợp lý. Cần thu xếp học bài trong thời gian sớm nhất sau khi nghe giảng. Học ở đây có nghĩa là đọc và tìm hiểu kỹ sách giáo khoa, sau đó làm bài tập áp dụng rồi đến bài tập nâng cao. Càng để cách lâu thì càng tốn nhiều thời gian và sức lực hơn để đạt cùng một kết quả. Khi nghe giảng, có những điều chưa hiểu kỹ, nếu học sớm sẽ được khôi phục rất nhanh; để lâu sẽ mờ dần, phần không hiểu sẽ tốn rất nhiều thời gian mà chưa chắc đã nắm được bài. Điều này rất dễ thấy nhưng học sinh thường hay có thói quen đợi đến khi nào gần thi mới học, thật không hợp lý. Vì vậy cần học thật sớm, tốt nhất là ngay sau khi nghe giảng xong và học thành nhiều lần. Có thể lần đầu học qua, chỉ làm các bài tập áp dụng, lần 2 mới làm các bài tập nâng cao để soi rọi các kiến thức cơ bản mà mình chưa nắm vững, tích lũy thêm một số xảo thuật. Đối với môn toán thì không nên cố mà nhớ những điều không hiểu, vì như thế chỉ làm tốn công vô ích, mất công sức không đâu mà còn dễ thất bại vì nhớ lan man; chỉ có hiểu thật rõ thì tự động sẽ nhớ dễ dàng.

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

cos 0

1

21

2tan

2

x

x k

k x

Vậy có hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán là x 7,x 31

Bài 3 Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình

Bài 4 Tìm nghiệm x thuộc đoạn 0;14 thỏa mãn phương trình

2sin 2x3cos 2x2 3sinxcosx 7

ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX, COSX

Cần nhớ đến các biến đổi sau, khi xuất hiện các biểu thức này khi giải toán sẽ áp dụng cách biến đổi tương tự

Bài 1 Giải phương trình: sin 3x 3 cos 3x2 sin 2x

x k k x

Bài 4 Giải phương trình

Phương trình tương đương với

Bài 5 Giải phương trình:  

2

x x

Vậy phương trình có nghiệm là: 2 ,

Điều kiện: cos cos 2x x  (*) 0

Phương trình đã cho tương đương với:

2

2 2 sinxcosx cosx 3 cos2 x

Bài 4 Giải phương trình

Bài 7 Giải phương trình: 3 cos tanx 2xsinx4 tanxsin tanx 2 x 3 cosx

Bài 8 Giải phương trình:

Bài 11 Giải phương trình: 3 sin 2 xcosxsinxcos 2x 2

PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX, COSX

Bài 3 Giải phương trình:

Điều kiện: sinxcosx 2  (*) 0

1

4

c x t

Bài 1 Giải phương trình

sinxcosx7 sin 2x1

Bài 2 Giải phương trình

1 2 sinxcosx2 sin cosx x 1 2

Bài 3 Giải phương trình

sin 3x c os3x2 sinxcosx 1.

Bài 5 Giải phương trình

Bài 9 Giải phương trình:

1 2 sinxcosx2 sin cosx x 1 2

Bài 10.Giải phương trình:

Bài 15

2 sin xcos x sin 2x sinxcosx 2 2

Bài 16

Giải phương trình: sinxcosx1 2 sin 2 x1  sinxcosx2sin 2x1

PHƯƠNG TRÌNH KẾT HỢP TANX, COTX, SINX, COSX

Bài 1 Giải phương trình: 2 tan xsinx3 cot xcosx 5 0

Lời giải:

Điều kiện: sin cosx x  (*) 0

Khi đó phương trình tương đương với:

Điều kiện: sin cosx x  0

Khi đó phương trình tương đương với:

Vậy phương trình có nghiệm là:

Điều kiện: sin cosx x  0

Khi đó phương trình tương đương với:

thỏa mãn điều kiện

Bài 6 Giải phương trình: 2 tan cot 3 2

Điều kiện: sin 2x  0

Khi đó phương trình tương đương với:

Khi đó phương trình tương đương với:

Bài 1 Giải phương trình: 4sin2x3 tan2 x 1

Bài 2 Giải phương trình: 1 tan x2 2 sinx

Bài 3 Giải phương trình: 1 3sin 2 x2 tanx

Bài 4 Giải phương trình: 2  3  3

tan x 1 sin x cos x 1 0

Bài 5 Giải phương trình: 2sinxcotx2sin 2x 1

sin 2x2 cos x4 sinxcosxtanx1 0

Bài 7 Giải phương trình: cot4xcos 23 x 1

Bài 8 Giải phương trình: sin2xtanx c os2xcotxsin 2x 1 cotxtanx

Bài 9 Giải phương trình: 1 tan 1 sin 2

1 tan

x

x x



 

Bài 10 Giải phương trình: 3 sin tan 

Bài 11 Giải phương trình: tanxcotx2 tan 2x1cos3x4 sin 3x

Bài 12 Giải phương trình: tan2 1 cos

1 sin

x x

x



Bài 16 Giải phương trình: tan 2xcotx8cos2 x

Bài 17 Giải phương trình: tanxcotx2 cot 23 x

Bài 18 Giải phương trình: tanxcotx2 sin 2 xcos2x

Bài 19 Giải phương trình: cotxtanx2 tan 2x

Bài 20 Giải phương trình: 6 tanx5 cot 3xtan 2x

Bài 21 Giải phương trình: 2 cot 2 xcot 3xtan 2xcot 3x

Bài 22 Giải phương trình: 3 tan 3 cot 2 2 tan 2

Bài 24 Giải phương trình: cotx 1 2 tan xcotxcosxsinx

Bài 25 Giải phương trình:

BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỈ CHỨA MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Các công thức biến đổi

(i) Xét trường hợp cosx  có phải là nghiệm của phương trình hay không 0

(ii) Xét trường hợp cosx  , khi đó chia cả hai vế của phương trình thứ nhất và thứ hai lần lượt 0cho cos x và 2 cos x Ta được các phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba với ẩn là 3 tan x

Phương trình tương đương với

Điều kiện cosx 0

Khi đó phương trình tương đương với

2 2

Nhận thấy cosx  không là nghiệm của phương trình 0

Xét cosx  , khi đó chia cả hai vế của phương trình cho 0 cos x ta được phương trình: 3

2sin xcosx3sinx4sin x6cos x 0

Nhận thấy cosx  không là nghiệm của phương trình 0

Xét cosx  , khi đó chia hai vế của phương trình cho 0 cos3x ta được phương trình

x k x

Bài 1 Giải phương trình: cos3x4sin3x3cos sinx 2xsinx 0

Bài 2 Giải phương trình: sin3 3sin3 cos sin 2

Bài 4 Giải phương trình: sinxcos2x6 cosx1 2 cos 2 x

Bài 5 Giải phương trình:  3 3 

Bài 6 Giải phương trình: sinxcosx4sin2 x 0

sin x tanx1 3sinx cosxsinx 3

Bài 8 Giải phương trình: 2 sin3 2 sin

Bài 9 Giải phương trình:

3

3

01

cos

2

x c x x

Lưu ý :Các thừa số chung

1 sin 2 ; os2 ;1 tan ;1 cotx c x x x

1 sin 2 ; os2 ;1 tan ;1 cotx c x x x

 có thừa số chung là 1 sin x1 sin x

Lưu ý với Bài tập mẫu số 5 Các bài toán thường cho dưới dạng này

Thông thường loại toán này có dạng :

absinx f  cosx f sinx0

Ta phân tích được f sinx  absinx g sinx

Phương trình tương đương với:

sinxsin 3xsin 2xcosxcos3xcos2x

2sin 2 cosx x sin 2x 2 cos 2 cosx x cos2x

sin 2x 2 cosx 1 cos2x 2 cosx 1

Phương trình tương đương với:

Bài 4

Giải phương trình: sin 3xsinxsin 2x 0

Lời giải:

Phương trình tương đương với:

sin 3xsinxsin 2x02 cos 2 sinx x2 sin cosx x0

Phương trình tương đương với:

1cos2x  cos3xcosx  sinxsin 2x0

2sinx1 2 sin 2x1  3 4 1 sin x 4sin x1

2 sinx 1 2 sin 2 x 1 2 sinx 1 2 sin x 1

32

Điều kiện cosx  0

Khi đó phương trình tương đương với

 (thỏa mãn điều kiện)

Bài 14 Giải phương trình

sinxsin 2xsin 3x 1 cosx c os2 x

Bài 15 Giải phương trình

9 sinx6 cosx3sin 2xcos2x8

Phương trình tương đương với:

sinxsin 3xsin 2xcosxcos3xcos2x

2sin 2 cosx x sin 2x 2 cos 2 cosx x cos2x

Lời giải:

Điều kiện: cos os2x c x  0

Khi đó phương trình tương đương với:cos sin 3x xcos2 sinx 2x c os2xsin 2x

Điều kiện: sin cosx x  0

Khi đó phương trình tương đương với:

1

12sin 2

2

712

Điều kiện: sinxcosx 0

Khi đó phương trình tương đương với

1 sin x1 sin xcosx12 sin xcosx1 sin x

1 sinxsinx cosx sin cosx x 1 0

 thỏa mãn điều kiện

Bài 22 Giải phương trình:

2 2

,3

 thỏa mãn điều kiện

Bài 23 Giải phương trình 2 2 cos 2 sin 2 cos 3 4 sin 0

4 cosxsinx sin 2x44 cosxsinx 2 sin cosx x 5 sin xcos x

cosx sinx2 4 cos x sinx 5 cosx sinx 1 cos x sinx 5

Vậy phương trình tương đương với

cosxsinxcosxsinx1 cos xsinx50

4

2 ,2

2sin x sinxcosx  2 sin 2x sin 4x

Giải các phương trình sau:

Bài 1 Giải phương trình : cos3xsin3xsinxcosx

Bài 2 Giải phương trình: cos3xsin3xsin 2xsinxcosx

Bài 3 Giải phương trình: cos3x c os2x2sinx  2 0

Bài 4 Giải phương trình: sinxsin2x c os3x 0

Bài 5 Giải phương trình: cos2 x4sin cosx x 0

Bài 6 Giải phương trình: 2sin3 xsinx2 cos3xcosx c os2x

Bài 7 Giải phương trình: 3

4 cos x3 2 sin 2x8cosx

Bài 8 Giải phương trình: sinxsin2xsin3xsin4xcosx c os2x c os3x c os4x

Bài 9 Giải phương trình: cos4 sin4 sin 2

x x

x

Bài 10 Giải phương trình:   4   2

Bài 12 Giải phương trình: 1 1 2

sinxsin 2x sin 4x

Bài 13 Giải phương trình: 5sin 3x3sin 5x 0

Bài 14 Giải phương trình: 2 cos 2 8 cos 7 1

Bài 17 Giải phương trình: 3   3   3

2 sinx 1cos2x sin 2x 1 2 cos x

Bài 21 Giải phương trình:

Bài 24 Giải phương trình: 4 cosx2 cos 2x c os4x 1

Bài 25 Giải phương trình: cos2x 5 2 2 cos  xsinxcosx

Bài 26 Giải phương trình: 2sin3 x c os2xsinx

Bài 27 Giải phương trình: 4 sin 2x3 cos 2x3 4 sin x1

Bài 28 Giải phương trình: sin 4xcos4x 1 4 sin xcosx

sin 2x cosx3 2 3 cos x3 3 cos 2x8 3 cosxsinx 3 30

BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG

Bài 1 Giải phương trình:

Bài 4 Giải phương trình: 2 sin 5x1 2 cos 2 x12 sinx

ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ CÙNG MỘT CUNG LƯỢNG GIÁC

Đặt tax b , với a nhỏ nhất, mục đích là biến đổi các biểu thức thành các cung lượng giác , 2 , 3 ,

t t t Sau đó dùng công thức hạ bậc để giải phương trình với ẩn là t

2 ,5

6

425

Bài 2 Giải phương trình

 

4,

33

Bài 1 Giải phương trình

Bài 3 Giải phương trình

Bài 4 Giải phương trình

NHÂN HAI VẾ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VỚI MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

Bài 1 Giải phương trình: sin5 5 cos3 sin

Bài 2 Giải phương trình:  2 

2sin 3x 1 4sin x 1

Lời giải:

nhận thấy cosx  không là nghiệm của phương trình: 0

nhân hai vế của phương trình với cosx  , ta được 0

Lưu ý: Khi giải phương trình dạng này ta phải xét điều kiện mẫu thức khác 0, nên khi giải xong

phải đối chiếu lại xem ngiệm có thỏa mãn điều kiện không

Ta nên để điều kiện có nghiệm của phương trình dưới dạng thô

Điều kiện: sin 4x4 sin cos cos 2x x x (*) 0

Khi đó phương trình tương đương với:

cosx2sin cosx x  4 sin cos cos 2x x x

Điều kiện: sinxcosxsin 2x0 (*)

Khi đó phương trình tương đương với:

Xét cos 2x  1 0 sin 2x loại, do không thỏa mãn điều kiện (*) 0

Xét cos 2x0cosxsinxcosxsinx0, đối chiếu với điều kiện (*) ta suy ra chỉ có:

Điều kiện: sin 2x  (*) 1

Khi đó phương trình tương đương với:

1 2sin x3 2 sinxsin 2xsin 2x 1 2 sin x3 2 sinx2 0

   2 4 2

32

24

sin 2 sin 4x x cos2x 1 0

Bài 5

Giải các phương trình sau:

Bài 1 Giải phương trình:

Bài 2 Giải phương trình: 2  

Bài 4 Giải phương trình: 1 2 cos sin 

Bài 9 Giải phương trình: sin sin 2 sin 3 3

x



Bài 11 Giải phương trình: tan 3 cotx x   1

Bài 12 Giải phương trình: sin cot 5 1

Bài 15 Giải phương trình:

Bài 1 Tìm x 2; thỏa mãn phương trình

Bài 5 Giải phương trình:

Bài 9 Giải phương trình:

Bài 11 Giải phương trình:

Bài 13 Giải phương trình:

2 cos cos 2 cos 3x x x 5 7 cos 2x

Bài 14 Giải phương trình:

tan xtan xsin x 1 cos x 0

Bài 15 Giải phương trình:

Bài 21 Giải phương trình: 2 3  2 2

Bài 22 Giải phương trình:

2

sinxsinxsin xcosx 1

cosx 3 sin 2xsinx 4 cos 2 cosx x2 cos x  2 0

Bài 24 Giải phương trình:

1.1 sin 9 cos 2sin 8 cos 8  2

x x

x x

1.16 9 6 6 1 cos 2  x 3 2 sin 2 x4 2 cos x 2 sinx

1.17 sin sin 3 sin 9 sin 3 cos  0

1.29 2 sin 3 xcos 3xsin 2x  1 2 2

1.30 5sinx 2 cos 3x 1 5cos 3x 2 sinx 1

1.31 1 tan xcos 5xsinxcosx2 cos 4x2 cos 2x

x x x



1.41 4 1 sin cos  cos 3 4sin cos 2 2