Một số kí hiệu dùng trong sách MO -National Mathematical Olympiad IMO-Intetnational Mathematical Olympiad TST-Seclection Test for Intetnational Mathematical Olympiad APMO-Asian P
Trang 1Một số kí hiệu dùng trong sách
MO -National Mathematical Olympiad
IMO-Intetnational Mathematical Olympiad
TST-Seclection Test for Intetnational Mathematical Olympiad
APMO-Asian Pacific Mathematical Olympiad
MOSP-Mathematical Olympiad Summer Program
S.O.S-SumOf Square
MV-Mixing Variables
IGI-Inequality General Induction
VMEO-Viet Nam Mathematical Eolympiad- kì thi giải toán trên diễn dàn toán học net
Mathlink contests- kì thi giải toán trên diễn dàn mathlink
R-tập số thực
R+-tập số thực dương
N-tập số tự nhiên
N*-tập hợp số tự nhiên bỏ số 0
Q-tập hợp số hữu tỉ
[a,b]-khoảng đóng của 2 đầu mút a,b
(a,b)-khoảng mở của hai đầu mút a,b
-tổng đối xứng ví dụ
-tổng hoán vị ví dụ
Majorization- tính trội, được sử dụng trong bất đẳng thức karamata
Z-tập hợp các số nguyên
Zn-tập hợp số nguyên đồng dư mod n
Q+-tập hợp số hữu tỉ dương
R-tập hợp số thực
C-tập hợp số ảo
|A|- số phần tử của A
chương hai
bất đẳng thức
phần I :AM-GM-HM-QM
I ) lí thuyết
Trang 2
+từ công thức tổng quát sau:
ta thấy với r tăng thì hàm cũng tăng
_xét r=-1 ta có
cái này gọi là HM
_xét r=1 ta có
cái này gọi là AM
_xét r=2 ta có
cái này gọi là QM
_xét r=0 ta có
cái này gọi là GM
+vậy ta có nhận xét:
trong đó AM-GM được dùng nhiều nhất
II ) ví dụ
A) những bài sử dụng AM-GM trực tiếp
2.1.1.1 cho a,b là các số dương thõa mãn a+b=2 và chứng minh
bài giải
áp dụng AM-GM ta có:
2.1.1.2 cho a,b các số thực dương sao cho a+b=2 chứng minh
bài giải
áp dụng AM-GM ta có
2.1.1.3 cho a,b là các số thực dương sao cho a+b=2 vả chứng
minh
bài giải
2.1.1.4 cho a,b,c là các số thực dương sao cho a+b+c=3 chứng minh
(irish MO 2000 ,india 2002 and bulgarian TST 2010)
bài giải
Trang 3
áp dụng AM-GM 3 số
suy ra dpcm
2.1.1.5 cho x,y,z >0 và x+y+z=1 chứng minh
bài giải
áp dụng AM-GM 3 số
chứng minh tương tự công theo vế suy ra dpcm
bài giải
áp dụng AM-GM 4 số
giờ ta sẽ chứng minh
áp dụng giả thiết ta có
suy ra dpcm
bài giải
áp dụng AM-GM 3 số
giờ ta sẽ chứng minh
áp dụng AM-GM ta chứng minh 2 bổ đề sau
(1)
(2)
từ (1) và (2) ta suy ra dpcm
bài giải
áp dụng AM-GM 3 số
(1)
Trang 4
(2)
từ (1) và (2) suy ra dpcm
bài giải
với trường hợp
sẽ được chứng minh tổng quát ở bài sau với trường hợp
mà abcd=1 suy ra ta cần chứng minh
mà theo AM-GM ta có
chứng minh tương tự cộng theo vế suy ra dpcm
bài giải
áp dụng AM-GM 3 số
chứng minh tương tự cộng theo vế suy ra dpcm
bài giải
áp dụng AM-GM 2 số ta có
dpcm
bài giải
áp dụng AM-GM 2 lần
(1)
dpcm
bài giải
Trang 5
bất đẳng thức cần chứng minh tương dương với
áp dụng AM-GM 3 số ta có
vậy ta cần chứng minh
mà do a+b+c=3 suy ra
vậy thế vào bất đẳng thức cần chứng minh suy ra dpcm
bài giải
áp dụng AM-GM ta có
mà (do x,y,z thuộc (-1,1) ) suy ra dpcm
bài giải
đặt t=
vậy
suy ra dpcm
bài giải
áp dụng AM-GM ta có
(1)
(2)
cộng (1) và (2) suy ra dpcm
bài giải
ta chứng minh bổ đề sau
đúng
vậy chứng minh tương tự cộng lại suy ra dpcm
Trang 6
bài giải
bất dẳng cần chứng minh tương dương
áp dụng AM-GM 3 số ta có
2.1.1.19 cho x,y,z >0 thỏa chứng minh
bài giải
áp dụng AM-GM ta có
bài giải
áp dụng AM-GM ta có
2.1.1.21 cho
B) sử dụng AM-GM ngược đấu
( phương pháp phủ định của phụ định)
2.1.2.1 cho a,b,c là các số đương thõa a+b+c=3 chứng minh
bài giải
để chứng minh bài toán ta sẽ chứng minh 2 bổ đề sau
sử dụng AM-GM cho mẫu số
(1)
(2)
từ (1) và (2) ta suy ra dpcm
2.1.2.2 cho a,b,c,d là các số đương thõa a+b+c+d=4 chứng minh
Trang 7
bài giải giải tương tự như bài trên với
2.1.2.3 cho a,b,c,d là các số đương thõa a+b+c+d=4 chứng minh
bài giải ta chứng minh các bài toán sau
(1)
(2)
(3)
từ (1),(2) và (3) suy ra dpcm 2.1.2.4 cho a,b,c,d là các số dương chứng minh
bài giải áp dụng AM-GM ta có
làm tương tự rồi cộng theo từng vế suy ra dpcm 2.1.2.5 cho a,b,c,d là các số dương chứng minh
bài giải áp dụng AM-GM ta có
làm tương tự rồi cộng theo vế suy ra dpcm 2.1.2.6 cho a,b,c>0 và a+b+c=3 chứng minh
bài giải áp dụng AM-GM ta có
vậy giờ ta phải chứng minh
Trang 8
nhưng bất đẳng thức này đúng theo
vậy ta suy ra dpcm
2.1.2.7 cho a,b,c>0 và a+b+c=3 chứng minh rằng
bài giải
áp dụng AM-GM ta có
giờ ta sẽ chứng minh
nhưng bất dẳng thức này đúng theo
chứng minh tương tự suy ra dpcm
2.1.2.8 cho a,b,c >0 thõa a+b+c=3 chứng minh
bài giải
áp dụng AM-GM ta có
chứng minh tương tự cộng theo vế suy ra dpcm
2.1.2.9 cho a,b,c,d >0 thõa a+b+c+d=4 chứng minh
bài giải
giải tương tự bài trên và áp dụng
suy ra dpcm
2.1.2.10 cho a,b,c,d >0 thõa a+b+c+d=4 chứng minh
bài giải
áp dụng AM-GM ta có
chứng minh tương tự rồi cộng theo vế suy ra dpcm 2.1.2.11 cho a,b,c>0 thõa a+b+c=3 chứng minh rằng
Trang 9
bài giải
áp dụng AM-GM ta có
giờ ta sẽ chứng minh
áp dụng AM-GM ta có
suy ra dpcm
2.1.2.12 cho a,b,c >0 và a+b=c=3 chứng minh
bài giải
áp dụng AM-GM ta có
chứng minh tương tự rồi áp dung bất đẳng thức sau suy ra dpcm
2.1.2.13cho a,b,c>0 và a+b+c=3 chứng minh
bài giải
áp dụng AM-GM ta có
vậy ta phải chứng minh
áp dụng AM-GM
vậy
suy ra
dpcm
2.1.2.14 cho a,b,c>0 và abc=1 chứng minh
bài làm
áp dụng AM-GM ta có
nhưng bất đẳng thức này đúng theo
( áp dụng AM-GM)
2.1.2.15 cho a,b,c >0 và a+b+c=3 chứng minh
Trang 10
bài giải
áp dụng AM-GM ta có
chứng minh tương tự giờ ta sẽ chứng minh bất đẳng thức này đúng theo bổ đề của vasile cirtoaje
2.1.2.16 cho x,y,z >0 và x+y+z=3 chứng minh
bài giải
áp dung AM-GM ta có
vậy giờ ta phải chứng minh
đây là bất đẳng thức vasile cirtoaje
2.1.2.17 cho x,y,z>0 và x+y+z=3 chứng minh
bài giải
áp dụng AM-GM ta có
vậy giờ ta sẽ chứng minh
là bất đẳng thức vasile ciroaje
2.1.2.18
C) kĩ thuật đánh giá điểm rơi từ trung bình cộng sang trung bình nhân
bài giải
áp dụng AM-GM ta có
bài giải
Trang 11
áp dụng AM-GM ta có
bài giải
áp dụng AM-GM 17 số ta có
mà bất đẳng thức này suy ra dpcm
bài giải
áp dụng AM-GM ta có
bài giải
áp dụng AM-GM 8 số
(1)
và AM-GM 12 số
(2)
từ (1) và (2) ta có dpcm
2.1.3.6
D) kĩ thuật đánh giá điểm biên
2.1.4.1 cho x,y,z >0 và x+y+z=1 chứng minh
bài giải
do x+y+z=1 nên bất đẳng thức cần chứng minh tương dương với
do vai trò của x,z giống nhau giả
Trang 12
sử
áp dụng AM-GM ta có
vậy giờ ta cần phải chứng minh
(đúng)
vậy suy ra dpcm
2.1.4.2 cho a,b,c>0 và a+b+c=1 chứng minh
bài giải
ta dễ dàng thấy
và
ta sẽ chứng minh
ta sẽ chứng minh bất đẳng thức này bằng một bất đẳng thức mạnh hơn
mà bất đẳng thức này tương đương
đúng vậy suy ra dpcm
2.1.4.3 cho a,b,c>0 chứng minh
bài giải
giả sử vậy nên bất đẳng thức đầu hiển nhiên đúng giả sử vậy theo AM-GM ta có
vậy giờ ta phải chứng minh
nhưng bất đẳng thức này tương đương
đúng do giả thiết
2.1.4.4 cho x,y,z >0 phân biệt thõa (z+y)(z+x)=1 chứng minh
bài giải
dễ thấy
vậy ta sẽ chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn
ta có giả sử z=min{x,y,z}
Trang 13
để ý rằng
(1)
và áp dụng AM-GM như sau
(2)
áp dụng (1) và (2) suy ra bất đẳng thức ta cần dpcm
2.1.4.5 cho a,b,c >0 thõa ab+bc+ac>0 chứng minh
bài giải
giả sử ta xét 2 trường hợp sau
và do đó ta chỉ cần chứng minh
áp dụng AM-GM 3 số ta có dpcm
do từ đây suy ra
suy ra dpcm E) kĩ thuật ghép đối xứng
2.1.5.1 cho a,b,c >0 chứng minh
bài giải
áp dụng AM-GM ta có
2.1.5.2 cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh
bài giải
ta sẽ chứng minh bổ đề sau bằng AM-GM
đầu tiên ta có
vậy
bây giờ áp dụng vào bài toán ta có
chứng minh tương tự
suy ra dpcm
Trang 14
2.1.5.3 cho x,y,z>0 thõa x+y+z=3 chứng minh
bài giải
áp dụng AM-GM ta có
chứng minh tương tự cộng theo vế suy ra điều phải chứng minh
2.1.5.4 cho x,y,z>0 thỏa
chứng minh
bài giải
từ giã thiết ra suy ra
chứng minh tương tự suy ra
suy ra dpcm 2.1.5.5 cho a,b,c >0 và abc=1 chứng minh
bài giải
ta chứng minh bổ đề sau
bất đẳng thức này tương dương bất đẳng thức này đúng
áp dụng bổ đề kết hợp với AM-GM ta có
chứng minh tương tự cộng theo vế suy
ra dpcm
2.1.5.6 cho x,y,z>0 chứng minh
bài giải
áp dụng AM-GM 3 số ta có
2.1.5.7 cho x,y,z chứng minh
bài giải
bất đẳng thức cần chứng minh tương dương
Trang 15
áp dụng bài 2.1.5.6 2 lần suy ra diều phải chứng minh
bài giải
bình phương hai vế bất đẳng thức cần chứng minh và giả thiết suy ra
mà bất dẳng thức này đúng theo AM-GM
2.1.5.9
I)đặt ẩn phụ kết hợp AM-GM
2.1.9.1 cho x,y khác không chứng minh rằng
bài giải
(1) với
(1) tương dương với đúng suy ra dpcm
2.1.9.2 cho x,y,z>0 và x+y+z=1 chứng minh
bài giải
đặt vậy
giờ ta sẽ chứng minh bất đẳng thức dơn giản sau
(1)với
2.1.9.3 cho a,b,c,d >0 thõa ab=cd=1 chứng minh
bài giải
đặt x=a+b và y=c+d nên bất đẳng thức cần chứng minh
(1) áp dụng AM-GM ta có
vậy (1) đúng suy ra dpcm
Trang 16
2.1.9.4 cho x,y,z >2 và chứng minh rằng
bài giải
đặt x=a+2, y=b+2, z=c+2 với a,b,c>0 vậy bài toán trở thành chứng minh theo giả thiết ta có
đặt tiếp
và tương tự cho n,p vậy suy ra
bất đẳng thức cuối đùng theo AM-GM
2.1.9.5 cho a,b,c >0 thõa ab+bc+ac+abc=4 chứng minh rằng
bài giải
theo giả thiết ta suy ra
vậy đặt theo bài trước vậy bất đẳng thức cần chứng minh
áp dụng AM-GM
chứng minh tương tự cộng theo vế suy ra dpcm
2.1.9.6 cho a,b,c >0 thõa abc=1 chứng minh
bài giải
áp dụng AM-GM dưới mẫu suy ra
vậy giờ ta cần chứng minh
mà điều này đúng do xyz=1 suy ra dpcm
2.1.9.7 cho a,b,c >0 và abc=1 chứng minh
bài giải
đặt và tương tự cho b,c
vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương dương với
mà ta có theo AM-GM
2.1.9.8
T) áp dụng dirichlet
Trang 17
bài giải
theo dirichlet ta có trong 3 số a,b,c tồn tại ít nhất 2 số cùng lớn hơn hoặc cùng bé hơn 1 do tính đối xứng nên không mất tính tổng quát giả sử
ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương dương với
đúng theo giả thiết ở trên