Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác... Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Câu1.
Trang 1Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8
Bài 2:
a) Cho 1 1 1
0( , , x y z 0)
x + + = y z ≠ Tính yz2 xz2 xy2
x + y + z
b) (1,5đ) Vì
3
0
3 3
+ + = ⇒ = − + ữ
Do đó : xyz( 13
x + 3
1
y + 3
1
Câu 5 Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x2 - 2xy + 6y2 – 12x + 2y + 45
Câu 5 A = x2- 2xy+ 6y2- 12x+ 2y + 45
= x2+ y2+ 36- 2xy- 12x+ 12y + 5y2- 10y+ 5+ 4
= ( x- y- 6)2 + 5( y- 1)2 + 4 ≥ 4
Giá trị nhỏ nhất A = 4
Khi:
y- 1 = 0 => y = 1
x- y- 6 = 0 x = 7
Câu 2: a Cho + + = 0
c
z b
y a
x
(1) và + + = 2
z
c y
b x
a
(2)
Tính giá trị của biểu thức A=
a + b + c
b Biết a + b + c = 0 Tính : B = 2 2 2 2 2 2 2 2 2
b a c
ca a
c b
bc c
b a
ab
− +
+
− +
+
−
+
Câu 2: ( 1,25 điểm) a Từ (1) ⇒ bcx +acy + abz =0
+ +
2 2
2 2
2
yz
bc xz
ac xy
ab c
z b
y a
x
4 2
4
2
2
2
2
2
2
=
−
= +
+
xyz
bcx acy abz c
z
b
y
a
x
b ( 1,25 điểm) Từ a + b + c = 0 ⇒ a + b = - c ⇒ a2 + b2 –c2 = - 2ab
Tơng tự b2 + c2 – a2 = - 2bc; c2+a2-b2 = -2ac
⇒ B =
2
3 2
2
−
+
−
+
ca bc
bc ab ab
Trang 2Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8
Bài 4 (1đ):
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2
2007
2007 2
x
x
x
A = − + , ( x khác 0)
Bài 4 (1đ):
A =
2
2 2
2007
2007 2007
2 2007
x
x
=
2
2 2
2007
2007 2007
.
2
x
x
2
2
2007
2006
x x
=
2007
2006 2007
2006 2007
)
2007
(
2
2
≥ +
−
x
x
A min =
2007
2006 khi x - 2007 = 0 hay x = 2007 (0,5đ)
Câu 5 ( 1 điểm)
a, Chứng minh rằng x3 +y3 +z3 =(x+y)3 −3xy.(x+y)+z3
b, Cho 1 + 1 + 1 = 0
z y
xy y
xz x
yz
A= + +
Câu 5 a, , Chứng minh
( )3 ( ) 3 3
3
3 y z x y 3xy.x y z
Biến đổi vế phải đợc điều phải chứng minh
b, Ta có a + b + c = 0 thì
(a b) ab(a b) c c ab( )c c abc c
b
a3 + 3 + 3 = + 3 −3 + + 3 =− 3−3 − + 3 =3
(vì a + b + c = 0 nên a + b = − c)
Theo giả thiết 1 + 1 + 1 = 0
z y
xyz z
y
x + + =
khi đó
3 3 1
1 1
3 3 3 3
3 3 2 2
2 + + = + + = + + = ì =
=
xyz
xyz z
y x
xyz z
xyz y
xyz x
xyz z
xy y
xz
x
yz
A
Câu 2: ( 1 điểm )
a) Chứng minh đẳng thức: x2+y2+1 ≥ x.y + x + y ( với mọi x ;y)
b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
A =
2
2
2
3 − − −
−
x x
x
x
Câu2: ( 2 điểm )
1) (1 điểm ) x2+y2+1 ≥ x y+x+y ⇔ x2+y2+1 - x y-x-y ≥ 0
⇔ 2x2 +2y2+2-2xy-2x-2y≥ 0 ⇔ ( x2+y2-2xy) + ( x2+1-2x) +( y2+1-2y) ≥ 0
Trang 3Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8
⇔ (x-y)2 + (x-1)2+ ( y- 1)2≥ 0
Bất đẳng thức luôn luôn đúng
Câu4 ( 1 điểm )
Ta có A =
4
3 ) 2
1 (
1 1
1 )
2 )(
1 (
2
2 2
2
+ +
= + +
=
− + +
−
x x
x x
x x
x
Vậy Amax⇔ [ ( x+ ]
4
3 ) 2
1 2 + min ⇔ x+
2
1 = 0 → x = -
2 1
Amax là
3
4 khi x = -1/2
Bài1( 2.5 điểm)
a, Cho a + b +c = 0 Chứng minh rằng a3 +a2c – abc + b2c + b3 = 0
b, Phân tích đa thức thành nhân tử:
A = bc(a+d)(b-c) –ac ( b+d) ( a-c) + ab ( c+d) ( a-b)
Bài 2: ( 1,5 điểm)
Cho biểu thức: y = 2
) 2004 ( x +
x
; ( x>0) Tìm x để biểu thức đạt giá trị lớn nhất Tìm giá trị đó
Bài 1: 3 điểm
a, Tính:
Ta có: a3 + a2c – abc + b2c + b3
= (a3 + b3) + ( a2c –abc + b2c)= (a + b) ( a2 –ab =b2 ) + c( a2 - ab +b2)
= ( a + b + c ) ( a2 – ab + b2 ) =0 ( Vì a+ b + c = 0 theo giả thiết) Vậy:a3 +a2c –abc + b2c + b3 = 0 ( đpCM)
b, 1,5 điểm Ta có:
bc(a+d) 9b –c) – ac( b +d) (a-c) + ab(c+d) ( a-b)
= bc(a+d) [ (b-a) + (a-c)] – ac(a-c)(b+d) +ab(c+d)(a-b)
= -bc(a+d )(a-b) +bc(a+d)(a-c) –ac(b+d)(a-c) + ab(c+d)(a-b)
= b(a-b)[ a(c+d) –c(a+d)] + c(a-c)[ b(a+d) –a(b+d)]
= b(a-b) d(a-c) + c(a-c) d(b-a)
= d(a-b)(a-c)(b-c)
Bài 2: 2 Điểm Đặt t =
y
2004 1 Bài toán đa về tìm x để t bé nhất
Ta có t =
x
x
2004
) 2004
( + 2 = 2 2.2004 20042
2004
x
=
x
2
2004
20042
2
+
+
x
Ta thấy: Theo bất đẳng thức Côsi cho 2 số dơng ta có:
x2 + 20042 ≥ 2 2004 x ⇒ 2
2004
20042 2
≥
+
x
Dấu “ =” xảy ra khi x= 2004
Từ (1) và (2) suy ra: t ≥ 4 ⇒ Vậy giá trị bé nhất của t = 4 khi x =2004
Trang 4Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8
Vậy ymax=
8016
1 2004
1 =
t Khi x= 2004
Bài 1 ( 2 điểm) Cho biểu thức :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P
1.Rút gọn P
2.Tìm các cặp số (x;y) ∈ Z sao cho giá trị của P = 3
Bài 5 (1 điểm) Cho các số a; b; c thoả mãn : a + b + c = 3
2 . Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 ≥ 3
4.
Bài 1 (2 điểm - mỗi câu 1 điểm)
MTC : ( x y x + ) ( + 1 1 ) ( − y )
1
( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )
P
P x y xy = − + Với x ≠ − 1; x ≠ − y y ; ≠ 1 thì giá trị biểu thức đợc xác
định
2 Để P =3 ⇔ − + x y xy = ⇔ − + 3 x y xy − = 1 2
( x 1 ) ( y 1 ) 2
Các ớc nguyên của 2 là : ± ± 1; 2.
Suy ra:
+ = − = −
+ = − = −
Vậy với (x;y) = (3;0) và (x;y) = (0;-3) thì P = 3
Bài 5 (1điểm)
Ta có:
2
Tơng tự ta cũng có: 2 1
4
b + ≥ b ; 2 1
4
c + ≥ c
Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta đợc:
2 2 2 3
4
a + + + ≥ + + b c a b c Vì 3
2
a b c + + = nên: 2 2 2 3
4
a + + ≥ b c
Trang 5Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c =1
2 Câu 4 Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 < 2 (ab + ac + bc)
Câu 4 Từ giả thiết ⇒ a < b + c
⇒ a2 < ab + ac
Tng tự b2 < ab + bc
c2 < ca + cb Cộng hai vế bất đẳng thức ta đợc (đpcm)
Bài 3: (2đ)
a) Cho 3 số x,y,z Thoã mãn x.y.z = 1 Tính biểu thức
M =
zx z yz
y xy
1 1
1 1
1
b) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng:
b a c a c b c b
1 1
1
≥
c b a
1 1
1 + + 0,2đ
Bài 3:
a) Vì xyz = 1 nên x ≠0, y≠0, z≠0
1 )
1 ( 1
1
+ +
= + +
=
+
z xy
x z
z xy
x
z xz
xz xz
yz y
xz yz
1
1
1
1 1
+ +
+ + +
+ +
xz xz
z
z
b) a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên
a+b-c > 0; b+c-a > 0; c+a-b > 0
y
x
y
4
1
1
với x,y > 0
b b a c b
c
b
a
2 2
4 1
− +
+
−
+
c b a c
a
c
b
2 1
1
≥
− +
+
−
+
a c b a
b
a
c
2 1
− +
+
−
+
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức rồi chia cho 3 ta đợc điều phải chứng minh Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi a = b = c
Câu 4: ( 1,5 điểm)
Cho a > b > 0 so sánh 2 số x , y với :
x =
2
1
1
a
a a
+ + + ; y = 2
1 1
b
b b
+ + +
Trang 6Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8
Câu 4: (1,5 đ’) Ta có x,y > 0 và
a
+ +
Vì a> b > 0 nên 12 12
a < b và 1 1
a < b Vậy x < y
Câu 4(2 điểm ) : Chứng minh rằng nếu a2+b2+c2=ab+bc+ac thì a=b=c
Bài 4 (2 điểm ) Chứng minh.
Theo giả thiết : a2+b2+c2 = ab+ac+bc
Ta có : a2+b2+c2 – ab – ac - bc = 0
Suy ra : (a2-2ab+b2) + (b2-2ab+c2) + (a2-2ac+c2)=0 (1 điểm)
(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2= 0
Điều này xảy ra khi và chỉ khi
a-b = b-c = a-c = 0 Tức là : a=b=c (1 điểm)
Câu 4: (1đ) Giải bất phơng trình ax –b> bx+a
Câu 4: * Nếu a> b thì x>
b a
b a
− +
* Nếu a<b thì x<
b a
b a
−
+
* Nếu a=b thì 0x> 2b
+ Nghiệm đúngvới mọi x nếu b<0 + Vô nghiệm nếu b≥0
Câu 4(2đ): Cho a, b > 0 và a+b = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M = (1+ 1/a )2 + (1+ 1/b)2
Câu 4: M = 18 khi a = b = …
Bài 4 Cho a ≥ 4; ab ≥ 12 Chứng minh rằng C = a + b ≥ 7
Bài 4 Ta có: C = a + b = (
7 4 4
1 4
12 3 2 4
1 4
3 2 4
1
)
4
3
=
⋅ +
⋅
≥ +
≥ +
Câu 4:
Trong hai số sau đây số nào lớn hơn:
a = 1969 + 1971 ; b = 2 1970
Câu 4: (1.5đ)
Ta có: 19702 – 1 < 19702
⇔ 1969.1971 < 19702
⇔ 2 1969 . 1971 < 2 . 1970 (*)
Cộng 2.1970 vào hai vế của (*)
ta có:
1970 4 1971 1969
2
1970
.
⇔ ( 1969 + 1971 )2 < ( 2 1970 )2
⇔ 1969 + 1971 < 2 1970
Vậy: 1969 + 1971 < 2 1970
Trang 7Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
Bµi 5 (1®)
Cho c¸c sè d¬ng a, b, c cã tÝch b»ng 1
CMR: (a + 1) (b + 1)(c + 1) ≥8
Bµi 5 (1®) Cho c¸c sè d¬ng a, b, c cã tÝch b»ng 1
Chøng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1)≥ 8
Do a, b, c lµ c¸c sè d¬ng nªn ta cã;
0 a 0 a 1 2 a a 2 a 1 a 1 4 a
≥ ∀ > ⇒ + ≥ ⇒ + + ⇒ + ≥ (1) T¬ng tù (b + 1)2 ≥4b (2)
(c + 1)2 ≥4c (3)
Nh©n tõng vÕ cña (1), (2), (3) ta cã:
(b + 1)2(a – 1)2(c + 1)2 ≥64abc (v× abc = 1)
((b + 1)(a – 1)(c + 1))2 ≥64
(b + 1)(a – 1)(c + 1) ≥8
Bµi 1:(2 ®iÓm) Cho A =
b c - a + c a - b + a b - c
Rót gän biÓu thøc A, biÕt a + b + c = 0
Bµi 1:(2 ®iÓm) Ta cã: a + b + c = 0 ⇔b + c = - a
B×nh ph¬ng hai vÕ ta cã : (b + c)2 = a2
⇔ b2 + 2bc + c2 = a2 ⇔ b2 + c2 - a2 = -2bc T¬ng tù, ta cã: c2 + a2 - b2 = -2ca
a2 + b2 - c2 = -2ab
⇒ A = 1 1 1 -(a+b+c)
2bc 2ca 2ab 2abc (v× a + b + c = 0)
VËy A= 0
Câu 2: (2đ)
Cho x,y,z ≠0 thoả mãn x+ y +z = xyz và
x
1
+
y
1
+
z
1
= 3
Tính giá trị của biểu thức P = 12 12 12
z y
Câu 4: (3đ)
a, Chứng minh rằng A = n3 + (n+1)3 +( n+2)3 9 với mọi n ∈N*
b, Cho x,y,z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
y x
z x
z
y z
y
x
+
+ + +
+
Trang 8Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
Có (1 1 1 )2
z
y
z y
yz xz
( 3 )2= p + 2
xyz
x y
z + +
vậyP+2=3 suy ra P = 1
a, = n3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8)
=3n3+9n2+15n+9 = 3(n3+3n2+5n+3)
Đặt B= n3+3n2+5n+1 = n3+n2+ 2n2+2n + 3n+3
=n2(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1)
Ta thấy n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 ( vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp )
3(n+1) chia hết cho3 ⇒ B chia hết cho 3 ⇒ A =3B chia hết cho 9
b, Đặt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c ⇒x+y+z =
2
c b
a + +
⇒ x =
2
c b
a + +
−
; y =
2
c b
a − +
; z=
2
c b
a + −
P =
c
c b a b
c b a a
c
b
a
2 2
2
− + + +
− + +
+
−
= ) 1
1 1
(
2
1
c
b c
a b
c b
a a
c
a
+
)) (
) ( ) (
3
(
2
1
b
c c
b c
a a
c b
a
a
b
+ + + + +
+
2 3
Min P =
2
3
( Khi và chỉ khi a=b=c ⇔ x=y=z
Câu 1: (4điểm)
b Cho (a+b+c)2=a2+b2+c2 và a,b,c≠0
Chứng minh :
abc
3 c
1 b
1 a
1
3 3
Câu 2: (3điểm)
a Tìm x,y,x biết :
5
z y x 4
z 3
y 2
Câu 4: (2điểm)
Cho a,b,c>0
+
+
+
bc
a c ba
c b ac
b
= 1
Trang 9Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
Câu 6(2điểm)
Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số hữu tỷ và ab+bc+ac=1 thì
(1+a2)(1+b2)(1+c2) bằng bình phương của số hữu tỉ
Vì: (a+b+c)2=a2+b2+c2 và a,b,c≠0 ⇒ ab + ac + bc = 0 ⇒
0 abc
bc
ac
0 c
1
b
1
a
c
1
; y b
1
; x a
chứng minh bài toánNếu x+y+z=0 thì: x3+y3+z3=3xyz ⇒đpcm
:
5
z y x 4
z 3
y
2
5
z 4
z 5
y 3
y 5
x 2
− +
− +
−
⇔
=0
z y x 0 20
z 15
y
2
10
x
=
=
⇔
= + +
+
+
+
bc
a c ba
c b ac
b
+
bc
a c a
1 ac
b
b
c
ab
2 2
2
=
abc
1 a
c c
b a
b b
a b
c c
a
2 2
2 2
+ + + + + +
+
+
+
+
2
2 2
2 2
2
b
a a
b c
b b
c a
c c
a abc
1
abc
tacó x+ x
x ≥ 2 ∀
1
>0 Nên A≥8 đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
có 1+a2 =ab+ac+bc+a2 =(a+c)(a+b)
Tương tự 1+b2 =(a+b)(b+c)
1+c2=(b+c)(a+c)
( )( )( )
2 2
2)( 1 b )( 1 c ) a b a c b c
a
1
Đề 24
Trang 10Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
Bài 2:
(3điểm) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1 Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0
Bài 5: (2 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x6+3x2+1=y3
Đặt A= abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc) vì a2+b2+c2=1
Nếu abc >0 ta có:A=abc+a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+2(a+b+c) +1 A=(a+b+c+1)2+abc≥ 0(1)
Nếu: abc<0 ta có:
A=2(1+a+b+c+ab+ac+bc+abc)-abc
Biến đổi được :A=( 1+a)(1+b)(1+c) +(-abc)
Vì ì a2+b2+c2=1nên -1≤ a ; b ; c ≤ 1 nên (1+a)(1+b)(1+c)≥ 0
Và -abc≥0 nên A≥0 (2)
Từ 1 và (2) suy ra abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc)≥ 0
Với x≠ 0 ta có 3x4>0; 3x2>0 ta có
(x2)3 <y3<(x+1)3 nên phương trình vô nghiệm
Với x=0 ta có y3=1 suy ra y=1
Phương trình có nghiệm nguyên duy nhất(x;y)=(0;1)
Câu 3: (5,0 điểm)
a) Cho x y z 1
a b + + = c và a b c 0
x + + = y z Chứng minh rằng :
2 2 2
2 2 2 1
a + b + c =
⇔ayz + bxz + cxy = 0
Ta có : x y z 1 ( x y z )2 1
a b c + + = ⇔ a b c + + =
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 1( )
dfcm
Trang 11Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
Câu1
1
Chứng minh rằng:
0
Nhân cả 2 vế của: a b c
1
với a + b + c; rút gọn ⇒đpcm
Câu 4
a Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1 Chứng minh rằng: 1 1 1
9
a + + ≥ b c
b Cho a, b d¬ng vµ a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002
Tinh: a2011 + b2011
a Từ: a + b + c = 1 ⇒
1
1
1
= + +
= + +
= + +
3
3 2 2 2 9
≥ + + + =
Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c = 1
3.
Câu 4
a Cho 3 số dương a + b + c ≤ 1 Chứng minh rằng: 1 1 1
9
a + + ≥ b c
Từ: a + b + c ≤ 1 ⇒1 ≥ a + b + c
a
c
b
a
a
+
+
≥
1
=
a
c a
b + + 1
b
c b
a b
c
b
a
b ≥ + + = 1 + +
1
Trang 12Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8
c
c
b
a
c
+
+
≥
1
=
c
b c
a + + 1
9 2 2 2 3 3
1
1
1 + + ≥ + + + + + + ≥ + + + =
b
c c
b a
c c
a a
b b
a c
b
a
Câu 3 : (2 điểm)
b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng :
− +
+
− +
+
−
c b
c a
b a
c
b
a
b) (1đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0
Từ đó suy ra a=
2
; 2
; 2
y x c z x b z
Thay vào ta đợc A=
=
+ +
+
+
+
) ( ) ( ) ( 2
1 2 2
z z
y x
z z
x y
x x
y z
y x y
z
x
x
z
y
Từ đó suy ra A ( 2 2 2 )
2
1 + +
Câu 5 : (1 điểm)
Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dơng và số
đo diện tích bằng số đo chu vi
Câu 5 : (1đ)
Gọi các cạnh của tam giác vuông là x , y , z ; trong đó cạnh huyền là z (x, y, z là các số nguyên dơng )
Ta có xy = 2(x+y+z) (1) và x2 + y2 = z2 (2)
Từ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vào ta có :
z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z)
z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y)
z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta đợc : xy=2(x+y+x+y-4)
xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25
Từ đó ta tìm đợc các giá trị của x , y , z là :
(x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ;
(x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10)
Caõu 5( 2 ủ): Chửựng minh raống
ẹaựp aựn vaứ bieồu ủieồm
Trang 13Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
2.2 3.3 4.4 100.100
1.2 2.3 3.4 99.100
2 2 3 99 100
1 99
100 100
< + + + +
= − + − + + −
= − = <
Bài 1: (4 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3
b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010
Bài 1:
a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 = ( )3 3 3 3
=
= ( y z 3x + ) ( 2 + 3xy 3yz 3zx + + ) = 3
( y z x x y + ) ( + ) ( + z x y + )
= 3( x y y z z x + ) ( + ) ( + )
b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 =
( x4 − x ) ( + 2010x2 + 2010x 2010 + )
= x x 1 x ( − ) ( 2 + + + x 1 ) 2010 x ( 2 + + x 1 ) =
( x2 + + x 1 x )( 2 − + x 2010 )
Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và 0
z
1 y
1 x
1
= +
Tính giá trị của biểu thức:
xy 2 z
xy xz
2 y
xz yz
2 x
yz
+
+ +
+ +
=
• Bài 2 (1,5 điểm):
Trang 14Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
0 z
1
y
1
x
1
=
+
xyz
xz yz xy
= + +
⇒
= + +
xz ( 0,25điểm )
x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )
Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )
Do đó:
) y z )(
x z (
xy )
z y )(
x y (
xz )
z x )(
y x
(
yz A
−
−
+
−
−
+
−
−
=
( 0,25điểm )
Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm )
Bài 2 (3 điểm)
Cho
a b − + − b c + − c a = 4 a + + − − − b c ab ac bc
Chứng minh rằng a = b = c
Bài 2 (3 điểm)
Biến đổi đẳng thức để được
bc ac ab c
b a ac a
c bc c
b ab
b
a2 + 2 − 2 + 2 + 2 − 2 + 2 + 2 + 2 = 4 2 + 4 2 + 4 2 − 4 − 4 − 4 Biến đổi để có ( a2 + b2 − 2 ac ) + ( b2 + c2 − 2 bc ) + ( a2 + c2 − 2 ac ) = 0
Biến đổi để có ( a − b )2 + ( b − c )2 + ( a − c )2 = 0 (*)
Vì ( a − b )2 ≥ 0;( b − c )2 ≥ 0;( a − c )2 ≥ 0; với mọi a, b, c
nên (*) xảy ra khi và chỉ khi ( a − b )2 = 0;( b − c )2 = 0 và ( a − c )2 = 0;
Từ đó suy ra a = b = c
C©u 2: (5®iÓm) Chøng minh r»ng :
1 1
+ +
+ + +
+
+
c b
bc
b a
ab
b, Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2
c,
c
a a
b b
c a
c c
b
b
a22 + 22 + 22 ≥ + +
+ +
+ + +
+ +
c b
bc
b a
ab
a
1
2 + + + + +
+
+
c ac
abc abc
abc c
ac
abc
ac
Trang 15Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8
1
1 1
1
+ +
+ +
= + +
+ + +
+
+
ac abc c
ac
c ac
c
abc c
ac
b, (2điểm) a+b+c=0⇒ a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 ⇒ a2+b2+c2= -2(ab+ac+bc)
⇒a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) Vì a+b+c=0
⇒ a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1)
Mặt khác 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) Vì a+b+c=0
⇒2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2)
Từ (1)và(2) ⇒ a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2
+ +
+ + +
+ +
c b
bc
b a
ab
a
1
2 + + + + +
+
+
c ac
abc abc
abc c
ac
abc
ac
1
1 1
1
+ +
+ +
= + +
+ + +
+
+
ac abc c
ac
c ac
c
abc c
ac
ac
b, (2điểm) a+b+c=0⇒ a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 ⇒ a2+b2+c2= -2(ab+ac+bc)
⇒a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) Vì a+b+c=0
⇒ a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1)
Mặt khác 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) Vì a+b+c=0
⇒2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2)
Từ (1)và(2) ⇒ a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2
c, (2điểm) áp dụng bất đẳng thức: x2+y2 ≥2xy Dấu bằng khi x=y
c
a c
b b
a c
b
b
a
2
2
2
2
2
2
=
≥
b
c a
c b
a a
c b
a
2 2
2
2 2
2
=
≥
a
b c
b a
c
c
b
a
c
2
2
2
2
2
2
=
≥
+
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:
) a
b b
c c
a ( 2 ) a
c c
b
b
a
(
2 2
2
2
2
+ +
≥ +
a
b b
c c
a a
c c
b b
a
2
2 2
2 2
2
+ +
≥ + +
Câu 3(3.0 điểm) : Cho xy ≠ 0 và x + y = 1.
Chứng minh rằng: ( )
xy
−
Ta có y3− = 1 ( y − 1 ) ( y2+ + = − y 1 ) x y ( 2+ + y 1 )vì xy ≠ 0 ⇒ x, y ≠ 0 ⇒ x,
y ≠ 0 ⇒ y-1≠ 0 và x-1 ≠ 0
1
1
x
y
−
−