Bài 1: Tính các tích phân sau:
1)
4 1
0
1
2)
3)
Gi i:
+) Khi đó I1
+) V y I1
2)
+) Tính
+) Tính
1
0
1 3
x
x
Khi đó
+) Khi đó
2
1 3 2 0
1 3
x
dx I
2
2
3
1 3
2
tdt
t x
1
1 2
dt
t
1
5
1
ln 3
2
1
2
4
1 1
t
2
6
5 6
6
3
6
;
PH NG PHÁP GI I BÀI TOÁN TÍCH PHÂN
TÀI LI U BÀI GI NG Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng Ph ng pháp gi i bài toán tích phân thu c khóa h c Luy n
thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c
ph n này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.
Trang 2Nh n xét : D ng t ng quát cho các tích phân bài 1 là I f g x ( ),n g x( ) '( )g x dx
ây chính là
d ng tích phân đ u tiên – m t trong 10 d ng tích phân mà các b n s đ c tìm hi u chi ti t bài h c sau
Bài 2: Tính các tích phân sau: 1)
1 2
1 0
1 4
2)
1 2 2 0
1 1
x
x
Gi i:
1)
2
2 2
t
1 cos 2
i c n
x t
x t
+) Khi đó
4
1
2
0
1 cos 4
0
+) V y 1
1024
2)+) t xcos 2t v i 0;
2
2
2sin 2
i c n 0
4
x t
x t
2
6
t
t
Nh n xét : D ng t ng quát cho các tích phân bài 2 là 2 2
, n
ây chính là
d ng tích phân th hai – m t trong 10 d ng tích phân mà các b n s đ c tìm hi u chi ti t bài h c sau
Bài 3: Tính các tích phân sau: 1)
2
2
3 4
1 16
x
2)
5 3
x x e
Gi i:
Trang 31)
2
2
3 4
1
16
x
+) t
1
4
1 sin
2
t
t
2
I
2)
5
3
x x e
2
3
4
x t
+) Khi đó
2 3
1 1
( 1)
1
t
x x
x
x x
+) V y I2 e2e3
Nh n xét : D ng t ng quát cho các tích phân bài 3 là I f(sin , cos ) 'u u u dx
và I f e( ) 'u u dx
(v i I2) trong đó u ax b (a0) ây chính là d ng tích phân th t – m t trong
10 d ng tích phân mà các b n s đ c tìm hi u chi ti t các bài h c sau
Bài 4: Tính các tích phân sau: 1)
1
01 x
dx I
e
2)
ln10
x x
e dx I
e
Gi i:
1)
1
01 x
dx I
e
2
2
te dt e dxe dx ; i c n x và 0 t 1 2
1
x t e
+) Khi đó
2
e
x
2 )
ln10
x x
e dx I
e
t e t e t dt e dxe dx t dt
2
2
Trang 4+) Khi đó
1
2
2
Nh n xét : D ng t ng quát cho các tích phân bài 4 là I f e dx( )x
ây chính là d ng tích phân th
n m – m t trong 10 d ng tích phân mà các b n s đ c tìm hi u chi ti t các bài h c sau
Bài 5: Tính các tích phân sau: 1)
1 1
1 ln
e
x
2) 2
2 1
lg
1 ln
e
x
Gi i:
1)
1
1
1 ln
e
x
+) Khi đó
2) 2
ln10
2
x e t
+) Khi đó
3
1 1
2 2
3
2 2
t
2 ln10
Nh n xét : D ng t ng quát cho các tích phân bài 5 là I f(ln )x dx
x
ây chính là d ng tích phân
th sáu – m t trong 10 d ng tích phân mà các b n s đ c tìm hi u chi ti t các bài h c sau
Bài 6: Tính các tích phân sau: 1)
4
0 cos (sin 2 cos )
dx I
2)
4 2
3
dx I
Gi i:
1)
2
1 tan
I
2
x
Trang 5+) t 1 tan 2
cos
dx
x
4
x t
+) Khi đó
2
1
2
I
2)
2
cos
I
x
x
cos
dx
x
4
+) Khi đó
1 3
1 3
3
3
dt
t
3
Nh n xét : D ng t ng quát cho các tích phân bài 6 là (tan )2
cos
x
ây chính là d ng tích phân
th b y – m t trong 10 d ng tích phân mà các b n s đ c tìm hi u chi ti t các bài h c sau
Bài 7: Tính các tích phân sau:
1)
2
1
0
5cos
x
2)
2 0
x
3)
3
2
3
2
4
Gi i:
1)
1
2
+) Tính
2
2 0
+) Tính
2
0
t t sinx2cosxdt(cosx2sin )x dx ; i c n x và 0 t 2 1
2
x t Khi đó
1
1 2 2
dt
t
Trang 6+) V y I1 ln 2
Chú ý: Khi g p tích phân d ng sin cos
ph ng
pháp đ ng nh t h s :
+) Khi đó: cos sin
(v i I1 tính đ n gi n và đ t tcsinx d cosxđ gi i I ) 2
+ ) Ho c ta có th trình bày theo ph ng pháp vi phân nh sau:
2)
2
+) Tính
1
1
x
Axdx
+) Tính
1
0
2( x 1) x
e
t t ex x dt (ex1)dx ; i c n x và 0 t 1 x 1 t e 1
1
1
1
2
e
e
dt
t
2
3)
3
4
+) Tính
3
3 2
2 2 2
+) Tính
3 2
2
; t tsinx x lnxdt(cosxlnx1)dx
x t
Trang 7Khi đó
3 3
1 ln
3 3
2 2
1 ln
2 2
1 ln
2 2
1 ln
2 2
dt
t
+) V y 3
ln
I
L u ý: *) Trong các ý Bài 7 tích phân B ta có th trình bày nhanh b ng ph ng pháp vi phân:
+ )
2 0
+ )
1 0
x
+ )
3
2 2
*) D ng t ng quát cho các tích phân bài 7 là ( ) ( ( )) '( )
( )
g x
ây chính là d ng tích
phân th tám – m t trong 10 d ng tích phân mà các b n s đ c tìm hi u chi ti t các bài h c sau
Bài 8: Tính các tích phân sau:
1)
2
2 1
0 sin sin 2
2)
2 2 0
sin 2
x
x
2
3
0
sin 2
x
Gi i:
1)
1
+) t tcosx dt sinxdxsinxdx dt
2
x t
+) Khi đó
2
1
1
3 5
0
8 4
8 15
I
Trang 82
2
0
sin 2
x
x
2
2
3
1 sin
3
tdt
t x
2
x t
+) Khi đó
2
2
2 2
1 2
t
x
2 3
2
1
t
+) V y 2 28 8ln4
3)
cos
+) t tsinx dt cosxdx
2
+) Khi đó :
0
+) V y 3 ln 2
3
I
Nh n xét : D ng t ng quát cho các tích phân bài 8 là I sinmxcosn xdx
(sin ).cos
(v i I và 2 I ) 3 ây chính là d ng tích phân th chín – m t trong 10 d ng tích
phân mà các b n s đ c tìm hi u chi ti t các bài h c sau
Bài 9: Tính các tích phân sau: 1)
2 1 0
3 sin 2
x
2)
4 2 0
4
x
Gi i:
1)
2
1
0
3 sin 2
x
Trang 9
+) t sin cos (cos 2sin )
2
+) Khi đó
1
+) V y
1
1
ln 3 2
I
2)
2
sin 2 (sin cos )
2
x
+) t
2
4
x t
+) Khi đó
2
2
+) V y
2
3
Nh n xét : D ng t ng quát cho các tích phân bài 9 là I f(sinx cos ,sin cos ).(cosx x x x sinxdx
ây chính là d ng tích phân th m i – m t trong 10 d ng tích phân mà các b n s đ c tìm hi u chi ti t
các bài h c sau
Bài 10: Tính các tích phân sau: 1)
3
dx I
2)
Gi i:
1)
7
2 3
1
I
x x
x x
2
2
3
dx
x
i c n x và 1 t 2 x 3 t 2
2 2
2
4
2
1 3
3 1
t
x
x
3 2 2
1
1
x
Trang 102)
; i c n x và 1 t 0
+) Khi đó
+) V y 2 1ln11
2
I
Bài 11: Tính các tích phân sau:
1)
3
x
2)
0( 2)
I
x
3)
2 3
x
Gi i:
1)
3
x
1
; i c n x và 0 t 1 x 3 t 2 +) Khi đó
2
1
t t
I
2)
0 ( 2)
I
x
3
dt
tx dt x dxx dx ; i c n x và 0 t 2 x 2 t 10
10
2
+) V y 2 44 ln 5
15
3)
2
3
x
+) t t 2 x 2x t2 4 2 4x2 (t24)2 4(4x2)
2
2
2
2 2
1
1 1
1
1
x x
x t
Trang 11
2
2
t t
i c n x 0 t 2 2 và x 2 t 2
+) Khi đó
2 2
2 3
t
3
Bài 12: Tính các tích phân sau: 1)
1 1
dx I
2)
1
(1 ln ) ln
e
Gi i:
1)
1
1
dx I
1
t
i c n x và 0 t 2 x 1 t 2 2
+) Khi đó
2 2
1
+) V y 1 1ln 2
2
I
1
(1 ln ) ln
e
+) Ta có:
2
(1 ln ) ln
1
x
+) t t 1 lnx dt ln2xdx
e
+) Khi đó
2
1
2
1
e
e
+) V y
2
I
e
Bài 13: Tính các tích phân sau: 1)
1 1 0
2)
4 2 2
0 tan
3)
1
2 3
0
I x e dx 4)
4
4 0
x
5 0
ln 1
Gi i:
Trang 121
1
0
5
dx du
+) Khi đó
1
0
1 2
0
x
+) V y 1 21 40.ln 2
4
2)
4
2 2
0
tan
2
1
tan
cos
x
+) Khi đó
4
4 0 0
x x
+) V y
2 2
1
ln 2
3)
1
2 3
0
I x e dx
2
2
2
x x
e
3
0 0
0
2
x
+) V y I3 2 e2
4)
4
0
Tính
4
0 sin 2 x
Trang 13Suy ra
4
4 4
4 0
0
5
e
5
0
ln 1
dx du
5
0
x
Tính
1
01
x
x
; t t 1 x (t 1)2 x 2(t1)dtdx ; i c n x và 0 t 1
x t
Suy ra
2
2
+) Thay (2) vào (1) ta đ c: 5
1 2
I
Chú ý : +) Khi đi tính
1
01
x
x
ngoài vi c đ t t 1 x nh trên, các b n có th đ t t x
+) tích phân I , các b n có th 5 đ t luôn t x sau đó ta đ c 5 1
0
I t t dt và ti p t c
gi i tích phân này b ng vi c s d ng ph ng pháp tích phân t ng ph n, đ t u ln(t 1)
dv tdt
Bài 14: Tính các tích phân sau: 1)
1
0
x
2 0
2
dx x
3) I3
2
2 0
sin (1 cos )
dx x
1
0( 1)
x x
xe
e
0
cos
x
x
Gi i:
1)
1
0
x
+) t
2
1
2
x
dx dv
x
Trang 14+) Khi đó
1 1
1
0 0
3
I
x
+) Tính
1
0
x
Axe dx t u x x du xdx
Suy ra
1
0
Axe e dx e e e e +) Tính
1 2
+) V y I2 1 ln3
2
3) I3
2
2 0
sin (1 cos )
dx x
+) t
+) Khi đó I3
2
2 cos 2
x
2
I
4)
1
0 ( 1)
x x
xe
e
+) t
+) Khi đó
1 1 4
0 0
1
Tính
1
0 x 1
dx I
e
t tex dte dxx ; i c n x và 0 t 1 x 1 t e
Suy ra
1
e
x
x x
+) Thay (2) vào (1) ta đ c: 4
ln
e I
Trang 155) 4 tan
0
cos
x
x
+) Tính
0
2 1
+) Tính
tan
tan
.sin
.tan
x
x
cos
dx
x
4
x t
Suy ra
1
0 t
Be tdt t u t t du tdt
Khi đó
1
0
Bte e dt e e e e
V y I5 A B 2
Bài 15: Tính các tích phân sau:
1)
1
2 1
0
2)
2
2 0
1 5 3 0
x
I x e dx
Gi i:
1)
1
2 1
0
t
2
2
2 ln( 1)
1
du
x
0
Tính
1
0
I x x dx t
2
1 2
dx du
x
Suy ra
1
1 2
0
+) Thay (2) vào (1) ta đ c: 2
1
1
2 ln 2
2
2)
2
2
0
+) t
2
3
3
2
cos
sin
x
Trang 16Khi đó 2 3 2 2 3
2
0 0
3 0
2
1
sin
3
x
Suy ra
2
0 0
0
7 cos
x x
27
1
5 3
0
x
I x e dx
3 4
2
4
x
Khi đó
2
1
4
3
0
x
2
2
2 2
2x e dxx x ex 2xe dxx e e dxx e ex e (e 1) 1
+) Thay (2) vào (1) ta có:
2
e
Chú ý: bài toán trên các b n có th đ t 2
tx đ đ a tích phân v d ng 1 2
0
1 2
t
t e dt
và sau đó ta s làm
ti p theo các cách sau:
+) S d ng tích phân t ng ph n 2 l n nh cách làm trên
+) Tính tr c ti p
1
3
0
I t e dt t t t e dt t t e
( cách này ta đã s d ng công th c f x( ) f x e dx'( ) x f x e( ) xC– n u dùng trong bài các b n
Ngu n : Hocmai.vn
Trang 185 L I ÍCH C A H C TR C TUY N
Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c
H c m i lúc, m i n i
Ti t ki m th i gian đi l i
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm
Ch ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c
Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12) T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia
Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n
Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th
Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng