Các dạng toán và phương pháp giải tích phân

3 2.Phương pháp tích phân từng phần... LỜI NÓI ĐẦU Tài liệu này được viết nhằn giúp các em học sinh THPT ôn tập, luyện tập, củng cố và nắm vững kiến thức , rèn luyện kỹ năng giải các dạn

MỤC LỤC

-

LỜI NÓI ĐẦU 2

TÍCH PHÂN 3

I.CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 3 1 Phương pháp đổi biến số 3

2.Phương pháp tích phân từng phần 7

II.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP 11 1 Tích phân hàm số phân thức 11

2 Tích phân các hàm lượng giác 15

3.Tích phân hàm vô tỉ 20

4.Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối 21

III.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT 22 1.Cho hàm số y  f x ( ) liên tục và lẻ trên đoạn   a a ;  Khi đó 22

2.Cho hàm số y  f x ( ) liên tục và chẵn trên đoạn   a a ;  22

3.Cho hàm số y  f x ( ) liên tục và chẵn trên đoạn :  .23

4.Cho f(x) liên tục trên đoạn 0; 2        25

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 27

LỜI NÓI ĐẦU

Tài liệu này được viết nhằn giúp các em học sinh THPT ôn tập, luyện tập, củng cố và nắm vững kiến thức , rèn luyện kỹ năng giải các dạng toán cơ bản , thường gặp trong các kỳ thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng hàng năm

Kiến thức trong tài liệu này bám sát chương trình, chuẩn kiến thức gồm có 3 phần:

PHẦN I: Các phương pháp tính tích phân

PHẦN II: Tích phân một số hàm thường gặp

PHẦN III: Tích phân một số hàm đặc biệt

Phần 1 gồm có các phương pháp tính tích phân cơ bản đã được học ở lớp 12 như phương pháp đỏi biến số, phương pháp tích phân từng phần Phần 2 gồm có các cách tính tích phân của một số hàm thường gặp trong các kỳ thi Phần 3 gồm

có cách tính tích phân một số hàm đặc biệt mà khi dùng các phương pháp thông thường có thể gặp khó khăn Trong mỗi phần bao gồm cả kiến thức và mot vài bài tập mẫu nhăm giúp các em hiểu sâu thêm và rèn luyện kỹ năng giải bài tập

Tài liệu này được viết dựa trên cuốn sách “TOÁN NÂNG CAO GIẢI TÍCH 12” của PHAN HUY KHẢI và “PHƯƠNG PHÁP ÔN LUYỆN THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG” của HOÀNG VĂN MINH

Tuy đã rất cố gắng trong quá trình tìm hiểu và viết, nhưng cũng không tránh khỏi những sai sót Rất mong thầy cô, bạn đọc, các em học sinh đóng góp ý kiến, nhận xét để tại liệu được hoàn thiên hơn Mình xin chân thành cám ơn

I   f x dx,

*Phương pháp đổi biến dạng I

Định lí Nếu 1) Hàm x  u t ( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn    ; , 2) Hàm hợp f u t ( ( )) được xác định trên    ; ,

3) u ( )   a u , ( )   b,

b a

Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa căn dạng a2  x2, a2  x2 và

*Phương pháp đổi biến dạng II

Định lí : Nếu hàm số u  u x ( )đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn  a b ; 

2 cos(3 )

ln

e e

 Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng udv  uv dx' bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x) làm u(x) và phần còn lại dv  v x dx'( )

x x v

1 4

( )

b

x a

P x e dx

b a

b a

b x a

Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào

để chọn u và dv  v dx' thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx Nói chung nên chọn u là phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn

B c

bx ax

b ax A c bx ax

n mx

2

) 2 (

+)Ta có I= 





dx c bx ax

B dx

c bx ax

b ax A dx

c bx ax

n mx

b ax A

P x

Q x

  với P(x) và Q(x) là đa thức của x

 Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức

 Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp:

+ Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn  1, 2, , nthì đặt

2 Tích phân các hàm lượng giác

2.1.Dạng 1: Biến đổi về tích phân cơ bản

Ví dụ 10: Hãy tính các tích phân sau:

2.2.Dạng 2: Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác

2.2.1.Tính

cos

dx I

1

t x

1

t x





x a

dx C

dx c x b

x a

x b x a

B dx

A

cos sin

cos sin

sin cos

Tích phân  dx tính được

c x b

x a

x b x a

sin cos

Tích phân  a sin x  dx b cos x  ctính được

R   sin , cos x  x   R  sin ,cos x x thì đặt t  tan x hoặc

cot



t x, sau đó đưa tích phân về dạng hữu tỉ theo biến t

+) Nếu R  sin , cos x x là hàm số lẻ đối với sinx nghĩa là:

R   sin ,cos x x    R  sin ,cos x x thì đặt t  cos x

+) Nếu R  sin , cos x x là hàm số lẻ đối với cosx nghĩa là:

R  sin , cos x  x    R  sin ,cos x x thì đặt t  sin x

1 2

0 3

3.3Dạng 3: Biến đổi làm mất căn

Gồm: Đổi biến số t là toàn bộ căn thức

Viết biểu thức trong căn dưới dạng bình phương đúng

x I

1

0

2 3

1

3

) 1

(

1

0

5 3

0

1

2 2

4.Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp:Chúng ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối

Ví dụ 16: Tính

2 2

III.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT

1.Cho hàm số y  f x ( ) liên tục và lẻ trên đoạn   a a ;  Khi đó

( ) 0

a a

x f

2

1 1

) (

Chứng minh: Đặt t= -x  dt= - dx

Ta có f(x) = f(-t)= f(t); ax+1= a-t+1= t 1

t

a a

a dt

a

t f a dx

a

x f

t t

t

1

1 1 1

) ( 1

) (

dt a

t f dt

t

1

) ( )

dx a

x f

2

1 1

) (

Ví dụ 19 : Tính tích phân:

1 4

4 4

1

1

4

1 2

2 1

2 1

t dx

x

t t

1

t dt

1 5

2

1 2

1

5 1

4.Cho f(x) liên tục trên đoạn 0;

1 cos

dx x

dx x x

x I

sin

)



dx x

x x

x x

1

cos sin

)





dx x

x x

2cos

)



dx x

x

x I



dx x x I

b

 

2

0

2.cos)12()



dx x x

I d

 



4

01 cos 2 )



dx x

x I

tan)





dx x x

x I

h



4

0

2.tan)



dx x x I k

Bài 2.Tính các tích phân sau

) 1 (

)

x x

dx I

2 1 2

11

1

x x

I d

 



3

1 3

)

x x

dx I

) I x x dx h

Bài 3 Tính các tích phân sau

) 1 (

) 1 ln(

x

x I

x I d

1

3

ln

1 )

2

0

sin

.cos)cos(

)



dx x x e

I