Bài giảng toán cao cấp a3 ths đỗ hoài vũ

Phương pháp đổi biến trong tích phân bội hai.. a Diện tích miền D kín trong mặt phẳng Oxy SD = Z ZDdxdy b Khối lượng bản phẳng không đồng chất Xét bản phẳng D làm bởi vật liệu không đồng

ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

Mục lục

Mục lục 1

Chương 1 Phép tính vi phân hàm n biến 3 1.1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.2 Tóm tắt lý thuyết 3

1.2.1 Các cách biểu diễn hàm n biến 3

1.2.2 Đạo hàm riêng của hàm 2 biến 3

1.2.3 Đạo hàm riêng cấp cao 4

1.2.4 Đạo hàm hỗn hợp 5

1.2.5 Vi phân cấp n 5

1.2.6 Công thức Taylor của hàm hai biến 6

1.2.7 Cực trị của hàm hai biến 8

1.3 Bài tập 10

Chương 2 Tích phân bội hai 12 2.1 Kiến thức chuẩn bị 12

2.1.1 Bảng nguyên hàm hàm số một biến 12

2.1.2 Phương pháp tính tích phân xác định 12

2.1.3 Cách vẽ một số đường cơ bản trong mặt phẳng tọa độ Oxy 13

2.2 Tóm tắt lý thuyết 14

2.2.1 Định nghĩa và ký hiệu 14

2.2.2 Một số tính chất của tích phân bội hai 14

2.2.3 Phương pháp tính tích phân bội hai 14

2.2.4 Phương pháp đổi biến trong tích phân bội hai 15

2.2.5 Ứng dụng của tích phân bội hai 17

2.3 Bài tập 18

Chương 3 Tích phân bội ba 19 3.1 Tóm tắt lý thuyết 19

3.1.1 Định nghĩa và ký hiệu 19

3.1.2 Một số tính chất của tích phân bội ba 19

3.1.3 Phương pháp tính tích phân bội ba 19

3.1.4 Phương pháp đổi biến trong tích phân bội ba 20

3.1.5 Ứng dụng của tích phân bội ba 24

2 Mục lục Th.s Đỗ Hoài Vũ

4.1 Tích phân mặt loại 1 25

4.1.1 Định nghĩa và ký hiệu 25

4.1.2 Phương pháp tính tích phân mặt loại 1 25

4.1.3 Ứng dụng của tích phân mặt loại 1 28

4.2 Tích phân mặt loại 2 28

4.2.1 Định nghĩa và ký hiệu 28

4.2.2 Phương pháp tính tích phân mặt loại 2 29

4.3 Bài tập 32

Chương 1

Phép tính vi phân hàm n biến

1.1 Kiến thức chuẩn bị 31.2 Tóm tắt lý thuyết 31.3 Bài tập 10

1.1 Kiến thức chuẩn bị

Cần nhớ bảng đạo hàm và các quy tắc đạo hàm của hàm một biến số

1.2 Tóm tắt lý thuyết

1.2.1 Các cách biểu diễn hàm n biến

-Biểu diễn dạng bảng (không xét trong bài giảng)

- Biểu diễn dạng biểu thức

Ví dụ1:

Hàm hai biến z = f (x, y) = x + y

x-Biểu diễn dạng phương trình ẩn

Bài toán : Cho hàm hai biến z=z(x,y) Tìm zx0; zy0

Giải

- Nếu z biểu diễn dạng biểu thức thì khi đạo hàm theo biến nào sẽ coi biến còn lại

4 Phép tính vi phân hàm n biến Th.s Đỗ Hoài Vũ

z0y = −3z2y2 +2

- Nếu z biểu diễn dạng hàm hợp thì

Cách 1: Chuyển biểu diễn của hàm z theo u,v về theo x,y sau đó tính như trườnghợp biểu diễn bằng biểu thức

- Đạo hàm hai vế (*) theo x ta được : 2x + 3z2z0x+ 2zx0 = 0(∗∗)

- Đạo hàm hai vế (**) theo x ta được : 2 + 6z(zx0)2+ 3z2z00x2 + 2zx002 = 0

Th.s Đỗ Hoài Vũ 1.2 Tóm tắt lý thuyết 5

Như vậy muốn tính z(n)xn (hoặc zy(n)n) chỉ cần đạo hàm liên tiếp (*) n lần theo x(hoặc n lần theo y )

Ví dụ 3:

Cho z = z(u, v) = u − v2 với u = x2− y2, v = exy Tính z(n)xn và z(n)xn

Chuyển biểu diễn z theo x,y ta có:

z = z(x, y) = x2− y2− e2xy ⇒

(

zx(n)n = −(2y)ne2xy

zy(n)n = −(2x)ne2xy1.2.4 Đạo hàm hỗn hợp

+ zxy00 : Lần thứ nhất đạo hàm theo x, lấy kết quả đạo hàm theo y

+ zyx00 : Lần thứ nhất đạo hàm theo y, lấy kết quả đạo hàm theo x

+ zx(n+m)n y m : Đạo hàm theo x n lần, lấy kết quả đạo hàm tiếp theo y m lần

Ví dụ 1:

Cho z = xy+py2+ 2 ⇒ zxy00 = zyx00 = xy−1(1 + y ln x)

Ví dụ2:

Xét z=z(x,y) thỏa x2+ y2+ z3+ 2z = 0(∗) Khi đó

- Đạo hàm hai vế (*) theo x ta được : 2x + 3z2zx0 + 2zx0 = 0(∗∗)

- Đạo hàm hai vế (**) theo y ta được : 6zz0yzx0 + 3z2zxy00 + 2zxy00 = 0

Vậy zxy00 = −6zz

0

x z0y3z 2 +2 Thay đổi thứ tự đạo hàm ta được zyx00 = zyx00 1.2.5 Vi phân cấp n

Cho hàm z = z(x, y)

- Vi phân cấp 1 của z: dz = z0xdx + zy0dy

- Vi phân cấp 2 của z: d2z = zx002dx2+ 2z00xydxdy + zy002dy2

- Vi phân cấp 3 của z: d3z = zx(3)3dx3+ 3zx(3)2 ydx2dy + 3zxy(3)2dxdy2 + zx(3)3 dy3

- Vi phân cấp n của z: dnz =

nPk=0

6 Phép tính vi phân hàm n biến Th.s Đỗ Hoài VũSuy ra

dz = −2(dx + dy) sin(2x + 3y)

d2z = −(4dx2+ 12dxdy + 9dy2) cos(2x + 3y)

d3z = (8dx3+ 36dx2dy + 54dxdy2 + 27dy3) sin(2x + 3y)Thay x = π4, y = 0 vào biểu thức d3z ta được

d3z = (8dx3 + 36dx2dy + 54dxdy2+ 27dy3) sin(π2)

- Đạo hàm hai vế (*) theo x ta được : 2x + 3z2z0x+ 2zx0 = 0 (2*)

- Đạo hàm hai vế (2*) theo x ta được : 2 + 6z(zx0)2+ 3z2z00x2 + 2zx002 = 0 (3*)

- Đạo hàm hai vế (*) theo y ta được : 2y + 3z2zy0 + 2zy0 = 0 (4*)

- Đạo hàm hai vế (4*) theo y ta được : 2 + 6z(zy0)2+ 3z2zy002 + 2zy002 = 0 (5*)

- Đạo hàm hai vế (2*) theo y ta được : 6zzy0z0x+ 3z2zxy00 + 2zxy00 = 0 (6*)Thay x = y = 0 vào (*) ta được z = 0.Thay x = z = 0 vào (2*) ta được zx0 = 0.Thay z = 0 vào (3*) ta được zx002 = −1 Thay y = z = 0 vào (4*) ta được zy0 = 0.Thay z = 0 vào (5*) ta được zy002 = −1 Thay z = 0 vào (6*) ta được zxy00 = 0

Vậy d2z(0, 0) = −dx2− dy2

1.2.6 Công thức Taylor của hàm hai biến

Dạng thứ nhất:

f (x, y) = f (x0, y0) + dz(x0, y0) + 2!1d2z(x0, y0) + + n!1dnz(x0, y0) + Rn(x, y)Dạng thứ hai:

f (x, y) = f (x0, y0) +

1PK=0

C1k(x − x0)k(y − y0)1−kfx(1)k y 1−k(x0, y0)+2!1

2PK=0

C2k(x − x0)k(y − y0)2−kfx(2)k y 1−k(x0, y0)+3!1

3PK=0

C3k(x − x0)k(y − y0)3−kfx(3)k y 1−k(x0, y0)

.+n!1

nPK=0

Ck

n(x − x0)k(y − y0)n−kfx(n)k y 1−k(x0, y0)+Rn(x, y)

Ghi chú : Số hạng

1

m!

mXK=0

Cmk(x − x0)k(y − y0)m−kfx(m)kym−k(x0, y0); 0 ≤ m ≤ n

Th.s Đỗ Hoài Vũ 1.2 Tóm tắt lý thuyết 7gọi là số hạng bậc m trong công thức Taylor(chú ý tổng lũy thừa của x, y bằng m)

C1k(x − x0)k(y − y0)1−kfx(1)k y 1−k(x0, y0)

+2!1

2PK=0

= ab2+ 12ab + 36a + 2b2 + 24b + 72 + a3+ 6a2+ 12a + 2b + 13

bỏ đi số hạng có tổng lũy thừa của a, b lớn hơn 2 (vì chỉ viết đến số hạng bậc 2 ) tađược công thức Taylor của z là:

z = 85 + 48a + 26b + 6a2+ 12ab + 2b2

= 85 + 48(x − 2) + 26(y − 1) + 6(x − 2)2+ 12(x − 2)(y − 1) + 2(y − 1)2

8 Phép tính vi phân hàm n biến Th.s Đỗ Hoài Vũ

xy tổng lũy thừa không qúa 3

- Đạo hàm hai vế (*) theo x ta được : 2x + 3z2z0x+ 2zx0 = 0 (2*)

- Đạo hàm hai vế (2*) theo x ta được : 2 + 6z(zx0)2+ 3z2z00x2 + 2zx002 = 0 (3*)

- Đạo hàm hai vế (*) theo y ta được : 2y + 3z2zy0 + 2zy0 = 0 (4*)

- Đạo hàm hai vế (4*) theo y ta được : 2 + 6z(zy0)2+ 3z2zy002 + 2zy002 = 0 (5*)

- Đạo hàm hai vế (2*) theo y ta được : 6zzy0z0x+ 3z2zxy00 + 2zxy00 = 0 (6*)Thay x = y = 0 vào (*) ta được z = 0.Thay x = z = 0 vào (2*) ta được zx0 = 0.Thay z = 0 vào (3*) ta được zx002 = −1 Thay y = z = 0 vào (4*) ta được zy0 = 0.Thay z = 0 vào (5*) ta được zy002 = −1 Thay z = 0 vào (6*) ta được zxy00 = 0

Vậy Công thức Taylor của z là z = −x2+y2 2

1.2.7 Cực trị của hàm hai biến

a) Định nghĩa

Cho hàm z = f (x, y) xác định trên miền D, M0(x0, y0) là điểm trong của D Ta nói:-f (x, y) đạt cực đại tại M0 nếu f (x, y) − f (x0, y0) < 0

-f (x, y) đạt cực tiểu tại M0 nếu f (x, y) − f (x0, y0) > 0

với mọi (x, y) thuộc lân cận (x0, y0) nhưng khác (x0, y0)

b) Cực trị tự do

Bài toán : Tìm cực trị của hàm z = f (x, y)

Giải

Th.s Đỗ Hoài Vũ 1.2 Tóm tắt lý thuyết 9+ Tìm điểm dừng thỏa hệ

- Nếu 4 > 0 thì hàm z đạt cực đại khi A < 0 và cực tiểu khi A > 0

- Nếu 4 = 0 thì chưa kết luận được (cần dùng định nghĩa)

- Đạo hàm hai vế (2*) theo x ta được : 2 + 2(zx0)2+ 2zzx002 + 2zx002 = 0 (4*)

- Đạo hàm hai vế (2*) theo y ta được : 2zy0zx0 + 2zzxy00 + 2z00xy = 0 (5*)

- Đạo hàm hai vế (3*) theo y ta được : 2 + 2(zy0)2+ 2zzy002+ 2z00y2 = 0 (6*)Thay x = 2, y = −6 vào (*) ta được z = 6 (vì z > 0) Thay z = 6, zx0 = z0y = 0 vào(4*),(5*),(6*) ta được:

- Ta chỉ tìm được điểm dừng x = y = 0 và khi đó 4 = 0 nên chưa kết luận được

- Hiệu f (x, y) − f (0, 0) = 1 + x2+ y4− 1 = x2+ y4 > 0 với mọi (x, y) thuộc lân cậncủa (0, 0) (khác (0, 0)) nên theo định nghĩa z đạt cực tiểu tại (0, 0) và zct = 1

Ví dụ 4:

Tìm cực trị của hàm z = f (x, y) = x4y3

Giải:

- Ta chỉ tìm được điểm dừng x = y = 0 và khi đó 4 = 0 nên chưa kết luận được

- Hiệu f (x, y) − f (0, 0) = x4y3 đổi dấu khi y đổi dấu nên theo định nghĩa z khôngđạt cực trị tại (0, 0)

c) Cực trị có điều kiện

10 Phép tính vi phân hàm n biến Th.s Đỗ Hoài VũBài toán : Tìm cực trị của hàm z = f (x, y) thỏa điều kiện g(x, y) = 0.

+ Xét dấu : 4 = Ah2+ 2Bhk + Ck2 Với h,k thỏa: h, k ∈ R; h2+ k2 > 0

c) z có điểm dừng nhưng không có cực trị d) z có hai cực đại và hai cực tiểuBài tập 1.3 Tìm cực trị của hàm số z = z(x,y) thỏa : x2+y2+z2−4x+6y+2z−2 = 0.Biết z < 0

a) z đạt cực tiểu tại M(2, - 3) và ZCT = - 5

b) z đạt cực đại tại M(2, - 3) và ZCĐ = 3

c) Cả câu a) và b d) z Chỉ có điểm dừng là M(2, - 3)

Th.s Đỗ Hoài Vũ 1.3 Bài tập 11

Bài tập 1.4 Tìm cực trị của hàm z = 3x + 4y với điều kiện x2+ y2 = 1

a) z đạt cực tiểu tại M(3/5, 4/5)

b) z đạt cực đại tại M(- 3/5, - 4/5)

c) z đạt cực đại tại M(3/5, 4/5) và đạt cực tiểu tại N(- 3/5, - 4/5)

d) z đạt cực tiểu tại M(3/5, 4/5) và đạt cực đại tại N(- 3/5, - 4/5)

Bài tập 1.5 Viết công thức taylor của hàm z = f (x, y) = ex+y tại lân cận

2

2 + R2(x, y) d) z = x + y − x

2−y2

Bài tập 1.8 Tìm A = zx(100)65 y 35(0, π2) của hàm z = (x6 + 3y)cos(x + y),

R dx sin 2 (ax+b) = −a1cot(ax + b) + C

f (x)dx =

u(b)Ru(a)g(u)du-Cách 2 Đặt x = x(t) Khi đó

bRa

f (x)dx =

tbR

t a

f (x(t))x0t(t)dt

Th.s Đỗ Hoài Vũ 2.1 Kiến thức chuẩn bị 13

2) Từng phần

bZaudv =uv

b

a −

bZavdu







2.4.6 (n−1) 1.3.5 n Khi n lẻ1.3.5 (n−1)

2.4.6 n × π

2 Khi n chẵn2.1.3 Cách vẽ một số đường cơ bản trong mặt phẳng tọa độ Oxy

- D1 là miền thỏa điều kiện: x2+ y2− 2ax − 2by + c < 0

- D2 là miền thỏa điệu kiện: x2+ y2− 2ax − 2by + c > 0

2) Đường Elip, Miền Elip

- D1 là miền thỏa điều kiện: xa22 + yb22 < 1

- D2 là miền thỏa điều kiện: xa22 + yb22 > 1

3) Đường Parabol, Miền Parabol

a) Phương trình tổng quát : y = ax2+ bx + c; a 6= 0

- Tọa độ đỉnh x = −b2a, y = 4ac−b4a 2

- D1 là miền thỏa điều kiện: y > ax2+ bx + c

- D2 là miền thỏa điều kiện: y < ax2+ bx + c

b) Phương trình tổng quát : x = ay2+ by + c; a 6= 0

- Tọa độ đỉnh y = −b2a, x = 4ac−b4a 2

- D1 là miền thỏa điều kiện: x > ay2+ by + c

- D2 là miền thỏa điều kiện: x < ay2+ by + c

D2D1

14 Tích phân bội hai Th.s Đỗ Hoài Vũ

2.2 Tóm tắt lý thuyết

2.2.1 Định nghĩa và ký hiệu

Z ZD

f (x, y)dxdyVới D là miền đóng và bị chặn trong R2

2.2.2 Một số tính chất của tích phân bội hai

2.2.3 Phương pháp tính tích phân bội hai





dZc

f (x, y)dy



dx =

dZc





bZa

f (x, y)dx



dyb) D có dạng hình thang cong: [a, b] × [y1(x), y2(x)]

Z ZD

f (x, y)dxdy =

bZa







y 2 (x)Z

Z ZD

f (x, y)dxdy =

dZc







x 2 (y)Z

dxdy Với D giới hạn bởi: y2 = 10x + 25, y2 = −6x + 9

Ví dụ2: Thay đổi thứ tự tính các tích phân sau

a) I =

1/4R1dx

√ xRx

2R1dx

√ 2x−x 2

R2−x

f (x, y)dyc) I =

eR1dx

ln xR0

1R0dy

4

√ yR

√ y

f (x, y)dx

(cos2x + siny)dxdy Với D giới hạn bởi: x ≥ 0; y ≥ 0; 4x + 4y ≤ π.

2.2.4 Phương pháp đổi biến trong tích phân bội hai

u0x u0y

vx0 vy0

y = brsinϕ ; 0 ≤ r < +∞; 0 ≤ ϕ ≤ 2π.

16 Tích phân bội hai Th.s Đỗ Hoài Vũ

Ta được D1 : [ϕ1, ϕ2] × [r1(ϕ), r2(ϕ)]

Khi đó :

Z ZD

D

(x2+ y2− x)dxdy Với D giới hạn bởi: x2+ y2− x = 0

Ví dụ3: Tính tích phân I =RR

Ddxdy Trong các trường hợp sau :

5dxdy Với D giới hạn bởi: xa22 + yb22 ≥ 1, x 2

4a 2 +4by22 ≤ 1, y ≥ √1

3|x|.e) I =RR

a x, y ≥ √b

3ax

2.2.5 Ứng dụng của tích phân bội hai

a) Diện tích miền D kín trong mặt phẳng Oxy

SD =

Z ZDdxdy

b) Khối lượng bản phẳng không đồng chất

Xét bản phẳng D làm bởi vật liệu không đồng chất có khối lượng riêng biểu diễnbởi hàm liên tục ρ(x, y) Khi đó khối lượng của D được tính theo công thức:

mD =

Z ZDρ(x, y)dxdy

c) Tọa độ trọng tâm của bản phẳng không đồng chất

Xét bản phẳng D làm bởi vật liệu không đồng chất có khối lượng riêng biểu diễnbởi hàm liên tục ρ(x, y) Khi đó tọa độ trong tâm G của D trong hệ tọa độ Oxyđược tính bởi công thức

xG=

RRDxρ(x, y)dxdy

RRDyρ(x, y)dxdy

mDd) Mômen quán tính của bản phẳng không đồng chất

Xét bản phẳng D làm bởi vật liệu không đồng chất có khối lượng riêng biểu diễnbởi hàm liên tục ρ(x, y) Khi đó Mômen quán tính của D theo trục Ox , Oy và gốctọa độ lần lượt tính theo công thức

y2ρ(x, y)dxdy; Io =

Z ZD(x2+ y2)ρ(x, y)dxdy

18 Tích phân bội hai Th.s Đỗ Hoài Vũe) Thể tích miền V kín trong không gian Oxyz

Ghi chú : Chúng ta có thể thay đổi vai trò x, y, z trong bài toán trên

Ví dụ1: Tính diện tích miền D trong các trường hợp sau:

f (x, y, z)dxdydz

Với Ω là miền đóng và bị chặn trong R3

3.1.2 Một số tính chất của tích phân bội ba

3.1.3 Phương pháp tính tích phân bội ba

a) Nếu Ω có dạng : [a, b] × [y1(x), y2(x)] × [z1(x, y), z2(x, y)] thì

Z Z Z

Ω

f (x, y, z)dxdydz =

bZa







y 2 (x)Z

f (x, y, z)dxdydz =

Z ZD







z 2 (x,y)Z

20 Tích phân bội ba Th.s Đỗ Hoài VũChú ý: Vai trò x,y,z trong các công thức trên có thể thay đổi thứ tự.

x2+ y2dxdydz Với Ω giới hạn bởi: 2z = x2+ y2, y + z = 4

3.1.4 Phương pháp đổi biến trong tích phân bội ba

u0x u0y u0z

v0x vy0 vz0

w0x w0y w0z