BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A3

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I Định nghĩa –Cách tính -Trọng tâm cung II.. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI II Định nghĩa- Cách tính - Công thức Green III.. :4i Khái niệm giới hạn vô hạn cùng với các định

GIỚI THIỆU MÔN HỌC

NỘI DUNG

LỊCH SỬ TOÁN HỌC

Giảng viên : Th.S ĐỖ HOÀI VŨ

YÊU CẦU MÔN HỌC

1 Đi học đủ số tiết quy định ( >2/3)

2 Mỗi nhóm thực hiện tiểu luận gồm 10 sv

3 Chấm điểm tiểu luận theo hình thức : Gọi ngẫu nhiên mỗi nhóm 4 sv trình bày chấm điểm trực tiếp Điểm các sv còn lại trong nhóm sẽ bằng điểm trung bình

của 4 sv viên vừa gọi

4 Thi giữa kỳ và cuối kỳ theo hình thức trắc nghiệm

khách quan Điểm tb môn được tính theo quy định

5 Sv phải chuẩn bị giáo trình đầy đủ Tài liệu tham

khảo để làm tiểu luận gồm các cuốn sách sau :

Toán cao cấp , tâp 3 , tác giả : Nguyễn Đình Trí

K Ñ

CHƯƠNG I CHƯƠNG II CHƯƠNG III CHƯƠNG IV

2 Định nghĩa Hàm nhiều biến

3 Giới hạn - Liên tục

II Đạo hàm vi phân

III Cực trị hàm nhiều biến

CHƯƠNG I CHƯƠNG II CHƯƠNG III CHƯƠNG IV

CHƯƠNG I CHƯƠNG II CHƯƠNG III CHƯƠNG IV

I TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I

Định nghĩa –Cách tính -Trọng tâm cung

II TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI II

Định nghĩa- Cách tính - Công thức Green

III TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I

Định nghĩa –Cách tính - Trọng tâm mặt

IV TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II

Định nghĩa –Cách tính - Công thức Stoke-Ostrogradsky

CHƯƠNG I CHƯƠNG II CHƯƠNG III CHƯƠNG IV

I PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

Đại cương về ptvp cấp 1– Các phương trình cơ bản

II PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

Đại cương về ptvp cấp 2– Các phương trình cơ bản III HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Đại cương – Cách giải

Hệ phương trình vi phân thuần nhất hệ số hằng

2 HÀM NHIỀU BIẾN

2.1 Định nghĩa

2.2 Cách cho một hàm nhiều biến

3.1 Giới hạn hàm nhiều biến

3.2 Sự liên tục của hàm nhiều biến

2.3 Một số mặt bậc hai cơ bản

1 TẬP HỢP TRONG R n

3 GIỚI HẠN- LIÊN TỤC

1.3 Đạo hàm ẩn

II ĐẠO HÀM –VI PHÂN

2 Vi Phân:

CHƯƠNG I : HÀM SỐ NHIỀU BIẾN

I CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

1.Tập hợp trong Rn

1.1 Khoảng cách giữa hai điểm

Xét hai điểm M( x1, x2 , …, xn ), N ( y1, y2 , …, yn ) trong không gian Rn Khoảng cách giữa M và N cho bởi công thức:

CHƯƠNG I : HÀM SỐ NHIỀU BIẾN I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

 Trong R hình dạng của B(x0, r) là khoảng (x0-r,x0 + r)

 Trong R2 hình dạng của B(x0, r) là miền tròn

không lấy những điểm nằm trên biên

 Trong R3 hình dạng của B(x0, r) là quả cầu

không lấy những điểm nằm trên biên (mặt cầu)

CHƯƠNG I : HÀM SỐ NHIỀU BIẾN

1.3 Điểm trong - Tập Mở

Tập hợp tất cả các điểm trong gọi

là miền trong của tập A và kí hiệu là int A Tập A gọi là tập mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong

1.4 Điểm biên - Tập đóng

là biên của tập A và kí hiệu là .Tập A gọi là đóng nếu

nó chứa mọi điểm biên của nó

CHƯƠNG I : HÀM SỐ NHIỀU BIẾN

1.5 Điểm Tụ - Điểm cô lập

Chú ý :

CHƯƠNG I : HÀM SỐ NHIỀU BIẾN : I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Ví dụ

1.8 -Tập liên thông : Tập A gọi là một tập liên thông nếu

có thể nối hai điểm bất kỳ M , N bằng một đường liên tục

Ngược lại nếu nó được bao bởi nhiều đường , mặt khác

nhau đôi một thì ta nói A là đa liên

II HÀM NHIỀU BIẾN

khi M chạy khắp miền D

II HÀM NHIỀU BIẾN

2 Cách cho một hàm nhiều biến

Người ta có thể biểu diễn hàm nhiều biến bằng một hay

nhiều biểu thức Trong trường hợp này ta có thể hiểu D là tập các điểm M sao cho biểu thức của f có nghĩa

Ví dụ

Trong các bài toán ứng dụng ta còn có thể dùng bảng

để biểu diễn hàm nhiều biến

Ví dụ

1

y

Định nghĩa 1 (ngôn ngữ )

D Số a được gọi là giới hạn của hàm f(M) khi M tiến dần

Định nghĩa 2 (ngôn ngữ dãy )

D Số a được gọi là giới hạn của hàm f(M) khi M tiến dần

về M0 nếu với mọi dãy điểm Mn : Mn Rn , Mn M0 ,

Chú ý :

i) Giới hạn lặp : nếu xét thứ tự lấy của giới hạn thì

tổng quát ta có :

ii) Nếu có giới hạn thì giới hạn đó không phụ thuộc

3i) z(x,y) có giới hạn tại (x0,y0) thì giới hạn này là

duy nhất và có :

b Tính chất gi iớ hạn hàm nhiều biến

II HÀM NHIỀU BIẾN

:4i) Khái niệm giới hạn vô hạn cùng với các định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương của hàm một biến cũng đúng với hàm hai biến

( ) 2

2

x xy (x,y) (0;2)

2 2 2

Định nghĩa 1

3 Sự liên tục của hàm nhiều biến

II HÀM NHIỀU BIẾN

a Định Nghĩa

Định nghĩa 2 Hàm z = f(M) liên tục trên miền D ⊂ Rn khi nó liên tục ∀M ∈ D

C, D, E, F không đồng thời bằng không Trong tính

toán chúng ta thường gặp các mặt sau

M ặt Cầu

zox

M ặt Elipxôit

zo

Nếu dùng các mặt phẳng song song với các mặt tọa

độ cắt hình Elipxôit tùy theo các hệ số a, b, c ta sẽ

được giao tuy ến là Elíp hoặc đường tròn

y

M ặt yên ngựa (parabolit hyperbolic)

Mặt hyperboloit một tầng

• Phương trình

x y , , z ( )

x y , , z ( )

CHƯƠNG I I: ĐẠO HÀM RIÊNG –VI PHÂN NHIỀU BIẾN

I ĐẠO HÀM RIÊNG

1 Đạo hàm riêng cấp 1( hàm hai biến z=f(x,y))

b.Đạo hàm theo biến y :

c Ví dụ : z =x2y3 +x4 => z’x = 2xy3 + 4 x3 , z’y = 3x2 y2

fxy’’ , fyx’’ xác định trên một lân cận (x0 , y0) và liên tục tại (x0 , y0) thì : z ′′xy ( , x y0 0 ) = z ′′yx ( , x y0 0 )

b Tương tự ta có thể lấy đạo hàm cấp n theo biến x,

n m

n m

x y

f +

y 5) z= x 4 z ?

′ ′ ′′

′ +

CHƯƠNG I I: ĐẠO HÀM RIÊNG –VI PHÂN NHIỀU BIẾN

II VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

1 Vi phân cấp 1( hàm hai biến z=f(x,y))

Định nghĩa:

(x0,y0) ∈ D, cho các số gia ∆x, ∆y sao cho

(x0 + ∆x, y0 + ∆y) ∈ D Ta nói hàm z = f(x,y) khả vi tại (x0,y0) nếu số gia toàn phần:

∆f = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) – f(x0,y0) có thể biểu diễn được ở dạng: ∆f = A.∆x + B.∆y +

Trong đĩ : Trong đó A,B là hai số thực,

) ,

0

∆ +

∆

∆

∆ θ

y x

) ,

( lim

CHƯƠNG I I: ĐẠO HÀM RIÊNG –VI PHÂN NHIỀU BIẾN

II VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

2 Vi phân cấp n ( hàm hai biến z=f(x,y))

n y x

n

i

i n

n

y

dx x

) (

1 Định nghĩa:

Xét z = f(x,y) có M0(x0,y0) là cực đại địa phương

của M0: f(M) ≤ f(M0)

f

Tại điểm (0,0) khơng phải là

cực trị

Điểm O

là cực trị

BaØi toán: Tìm cực trị của hàm z=f(x,y)

0 0 ''

0 0

( , ) ( , ) ( , )

x xy y

0 0

x y

f f

CÁC VÍ DỤ-CỰC TRỊ

Ví dụ 1 Tìm cực trị của hàm z = x 3 + y 3 – 3xy

• Tìm tập các điểm dừng :

z’x = 3x2 – 3y = 0z’y = 3y2 – 3x = 0

• Tại M1 ta có ∆ = AC – B2 = 36 – 9 > 0, A = 6 > 0

nên M1 là điểm cực tiểu,

• Tại M2 ta có ∆ = -9 < 0, nên M2 không là điểm cực trị

Phương pháp : (Nhân tử Lagrănge)

Nếu : d2L(x0,y0) > 0 thì (x0,y0) là điểm cực tiểu

d2L(x0,y0) < 0 thì (x0,y0) là điểm cực đại

VÍ DỤ ( TÌM C Ự C TR Ị C Ĩ ĐK)

Ví dụ 1 : Tìm cực trị hàm z = xy Thỏa

ϕ(x,y) = (x-1)2 + y2 – 1 = 0

+ Đặt : L = f + λ ϕ = xy + λ [(x-1)2 + y2 – 1 ]+

I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.Bài toán mở đầu :

CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2 (KÉP)

V

i

= S

i

h

f(xi,yi)

2 Định nghĩa : (sgk)

CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2 (KÉP)

4 Nhận xét :

D thành các miền nhỏ nên ta cĩ thể thay dS=dxdy

 f(x,y) > 0, liên tục ∀(x,y) ∈ D thì thể tích hình trụ có các đường sinh song song với Oz, hai đáy giới hạn bởi z= 0, z= f(x,y) là

CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2 (KÉP)

5 Tính chất của tích phân kép :

Tính chất 1 :Nếu f liên tục trong D thì f khả tích trên D

Tính chất 2 : Tích phân kép có tính tuyến tính

Tính chất 3 : Nếu D = D1 ∪ D2 và D1 ∩ D2 = ∅ thì

R K

fdxdy K

Kfdxdy

gdxdy fdxdy

dxdy g

f

D D

f f

f

2 1

CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2 (KÉP)

5 Tính chất của tích phân kép :

Tính chất 4 : Nếu f(x,y) g(x,y) ∀(x,y) ∈ D thì

CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2 (KÉP)

5 Tính chất của tích phân kép :

Tính chất 6 : Nếu f(x,y) liên tục trên một miền đĩng và

II CÁC PHƯ Ơ NG P PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2 (KÉP)

II.1 Trong hệ trục Descartes.

Miền D là hình chữ nhật :

CÁC VÍ DỤ TỰ GIẢI ( tích phân kép )

Tính các tích phân sau:

N

CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2 (KÉP)

Miền D giới han bởi : a ≤ x ≤ b, y1(x)≤ y≤ y2(x)

D = [a,b]× [ y1(x), y2(x)]

2

1

( ) ( )

y x b

x x d

CÁC VÍ DỤ TỰ GIẢI ( tích phân kép )

Tính các tích phân sau:

a) D giới hạn bởi

D

dxdy x

y

CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2 (KÉP)

II.2 Phương pháp đổi biến :

Xét vì lấy tích phân trên miền Dquá

phức tạp nên ta biến về miền D đơn giản như các hình chữ nhật chẳng hạn,

Tính tích phân của hàm:

y x

f

4 4

1

1

+ +

=

) , (

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

CÁC VÍ DỤ TỰ GIẢI ( tích phân kép )

Tính các tích phân sau:

a) D giới hạn bởi y2 = x, y = x, y2 = 3x, y= 2x

b) D giới hạn bởi các đường y2 = px, y2 = qx,

x y

CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2 (KÉP)

II.3 Tích phân trong hệ tọa độ cực :

CÁC VÍ DỤ TỰ GIẢI ( tích phân kép )

Tính các tích phân sau:

a) D giới hạn : x2 + y2 = a2, x2 + y2 =4a2

b) D giới hạn bởi : x2 + ( y – 1)2 = 1, và

[ ]

0, 2 , 2

4 4

0, cos sin

r

π π ϕ

CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2 (KÉP)

III ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN KÉP

CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2 (KÉP)

CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2 (KÉP)

CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2 (KÉP)

CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2 (KÉP)

I.CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.Định Nghĩa : Cho hàm f(x,y,z) xác định trong miền đĩng bị chặn V

Chia miền V thành n miền đĩng rời nhau cĩ thể tích

khơng phụ thuộc vào cách chia miền V và cách chọn

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN BỘI 3

3 Tính chất : (Tương tự như tích phân bội 2)

II CÁC PHƯ Ơ NG P PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN BỘI 3

2

1

( , ) ( , )

CÁC VÍ DỤ TỰ GIẢI ( tích phân kép )

Tính các tích phân sau:

y x

( , , )

V

f x y z dxdydz

∫∫∫

III Phương pháp đổi biến :

Xét I= vì lấy tích phân trên miền

V quá phức tạp nên ta biến về miền V đơn giản như

( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

CÁC VÍ DỤ TỰ GIẢI ( tích phânb i 3) ộ

Tính các tích phân sau:

a) V là miền xác định bởi

− +

+

− +

+

− y z y z x z x y x

Đặt :

2 Tọa Độ Trụ

Khi đĩ

V’ V

Z

ϕ

cos ,0 sin ,0 2

CÁC VÍ DỤ TỰ GIẢI ( tích phânb i 3) ộ

Tính các tích phân sau:

V là miền xác định bởi

V

dxdydz y

+

0

1

2 2

2

2 2

2

z z

y x

z y

b)

CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2 (KÉP)

III ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN BƠI BA

1 Thể tích V

2 Kh i l ng, của v ố ượ ật thể V

3 Tọa độ trọng tâm của vật thể V

CHƯƠNG 3 : TÍCH PHÂN BỘI 3

CHƯƠNG 3 : TÍCH PHÂN BỘI 3

4

4 X+y=4

4

4

a)

CHƯƠNG 4: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT

- -• 1.1 Bài toán mở đầu :

• Xuất phát từ việc đi tìm khối lượng (hay mật độ của một đại lượng vật lý nào đó ) trên cung AB khi biết khối lượng riêng của cung người ta đưa ra khái niệm tích phân đường loại 1 Ngoài ra để tính diện tích mặt cong có đường sinh // Oz, đường cong

không gian ở trên là z=f(x,y), đường giới hạn dưới là đường cong phẳng F(x,y)=0.

• 1 2 Định nghĩa :

• Xét cung AB và hàm z=f(x,y) chia cung AB

thành n phần ∆ Si, lấy trên mỗi ∆ Si một điểm Mi­ lập tổng In = ,

• Nếu khi : n → ∞ sao cho Max[ ∆ Si ] → 0, tổng có giới hạn hữu hạn thì ta nói f khả tích trên cung

AB và gọi giới hạn đó là tích phân đường loại 1 trên cung AB.

• Kí hiệu :

• Khi f(x,y) là hàm khối lượng riêng của đường cong thì tích phân đường loại 1 là bài toán tính khối lượng của đường cong phẳng

1

) (

∫

B A

ds y

x

f ( , )

• Nhận xét :

• 1) Nếu L là kín ta viết .

• 2) Từ định nghĩa trên, ta không phân biệt hướng

• nên

•

• 3) Tính chất của tích phân đường loai 1 thực chất giống như tích phân xác định đã học, nên hầu hết các tính chất của tích phân xác định được áp dụng cho tích phân đường loại 1

∫

L

) , (x y ds f

B

ds y

x f

ds y

x

=

B A

t t

t t

t

t y dt x

t y t x f ds

y x

1

2 2

) ) ( ), ( ( )

, (

=

′ +

′ +

′

=

B A

t t

t t

t t

t y z dt x

t z t y t x f ds

y x

1

2 2

2

) ) ( ), ( ), ( ( )

, (

B A

b

a

dx x y x

y x f ds

y x

f( , ) ( , ( ) ) 1 2 ( )

• Ví dụ 1 : tính với C là chu vi tam giác ABC

• do tính chất của tích phân đường ta có :

• riêng trên AB ta có phương trình : y = - x + 1

dx x

0

2 2

1 2 2

0

3

1 ) 1

( )

1 ( 2

1

1 + = + + =

= ∫x x dx ∫ x d x

I

• 1.4 Ứng dụng:

• a/ Độ dài cung

• Chiều dài cung

• b/ Trọng tâm, khối lượng của cung đường AB

• Khối lượng riêng của cung AB tại M(x,y,z) là

ρ (M) thì các tọa độ trọng tâm là :

• m là khối lượng của cung AB trong không gian 3 chiều

∫

ΟΒ

=

L : ds

1 Μ

ρ

m

z , )

( m

ρ

m

• Ví dụ 1 : tìm khối lượng M của cung giới hạn bởi :

•

• biết khối lượng riêng c(x,y,z) =

• nhớ lại công thức:

• và kết quả cuối cùng dành cho bạn đọc tính chi tiết

• Ví dụ 2 : Tính chu vi đường tròn có bán kính R

3

z

t y

t x

2 4 2 2 3 2 3

= ∫ + + + = − +

C A

u u

A A

u

u du a

2 2

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI

• 2.1 Tích Phân Đường Loại 2 :

• Nếu tích phân đường loại 1 xuất phát từ bài toán tính

khối lượng của đường cong thì tích phân đường loại 2 lại xuất phát từ bài toán rất cơ học đó là : cần tính

• công của một lực phẳng :

• di chuyển trên đường cong phẳng L:

y x P y

∆

) ,

( ) ,

i n

) ,

(

1 1

• 2.2 Định nghĩa :

• hạn trên tồn tại hữu hạn thì giá trị giới

• hạn đó gọi là tích phân đường loại 2 của

• Lúc đó ta nói hàm vectơ khả tích trong

• cung L và kí hiệu giới hạn này là :

•

0 )

Δy , Δx ( max

cho sao

n 1,

x Q dx

y x

P( , ) ( , )

• Nhận xét :

• a/ Vì công có thể là âm hay dương nên tích phân đường loại 2 xác

• định chiều âm, dương điều này khác cơ bản với tích phân đường loại 1,

• nên ta có : điều này hiển nhiên vì

• tích vô hướng:

• b/ Nếu L là vòng kín thì quy ước

• chiều dương là chiều mà người đi dọc

• theo chiều ấy sẽ thấy miền trong

• (hữu hạn ) bên tay trái Và lúc đó kí hiệu

• c) Trong không gian ta mở rộng cho hàm vectơ có 3 thành phần

• P(x,y,z), Q(x,y,z), và R(x,y,z) tương ứng với 3 trục toạ độ :

• d) Tính chất của tích phân xác định hầu hết áp dụng được cho tích phân

• đường loại 2

dy y x Q dx y x P dy

y x Q dx y x

i i i

AB

dz z y x R dy z y x Q dx z y x

x t y t x P Qdy

) ( , ) ( [ )

( ].

) ( , ) ( [

{ P x y x Q x y x y x }dx Qdy

Pdx

AB

b a

) ( ) ) ( , ( ))

( ,

∫ + = ∫ +

• Ví dụ 1 : tính với L là đường

• cong nối A(0,0) với B(1,1) , qua đường

I

=10

1

0

2 2

3

1 )

2

x I

2

1 2

) 3

(

1

0

3 3

1

0

=∫x x dx x dx ∫ x I

• Ví dụ 2: tính là cung theo phương trình

5 2

5

4 5

2 2

. ydy y y

y I

∫

∫

∫ = +

OB AO

AB

5

4 2

) (

1 0 2 3 1

0 2 3 0

1 2 3

=

= +

−

= +

−

I

OB AO

BA

xydx

5 4

y

1 B

O 1 x

-1 A

• Ví dụ 3 : tính , C là nửa Ellip

2

= +

b

y a

y

t a

x

sin cos

cos ).(

cos (

) sin )(

sin ( π

ab dt

t b t a

dt t a t b

chẵn 2

lẻ

!

! )!

( sin

n

n n

n xdx

n

y

-a 0 a x

• Nhận xét :

• Giá trị của tích phân đường loại 2 tổng quát sẽ khác nhau trên những đường cong khác nhau Vậy một câu hỏi được đặt ra là : với tính chất hàm P(x,y) và Q(x,y) ra sao thì tích phân

đường loại 2 sẽ độc lập với đường cong, mà nó chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối Một lần nữa câu hỏi này nghe ra rất “ cơ học “ mà

ta đã biết ở sơ cấp rằng công cơ học của hệ

bảo toàn đi từ A đến B thì độc lập với đường

đi, chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối mà thôi ! Hệ quả của định lý Green sau đây sẽ giải quyết câu hỏi này

• 2.4 Định lý Green :

• a/ Định lý:

• Nếu P(x,y) và Q(x,y) có đạo hàm riêng liên

tục trong D ( kể cả biên ) với L = ∂ D thì

• duơng đã biết

• Nhận xét : có một điều triết lý của định lý là:

“nhìn mặt của vật thể đoán được tâm hồn bên trong của vật thể ”, như là : nhìn chu vi biết diện tích, nhìn mặt ngoài biết thể tích

Qdy Pdx ( / / )

• Ví dụ 4: xét lại ví dụ 2 ở trên, tính là

• cung theo phương trình y 2 = x, A(1,-1) và B(1,1),

• nếu nối đường thẳng từ A đến B, áp dụng định lý

• Green ta có : , ta cần tìm ,

B AO