bài giảng toán cao cấp A3

- Kỹ năng: Sinh viên biết tính đạo hàm riêng, biết ứng dụng đạo hàm riêng giải bài toán cực trị, biết tính tích phân bội, tích phân đường và tích phân mặt 5.. Tích phân đường loại 1:

1 Tên môn học: Toán cao cấp A3

2 Số tín chỉ: 3

3 Phân bổ thời gian: Trên lớp: 45 tiết - Tự học: 90 giờ

4 Mục tiêu của môn học:

- Kiến thức: Cung cấp kiến thức về phép tính vi tích

phân hàm nhiều biến.

- Kỹ năng: Sinh viên biết tính đạo hàm riêng, biết

ứng dụng đạo hàm riêng giải bài toán cực trị, biết tính

tích phân bội, tích phân đường và tích phân mặt

5 Nội dung tóm tắt môn học: Vi tích phân hàm nhiều

biến.

6 Tài liệu học tập:

Giáo trình chính:

[1] N Đ Trí, Toán cao cấp tập 3 - Phép giải tích

hàm nhiều biến số, NXB GD, 2011

Tài liệu tham khảo chính:

[2] N Đ Trí, Bài tập toán cao cấp tập 3 - Phép giải

Chương 1 Vi phân hàm nhiều biến

1.1 Hàm nhiều biến Các mặt bậc hai.

1.2 Giới hạn và liên tục.

1.3 Tính chất hàm liên tục trên một tập đóng và bị chận 1.4 Đạo hàm riêng và vi phân Gradient.

1.5 Đạo hàm hàm ẩn.

1.6 Cực trị địa phương và cực trị có điều kiện.

1.7 Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất.

Chương 2 Tích phân bội

Chương 3 Tích phân đường

3.1 Tích phân đường loại 1: Định nghĩa và các tính chất 3.2 Tích phân đường loại 2: Định nghĩa và các tính chất Định lý Green Tích phân không phụ thuộc đường Hàm thế.

Chương 4 Tích phân mặt

4.1 Tích phân mặt loại 1: Định nghĩa và các tính chất

4.2 Tích phân mặt loại 2: Định nghĩa và các tính chất Định lý divergence Định lý Stokes.

Chương 1: Vi phân hàm nhiều biến

1.1 A- Hàm hai biến

Nhiệt độ T tại một điểm trên bề mặt trái đất tại một thời điểm t cho trước phụ thuộc vào kinh độ x và vĩ độ y của điểm này Chúng ta có thể coi T là một hàm theo hai biến x và y, ký hiệu

T = T(x,y)

Ví dụ

Thể tích V của một bình hình trụ phụ thuộc vào bán kính đáy r và chiều cao h Thực tế ta biết Khi đó V là một hàm hai biến theo r và h:

D được gọi là miền xác định của f.

Cho Hàm hai biến là một ánh xạ D ⊆ R 2

Định nghĩa hàm hai biến

Miền giá trị của f:

Nếu f cho bởi biểu thức đại số: Miền xác định là tập hợp tất cả các giá trị của x và y, sao cho biểu thức có nghĩa.

Miền giá trị là tập hợp tất cả các số thực mà hàm có thể nhận được.

1.1 A- Hàm hai biến

-1.1 B - Các mặt bậc hai

-Từ chương trình toán A2, để vẽ mặt bậc hai:

Phương trình tổng quát của mặt bậc hai trong hệ tọa độ Descartes 0xyz là

Tập hợp tất cả các điểm (x,y) của miền xác định Df, sao cho f(x,y) = k được gọi là

đường mức, trong đó k là hằng số cho trước.

-Mặt paraboloid elliptic z = ( x − 1) 2 + ( y − 3) 2 + 4

1.1 B - Các mặt bậc hai

-Mặt paraboloid elliptic y = x 2 + z 2

1.1 B - Các mặt bậc hai

-Mặt Paraboloid hyperbolic y = z 2 − x 2

1.1 B - Các mặt bậc hai

-Ta thấy với mọi k, đường mức luôn là đường tròn bán kính bằng 1.

-Mặt trụ : trong phương trình thiếu hoặc x, hoặc y, hoặc z.

-Mặt trụ: x 2 + z 2 = 4

1.1 B - Các mặt bậc hai

-Mặt trụ z = x 2

1.1 B - Các mặt bậc hai

-Mặt trụ z = − 2 x 2

1.1 B - Các mặt bậc hai

-Mặt trụ z = − 2 x 2

1.1 B - Các mặt bậc hai

Ta nói giới hạn của f khi (x,y) dần đến điểm M0 bằng , nếu giá trị của f(x,y) tiến

gần đến tùy thích bằng cách lấy những điểm (x,y) gần điểm M0, nhưng không trùng với M0

a a

1.2 A- Giới hạn -

1.2 A- Giới hạn -

1.2 A- Giới hạn -

1.2 A- Giới hạn -

Vậy tồn tại hai dãy dần đến (0,0) nhưng giá trị của f tại những điểm đó tiến đến

hai số khác nhau, suy ra không tồn tại giới hạn đã cho

Vậy tồn tại hai dãy dần đến (0,0) nhưng giá trị của f tại những điểm đó tiến đến

hai số khác nhau, suy ra không tồn tại giới hạn đã cho

x y

xy I

lim

1 1

t

t I

t

→

=

→

=

cos sin lim

lim( cos sin )

Thương của hai hàm liên tục là liên tục nếu hàm ở mẫu khác 0.

Hợp của hai hàm liên tục là liên tục (tại những điểm thích hợp).

1.2 B- Liên tục

Định nghĩa

Các hàm sau đây được gọi là hàm sơ cấp cơ bản :

1) Hàm hằng; 2) hàm mũ; 3) hàm lũy thừa; 4) hàm lượng giác; 5) hàm lượng giác ngược; 6) hàm logarit

Suy ra những điểm gián đoạn của hàm số là đường thẳng x + y = 0.

Đây là hàm sơ cấp cơ bản nên liên tục tại những điểm mà nó xác định

Vậy hàm đã cho liên tục tại mọi điểm trong mặt phẳng.

Suy ra f liên tục tại (0,0).

−

Bài tập

-( ) 1/ 2 2( , ) (0,0)

6 10) lim

1 11) lim ( )sin

Bài tập

-2 2 2

( , ) (2,1)

4 13) lim

2 2 ( , ) ( , )

( , ) (0,2)

sin( ) 16) lim

x y

xy x

18) lim ln( )

z z