Bài giảng toán cao cấp ma trận định thức ths nguyễn văn phong

Định nghĩaMa trận tam giác trên dưới.. Là ma trận vuông cấp n mà mọi phần tử nằm bên dưới trên đường chéo đềubằng 0... Là ma trận vuông cấp n mà mọi phần tử không nằm trên đường chéo đều

MA TRẬN - ĐỊNH THỨC

Nguyễn Văn Phong

Toán cao cấp - MS: MAT1006

Ma trận

Định nghĩa

Một bảng số (số thức, số phức) hình chữ nhật gồm mdòng n cột

Định nghĩa

Ma trận không Ma trận không cấp m × n, ký hiệu

0 0 0



là ma trận không cấp 2 × 3

Định nghĩa

Ma trận tam giác trên (dưới) Là ma trận vuông cấp

n mà mọi phần tử nằm bên dưới (trên) đường chéo đềubằng 0

Một số ma trận đặc biệt

Định nghĩa

Ma trận chéo Là ma trận vuông cấp n mà mọi phần

tử không nằm trên đường chéo đều bằng 0

Định nghĩa

Ma trận đơn vị cấp n Là ma trận chéo cấp n, ký hiệu

1 Phép cộng hai ma trận và nhân một số với một

Các phép toán trên ma trận

2 Phép nhân hai ma trận

nghĩa ma trận tích của hai ma trận A, B là ma trận cấp

m × p, ký hiệu AB, xác định bởi

nX

j =1[A]ij[B]jk

= [A]i 1[B]1k + [A]i 2[B]2k + + [A]in[B]nkNghĩa là, số hạng nằm ở dòng i cột k của ma trận tíchđược xác định bằng cách lấy dòng thứ i của ma trận Anhân vô hướng với cột thứ k của ma trận B



Nếu

AX = Bthì

Các phép toán trên ma trận

3 Phép biến đổi sơ cấp trên dòng

dòng

([A]i 1, [A]i 2, , [A]i n
, i = 1, 2, , m

Khi đó, ta có một số phép biến trên dòng như sau:

i) Hoán vị hai dòng i và i0, ký hiệu (i ) ∼ (i0)

hiệu (i ) := (i ) + α (i0)

Thuật toán

Chuyển ma trận vuông thành ma trận tam giác.Bước 1: Duyệt các cột từ 1 đến n Trên mỗi cột chọnphần tử trục xoay (nằm trên đường chéo)

Khả năng 1: Nếu phần tử trục xoay bằng 0

Trường hợp 1: Nếu mọi phần tử bên dưới nó

bằng 0 thì chuyển sang cột kế

Trường hợp 2: Nếu tồn tại ít nhất một phần tửbên dưới nó khác 0 thì hoán vị hai dòng tương ứng vàchuyển sang bước 2

Khả năng 2: Nếu phần tử trục xoay khác 0 thì

chuyển sang bước 2

Bước 2: Biến các phần tử bên dưới phần tử trục xoay

về 0 (bằng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng)

Ma trận bậc thang

Định nghĩa

Ma trận bậc thang theo hàng là ma trận mà ứng với haihàng bất kỳ, số hạng khác 0 đầu tiên của hàng dưới luônluôn nằm bên phải số hạng khác 0 đầu tiên của hàngtrên

Nhận xét:

Nếu A−→ AD 0 thì AB −→ AD 0B

Định lý

i) AT
T = A

iii) (AB)T = BTAT

Định nghĩa

một số thực được định nghĩa bằng quy nạp theo n nhưsau:

Với n > 2, i.e., A = (aij)n×n, thì

det A =

nX

j =1

dòng 1 cột j

Định thức ma trận vuông

a21 a22

, áp dụng(1) ta có

= a11a22 − a12a21

trên đường chéo chính trừ đi tích các phần tử trên đườngchéo phụ

j =1(−1)1+ja1j det A1j

= a11(a22a33− a23a32)

− a12(a21a33− a23a31)+ a13(a21a32− a22a31)

= (a11a22a33 + a12a23a31+ a13a21a32)

− (a11a23a32 + a12a21a33+ a13a22a31)

Định thức ma trận vuông

Quy tắc Sarrus

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

... data-page="34">

j =1(−1)i0 +jai0j det Ai0j

nP

i =1(−1)i... data-page="38">

Định lý

Khi đó, ta có cơng thức tìm ma trận nghịch đảo sau

trong đó, bij = (−1)i +j det Aij, i , j = 1, 2, , n Aij

ma trận. .. data-page="36">

thức 0.

bằng tích phần tử đường chéo

Ma trận nghịch đảo

Định