Chú ý các kiến thức lớp 10 và 11: Đây là phần kiến thức nền tảng về Hình học không gian, Lượng giác và Đại số (phương trình, bất phương trình và hệ phương trình) thường có trong các đề tuyển sinh ĐH mà lớp 12 thì không dạy trực tiếp. Thực tế cho thấy rất đông thí sinh làm bài kém ở phần các câu hỏi ở nội dung này.
Trang 1Bài 1: Tính tích phân
3 2
2 1
2 1
dx A
Bài 2: Tính tích phân:
1 x
3 4
x 2 tan x dx
x cos x
Bài 4: Tính tích phân: I = dx
x x
e
1
2 ) ln 1 ln(
Bài 5: Tính 3 2 1
sin 2
x dx x
Bài 6: Tính tích phân
Bài 7: Tính tích phân
1
1 ln
e
x
Bài 8: Tính:
3
3
Bài 9: Tính tích phân :
1
0
(x1) 2xx dx
Bài 10: Tính tích phân : 4
0
cos 2 (1 sin 2 ).cos( )
4
x
Bài 11: Tính tích phân 1 3 4
2 0
1
x
Bài 12: Tính tích phân I =
2
4
sin x
4 dx 2sin x cos x 3
3
2 4
1
tanx
cosx cos x
Trang 2Bài 13: Tính tích phân I =
2 2 1
ln(x x dx)
0
cos 2 sin cos
Bài 15: Tính tích phân I =
4 6
0
tan 2
x dx cos x
Bài 16: Tính tích phân :
1 3
2
x 3x 2
dx
x 2
Bài 17: Tính tích phân:
2
2 0
sin 2
2 cos 2sin
x
Bài 18: Tính tích phân:
2
3 3
ln
1 1
x x
Bài 19: Tính tích phân 1 2
0
( ) x
x
x e
Bài 20: Tính
1
Bài 21: Tính tích phân: 4 2 2 2 2
0
tan ( 1)
1 tan
x
0
2cos cos 2
x
x
Bài 23: Tính tích phân :
4
2 0
sin sin 2 os
Bài 24: Tính tích phân 2 1 2 2
2 0
1
x
Bài 25: Tính tích phân:
1
Bài 26: Tính tích phân: I =
2
0
4 s inx cos 2 2sin 1
dx x
Trang 3Bài 27: Tính tích phân:
4
12
sin cos
tan cot
x x
x x
Bài 28: Tính tích phân
ln4
ln3
x 2x
2x
dx 2 3.e e
1 e I
4
3
4
4 sin ) 2 sin 2 2 (
Trang 4ĐÁP ÁN BÀI TẬP TÍCH PHÂN
Bài 1: Tính tích phân
3 2
2 1
2
1
dx A
2
+ Đổi cận:
3
2 1
3
2 2
A
Bài 2: Tính tích phân:
1 x
3 4
x 2 tan x dx
x cos x
Ta có:
1
x
x
I x 2 tan x dx e dx dx 2x tan xdx
+)
3
2
3
4
+)
2 2 3
4
x
cos x
2
2
3 3 4 2
4
u x
du 2xdx
J x t anx 2x tan xdx 1
v t anx
cos x
2
3 4
9
J 2x tan xdx
16
Trang 5Thay vào (1) ta có
16
Bài 4: Tính tích phân: I = dx
x
x
e
1
2 ) ln 1 ln(
Đặt lnx = t , ta có I =
1
2 0
ln(1t dt)
Đặt u = ln( 1+t2) , dv = dt ta có : du =
2
2
,
1
t
dt v t
Từ đó có : I = t ln( 1+ t2)
1
Tiếp tục đặt t = tanu , ta tính được
1 2
dt t
Thay vào (*) ta có : I = ln2 – 2 +
2
Bài 5: Tìm 3 2 1
sin 2
x dx x
Đặt
2
cot 2
x
Suy ra 3 2 1 (3 1) cot 21 1cot 2 3
x
x
= 1(3 1).cot 2 3 1 (sin 2 )
= - 1(3 1).cot 2 3ln | sin 2 |
Bài 6: Tính tích phân
3
2 4
1
tanx
cosx cos x
3
2 4
1
tanx
cosx cos x
2
2 4
1 1
tanx
dx cos x
cos x
4
2 tan
tanx
Trang 6Đặt t = thì dt =
Đổi cận : Với x = thì t = , x = thì t =
Ta được
Bài 7: Tính tích phân sau:
1
1 ln
e
x
I=
2
2
( 1)
( ln ) ln 2 ln 2
e
e
Bài 8: Tính:
3
3
Ta có:
2
2
2 2
2
2 ( 2)( 3) 2 ( 2)( 3)
ln 3 ln
dx
dx
x
x
Bài 9: Tính tích phân :
1
0
(x1) 2xx dx
Bài 10: Tính tích phân :
4
0
cos 2 (1 sin 2 ).cos( )
4
x
Ta có
2 2
(cos sin )(cos sin ) (cos sin )
2
(sin cos ) (cos sin )
2
4
x t x t
2
2
1
2
1
dt
I
2
2 tan x
tan cos 2 tan
xdx
4
3
3
5
5
3
I dt
Trang 7Bài 11: Tính tích phân 3
2 0
1
x
Đặt I = 3
2
0
1
x
2
x
Ta tính 3
1 2 1
0
x
I x e dx Đặt t = x3 ta có
1
1
0
I e dt e e
Ta tính
1 4 2
01
x
x
Đặt t = 4
x x t4 dx4t dt3
Khi đó
2
t
Vậy I = I1+ I2 1
3
3e
Bài 12: Tính tích phân I =
2
4
sin x
4 dx 2sin x cos x 3
Tính tích phân I =
2
4
sin x
4 dx 2sin x cos x 3
2
2 4
1 sin x cos x
dx
2 sin x cos x 2
Đặt t = sinx – cosx dt = (cosx + sinx)dx
Đổi cận: x =
4
t = 0; x =
2
t = 1
I =
1
2
0
dt
2
t 2 tan udt 2 1 tan u du ; u
arctan
2 2
2 0
2 1 tan u 1
du
2 tan u 2 2
2 0
1 u 2
Bài 13: Tính tích phân I =
2 2 1
ln(x x dx)
Trang 8I =
2
2
1
ln(x x dx)
Đặt u= ln(x2+x) du = 22x 1
dv = dx v = x
2
2 1
1
2
2
1
1
2 ln 6 ln 2 2
1 dx
x
1
2ln 6 ln 2 2xln(x1)
= 2ln6 – ln2 – 2 + ln3 – ln2 = 3ln3 – 2
0
cos 2 sin cos
2
2 0
2
2 0
1 cos 2 1 sin 2
2
1 sin 2 sin 2
3
sin 2 sin 2 sin 2
sin 2 sin 2 0
Bài 15: Tính tích phân I =
4 6
0
tan 2
x dx cos x
I =
Đặt t = tanx 12
cos
x
Đổi cận x = 0 t = 0; x=
6
t = 1
3
Trang 91 1 1 1
2
(1 )
t
t
Bài 16: Tính tích phân :
1 3
2
x 3x 2
dx
x 2
Ta có
1
2
x-2
x x
t x 2 t x 2 x t 2
dx 2tdt : Đổi cận khi x = -2 thì t = 0 ; khi x = -1 thì t = 1
2
Xét
1
2
Xét
1
2
K=-2 dt 2 ( )dt 2 ln 2 ln 3
Vậy I= 2ln3 -8
3
Bài 17: Tính tích phân:
2
2 0
sin 2
2 cos 2sin
x
Tính tích phân:
2
2 0
sin 2
2 os 2sin
x
Ta có
sin 2 2sin cos
2 cos 2sin sin 2sin 1
Trang 10Đặt tsinx dt cosxdx
Đổi cận: 0 0; 1
2
1 1
0
0
1
2 ln( 1) 2 ln 2 1
1
t
Bài 18: Tính tích phân:
2
3 3
ln
1 1
x x
2
3 3
ln
1 1
x x
3
ln
dx
Đặt 1
1
x
t
x
2 1
x
+) Với x ; 3 t 2 x 2 t 3
+) Do đó:
3
2
1 ln 2
I t tdt
1
ln '
'
2
t t
2
2 2
1 ln
t
ln
t
Bài 19: Tính tích phân 1 2
0
( ) x
x
x e
Ta có I=
2 1
0
( ) x
x
x x e
dx
x e
1
0
1
x
dx xe
Đặt x 1
e
x
t dt( x 1)e x dx
x t x t e
Suy ra I=
1
0
1
x
dx xe
1
( 1)
e
t dt t
1
1 1
e
dt t
Vậy I 1
1
ln e ln( 1)
Trang 11Bài 20: Tính
1
2
Đặt 2
t x 1 t2 = x2 – 1 tdt = xdx Đổi cận: x = 1 t = 0; x = 2 t 3
3
2
0
1
t 1
Đặt t = tanu 2
2
1
cos u
Khi đó
3
0
J dt
3
Nên I 3
3
2
1
Vậy
1
Bài 21: Tính tích phân:
4
2 0
tan ( 1)
1 tan
x
2
2
x
2
2
4
1 tan
x
Trang 120
2cos cos 2
x
x
Biến đổi được
+ Tính đúng
0
+ Tính I’ =
2
sin 0
Khi đó I’ =
0
Suy ra I = 1
2
e e
Bài 23: Tính tích phân :
4
2 0
sin sin 2 os
0
os
+ Ta có 4 2 4
2
Đặt 1 4 2 2 4
Trang 13+Tính I1: Đặt
2 2
4 1
0
I
+ Tính 2 4
0
0
x
Vậy 1 2 2 1 ln 2 2 2ln 2
I I I
Bài 24: Tính tích phân 2 1 2 2
2 0
1
x
Tính tích phân 2 1 2 2
2 0
ln 1 1
x
+ Đổi biến: t = ln(x2+1) 22
1
xdx dt
x
+ Đổi cận: Khi x = 0 thì t = 0 ; khi x = 2
1
e thì t = 2
+ Đưa về tích phân I =
2 2 0
1
2t dt=
3 2 8 0
t
= 4
3
x x x
1
2 (1 2ln ) ln ( ln )
x x x x x x
( ln )
e
2
( ln )
e
2
1
1
1 ( ln ) ( ln ) ( ln ) Vậy I e e
2
1
Trang 14Bài 26: Tính tích phân: I =
2
0
4 s inx cos 2 2sin 1
dx x
I =
2
2
0
2
1 (1 2sin )
x
Bài 27: Tính tích phân:
4
12
sin cos
tan cot
x x
x x
•
2
cos 2 sin cos 1 sin 2 cos 2
sin 2
1 2
x x x x x
x
x x
• Đặt tsin 2x dt 2cos 2xdx
Đổi cận 12 12
1 4
Khi đó
1 2 2 1 2
1
t
t
•
1
2
1
2
• KL 1 1 ln21 14 2
8 4 2 9 4 2
4
3
4
4 sin ) 2 sin 2 2 (
Tính tích phân I x x dx
4
3
4
4 sin ) 2 sin 2 2 (
Trang 15
dx x
x dx
x
3
4
2 4
3
4
4
sin 4 cos
4 4
sin ) 2 2 cos
1
(
2
4 cos
x
4
sin
1
4
3
Suy ra:
3
4 3
4
4 3 10
1
0
t dt t
I