Tuyen chon cac bai hinh oxy

Đây là tài liệu về các bài hình oxy do thầy Nguyễn Bá Tuấn biên soạn rất hay và hữu ích. Với 35 bài toán được tuyển tập từ các trường nổi tiếng trên toàn quốc cùng lời giải cặn kễ từ thầy Tuấn, mong rằng đây sẽ là 1 tài liệu bổ ích cho các bạn đang ôn thi đại học.

TUYỂN CH N CÁC BÀI TOÁN HÌNH H C PHẲNG HAY

–

TUYỂN CH N CÁC BÀI TOÁN HÌNH H C PHẲNG HAY

Bài 1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có góc ABC nhọn, đỉnh

( 2; 1)

A   Gọi H, K, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng BC, BD, CD

Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác HKE là   2 2

AHCAEC nên 4 điểm A, H, C, E cùng thuộc đường tròn đường kính AC

Gọi I là giao điểm của AC và BD

Ta có HIE2HAE2(1800BCD) Các tứ giác AKED, AKHB nội tiếp

nên EKDEAD và BKH BAH

Vì vậy tứ giác HKIE nội tiếp Do đó I thuộc đường tròn ( )C ngoại tiếp tam giác HKE

c        c c c ( loại c 1 ) Suy ra: C(2; 1) và I(0; 1).

Điểm E, H nằm trên đường tròn đường kính AC và đường tròn (C) nên tọa độ thỏa mãn hệ phương trình:

Vậy B( 4; 3), (2; 1), (4;1).  C  D

Bài 2 (THPT Minh Châu)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn có đỉnh A( 1; 4), trực tâm H Đường thẳng AH cắt cạnh BC tại M, đường thẳng CH cắt cạnh AB tại N Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN là I(2;0),

đường thẳng BC đi qua điểm P(1;-2) Tìm tọa độ các đỉnh B,C của tam giác biết đỉnh B thuộc đường thẳng

Đường thẳng AC:2x  y 6 0 Tìm được tọa độ C( 5; 4) 

Bài 3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Viết phương trình các cạnh của hình vuông ABCD, biết rằng

các đường thẳng AB, CD, BC và AD lần lượt đi qua các điểmM  2; 4 ,N 2; 4 ,    P 2; 2 ,Q 3; 7 

Phương trình AB:x  y 2 0 , phương trình BCx  y 4 0

Đường CD đi qua N2; 4  và song song với AB nên phương trình CD: x  y 6 0

Đường AD đi qua Q3; 7  và song song với BC  AD có phương trình: x  y 4 0

TH2: Chọn a= 7  b= 9

Phương trình AB là:7x9y500 , phương trình BC: 9x 7y 4 0

Từ đó phương trình CD là:7x9y220 Phương trình AD là:  9x 7y760

Bài 4 (THPT Phù Cừ) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Điểm N(1; 2)

thỏa mãn 2NBNC0 và điểm M(3;6) thuộc đường thẳng chứa cạnh AD Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A xuống đường DN Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết khoảng cách từ

NPAD pt NP x:     y 1 0 P ADNPP( 2;1)

1

23

Trường hợp này không thỏa mãn

Bài 5 (THPT Thanh Chương ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(1; 4),

tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại D, đường phân giác trong của ADB

có phương trình x  y 2 0, điểm M( 4;1) thuộc cạnh AC Viết phương trình đường thẳng AB

Lời giải:

Gọi AI là phân giác trong của BAC

Ta có:AID ABCBAI, IADCAD CAI

Mà BAI CAI ABC, CAD nên AIDIAD DAI cân tại DDEAI

Bài 6 ( P hanh hương ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD với đường

cao AD Biết BC2AB M, (0, 4)là trung điểm của BC và phương trình đường thẳng AD x: 2y 1 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang biết rằng hình thang có diện tích bằng 54

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đường phân giác trong góc ABC đi qua

trung điểm M của cạnh AD, đường thẳng BM có phương trình x  y 2 0, điểm D nằm trên đường

thẳng :x  y 9 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết đỉnh B có hoành độ âm và

đường thẳng AB đi qua E( 1, 2)

Lời giải:

+ Kẻ đường thẳng đi qua E vuông góc với BM tại H và cắt AC tại E’  H là trung điểm EE’

Phương trình EH là: x  y 1 0

1 3,

Trong mặt phẳng với tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB

và BC, biết CM cắt DN tại điểm 22 11,

Vậy A(2, 4), (5, 4), (5,1), (2,1)B C D

Bài 9 (THPT Nguyễn Thị Minh Khai)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại B nội tiếp đường tròn

( ) :C x y 10y250 I là tâm đường tròn (C) Đường thẳng BI cắt đường tròn (C) tại M(5, 0)

Đường cao kẻ từ C cắt đường tròn (C) tại 17, 6

Do H là trung điểm AC nên C(7, 4) Vậy A(1, 2), ( 5,10), (7, 4) B  C

Bài ( P hư hanh)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn ( ) :C x2y22x4y200 và đường thẳng

Lời giải:

+ Đường tròn (C) có tâm H(1, 2), R5

Ta có d H d( , )5 , suy ra d tiếp xúc với (C) tại điểm A'(4, 2)

+ Tam giác ABC có trực tâm H, B và C thuộc d, suy ra A’ là chân đường cao thuộc BC, A thuộc (C) nên

Bài 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A Gọi M là trung điểm của

đoạn BC , G là trọng tâm tam giác ABM, D(7, 2) là điểm nằm trên đoạn MC sao cho GAGD Viết

phương trình đường thẳng AB của tam giác ABC biết đỉnh A có hoành độ nhỏ hơn 4 và phương trình

đường thẳng AG:3x y 130

Lời giải:

Gọi N là trung điểm của AB thì MN là trung trực của đoạn AB do đó GAGB(GD)

Nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD, mà 0

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang cân ABCD có hai đáy AD và BC, biết ABBC AD, 7

Phương trình đường chéo AC x: 3y 3 0, điểm M( 2, 5)  thuộc đường thẳng AD Viết phương trình đường thẳng CD biết rằng B(1,1)

Lời giải:

+ Do ABCD là hình thang cân nên ABCD là hình thang nội tiếp đường tròn

Do ABBCCD nên AC là đường phân giác trong góc BAD

+ Gọi E là điểm đối xứng của B qua AC  E AD

Do F là trung điểm của BE nên E(2, 2)

Lại có MAD nên phương trình AD:3x4y140

+ Điểm A AD AC tọa độ của A là nghiệm của hệ 3 4 14 0 6 (6,1)

Do AD 7 AD2 49(4t4)2(3t3)2 4925(t1)249

1 2

Tuy nhiên, điểm B và D luôn nằm hai phía của đường thẳng AC do đó kiểm tra vị trí tương đối của điểm

B và 2 điểm D ta thấy chỉ có điểm D thỏa mãn 2

Bài 14 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với trực tâm H(3, 0) và trung điểm của

BC là I(6,1) Phương trình của đường thẳng AH x: 2y 3 0 Gọi D, E lần lượt là đường cao kẻ từ B

và C của tam giác ABC Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết đường thẳng DE có phương

trình x 2 0 và điểm D có tung độ dương

ài 5 ( huyên à ĩnh) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có N là trung điểm

của cạnh CD và đường thẳng BN có phương trình là 13x 10y 13 0    , điểm M( 1; 2)  thuộc đoạn thẳng

AC sao cho AC= 4AM Gọi H là điểm đối xứng với N qua C Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D, biết rằng 3AC= 2AB và điểm H thuộc đường thẳng  : 2x 3y 0  

Vì H và M nằm khác phía đối với đường thẳng BN nên H(3; 2).

Ta thấy CM 3AC 2AB 2CD CD CN CH MHN

Bài 16 ( hu ăn An) Tronng mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC là I( 2;1)  và thỏa mãn điều kiện AIB 90  0, chân đường cao kẻ từ A đến BC là D( 1; 1)   , đường thẳng AC đi qua điểm M( 1; 4)  Tìm tọa độ các đỉnh A, B biết rằng đỉnh A có hoành độ dương

Do AIB 90  0 ACB 45  0 Hoặc ACB 135  0 ACD 45  0 Tam giác ACD vuông cân tại D nên DA =

DC

Hơn nữa IA = IC

Suy ra DI  AC  Đường thẳng AC thỏa mãn điều kiện: AC qua điểm M và AC vuông góc ID

Viết phương trình đường thẳng AC: x 2y 9 0   

Gọi A(2a 9;a) AC   Do DA  2d(D,AC) 2 10  nên

Theo giả thiết bài cho  A(1; 5).

Viết phương trình đường thẳng DB: x 3y 4 0    Gọi B( 3b 4; b)  

Tam giác AIB vuông tại I nên

IA.IB 0      3( 3 b 2) 4(b 1) 0       b 2 B(2; 2) 

Đáp số : A(1; 5), B(2; 2) 

Bài 17 ( huyên ùng ương) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có đường trung

tuyến AM và đường cao AH lần lượt có phương trình 13x 6y 2 0,x 2y 14 0       Tìm tọa độ các đỉnh

của tam giác ABC biết tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC là I( 6; 0) 

Gọi K là trực tâm của tam giác ABC Khi đó tứ giác BKCA' có hai cặp cạnh đối diện song song nên là

hình bình hành Khi đó KA' và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (là M)

Vì K và M lần lượt nằm trên AH và AM nên giả sử K(2k 14; k),M m;13m 2 .

Đường thẳng BC đi qua M và nhận AK làm VTPT nên BC:2x y 8 0   

Giả sử B(b; 8 2b)  Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên

Với b 3  ta có B(3; 2) Vì C đối xứng với B qua M nên C(1; 6).

Với b 1  ta có B(1; 6) Vì C đối xứng với B qua M nên C(3; 2).

Bài 18 (THPT Hàn Thuyên Bắc Ninh Lần 1)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AD 2AB 2a   Tam giác SAD là tam giác

vuông cân tại đỉnh S và nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD) Tính thể tích khối chóp

S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD

5

3 sin HCD sin(ACD ACH)

Bài 19 ( ương hế Vinh)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I(2,1) bán kính R 5  Chân đường cao hạ từ B, C, A của tam giác ABC lần lượt là D(4, 2) ,E(1, 2)  và F Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF biết rằng điểm A có tung độ dương

Lời giải

Chứng minh AI  DE :

+ Tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn nên AED BCD 

+ Kẻ tiếp tuyến At của (I,R) ta có BCD EAt

+ Phương trình CE qua E và vuông góc với AE :x 2y 5 0   

+ Phương trình BD qua D và vuông góc với AD :3x y 10 0   

+ Từ đó H DB   CE

H(3,1)



Bài 20 (THPT Trần ưng Đạo)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABC có trọng tâm G 8,0

3

 

 

  và có đường tròn ngoại tiếp là (C) tâm I

Điểm M(0,1); N(4,1) lần lượt là điểm đối xứng của I qua các đường thẳng AB, AC Đường thẳng BC qua điểm K(2, 1)  Viết phương trình đường tròn (C)

Lời giải

+ Gọi H, E là trung điểm của MN, BC suy ra H(2,1) Từ giả thiết suy ra IAMB, IANC là các hình thoi

Suy ra AMN, IBV là các tam giác cân bằng nhau

+ Suy ra AH  MN,IE  BC,AHEIlà hình bình hành

+ Suy ra G cũng là trọng tâm HEI  HG cắt IE tại F là trung điểm IE

+ Vì BC / /MN,K(2, 1) BC    (BC) :y 1 0  

+ Từ

8 H(2,1),G ,0

3 3

+ Vì F là trung điểm IE nên I(3,0)   R 5

+ Từ đây ta sẽ có (C) :(x 3)  2 y2 5 là phương trình đường tròn cần tìm

Bài 21 (chuyên Đ inh lần 3 - 2015)

Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G 8, 0

3

 

 

  và có đường tròn ngoại tiếp là

(C) tâm I Biết rằng các điểm M(0;1) và N(4;1) lần lượt là điểm đối xứng của I qua các đường thẳng

AB và AC, đường thẳng BC đi qua điểm K (2; 1) Viết phương trình đường tròn (C)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trọng tâm G 2 2;

3 3

 

 

  ,tâm đường tròn ngoại tiếp

I(1; 2)  ,điểm E(10; 6) thuộc đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ A và điểm F(9; 1)  thuộc đường thẳng

BC.Tìm tọa độ các điểm A,B,C biết B có tung độ lớn hơn 2

Giả sử A(3 7a; 2 4a)   Vì GA   2GM ta được a   1 Suy ra A( 4; 2)  

Suy ra phương trình BC: x 2y 7 0      B( 2b 7; b) BC   ( điều kiện b 2  )

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm I Điểm

M(2; 1)  là trung điểm cạnh BC và điểm E 31 1;

13 13

 

 

  là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng AI

.Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC , biết đường thẳng AC có phương trình 3x 2y 13 0   

Hay NM là phân giác của góc END

Lại vì NE ND  suy ra NM là trung trực của đoạn thẳng DE

Đường thẳng MN đi qua M và song song với AC nên có phương trình : 3x 2y 4 0   

Đường thẳng DE qua E vuông góc với MN nên có phương trình 2x 3y 5 0   

Từ MN là trung trực của DE ta tìm được D(1; 1) 

Đường thẳng AD đi qua D vuông góc với BC nên có phương trình là x 1 

Vậy tọa độ điểm A là nghiệm của hệ x 1 A(1; 5)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD với hai đáy là AB và CD Biết hình thang có diện

tích bằng 14 , đỉnh A(1;1) và trung điểm của cạnh BC là H 1; 0

2

 

 

  Viết phương trình đường thẳng AB

biết đỉnh D có hoành độ dương và D nằm trên đường thẳng d có phương trình 5x y 1 0   

Ta có AE  2AH  13 và phương trình đường thẳng AE:2x 3y 1 0   

Do đỉnh D có hoành độ dương và D nằm trên đường thẳng (d) có phương trình 5x y 1 0    nên

D(d; 5d 1)  với d 0 

ADE ADE

2d 3(5d 1) 1 2S

E đối xứng với A qua H suy ra E( 2; 1)   nên phương trình đường thẳng CD: 3x y 5 0   

Đường thẳng AB qua A , song song với đt CD nên có pt:3x y 2 0   

Bài 25 (Sở GD – Đ Thanh Hóa)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm E(3; 4) , đường thẳng d : x y 1 0    và đường tròn

2 2

(C) : x  y  4x 2y 4 0    Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d và nằm ngoài đường tròn (C) Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C ) (A, B là các tiếp điểm) Gọi (E) là đường tròn tâm E và tiếp xúc với đường thẳng AB Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ( E) có chu vi lớn nhất

Lời giải:

Đường tròn (C ) có tâm I( 2;1)  , bán kính R 3  Do M d  nên M(a;1 a) 

Do M nằm ngoài (C) nên

2 2 2 2

Trừ theo vế của (1) cho (2) ta được (a 2)x ay 3a 5 0 (3)     

Do tọa độ của A , B thỏa mãn (3) nên (3) chính là phương trình đường thẳng đi qua A , B

+) Do (E) tiếp xúc với nên (E) có bán kính R1 d(E, ) lớn nhất

Nhận thấy đường thẳng luôn đi qua điểm K 5 11;

Bài 25 (Nguyễn Công Trứ - 2015) Trong mặt phẳng Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có B , C thuộc trục

tung, phương trình đường chéo AC: 3x 4y 16 0    Xác định tọa độ đỉnh A , B , C biết rằng bán kính

đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 1

Lời giải:

*C là giao điểm của AC và Oy  C(0; 4)

*Gọi B(0, b)

* Phương trình AB: y b  ( do Ab vuông góc BC Oy) 

*A là giao điểm của AB và AC A 16 4b, b

2 ABC

Bài 27 (THPT Thuận Thành số 2 Bắc Ninh)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD , điểm M(5;7) nằm trên cạnh BC Đường

tròn đường kính AM cắt BC tại B và cắt BD tại N(6;2), đỉnh C thuộc đường thẳng d : 2x y 7    0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD , biết hoành độ đỉnh C nguyên và hoành độ đỉnh A bé hơn 2

Phương trình đường thẳng trung trực của MN đi qua H và vuông góc với MN là d : x 5y 17 0    Điểm

Với a 5   I(8; 5)  A(11; 9) (loại)

Với a 4 I(3; 4)A(1;1) (t / m)

Gọi E là tâm hình vuông nên E c 1: c 3 EN 11 c; 5 c

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm I Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

CD và BI Tìm tọa độ các điểm B, C, D biết A(1;2), đường thẳng MN có phương trình x 2y 2 0    và

điểm M có tung độ âm

Lời giải:

+ Gọi J là trung điểm của AI  DMNJ là hình bình hành Xét tam giác AND có J là giao điểm của hai

đường cao AJ và NJ nên J là trực tâm, do đó AN  DJ  AN  MN  N là hình chiếu của A trên MN

M

+ ADMN là tứ giác nội tiếp  AMN ADN 45   0 AMN vuông cân tại N TừM MN  và

MN AN   5 tìm được M có tọa độ là (4;1) hoặc (0; 1)  Do M có tung độ âm nên M(0; 1) 

+ Gọi K AM   BD  K là trọng tâm ADC

+ I là trung điểm của AC nên tìm được C(1;-2)

+M là trung điểm của CD nên tìm được D(-1;0)

+ I là trung điểm của BD nên tìm được B(3;0)

Mặt khác do tam giác DEF cân tại E Nên EDEF nên E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DPF

Suy ra AEDPFDEBFD là tứ giác nội tiếp

Suy ra DEFDFB900

Tam giác DEF vuông cân tại E

Đường thẳng DE đi qua E và vuông góc với EF có phương trình là: DE x: 2y 6 0

Tọa độ điểm DDEd là nghiệm của hệ 2 6 0 ( 2; 2)

Ta có 2 2 2 (4; 2)

B B

Vậy tọa độ bốn điểm cần tìm là A(1;5), (4; 2), (4; 4), ( 2; 2).B C  D 

Bài toán này có thể chứng minh tứ giác EBFD nội tiếp bằng cách chỉ ra điểm M cách đều 4 điểm E,B,F,D với M là trung điểm DF

Bài 30 (Quảng Nam - 2015)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho tam giác ABC vuông tại A, có B( 2;1) và C(8;1) Đường tròn

nội tiếp tam giác ABC có bán kính r3 5 5. Tìm tọa độ tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC, biết tung độ điểm I là số dương

y  nên I nằm trên đường y3 54 và điểm A nằm trên đường y5

Gọi J là trung điểm BC J(3;1) và 1