4/ Đường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại các điểm M, N... Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A .Một đường tròn O đi qua B và C cắt các cạnh AB ,
Trang 1CÁC BÀI HÌNH HỌC ÔN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011
Bài 1: Cho đường tròn (O;R) Từ một điểm M ở ngoài (O;R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm) Lấy một điểm C trên cung nhỏ AB (C khác A và B) Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C trên AB, AM, BM a) Chứng minh AECD là một tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh: C E D CBA
c) Gọi I là giao điểm của AC và DE; K là giao điểm của BC và DF Chứng minh: IK//AB
d) Xác nhận vị trí điểm C trên cung nhỏ AB để (AC2 + CB2) nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó khi OM = 2R
Bài 2: Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm)
1/ Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp
2/ Gọi E là giao điểm của BC và OA Chứng minh BE vuông góc với OA và OE.OA = R2
3/ Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O;R) lấy điểm K bất kỳ (K khác B và C) Tiếp tuyến tại K của đường tròn (O;R) cắt AB, AC theo thứ tự tại P, Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC 4/ Đường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại các điểm M, N Chứng minh
PM + QN ≥ MN
Bài 3: Cho tam giác ABC (AB<AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) có tâm O, bán kính R Gọi H là giao điểm của ba đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC Gọi S là diện tích tam giác ABC
a) Chúng minh rằng AEHF và AEDB là các tứ giác nội tiếp đường tròn
b) Vẽ đường kính AK của đường tròn (O) Chứng minh tam giác ABD và tam giác AKC đồng dạng với nhau Suy ra
AB.AC = 2R.AD và .
4
AB BC CA S
R
c) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh EFDM là tứ giác nội tiếp đường tròn
d) Chứngminh rằng OC vuông góc với DE và (DE + EF + FD).R = 2 S
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB = 2R Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC
a) Chứng minh tứ giác : CBMD nội tiếp được
b) Chứng minh rằng : DB.DC = DN.AC
c) Xác định vị trí của điểm D để diện tích hình bình hành ABCD có diện tích lớn nhất và tính diện tích trong trường hợp này
Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), I là trung điểm của BC, M là 1 điểm trên đoạn CI (M khác C và I) Đường thẳng AM cắt (O) tại D, tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AIM tại M cắt BD tại P và cắt DC tại Q
a Chứng minh DM AI = MP IB
b Tính tỉ sốMP
MQ
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB = 14, BC = 50 Đường phân giác của góc ABC và đường trung trực của cạnh
AC cắt nhau tại E
1 Chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp được trong một đường tròn Xác định tâm O của đường tròn này
2 Tính BE
3 Vẽ đường kính EF của đường tròn tâm (O) AE và BF cắt nhau tại P Chứng minh các đường thẳng BE, PO, AF đồng quy
4 Tính diện tích phần hình tròn tâm (O) nằm ngoài ngũ giác ABFCE
Bài 7: Cho đường tròn tâm (O) ,đường kính AC Vẽ dây BD vuông góc với AC tại K ( K nằm giữa A và O).Lấy điểm E trên cung nhỏ CD ( E không trùng C và D), AE cắt BD tại H
a) Chứng minh rằng tam giác CBD cân và tứ giác CEHK nội tiếp
b) Chứng minh rằng AD2 = AH AE
c) Cho BD = 24 cm , BC =20cm Tính chu vi của hình tròn (O)
Trang 2d) Cho góc BCD bằng α Trên mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A , vẽ tam giác MBC cân tại M Tính góc MBC
theo α để M thuộc đường tròn (O)
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A Một đường tròn (O) đi qua B và C cắt các cạnh AB , AC của tam giác ABC lần
lượt tại D và E ( BC không là đường kính của đường tròn tâm O).Đường cao AH của tam giác ABC cắt DE tại K
1.Chứng minh : ADE ACB
2.Chứng minh K là trung điểm của DE
3.Trường hợp K là trung điểm của AH Chứng minh rằng đường thẳng DE là tiếp tuyến chung ngoài của đường tròn
đường kính BH và đường tròn đường kính CH
Bài 9: Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R Trên tia đối của AB lấy điểm C sao cho BC = R, trên đường tròn lấy điểm D sao cho BD = R, đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt tia AD ở M
a) Chứng minh tứ giác BCMD là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh tam giác ABM là tam giác cân
c) Tính tích AM.AD theo R
d) Cung BD của (O) chia tam giác ABM thành hai hần Tính diện tích phần của tam giác ABM nằm ngoài (O)
Bài 10: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Trên đường tròn (O) lấy điểm C (C không trùng với A, B và CA > CB)
Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A, tại C cắt nhau ở điểm D, kẻ CH vuông góc với AB ( H thuộc AB), DO cắt AC tại
E
a) Chứng minh tứ giác OECH nội tiếp
b) Đường thẳng CD cắt đường thẳng AB tại F Chứng minh 2 BCF CFB 900
c) BD cắt CH tại M Chứng minh EM//AB
Bài 11: Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB và dây CD vuông góc với nhau (CA < CB) Hai tia BC và DA cắt nhau
tại E Từ E kẻ EH vuông góc với AB tại H ; EH cắt CA ở F Chứng minh rằng :
1/ Tứ giác CDFE nội tiếp được trong một đường tròn
2/ Ba điểm B , D , F thẳng hàng
3/ HC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Bài 12: Cho đường tròn (O; R) và A là một điểm nằm bên ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn
(B, C là các tiếp điểm)
1) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp
2) Gọi E là giao điểm của BC và OA Chứng minh BE vuông góc với OA
và OE.OA=R2
3) Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O; R) lấy điểm K bất kì (K khác B và C) Tiếp tuyến tại K của đường tròn (O; R) cắt AB, AC theo thứ tự tại các điểm P và Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC
4) Đường thẳng qua O, vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại các điểm M, N Chứng minh
PM + QN ≥ MN
Bài 13: Trên đoạn thẳng AB cho điểm C nằm giữa A và B Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là AB kẻ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I, tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K Đường tròn đường kính IC cắt
IK tại P ( P khác I)
a, Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp một đường tròn, chỉ rõ đường tròn này
b, Chứng minh CIP PBK
c, Giả sử A, B, I cố định Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho diện tích tứ giác ABKI lớn nhất
Bài 14: Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài (O; R) Đường tròn có đường kính AO cắt đường tròn (O; R) tại M
và N Đường thẳng d qua A cắt (O; R) tại B và C (d không đi qua O; điểm B nằm giữa hai điểm A và C).Gọi H là trung
điểm của BC
1).Chứng minh : AM là tiếp tuyến của (O; R) và H thuộc đường tròn đường kính AO
2) Đường thẳng qua B vuông góc với OM cắt MN ở D Chứng minh rằng:
a) AHN BDN
Trang 3b) Đường thẳng DH song song với đường thẳng MC
c) HB + HD > CD
Bài 15: Cho đường trũn (O) đường kớnh AB bằng 2R Vẽ tiếp tuyến d với đường trũn (O) tại B Gọi C và D là hai điểm tựy ý trờn tiếp tuyến d sao cho B nằm giữa C và D Cỏc tia AC và AD cắt (O) lần lượt tại E và F ( E, F ≠ A)
a) Chứng minh CB2 = CA.CE
b) Chứng minh CEFD nội tiếp đường trũn (O’)
c) Chứng minh cỏc tớch AE.AC và AD AF cựng bằng một hằng số khụng đổi Tiếp tuyến của (O’) kẻ từ A tiếp xỳc với (O’) tại T Khi C hoặc D di động trờn d, thỡ điểm D chạy trờn đường cố định nào?
Bài 16: Cho đ-ờng tròn (O;R), đ-ờng kính AB cố định và CD là một đ-ờng kính thay đổi không trùng với AB Tiếp tuyến của đ-ờng tròn (O;R) tại B cắt các đ-ờng thẳng AC và AD lần l-ợt tại E và F
1) Chứng minh rằng BE.BF = 4R2
2) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp đ-ợc đ-ờng tròn
3) Gọi I là tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD Chứng minh rằng tâm I luôn nằm trên một đ-ờng thẳng cố
định
Bài 17: Cho tam giỏc nhọn ABC nội tiếp đường trũn (O) Cỏc đường cao BE và CF của tam giỏc ABC cắt nhau tại H và cắt đường trũn (O) lần lượt tại E’ và F’ (E’ khỏc B và F’ khỏc C)
1) Chứng minh tứ giỏc BCEF là tứ giỏc nội tiếp
2) Chứng minh EF song song với E’F’
3) Kẻ OI vuụng gúc với BC (I BC) Đường thẳng vuụng gúc với HI tại H cắt đường thẳng AB tại M và cắt đường thẳng AC tại N Chứng minh tam giỏc IMNcõn
Bài 18: Cho hỡnh vuụng ABCD cú độ dài cạnh bằng a, M là điểm thay đổi trờn cạnh BC (M khỏc B) và N là điểm thay
đổi trờn cạnh CD (N khỏc C) sao cho 0
MAN 45 Đường chộo BD cắt AM và AN lần lượt tại P và Q
a) Chứng minh tứ giỏc ABMQ là tứ giỏc nội tiếp
b) Gọi H là giao điểm của MQ và NP Chứng minh AH vuụng gúc với MN
c) Xỏc định vị trớ điểm M và điểm N để tam giỏc AMN cú diện tớch lớn nhất
Bài 19: Cho đương trũn (O;R) day cung BC cố định (BC<2 R) và điểm A di động trờn cung lớn BC sao cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhọn Cỏc đường cao BD, CE của tam giỏc cắt nhau tại H
a) Chứng minh tứ giỏc AEHD nội tiếp
b) Giả sử BAC 600, hóy tớnh khoảng cỏch từ tõm O đến cạnh BC theo R
c) Chứng minh đường thẳng qua A và vuụng gúc với DE luụn đi qua một điểm cố định
Bài 20: Cho tam giỏc ABC cú ba gúc đều nhọn nội tiếp đường trũn tõm O, cỏc đường cao BM, CN của tam giỏc cắt nhau tại H
1 Chứng minh tứ giỏc BCMN là tứ giỏc nội tiếp trong một đường trũn
2 Kộo dài AO cắt đường trũn (O) tại K Chứng minh tứ giỏc BHCK là hỡnh bỡnh hành
3 Cho cạnh BC cố định, A thay đổi trờn cung lớn BC sao tam giỏc ABC luụn nhọn Xỏc định vị trớ điểm A để diện tớch tam giỏc BCH lớn nhất
Bài 21: Cho đường trũn (O;R) cú đường kớnh AB vuụng gúc với dõy cung MN tại H (H nằm giữa O và B) Trờn tia MN lấy điểm C nằm ngoài đường trũn (O;R) sao cho đoạn thẳng AC cắt đường trũn (O;R) tại điểm K khỏc A, hai dõy MN và
BK cắt nhau ở E
1 Chứng minh rằng AHEK là tứ giỏc nội tiếp và CAE đồng dạng với CHK
2 Qua N kẻ đường thẳng vuụng gúc với AC cắt tia MK tại F Chứng minh NFK cõn
3 Giả sử KE = KC Chứng minh: OK//MN và KM2 + KN2 = 4R2
Bài 22: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A và AC > AB , D là một điểm trờn cạnh AC sao cho CD < AD.Vẽ đường trũn (D) tõm D và tiếp xỳc với BC tại E.Từ B vẽ tiếp tuyến thứ hai của đường trũn (D) với F là tiếp điểm khỏc E
a) Chứng minh rằng năm điểm A ,B , E , D , F cựng thuộc một đường trũn
Trang 4b) Gọi M là trung điểm của BC Đường thẳng BF lần lượt cắt AM,AE,AD theo thứ tự tại các điểm N,K,I Chứng
minhIK AK
=
IF AF Suy ra: IF.BK=IK.BF
c) Chứng minh rằng tam giác ANF là tam giác cân
Bài 23: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O Kẻ các đường cao BB` và CC` (B` cạnh
AC, C` cạnh AB) Đường thẳng B`C` cắt đường tròn tâm O tại hai điểm M và N ( theo thứ tự N, C`, B`, M)
a) Chứng minh tứ giác BC`B`C là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh AM = AN
c) AM2 = AC`.AB
Bài 24: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O Kẻ các đường cao BB` và CC` (B` cạnh
AC, C` cạnh AB) Đường thẳng B`C` cắt đường tròn tâm O tại hai điểm M và N ( theo thứ tự N, C`, B`, M)
a) Chứng minh tứ giác BC`B`C là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh AM = AN
c) AM2 = AC`.AB
Bài 25: Cho đường tròn (O,R) và đường thẳng () không qua O cắt đường tròn tại hai điểm A và B Từ một điểm M trên () ( M nằm ngoài đường tròn tâm O và A nằm giữa B và M ), vẽ hai tiếp tuyến MC, MD của đường tròn (O) (C, D
(O) ) Gọi I là trung điểm của AB, tia IO cắt MD tại K
a) Chứng minh năm điểm M, C, I, O, D cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh : KD KM = KO KI
c) Một đường thẳng đi qua O và song song với CD cắt các tia MC và MD lần lượt tại E và F xác định vị trí của M trên (
) sao cho diện tích MEF đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 26: Một hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn Tâm O bán kính R Một điểm M di động trên cung ABC , M không trùng với A,B và C, MD cắt AC tại H
1) Chứng minh tứ giác MBOH nội tiếp được trong đường tròn và DH.DM = 2R2
2) Chứng minh tam giác MDC đồng dạng với tam giác MAH
3) Hai tam giác MDC và MAH bằng nhau khi M ở một vị trí đặc biệt M’ Xác định điểm M’ Khi đó M’D cắt AC tại H’ Đường thẳng qua M’ và vuông góc với AC cắt AC tại I Chứng minh rằng I là trung điểm của H’C
Bài 27: Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn (O) khác A và B Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau tại E Vẽ MP vuông góc với AB (P thuộc AB), vẽ MQ vuông góc với AE (Q thuộc
AE)
a) Chứng minh rằng AEMO là tứ giác nội tiếp đường tròn và APMQ là hình chữ nhật
b) Gọi I là trung điểm của PQ Chứng minh O, I, E thẳng hàng
c) Gọi K là giao điểm của EB và MP Chứng minh hai tam giác EAO và MPB đồng dạng Suy ra K là trung điểm của MP
d) Đặt AP = x Tính MP theo R và x Tìm vị trí của M trên (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn nhất