b Gọi O là giao điểm của AC và BD khi đó O là trung điểm của AC nên OI làđường trung bình của tam giác SAC, ta có OI //SA.. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.. C
Trang 1TuyÓn chän mét sè bµi h×nh häc 11 «n thi k× 2 Câu 1:(2, 5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, đáy tam giác ABC vuông cân tại B và SA
(ABC)
biết SA = a và BC = a
a Chứng minh: SB CB
b Xác định góc giữa SC và (SAB)
c Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC)
H
C
B A
S
0,25
a SA (ABC) SABC (1)
Ta có: tam giác ABC vuông tại B AB BC (2)
Từ (1) và (2) BC (SAB)
mà SB(SAB)nên BC SB
0,75
b BC (SAB) nên SB là hình chiếu của SC lên (SAB)
^
(SC,(SAB)) ( , )
SC SB BSC
^
os
c Kẻ AH SB, H SB
Ta có :
BC (SAB) BC AH
BC,SB (SBC);BC SB=B
Khi đó AH là khoảng cách từ A đến (SBC)
Tam giác SAB vuông cân tại A SA = AB = a SB a 2
AH SB H là trung điểm của SB
AH = SB = a
0,75
Câu 2.(2đ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA(ABCD) Gọi I là trung điểm của cạnh SC
a) Chứng minh AI BD
b) (BID) (ABCD)
c) Tính diện tích tam giác BID biết SA = AB = a.
O I S
B A
Vẽ hình 0,5đ
a) Do ABCD là hình vuông nên BD AC, mặt khác SA (ABCD) nên
SA BD, suy ra BD (ASC) Vậy AI BD.
0,5đ
Trang 2b) Gọi O là giao điểm của AC và BD khi đó O là trung điểm của AC nên OI là
đường trung bình của tam giác SAC, ta có OI //SA
Theo giả thiết SA (ABCD) do đó OI (ABCD) suy ra (BID) (ABCD).
0,25đ 0,25đ c)
0
2
2 2 sin 45
BID
0,25đ
0,25đ
Câu 3 (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
a Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB, SD Chứng minh MN BD và MNSAC
a
Chứng minh được SAB, SAD vuông tại A
Chứng minh được SBC vuông tại B
Chứng minh được SDC vuông tại D
0,50
0,25 0,25 0,25
hai ® êng chÐo cña h×nh vu«ng v×
BD AC
BD SAC
BD SA SA ABCD
Nên MNSAC
0,25 0,25 0,25
C©u 4) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a,
BC = a 3, SA (ABCD)
a Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
b Gọi I là trung điểm của SC Chứng minh IO(ABCD)
c Tính góc giữa SC và (ABCD).
Gi¶i:
a) Cm các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông
* V× SA(ABCD) SAAB SA; AD
nªn c¸c tam gi¸c SAB,SAD vu«ng t¹i A
*XÐt tam gi¸c SBC cã BC AB
BC SB
BC SA
vËy tam gi¸c SBC vu«ng t¹i B
* XÐt tam gi¸c SDC cã DC AD
DC SD
DC SA
vËy tam gi¸c SDC vu«ng t¹i D b) Ta cã / /
IO SA
IO ABCD
SA ABCD
c) V× SA(ABCD) nªn AC lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña SC xuèng (ABCD)
v©y (SC,(ABCD))=(SC,AC)=SCA Tam gi¸c vu«ng SAC cã tanSCA=SA/AC=a/2a=1/2
( AC2=AB2+BC2=a2+3a2=4.a2 nªn AC=2 )°)
C©u 5) Cho hìn chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh bằng 1 và các cạnh bên bằng nhau và bằng 2.
a Chứng minh (SBD) (SAC)
Trang 3b Tớnh độ dài đường cao của hỡnh chúp.
c Tớnh gúc giữa cạnh bờn và mặt đỏy.
Giải:
a) BD AC BD (SAC) (SBD) (SAC)
BD SO
(Tam giác cân SBD có SO là trung tuyến nên SO vuông góc với BD)
b) SO BD SO (ABCD)
SO AC
vậy SO là đờng cao của hình chóp tam giác SOD vuông tại O có SO2=SD2-OD2
mà BD2=BC2+CD2=1+1=2 nên 2
2
2
BD OD
vậy có SO2=SD2-OD2=2-2/4=3/2
SO
c) Vì SO(ABCD) nên BO là hình chiếu vuông góc của SB xuống (ABCD
(SB,(ABCD))=(SB,BO)=SBO
cosSBO=BO
SB =
: 2
2 2 Vậy (SB,(ABCD))=60
0
Câu 6) Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tõm tại A, SA = AB = AC = a
SA đỏy
a Gọi I là trung điểm BC Chứng minh BC (SAI)
b Tớnh SI
c Tớnh gúc giữa (SBC) và mặt đỏy.
Câu 7) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng, tõm O và SA (ABCD) Gọi H, K lần lượt là hỡnh chiếu vuụng gúc của A lờn SB, SD.
a Chứng minh BC (SAB), BD (SAC)
b Chứng minh SC (AHK)
giải:
a) BC AB BC (SAB)
BC SA
Tơng tự BD AC BD (SAC)
BD SA
b) Chứng minh SC (AHK)
* Chứng minh AH SC
AH SB
AH BC
( Vì BC AB BC (SAB) BC AH
BC SA
)
* Chứng minh AK SC
AK SD
AK DC
Từ Đó AH SC SC (AHK)
AK SC
câu 8) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh thoi, tõm O và SA = SC, SB = SD
a Chứng minh SO (ABCD)
b Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC Chứng minh IKSD
Giải:
a) tam giác SAC cân tại S có trung tuyến AC nên SO AC
tam giác SBD cân tại S có trung tuyến BD nên SO BD
Trang 4vËy SO (ABCD)
b) IK/ /AC IK BD
AC BD
Mµ SO (ABCD) nªn SO IK (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra IK (SBD) nªn IK SD
c©u 9) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, SA = a và SA (ABCD)
a Tính khoảng cách từ A đến (SBD).
b Chứng minh (SBC) (SAB)
c Tính khoảng cách từ C đến (SBD).
Gi¶i:
a) Tõ A kÎ AH vu«ng gãc víi SO t¹i H th× H thuéc (SBD)
ta cã BD AC BD (SAC) BD AH
BD SA
VËY AH SO AH (SBD)
AH BD
hay d(A,(SBD))=AH
xÐt tam gi¸c vu«ng SAO cã 1 2 12 12
AH SA AO (1)
2
2
a
AC AB BC a a a AO
thay vµo (1) cã 2 2 2 2 2 2 2
2
2
2 2
a
AH SA AO a a a a
VËy d(A,(SBD))=AH= 3
3 3
a a
C©u 10 : Cho hình chóp S.ABCD có SA (ABCD), tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a,
SA = a 2 gäi I và K lần lượt là trung điểm của các cạnh CD và DA.
1) Chứng minh BD (SAC) và BK SI
2) Xác định góc giữa đường thẳng SC và (SAD);
3) Xác định góc giữa hai đường thẳng AI và SC.
C©u 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D.AB = 3a ; AD = DC = 2a SA(ABCD) và SA = 4a.
a) Chứng minh rằng: (SCD) (SAD)
b) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)
c) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)
gi¶i:
a) DC AD DC (SAD) (SDC) (SAD)
DC SA
b) V× SA(ABCD) nªn AC lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña SC xuèng (ABCD)
vËy (SC,(ABCD))=(SC,AC)=SCA vµ tanSCA= 4
2
2 2
AC a
TÝnh AC AD2DC2 (2 )a 2(2 )a 2 8a2 2a 2
c) Tõ A kÎ AH vu«ng gãc víi SD t¹i H th× AH vu«ng gãc víi (SDC) v×
ta cã AH SD AH (SDC)
AH DC
hay d(A,(SCD))=AH
Trang 5xét tam giác vuông SAD có 1 2 12 1 2 12 12 5 2
AH SA AD a a a
Vậy d(A,(SCD))=AH=4 4 5
5 5
câu 12 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a , SA vuụng gúc với đỏy , SA = a 2 .
a) Chứng minh rằng cỏc mặt bờn hỡnh chúp là những tam giỏc vuụng.
b) CMR (SAC) (SBD)
c) Tớnh gúc giữa SC và mp ( SAB )
d) Tớnh gúc giữa hai mặt phẳng ( SBD ) và ( ABCD )
Giải:
a)
* Vì SA(ABCD) SAAB SA; AD
nên các tam giác SAB, SAD vuông tại A
*Xét tam giác SBC có BC AB
BC SB
BC SA
.vậy tam giác SBC vuông tại B
* Xét tam giác SDC có DC AD
DC SD
DC SA
vậy tam giác SDC vuông tại D
b) BD AC BD (SAC) (SBD) (SAC)
BD SA
c) Vì BC(SAB) nên SB là hình chiếu vuông góc của SC xuống (SAB)
vậy (SC,(SAB))=(SC,SB)=BSC và tanBSC=
3
2
SB SA AB a a a vậy (SC,(SAB))=(SC,SB)=60
0
d) ((SBD),(ABCD))=(AO,SO)=AOS tanAOS=SA/AO=2
Câu 13 Cho tứ diện OABC cú OA , OB , OC , đụi một vuụng gúc và OA= OB = OC =
a , I là trung điểm BC
a CMR : ( OAI ) ( ABC )
b CMR : BC ( AOI )
c Tớnh gúc giữa AB và mp ( AOI )
Giải :
a) Có tam giác OBC cân tại O nên OI BC
mặt khác OA OB OA (OBC) OA BC
OA OC
vậy có BC OI BC (OAI) (ABC) (OAI)
BC OA
b) BC OI BC (OAI)
BC OA
c) Vì BC(OAI) nên AI là hình chiếu vuông góc của AB xuống (OAI)
vậy (AB,(AOI))=(AB,AI)=BAI Trong tam giác vuông ABI vuông tại I có sinBAI=BI/AB
AB OA OB a a a
2
2
a
BC OC OB a a a BI
Thay vào có sinBAI=BI/AB= 2
: 2 1/ 2 2
a
a vậy (AB,(AOI))=(AB,AI)=300
Câu 14:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,SA (ABCD) và SA=2a
Trang 6a) Chứng minh (SAC) (SBD) ; (SCD) (SAD)
b) Tính góc giữa SD và (ABCD) ,SB và (sad) ; sb và (sac)
c) xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của sd và bc ; ad cà sb ; sc và bd
giải :
Cõu 15: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a, tõm O Cạnh SA = a và SA
(ABCD) Gọi E, F lần lượt là hỡnh chiếu vuụng gúc của A lờn cỏc cạnh SB và SD
a) Chứng minh BC (SAB), CD (SAD);
b) Chứng minh (AEF) (SAC);
c) Tớnh tan với là gúc giữa cạnh SC với (ABCD).
d) Tớnh khoảng cỏch d 1 từ A đến mặt phẳng (SCD).
e) Tớnh khoảng cỏch d 2 từ B đến mặt phẳng (SAC).
Giải:
a) BC AB BC (SAB)
BC SA
CD AD CD (SAD)
CD SA
b)
(1) (2)
AE SB
AE SC
AE BC
AF SD
AF SC
AF CD
Từ (1) Và (2) Có SC AE SC (AEF) (SCA) (AEF)
SC AF
c) Vì SA(ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC xuống (ABCD)
vậy =(SC,(ABCD))=(SC,AC)=SCA vậy tan =tanSCA= 1 2
2
SA a
AC a
d) ta chứng minh AF(SCD)
Thật vậy có AF SD AF (SCD)
AF CD
VậY d(A,(SCD))=d1=AF
Có 12 12 12 12 12 22
AF SA AD a a a nên d(A,(SCD))=d1=AF=
2
2
e) BD AC BD (SAC)
BD SA
VậY d(B,(SAC))=d2=BO= 2
2
a
Cõu 16 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng ABCD cạnh a, SA (ABCD), SA = a 1) (SAB) (ABCD);
2) CD (SAD);
3) Tớnh cỏc gúc [SB, (ABCD)]; [(SBD),(ABCD].
4) Tớnh cỏc khoảng cỏch d[SA, BD]; d[BD, SC].
Giải:
a) SA(ABCD) (SAB) ( ABCD)
b) CD AD CD (SAD)
CD SA
c) (SB,(ABCD))=(SB,AB)=SBA=450
d) Có AO BD
AO SA
d(SA,BD)=AO= 2
2
a
e) Từ O kẻ OH SC thì do BD(SAC) BD OH
Trang 7vậy OH là đờng vuông góc chung của SC và BD
vậy d(SC,BD)=OH=
2
a
CÂU 17:Tứ diện S.ABC cú ABC đều cạnh a, SA (ABC), SA =32a .Gọi I là trung điểm BC a) Cmr (SBC) (SAI) b) Tớnh d[A,(SBC)].
c) Tớnh d[SA, BC].
Giải:
a) BC AI BC (SAI) (SBC) (SAI)
BC SA
BC AI vì tam giác ABC đều có AI là trung tuyến
b) Tớnh d[A,(SBC)].
Trong mp (SAI) kẻ AH vuông góc với SI tại H
Vì BC(SAI) BCAH
Vậy AH SI AH (SBC) d A SBC( ,( )) AH
AH BC
Trong tam giác vuông SAI có 1 2 12 12
AH SA AI (*)
( )
AI AC IC a AI Thay vào (*) có :
2 2
2
( )
AH
c) AI SA
AI BC
AI là đờng vuông góc chung của SA và BC
3 ( , )
2
a
d SA BC AI