Tích phân đường ôn thi cao học

Trang 1

Người soạn: Nguyễn Anh Quốc Trang 1 quoctoantin2009@gmail.com

TÍCH ĐƯỜNG LOẠI I

Tóm tắt lý thuyết

∫ ( ) s

̂

∫ ( ) s u t

L u ý tr t ng lo t ô qu t m ế ớ ủa cung AB

Đ L ô t ∫ s

T ng lo i I có tính chất giố t á ịnh

Cá t t ng lo i I

Nếu L tr t m số {

(t) (t) (t)

tr t

t s √( ) ( ) ( ) t

T ∫ ( ) s ∫ ( (t) (t) (t)) √( ) ( ) ( ) t

Nếu tr L { (t) (t) vớ t t

∫ ( ) s ∫ ( (t) (t)) √( ) ( ) t

Nếu tr L ( )vớ t

∫ ( ) s ∫ ( ( )) √ ( )

∫( ) ớ

Giải

T s t st s √s t s t t √ t

∫( ) s ∫ ( s t s t t )√ t

√ ∫ ( t ) t

√ (t t ) | √ ( )

∫( )

̂

ủ

( ) ấ

Giải

P tr t m số u st s t vớ t 0 1

T s t st s √ s t s t t t

Trang 2

∫( ) s

̂

∫( s t s t) t ∫ s t t s t|

∫

̂

( ) ế ( ) Giải

P tr u O vớ

T s √

∫ s

̂

∫ √ ∫ √ ( ) (√ ) | √

BÀI TẬP TRONG GIÁO TRÌNH THẦY NGUYỄN HỮU KHÁNH (ĐẠI HỌC CẦN THƠ)

∫ ủ ớ á ( ) ( ) ( ) ( ) Giải

Đ t ∫ s

Tr O tr t t ấy

∫ s

Tr tr t thấy

s √ vớ , -

∫ s

∫

Tr C tr t t ấy

s √ vớ , -

∫ s

∫

Tr CO tr t t ấy

∫ s

V

2 Tính

∫ ( )

3

2

1

-1

-2

-3

A

O

3 2 1

-1 -2 -3

A O

Trang 3

∫

∫( ) √

∫ ế ủ

ố ế ( )

Giải

∫ ( )

P tr t m số ủ L s t s t vớ t

T s t s t s t st

Su r s √( s t s t) ( s t st) t s t st t t 0 1

∫ ( ) s ∫( s t s t) s t st t ∫( s t s t)s t st t

∫( s t s t s t st) t ( )

∫

P tr t m số ủ L st s t vớ t

T s t st

Su r s √ s t s t t √ s t t t 0 1

∫ s ∫ sts t√ s t t Đ t u s t u st t

∫ u√ u u ∫ √ u ( u ) √ u / |

∫( ) √

P tr t m số ủ L st s t vớ t

T s t st

2 1

-1 -2

Trang 4

Su r s √ s t s t t t t 0 1

∫( ) s ∫( st s t) t ( s t t st) | /

∫ ế ủ

ố ế ( )

P tr t m số ủ L { t t

t

vớ t

T

Su r s √ t

∫ s √ ∫ t t √ t | √

TÍCH ĐƯỜNG LOẠI II

Tóm tắt lý thuyết

∫ P( ) Q( )

̂

∫ P( ) Q( ) u t

∫ P( ) Q( ) R( ) t L

L u ý

∫ P( ) Q( )

̂

∫ P( ) Q( )

̂

Nếu L t ý u ∮ P( ) Q( ) Qu ớ u tr L u

m m t tr L t u s t ấ m ớ L ất m t trá

C u m u

Cá t t ng lo i I

Nếu u tr t m số (t) (t)vớ á m t t t t

t vớ t t

∫ P( ) Q( )

̂

∫ [P( (t) (t)) (t) Q( (t) (t)) (t)] t Nếu u tr ( ) v ủ ủ t t

∫ P( ) Q( )

̂

∫,P( ( )) Q( ( )) ( )- Liên h gi t ng lo i I và lo i II

Trang 5

tr O v v t á tu ế MT⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ớ v t ủ s)t

s s s s

∫ P( ) Q( )

̂

∫(P( ) s Q( )s ) s

̂

Liên h gi a tích phân hai lớp và tích ng lo i II

Công th c Green

∬ ( Q

P

) ∫ P Q tr L ủ m t t L ấ t

ếu

Công th c di n tích t t ng lo i II

S( ) ∮ ∬

S( ) ∮

Đ u ki t ng không ph thu v ng lấy tích phân

Định lý 4 m t ả s các hàm P(x,y) ,Q(x,y) liên t c cùng vớ á o hàm riêng trên

mi K m s u t

u t P Q v t ủ m tr m

P

Q

t m m ( )

∮ P Q tr L ất m t tr

∮ P Q

̂

ô t u v ấ t m t u v m u

v m uố ủ ấ t (Cu ất tr )

Chú ý

Nếu P Q t t ị ý m t t

∮ P Q

̂

t u v t t ý u ∮ P Q

̂

∫ P Q

( )

∫

ớ ủ {

( ) ( )

ế

Giải

Trang 6

∫

∫ [

t s t st ( st) st s t] t ∫ [ (t s t) s t st] t * t st | st|+ | ( √ )

∫ ớ ố ( ) ế ( ) á

Giải

t

∫ ∫

∫ ∫( )

∫( ) ( ) ủ ớ

ấ

Giải P( ) Q( )

Q( )

P( )

∫( ) ( ) ∬ ( Q( )

P( )

) ∬( )

C u s t r s rs vớ v r

∫ ∫ r r

BÀI TẬP TRONG GIÁO TRÌNH THẦY NGUYỄN HỮU KHÁNH (ĐẠI HỌC CẦN THƠ) 1 Tính ∫ ( ) ế ( )

2

1

-1

-2

A

O

2

1

-1

-2

Trang 7

∮

| | | |

ớ ủ ô ớ á ( ) ( ) ( ) ( )

∫ ( ) ( ) ấ ớ ( ) ( ) ( )

Giải

∫ ( ) ế ( )

Ta có dy = 2xdx

∫ ∫( ) ∫

∮

| | | |

ớ ủ ô ớ á ( ) ( ) ( ) ( )

Giải

Tr tr T ế

∫

| | | |

Tr C tr T ế C

∫

| | | |

∫

Tr C tr T ế C

∫

| | | |

Tr tr T ế

∫

| | | |

| | | | ∫

∮

| | | |

∫ ( ) ( ) ấ ớ ( ) ( ) ( )

Tr O tr T O ế

∫ ( ) ( )

∫( ) ∫( )

Tr tr T ế

4

2

-2

-4

D C

B

A

4

2

-2

A

Trang 8

∫ ( ) ( )

∫( ) ∫( )

∫ ( ) ( )

∫( ) ( ) ị ủ { ( ) ( )

( ) ế ( )

Giải

( st) t s t t v t

∫( ) ( ) ∫ [( ( st)) ( st) ( ( st)) s t] t

∫ ( s t sts t) t

∮( ) ( ) ớ

ế

ô

Giải

P tr t m số ủ tr R st Rs t vớ t

Rs t t R st t

∫ ,( R s t)Rs t( Rs t) R st( R s t)R

t ∫ (R s t R s t s t)

t R

b Áp d ng công th c Green

P ( ) Q ( )

Q

P ∬ ( Q

P ) ∬( )

C u s t r s rs vớ v r R

∫

∫ r r R R

∫ ( )

( ) ủ

4

2

-2

-4

Trang 9

( ) ế ( )

Giải

H ∮( s ) ( s )

Vớ L tr tr v tr

∮( s ) ( s ) ∬( s s ) ∬

∮( s ) ( s ) vớ t O( ) ế ( )

T H H

∫

( )

∫ ( )

( )

ấ ô ắ Giải

∫

( )

t ô t u v ấ t

t ấ C vớ ( ) ( ) C( )

Tr t tr vớ

∫

Tr C t tr vớ

∫

T

∫ ( )

( )

ấ ô ắ

t ô thu v ng lấy tích phân và theo yêu

c u bài lấ t t ng không cắt y = - x ta ch ng

T qu t r

∫ ( ) ( )

( ( ) ) Đ t t t

1

-1

-2

3

2

1

-1

-2

-3

B(-1,3)

A(-1,2)

C(2,3)

4

2

-2

Trang 10

∫t t t

(t t )

t ∫ t t

(t t )

t ∫ t t (t t )

t ĐỀ THI THẠC SĨ CÁC NĂM (Đ Đ )

∫ ,( ) ( )

-( ) ( )

Giải T ô thu ng lấy tích phân ch ph thu m A(- ) v C( ) t ch ng gấp khúc ABC với A(-2;1), B(-2;2) và C(3;2) Tr v

∫ ( ) Đ t u u v

( ) | ∫ |

Tr C v

∫ ( )

Đ t u u v

( ) | ∫

| ( )

T

(Đ Đ )

∮

( ) ( ) ủ

Giải Á ô t r

P Q r t t ấ t u ủ Om O Q .

/ P m vớ * +

∮ r t

∬ ( Q P ) ∫ ∫

∫ ∫

( )

∫ ( ) | ∫, ( ) ( )- ∫

4 2

-2

C(3;2) B(-2;2)

A(-2;1)

1

0,5

-0,5

-1

n m A(1,1)

O(0,0)

Trang 11

Đ t u

u

v

∫

| ∫ r t |

(Đ Đ )

∫( )( ) ế ấ

Giải

C u tu ế ủ m ất t u Á ô t r

P Q

∫( )( ) ∬ ( Q

P ) ∬( ) (Đ )

∫( ) ( ) ớ ố ( ) ( )

Giải

Do tích phân không ph thu c vào ng lấy tích phân mà ch ph thu v m A(-1;1) và B(4;e) nên ta ch L ng gấp khúc AMB với A(-1;1), M(-1;e) và B(4;e)

Tr M vớ

∫( ) ( )

∫( )

Tr M vớ

∫( ) ( )

∫( )

(Đ )

∫( )

ớ á ấ Giải

P tr t m số u R s t Rs t vớ t

S √( ) ( ) t √ R| |

Trang 12

∫( ) S

∫ R √ R|s t| t √ R ∫ s t t √ R s t| √ R (Đ )

∮ ớ √

ả

L ng kín G i D là mi n giới h n b i L theo chi u * √ +

Áp d ng công th c Green

P Q

Q

P

∮ ∬ ( Q

P ) ∬ ∫ ∫

√

∫, ( ) -

(Đ )

∮ ,( ) - ớ Giải

L ng kín G i D là mi n giới h n b i L theo chi u * vớ +

Áp d ng công th c Green

P ( ) Q

Q

( ) P

( ) ( ) ∮ ,( ) - ∬ ( Q

P ) ∬ (Đ )

∫ ớ ế ủ á

( ) ế ( )

Giải

P tr t m số ủ L st s t s t vớ t

s t st s t √( ) ( ) ( ) t √ s t t

∫ ∫ s t st√ s t t

Đ t u s t u s t t

4

2

-2

-4

Trang 13

∫ √ u

u Đ t u √ s v

T ∫| sv| sv v ∫ s v v ∫ s v v

(Đ )

∫( ) ( ) ớ

* + * +

Giải

Tr C vớ

T ∫( ) ( ) ∫( )

Tr C vớ

T ∫( ) ( )

∫( ( ) ) m

( ) ( )

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	396,33 KB