Đề cương giải tích thực ôn thi cao học

 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm hai biến trên miền đóng và bị chặn.. Giải các bài tập trong tài liệu..  Ứng dụng của tích phân bội; - Tính diện tích hình phẳng, diện tích mặt

Version 1 (27/7/2013)

1

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP CAO HỌC TOÁN MÔN GIẢI TÍCH - PHẦN GIẢI TÍCH THỰC

-

1 Hàm nhiều biến

 Hàm số, giới hạn, liên tục

 Đạo hàm riêng, đạo hàm hàm hợp, đạo hàm hàm ẩn, đạo hàm riêng cấp cao,

vi phân

 Cực trị của hàm hai biến (cực trị không điều kiện và cực trị có điều kiện)

 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm hai biến trên miền đóng và bị chặn Giải các bài tập trong tài liệu

2 Tích phân bội

 Tính tích phân hai lớp, ba lớp

 Ứng dụng của tích phân bội;

- Tính diện tích hình phẳng, diện tích mặt cong

- Tính thể tích vật thể

- Tính khối lượng, tính moment quán tính và tọa độ trọng tâm

Giải các bài tập trong tài liệu

3 Tính tích phân đường

 Tính trực tiếp tích phân đường loại 1 và loại 2 (dùng công thức đưa về tích phân xác định)

 Tính bằng công thức Green (nếu đường cong lấy tích phân là đường cong kín)

 Định lý 4 mệnh đề tương đương và ứng dụng

 Ứng dụng của tích phân đường loại 1 và loại 2 (tính khối lượng, moment tĩnh và tọa độ trọng tâm, diện tích hình phẳng)

Giải các bài tập trong tài liệu

4 Tích phân mặt

 Tính tích phân mặt loại 1 và loại 2 (tính trực tiếp và gián tiếp)

 Ứng dụng của tích phân mặt loại 1 và loại 2 ( tính diện tích mặt cong, thể tích vật thể, thông lượng của trường vector)

Giải các bài tập trong tài liệu

5 Phương trình vi phân

 Giải một số Phương trình vi phân cấp 1

 Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số là hằng số

Cần phân biệt rõ đề bài cho là “ Giải phương trình” hay “Tìm dạng nghiệm tổng quát của phương trình”, vì chúng có cách làm khác nhau

Giải các bài tập trong tài liệu

 Tài liệu tham khảo

1 Nguyễn Hữu Khánh, Giáo trình Vi Tích Phân A2, ĐHCT

2 Nguyễn Đình trí, Toán cao cấp, NXB Giáo dục, 1995 (Tập 3)

3 Adam R A., Calculus, Addision-Wesley Publishers Limited, 3rd Edition, 1995

Version 1 (27/7/2013)

NỘI DUNG ÔN TẬP

I Hàm nhiều biến

 Định nghĩa hàm nhiều biến

Cho tập D  n Hàm f của n biến là qui luật cho ứng mỗi điểm ( ,x x1 2, ,x n) D với một

số thực duy nhất ( ,f x x1 2, ,x n) Kí hiệu u f x x( ,1 2, ,x n)

 Liên tục

 f(x, y) liên tục tại (x0, y0) 

0 0

0 0

lim ( , ) ( , )







x x

y y

f x y f x y

 f(x, y) liên tục trên D nếu f (x, y) liên tục tại mọi x, y)  D

 Đạo hàm riêng

0

 





x

x

0

' '





x

x x

0

( , ) lim

 

  





y

y

0

' '





y

y y

 Chú ý: f x y x'( 0, 0), f x y y'( 0, 0) không suy ra được f x y( , ) liên tục tại (x y0, 0)

1 Chứng minh rằng hàm

3

( , )

x y





 



 gián đoạn tại điểm (0, 0) nhưng hàm có các đạo hàm riêng tại điểm này

2 Tìm hàm f x y thỏa các phương trình ( , )

2

2







f

x y

4







f x

y và thỏa các điều kiện

(0, 0) 1

f  , (1,1)f  2

 ĐS: f x y( , )x y4 1

 Đạo hàm của hàm ẩn

i) y y x( ) là hàm ẩn một biến xác định bởi phương trình F(x, y) = 0 

' '

'   x y

F y

F

ii) z = z(x, y) là hàm ẩn hai biến xác định bởi phương trình F(x, y, z) = 0



' '

x z

F z



 

' '

y z

F z



 

3 Cho zz x y là hàm ẩn xác định bởi phương trình ( , )

(3 2 ) 0

Version 1 (27/7/2013)

3

trong đó f là hàm khả vi Chứng minh rằng ( , , ) G x y z z z

 

 

2 không phụ thuộc vào

hàm f

 ĐS: ( , , )G x y z  1

 Hàm khả vi và vi phân

 Hàm f(x,y) khả vi tại (x0, y0) nếu          , trong đó A, B là các f A x B y  x  y

hằng số và    khi , 0    x, y 0

Nếu z f x y( , ) thì dz z dx z dy

 Tính chất: Nếu f x y( , ) khả vi tại (x y0, 0) thì f x y( , ) tồn tại các đạo hàm riêng và liên tục tại điểm này

 Định lí Nếu hàm f x y( , ) có các đạo hàn riêng ở lân cận điểm ( x y0, 0) và nếu các đạo

hàm riêng liên tục tại ( x y0, 0) thì f x y( , ) khả vi tại điểm này

 Định lí f khả vi tại ( x y0, 0)  lim f df

 



0 0 (   x2 y2 )

4 Xét tính khả vi của các hàm sau tại điểm (0, 0):

a) f x y( , )  x2y ; 2

b) f x y( , ) 3 x3y 3

 ĐS: a) không khả vi vì f x'(0, 0) không tồn tại; b) không khả vi

 Tìm cực trị của hàm f (x, y)

- Tìm các điểm tới hạn

- Tại điểm dừng ( ,x y0 0): A f xx''(x y0, 0), B f xy'' (x y0, 0), C f yy'' (x y0, 0),

 = B2 - AC Kết luận tại ( ,x y0 0):

i)  < 0: A > 0  cực tiểu; A < 0  cực đại

ii)  > 0: không đạt cực trị

iii)  = 0: ( ,x y0 0) là điểm nghi ngờ

- Tại điểm kỳ dị: dùng định nghĩa xét

5 Tìm cực trị của các hàm sau:

a) z4(xy)x2y2;

b) zx3y33xy;

c) zxy5020

x y (x > 0, y > 0);

d) zx4 y4;

e) z(xy)2(x y)2;

f) z 1 x2y ; 2

Version 1 (27/7/2013) g) z(x2y e2) (x2y2)

 ĐS: a) z CD 8 tại (2, -2), b) z CT  1 tại (1, 1), z không đạt cực trị tại (0, 0);

c) z CT 30 tại (5, 2); d) z CT 0 tại (0, 0); e) z CT 0 tại (0, 0); f) z CT 1 tại (0, 0);

g) z CT 0 tại (0, 0), đặt t = x2y2  z CD e1 tại các điểm trên đường tròn x2y2 1

6 Tìm cực trị của hàm zz x y xác định bởi phương trình ( , ) ze x z( 2y2)0

 ĐS: zCĐ = 0 tại (0; 0)

7 Tìm cực trị của hàm ẩn zz x y( , ), z0, xác định bởi phương trình:

x2y2z22x4y6z11 0

 ĐS: z đạt cực đại M(1, -2) và zCĐ = z(1, -2) = 8

 Cực trị có điều kiện

Tìm cực trị của hàm z f x y( , ) với điều kiện ràng buộc ( , )x y  0

Lập hàm L'Agrange: F x y( , , )  f x y( , )  ( , )x y

Giải hệ

' ' '

x y

F F

F 













0 0 0

Ta được nghiệm (x y0, 0,0)

Tính d F x y2 ( 0, 0,0)F xx'' (x y0, 0,0)dx2F xy''(x y0, 0,0)dxdyF yy'' (x y0, 0,0)dy2, xét với điều kiện 'x dx'y dy 0, dx2dy2 0

i) d F x y2 ( 0, 0,0)0  f x y( 0, 0) đạt cực đại có điều kiện tại (x y0, 0)

ii) d F x y2 ( 0, 0,0)0  f x y( 0, 0) đạt cực tiểu có điều kiện tại (x y0, 0)

iii) d F x y2 ( 0, 0,0) có dấu không xác định  f x y( 0, 0) không đạt cực trị tại (x y0, 0)

8 Tìm cực trị của hàm z x2y2 với điều kiện 1

2 3

13



CT

z tại ( , )18 1213 13

9 Tìm cực trị của hàm f x y( , ) 6 4x3 với điều kiện y x2y2 1

 ĐS: z CT = 1 tại 4,3

5 5 và z CĐ = 11 tại 4,3

5 5

 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm liên tục f (x, y) trên miền đóng và bị

chặn D

- Tìm các điểm tới hạn của f(x, y) thuộc phần trong của D và tính giá trị của hàm tại các

điểm này

- Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trên biên (dùng phép thế hoặc phương pháp nhân tử L'Arange)

So sánh các giá trị vừa tính fmin= số nhỏ nhất, fmax= số lớn nhất

Version 1 (27/7/2013)

5

10 Tìm cực trị của hàm trên miền đóng và bị chặn

a) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm f (x, y) = x2 + 2y2 + 4xy - 4x trên miền

D = {x  0, y  0, x + y  3}

Giải Hệ

' '

x y







không có nghiệm trong miềm mở x > 0, y > 0, x + y < 3 Do đó GTNN và GTLN của f chỉ đạt

trên biên của D

Trên các biên x = 0 ( 0  y  3); y = 0 (0  x  3) và x + y = 3 (0  x  3) hàm có 4 điểm

nghi ngờ là M1(3; 0), M2(0; 3), M3(0; 0), M4(2; 0)

So sánh giá trị của f tại 4 điểm trên ta được

fmin = - 4 tại M4(2; 0) và fmax = 18 tại M2(0; 3)

b) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm f (x, y) = xy2 trên tập

D = {(x,y): x2 + y2  1}

Giải

* Điểm dừng trong tập mở x2 + y2 < 1 là mọi điểm có dạng (x0, 0) Ta có f (x0, 0) = 0

* Trên biên: x2 + y2 = 1  y =  1 x2  f = -x3 + x (-1  x  1)

Có 4 giá trị cần xét là f ; 

3

3

Vậy fmin =

3 3

2

 tại  ,  

3

3 và fmax =

3 3

2 tại  ,  

3

c) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm f (x, y) = x + y trên tập

D = {(x,y): x2 + y2  1}

Giải

* Điểm tới hạn trong tập x2 + y2 < 1:

' '

1 1

x y

f f









 Không có điểm tới hạn

* Lập hàm Lagrange:

2 2

F x y   xy  x y 

Giải hệ

' '



x y

Ta được hai điểm tới hạn

1( 2 , 2 )

M   ứng với 2

2

  và f M( 1)  2

2( 2 , 2 )

2

   và f M( 1) 2

Vậy fmin   2 tại M 1( 22, 22) và fmax  2 tại M2( 22, 22)

Version 1 (27/7/2013)

d) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm zxx2 y2 trên hình chữ

nhật D:{0  x  2, 0  y  1};

 ĐS: zmin  2, zmax 5 / 4;

e) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm zx2y2 trên hình tròn

D:{x2y2 4};

 ĐS: zmin  4 tại (0, -2), (0, 2) và zmax 4 tại (-2, 0), (2, 0);

f) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm z x y2 (4 x y) trên miền

D:{x = 0, y = 0, x + y = 6}

 ĐS: zmin  64 tại (4, 2) và zmax 4tại (2, 1);

g) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm zsinxsinysin(xy trên ) miền D:{0x 2, 0 y 2};

 ĐS: zmin 0 tại (0, 0) và max 3 3

2



z tại ( , )3 3 ;

h) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm zx22xy4x8y trên miền

D:{ 0  x  1, 0  y  2};

 ĐS: zmin  3 tại (1, 0) và zmax 17 tại (1, 2);

i) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm zx2y2xy x y trên miền

D:{x  0, y  0, x + y  -3};

 ĐS: zmin  1 tại (-1, -1) và zmax 6 tại (-3, 0), (0, -3);

j) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm z x xy trên miền

D:{0  x  1, 0  y  1 x }; 2

 ĐS: zmin 0 tại x = 0 (0  y  1) và zmax 1 tại (1, 0)

k) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm z x2 x 2y2 trên miền

D: { x2y2 1}

 ĐS: zmin  1

4 tại 1, 

2 0 và zmax  9

4 tại 1; 3

2 2

11 Một hộp hình hộp chữ nhật hở ở phía trên có thể tích 32 cm3 Hỏi các cạnh phải có độ dài bao nhiêu để hộp có diện tích chung quanh nhỏ nhất?

 ĐS: Hộp có diện tích toàn phần S x y( , ) xy 64(1 1)

   và S đạt min khi x = y=4

 Các cạnh có độ dài 4, 4, 2

Version 1 (27/7/2013)

7

 Tích phân hai lớp trong tọa độ Descartes

Tính ( , )

D

I f x y dxdy

i) D là hình thang cong loại 1: D: { axb, 1( )x y2( )x }

I =

( )

( )

( , )

x b





2

1

ii) D là hình thang cong loại 2: D: {c  y  d, 1( )y x2( )y }

I =

( )

( )

( , )

y d





2

1

iii) D là hình chữ nhật: D: { axb , c  y  d}

dx f x y dy

dy f x y dx

* Đặc biệt: Khi ( , )f x y  f x f y1( ) ( )2

I = ( ) ( )

f x dx f y dy

1 Tính các tích phân:

a) sin( )

D

xy dxdy

 với D: {y = 0, y = x, xy2 };

b)

D

x ydxdy

 2 với D: {y = 0, y 2axx2 };

c) | | | |

D

x  y dxdy

 với D: {| x | + | y |  1}

 ĐS: a) 1

2; b) 4a5

5 ; c) 43

 Tích phân hai lớp trong tọa độ cực

Tính tích phân I = ( , )

D

f x y dxdy

( , )

f x y chứa biểu thức x2 y2 và D có dạng hình tròn

Đặt xrcos, yrsin (*) (0    2 hoặc -    ; r  0)

Ta có x2 y2 r2; J = r

D' là miền của , r có ảnh là D qua phép biến đổi (*)

'

( cos , sin )

D

I f r  r  rd dr 

2 Tính các tích phân:

a)

D

xdxdy

 với D: { x2y2 2 }; x

Version 1 (27/7/2013) b) arctany x

D

dxdy

 với D:{ x y x

3 3 , 1x2y2 9 };

c)

D

xy dxdy

 2 với D: { x2(y1)2 1 , x2y2 4y0 };

d) y 

x

D

dxdy



 1 với D:{ 1x2y2 2 } x

 ĐS: a)  ; b) 2

6 ; c) 0; d) 23 3

3 Tính tích phân ( )

D

yx dxdy

 với D: {y = x + 1, y = x - 3, y 1x7

3 9, y 1x

3 5 }

 ĐS: -38/3

 Thể tích của vật thể hình trụ

Vật thể hình trụ giới hạn phía trên bởi mặt cong z f x y2( , ), phía dưới bởi mặt cong ( , )

z f x y1 và có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy là miền D Vật thể có thể tích cho bởi

[ ( , ) ( , )]

D

V f x y2  f x y dxdy1

4 Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt:

a) zx2 y2, x2 y2 1, z = 0;

b) zx2y2, yx2, y = 1, z = 0;

c) zcos cosx y , z = 0, |xy|2, |xy|2

 ĐS: a) V = 

2 ; b) V = 88

105, c) V = 

5 Tính diện tích của

a) phần mặt nón z x2y2 nằm bên trong mặt trụ x2 y2 1;

b) phần mặt cầu x2y2 z2 4 (z  0) nằm trong mặt trụ x2 y2 2 y

 ĐS: a) S = 2 ; S =  2 1

 Tích phân 3 lớp trong hệ tọa độ Descartes

Tính I = ( , , )

V

f x y z dxdydz



trong đó V: {axb, 1( )x y2( ),x 1( , )x y  z 2( , )}x y

 I =

( ) ( , )

( ) ( , )

( , , )

b

V

y xz dxdydz

 với V:{y x , y = 0, z = 0, x z 2}

 ĐS: 12  

2 8 1

 Tích phân 3 lớp trong tọa độ trụ

Version 1 (27/7/2013)

9

Tính I = ( , , )

V

f x y z dxdydz

trong trường hợp V có dạng hình trụ và f x y z chứa biểu thức x( , , ) 2 y2

Đặt xrcos, yrsin , z = z (*) (0    2 hoặc -    ; r  0; - < z < )

Ta có x2 y2 r2

V' là miền của , r, z có ảnh là V qua phép biến đổi (*)

I = '

( cos , sin , )

V

f r  r  z rd drdz 



7 Tính các tích phân sau trong tọa độ trụ:

a)

V

x y dxdy

 2 2 với V:{x2 y2 z2, z = 1};

V

x y dxdydz

 2 2 với V:{x2 y2 2z , z = 2}

 ĐS: a) 

6 ; b) 16

3

 Tích phân 3 lớp trong tọa độ cầu

Tính I = ( , , )

V

f x y z dxdydz

trong trường hợp V có dạng hình cầu và f x y z chứa biểu thức x( , , ) 2y2 z2

Đặt xrcos sin , yrsin sin , zrcos (*)

(0    2 hoặc -    ; 0    ; r  0)

Ta có x2 y2 r2

V' là miền của , r, z có ảnh là V qua phép biến đổi (*)

I = '

( cos sin , sin sin , cos ) sin

V

8 Tính các tích phân sau trong tọa độ cầu:

a)

V

xyzdxdydz

 với V:{x2y2z2 1, x = 0, y = 0, z = 0};

b)

V

x y z dxdydz

 2 2 2 với V:{x2 y2z2 z};

V

x y dxdydz

 2 2 với V:{1x2 y2 z22, z  0}

 ĐS: a) 1/48; b) 

10; c) 124

15

 Ứng dụng cơ học

Cho bản phẳng chiếm miền D trong mặt phẳng Oxy, có khối lượng riêng tại điểm (x, y) là

(x, y)

Version 1 (27/7/2013)

i) Khối lượng của bản phẳng: M = ( , )

D

x y dxdy



ii) Moment quán tính của bản phẳng đối với trục Ox, Oy và gốc O lần lượt là

( , )

x

D

I y2 x y dxdy; y ( , )

D

I x2 x y dxdy; o ( ) ( , )

D

I  x2 y2  x y dxdy

iii) Moment tĩnh đối với trục Ox, Oy:

( , )

x

D

I y  x y dxdy; y ( , )

D

I x  x y dxdy

iv) Tọa độ trọng tâm C của bản: c M y

x M

c

M y M



9 Tìm tọa độ trọng tâm của hình đồng chất giới hạn bởi các đường yx2, y2x2, x = 1, x = 2

 HD & ĐS: S(D) = 7

3; c S

D

x  1xdxdy 45

28; c S

D

y  1ydxdy279

70

10 Tìm moment quán tính đối với trục Oz của vật thể V có khối lượng riêng  = 1 tại mỗi điểm

trên V và V:{0 z x2y2 , x2y2 2ay}

V

I  x2y dxdydz2 =

sin







2

3

= 51275 a5

1 Tính các tích phân sau:

a)

L

xyds

 , với L là biên hình chữ nhật với các đỉnh O(0, 0), A(4, 0), B(4, 2), C(0, 2)

b)

L

x ds

 2 , với L là giao của hai mặt phẳng x - y + z = 0 và x + y +2z = 0 từ gốc O đến

điểm (3, 1, -2)

c) ( )

L

xy ds

 , với L: y axx2

 ĐS: a) 24; b) 3 14 ; c) a42( 2 )

2 Tính các tích phân

L

x y dxx y dy

2 2 2 4 3 , trong đó L là đường gấp khúc OAB với O(0, 0),

A(1, 1), B(2, 0)

b)

| | | |

ABCDA





 , trong đó ABCDA là biên hình vuông với A(1, 0), B(0, 1), C(-1, 0), D(0, -1)

Version 1 (27/7/2013)

11

 ĐS: a) 7

3; b) 0;

 Công thức Green

Nếu P(x,y), Q(x,y) liên tục cùng với các đạo hàm riêng trên miền D thì

 Q P

 

   

L là biên miền D

3 Tính các tích phân sau:

L

 trong đó L: x2 y2 R2

b) ( xsin ) ( xcos )

AmO

 , trong đó AmO là nửa trên của đường tròn

x2 y2 ax chạy từ A(a, 0) đến O(0, 0)

c) ( ) ( )

L

xy dx xy dy

 2 2 , trong đó L là chu tuyến dương của tam giác OAB với

O(0, 0), A(2, 0), B(4, 2)

L

x y dxx y dy

2 2 2 4 3 , trong đó L là đường gấp khúc OAB với O(0, 0),

A(1, 1), B(2, 0)

 ĐS: Dùng công thức Green a) R4

2 b) ka2

8 ; c) 16; d) 73

4 Tính các tích phân

a)

( , )

( , )







2 3

1 2

;

b)

( , )

( , )





3 1

2

1 1

2

 ĐS: a) 8; b) ln 1

4

2

5 Tính diện tích của hình giới hạn bởi các đường sau:

a) y  2 , y x 2xx2, x = 0, x = 2

b) x acos3t, yasin3t (a > 0)

 ĐS: a) S =

ln 

2 3, b) S =

a

 2

3

8

 Tích phân mặt loại 1

Cho mặt cong S: z = g(x, y), trong đó g đơn trị và có các đạo hàm riêng liên tục trên miền

D, với D là hình chiếu của S xuống mặt phẳng Oxy