ôn thi cao học phần bài tập

Tìm phương trình dao động tự do của một sợi dây hữu hạn được gắn chặt ở hai đầu mút x = 0 và x = `, biết vận tốc ban đầu bằng không và ở thời điểm ban đầu sợi dây được căng lên ở độ cao

Trang 1

ÔN THI CAO HỌC PHẦN BÀI TẬP

1 Đưa phương trình sau về dạng chính tắc

uxx+ 2uxy − 3uyy= 0

và tìm nghiệm thoả mãn điều kiện

u(0, y) = y2

ux(0, y) = 0 ĐS: phương trình chính tắc uξρ= 0, nghiệm: u(x, y) = (y2+ 3x2)

2 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau:

uxx+ 2uxy− 3uyy+ 2ux+ 6uy = 0 ĐS

u(x, y) = e(y−3x)/2

Z

F (y + x)d(y + x) + Φ(y − 3x)

x2uxx− y2uyy− 2yuy = 0 ĐS

u(x, y) =r x

yG(xy) + Φ

y x

x2uxx− 2xyuxy+ y2uyy+ xux+ yuy = 0 ĐS

u(x, y) = F (x, y) ln x + Φ(xy)

5 Đưa về dạng chính tắc:

uxx+ 4uxy+ 5uyy+ ux+ 2uy = 0 ĐS

uξξ+ uξρ+ uρ= 0

uxx+ 6uxy+ 5uyy+ ux+ 5uy = 0 ĐS

u(x, y) = F (y − 5x) + e(y−5x)/4G(y − x)

7 Giải phương trình sau

eyuxy− uyy+ uy = 0 với điều kiện

u(x, 0) = −x

2

uy(x, 0) = − sin x ĐS

u(x, y) = cos(x + ey− 1) − cos x −x

2

Trang 2

uxx− 2 sin xuxy− (3 + cos2x)uyy− cos xuy = 0 với điều kiện

u(x, y)|y=cos x = sin x

uy(x, y)|y=cos x = e

x

2 ĐS

u(x, y) = cosy − cos x

2

sin x + exshy − cos x

2

uxx− 2 sin xuxy − (3 + cos2x)uyy+ ux+ (2 − sin x − cos x)uy = 0 với điều kiện

u(x, y)|y=cos x = 0

uy(x, y)|y=cos x = e−x/22 cos x ĐS

u(x, y) = 2 sin

y − cos x 2

cos xe(y−2x−cos x)/4

uxx+ 2 sin xuxy− cos2xuyy+ ux+ (1 + sin x + cos x)uy = 0 với điều kiện

u(x, y)|y=− cos x = 1 + 2 sin x

uy(x, y)|y=− cos x = sin x ĐS

u(x, y) = 1 + 2 sin(y + x + cos x)e(y+x+cos x)/2

uxx+ 2 cos xuxy− sin2xuyy+ ux+ (1 − sin x + cos x)uy = 0 với điều kiện

u(x, y)|y=sin x = cos x

uy(x, y)|y=sin x = sin x ĐS

u(x, y) = cos(y − sin x − x)

3uxx− 5uxy + 2uyy= 0 với điều kiện

u(x, y)|y=sin x = cos x

uy(x, y)|y=sin x = sin x ĐS

u(x, y) = 20 sin16y + 9x

20

cosy − 9x

20

− 25(3y + 2x)

25 + (3y + 2x)2 + 12(y + x)

4 + (y + x)2

Trang 3

eyuxy− uyy+ uy = 0 với điều kiện

u(x, 0) = sin x

uy(x, 0) = 1

1 + x2

ĐS

u(x, y) = sin x − arctgx + arctg(x + ey− 1)

uxy− 6uyy+ 5uy = 0 với điều kiện

u(x, y)|y=x = sin x

uy(x, y)|y=x = cos x ĐS

u(x, y) = 1

2

h

5 sinx + y

2 − 3 sin

5x + y 6 i

uxx− uxy+ 5ux+ 3uy+ 4u(x, y) = 0 với điều kiện

u(x, y)|y=0 = xe−5x/2−x2

uy(x, y)|y=0 = e−5x/2 ĐS

u(x, y) = 1

8e

(3y−5x)/2h8y + (4x + 4y + 3)e−(x+y)2 + (4x − 4y − 3)e−(x−y)2i

16 Tìm dao động tự do của một sợi dây hữu hạn được gắn chặt ở hai đầu mút x=0 và x = ` biết vận tốc ban đầu bằng v0 và hình dạng ban đầu được cho bởi biểu thức:

u(x, 0) = ϕ(x) = cx2 (c = const) ĐS:

u(x, t) =

∞

X

k=1

sinkπx

`

− 2v0` a(kπ)2(cos kπ − 1) sinkπat

`

+ 4`2c (kπ)3(cos kπ − 1) −2`

2c

kπ cos kπ

coskπat

`

17 Tìm phương trình dao động tự do của một sợi dây hữu hạn được gắn chặt ở hai đầu mút

x = 0 và x = `, biết vận tốc ban đầu bằng v0 và hình dạng ban đầu được cho bởi:

u(x, 0) = ϕ(x) = sin x ĐS

u(x, t) =

∞

X

k=1

sinkπx

`

− 2v0` a(kπ)2(cos kπ − 1) sinkπat

2kπ sin ` cos kπ

`2− (kπ)2 coskπat

`

Trang 4

x = 0 và x = `, biết vận tốc ban đầu bằng không và sợi dây có hình dạng ban đầu là:

u(x, 0) = ϕ(x) = 4x(` − x)

`2

ĐS

u(x, t) = 32

π3

∞

X

n=0

1 (2n + 1)3sin(2n + 1)πx

(2n + 1)πat

`

x = 0 và x = `, biết vận tốc ban đầu bằng không và ở thời điểm ban đầu sợi dây được căng lên ở độ cao h tại điểm x0

ĐS

u(x, t) = 2h

x0(` − x0)

∞

X

k=1

` kπ

2

sinkπx0

` sin

kπx

` cos

kπat

` Hướng dẫn: Ta giải bài toán với điều kiện ban đầu

u(x, 0) = ϕ(x) =





hx

x0 nếu 0 ≤ x ≤ x0 h(` − x)

` − x0

, nếu x0 ≤ x ≤ `

ut(x, 0) = 0

20 Tại thời điểm t = 0, ta truyền cho các điểm của sợi dây nằm trong khoảng (c − ε, c + ε) một vận tốc ban đầu không đổi v0 Hãy xác định dao động của sợi dây khi ε → 0, nếu lúc đầu nó nằm yên

ĐS:

u(x, t) = 2`p

πaρ

∞

X

k=1

1

ksin

kπc

` sin

kπx

` sin

kπat

`

là phương trình dao động của sợi dây đứng yên ở thời điểm ban đầu và ta truyền cho nó một xung lượng p tập trung tại điểm x = c

Hướng dẫn: Ta giải bài toán với điều kiện ban đầu

u(x, 0) = 0

ut(x, 0) =

(

v0 nếu x ∈ (c − ε, c + ε)

0 nếu x /∈ (c − ε, c + ε) sau đó áp dụng quy tắc L’Hopital để tính giới hạn khi ε → 0

x = 0 và x = ` Cho biết độ lệch ban đầu bằng không và vận tốc ban đầu được cho bởi:

ut(x, 0) =







v0cos(x − c) nếu |x − c| < π

2

2 Trong đó v0 là hằng số dương và π/2 ≤ c ≤ ` − π/2

Đáp số: u(x, t) = −4v0`

2

πa

∞

X

k=1

1 k(k2π2− `2)sin

kπc

` cos

kπ2 2` sin

kπx

` sin kπat

`

Trang 5

22 Tìm phương trình dao động tự do của sợi dây có hai đầu tự do, chiều dài ` Biết vận tốc ban đầu bằng 0 Độ lệch ban đầu của sợi dây tỉ lệ với khoảng cách từ điểm đó đến gốc toạ độ ĐS:

u(x, t) = `c

2 −

4`c

π2

∞

X

n=0

1 (2n + 1)2 coskπx

` cos

kπat

`

23 Tìm phương trình dao động tự do của sợi dây có hai đầu tự do, chiều dài ` Biết ban đầu sợi dây nằm yên và có vận tốc bằng v0x

ĐS:

u(x, t) = −4v0`

2

aπ3

∞

X

n=0

1 (2n + 1)3 cos(2n + 1)πx

(2n + 1)πat

`

24 Tìm phương trình dao động tự do của sợi dây hữu hạn, có hai đầu tự do Biết hình dạng và vận tốc ban đầu của sợi dây được cho bởi:

u(x, 0) = 1

mx(` − x)

ut(x, 0) = sin x ĐS:

u(x, t) = `

2

6m+

∞

X

k=1

coskπx

`

−2`2

akπ(`2− k2π2)[ cos(` + kπ) − 1] sin

kπat

`

2

M (kπ)2(coskπ + 1) coskπat

`

25 Một thanh đồng chất có chiều dài 2` bị nén nên độ dài của nó còn lại là 2`(1 − ε) Lúc t = 0, người ta buông ra Chứng minh rằng độ lệch u(x, t) của tiết diện có hoành độ x ở thời điểm

t được cho bởi:

u(x, t) = 8ε`

π2

∞

X

k=0

(−1)k+1 (2k + 1)2 sin(2k + 1)πx

(2k + 1)πat 2`

Nếu gốc toạ độ đặt ở trung điểm của thanh

Hướng dẫn: Các điều kiện ban đầu và điều kiện biên là:

u(x, 0) = −εx, ut(x, 0) = 0, ux(−`, t) = 0, ux(`, t) = 0

26 Tìm phương trình dao động dọc của một thanh đồng chất biết đầu x = 0 gắn chặt, còn đầu

x = ` tự do Biết các điều kiện ban đầu

u(x, 0) = ϕ(x)

ut(x, 0) = ψ(x) ĐS:

u(x, t) =

∞

X

k=0

sin(2k + 1)πx

2`

h

Bkcos(2k + 1)πat

2` + Aksin

(2k + 1)πat 2`

i

trong đó

Bk = 2

`

Z `

0

ϕ(x) sin(2k + 1)πx

(2k + 1)π

Z `

0

ψ(x) sin(2k + 1)πx

Trang 6

27 Tìm phương trình dao động tự do của sợi dây hữu hạn có đầu x = 0 được giữ cố định tại gốc toạ độ, đầu x = ` tự do Ban đầu ta kéo điểm đầu x = ` lên độ cao h, vận tốc ban đầu bằng 0

ĐS:

u(x, t) = 8h

π2

∞

X

k=0

(−1)k (2k + 1)2 sin(2k + 1)πx

(2k + 1)πat 2`

Hướng dẫn: Ta giải bài toán với điều kiện ban đầu u(x, 0) = hx

` , ut(x, 0) = 0.

28 Tìm phương trình dao động tự do của sợi dây hữu hạn có đầu x = 0 được giữ cố định tại gốc toạ độ, đầu x = ` tự do Ban đầu sợi dây nằm yên và có vận tốc không đổi bằng v0

ĐS:

u(x, t) = 8v0`

aπ2

∞

X

k=0

1 (2k + 1)2sin(2k + 1)πx

(2k + 1)πat 2`

29 Tìm phương trình dao động tự do của sợi dây hữu hạn có đầu x = 0 được giữ cố định tại gốc toạ độ, đầu x = ` tự do Ban đầu sợi dây có hình dạng được cho bởi u(x, 0) = −εx2 và

có vận tốc không đổi bằng v0

ĐS:

u(x, t) = 8`

π2

∞

X

k=0

1 (2k + 1)2 sin(2k + 1)πx

2`

v0

a sin

(2k + 1)πat 2`

+ 2ε`

2 (2k + 1)π − (−1)

k

cos(2k + 1)πat

2`

30 Tìm phương trình dao động tự do của sợi dây hữu hạn có đầu x = 0 được giữ cố định tại gốc toạ độ, đầu x = ` tự do Ban đầu sợi dây có hình dạng được cho bởi u(x, 0) = 4hx(` − x)

`2 và

có vận tốc tỉ lệ với khoảng cách đến gốc toạ độ

ĐS:

u(x, t) = 8

π2

∞

X

k=0

sin(2k + 1)πx

2`

2v0`2(−1)k (2k + 1)3πasin

(2k + 1)πat 2`

(2k + 1)2(−1)k− 4

(2k + 1)π cos(2k + 1)πat

2`

Hướng dẫn: Ta giải bài toán với điều kiện ban đầu ut(x, 0) = v0x

31 Tìm phương trình dao động tự do của sợi dây hữu hạn có đầu x = 0 tự do, đầu x = ` được giữ cố định Ban đầu sợi dây nằm yên và có vận tốc tỉ lệ với khoảng cách đến gốc toạ độ ĐS:

u(x, t) = −8v0`

2

π2a

∞

X

k=0

1 (2k + 1)2

2 (2k + 1)π − (−1)

k

cos(2k + 1)πx

(2k + 1)πat 2`

Trang 7

32 Tìm phương trình dao động của một sợi dây hữu hạn gắn chặt ở đầu mút x = 0 còn mút

x = ` chuyển động theo quy luật u(`, t) = A sin ωt Biết độ lệch và vận tốc ban đầu bằng không

ĐS:

u(x, t) = A

sinω`a sin

ωx

a sin ωt +

2ωAa`

(kπa)2− (ω`)2(−1)k

∞

X

k=1

sinkπx

` sin

kπat

`

Hướng dẫn: Tìm hàm u(x, t) dưới dạng u(x, t) = V (x, t) + W (x, t), trong đó hàm V (x, t) thoả mãn phương trình dao động tự do với các điều kiện V (0, t) = 0, V (`, t) = A sin ωt, còn hàm

W (x, t) thoả mãn điều kiện W (0, t) = 0, W (`, t) = 0, W (x, 0) = 0,

Wt(x, 0) = −Vt(x, 0)

33 Tìm dao động của một thanh đồng chất có đầu x = 0 cố định, còn đầu x = ` chịu tác dụng của lực Q lên một đơn vị diện tích dọc theo thanh, biết rằng độ lệch và vận tốc ban đầu bằng không

ĐS:

u(x, t) = Qx

8Q`

π2E

∞

X

k=0

(−1)k (2k + 1)2sin(2k + 1)πx

(2k + 1)πat 2`

34 Một sợi dây đồng chất gắn chặt ở hai đầu x = 0 và x = ` Tại thời điểm ban đầu t = 0 được căng lên ở độ cao h ở điểm x = x0 và sau đó buông ra không có vận tốc đầu Hãy tính năng lượng của dao động tử thứ n của sợi dây

ĐS: En= ρ

h2

a2`2

π2n2x0(` − x0)2 sinnπx0

` Chỉ dẫn: năng lượng của dao động tử thứ n của sợi dây dao động ngang là

En= 1 2

Z `

0

h ρ

∂un

∂t

2

+ T

∂un

∂x

2i dx trong đó T là sức căng, ρ là khối lượng trên một đơn vị chiều dài của sợi dây

35 Một màng hình vuông đồng chất cạnh `, lúc t = 0 có độ lệch được xác định theo biểu thức u(x, y, 0) = Axy(` − x)(` − y), dao động không vận tốc đầu Hãy xác định dao động của màng

ở thời điểm t > 0

ĐS:

u(x, y, t) = 64A`

2

π6

∞

X

m=0

∞

X

n=0

1 (2m + 1)3

1 (2n + 1)3 sin(2m + 1)πx

(2n + 1)πy

`

× cosp(2m + 1)2+ (2n + 1)2πat

`

36 Một màng chữ nhật 0 6 x 6 `, 0 6 y 6 m, gắn chặt ở mép, lúc t = 0 bị một xung lượng p tập trung tại tâm của màng sao cho:

p = lim

ε→0

Z Z

σ ε

ρv0dxdy

trong đó ρ là mật độ bề mặt, v0 là vận tốc ban đầu, σε là miền lân cận của tâm của màng Xác định dao động của màng tại thời điểm t > 0

Trang 8

u(x, y, t) = 4p

aπ`mρ

∞

X

k=1

∞

X

n=1

sinkπ

2 sin

nπ 2 r

k

`

2

+

n m

2 sin

r

k

`

2

+n m

2

πat sinkπx

` sin

nπy m

37 Tìm phân bố nhiệt độ trong thanh ở thời điểm t > 0, nếu hai đầu mút của thanh được giữ ở nhiệt độ bằng 0 Tại thời điểm ban đầu t = 0, thanh có nhiệt độ không đổi bằng T0

ĐS:

u(x, t) = 4T0

π

∞

X

n=0

1 2n + 1sin

(2n + 1)πx

−(2n+1) 2 π 2 a 2 t/` 2

38 Tìm phân bố nhiệt độ ở thời điểm t > 0 trong một thanh đồng chất không có nguồn nhiệt,

có độ dài `, có thành bên cách nhiệt, hai đầu được giữ ở nhiệt độ bằng 0, phân bố nhiệt ban đầu có dạng:

ϕ(x) = cx(` − x)

`2

ĐS

u(x, t) = 8c

π3

∞

X

n=0

1 (2n + 1)3 sin(2n + 1)πx

−(2n+1) 2 π 2 a 2 t/` 2

ϕ(x) =

x nếu 0 6 x 6 `/2

` − x nếu `/2 6 x 6 ` ĐS:

u(x, t) = 4`

π2

∞

X

n=0

(−1)n (2n + 1)2 sin(2n + 1)πx

−(2n+1) 2 π 2 a 2 t/` 2

ϕ(x) = shx ĐS

u(x, t) = −2πsh`

∞

X

k=1

k(−1)k (kπ)2+ `2 sinkπx

` e

−k 2 π 2 a 2 t/` 2

41 Tìm sự phân bố nhiệt độ trong một thanh đồng chất,trong thanh không có nguồn nhiệt, có hai đầu mút cách nhiệt Biết nhiệt độ ban đầu trong thanh có dạng:

u(x, 0) = Ax(` − x)

` ĐS

u(x, 0) = A`

6 −

A`

π2

∞

X

n=1

1

n2cos2nπx

` e

−4n 2 π2a2t/`2

Trang 9

42 Tìm phân bố nhiệt trong một thanh đồng chất có đầu mút x = 0 cách nhiệt, còn đầu mút x = ` luôn luôn giữ ở nhiệt độ bằng không Nhiệt độ ban đầu trong thanh không đổi ϕ(x) = u0= const và trong thanh không có nguồn nhiệt

ĐS

u(x, t) = 4u0

π

∞

X

k=0

(−1)k 2k + 1cos

(2k + 1)πx

−(2k+1) 2 π 2 a 2 t/4` 2

43 Tìm phân bố nhiệt trong một thanh đồng chất có đầu mút x = 0 cách nhiệt, đầu mút x = ` luôn luôn được giữ ở nhiệt độ bằng không Trong thanh không có nguồn nhiệt Nhiệt độ ban đầu trong thanh có dạng:

ϕ(x) = cx(` − x)

`2

u(x, t) = 8c

π2

∞

X

k=0

1 (2k + 1)2

h 4(−1)k (2k + 1)π − 1

i cos(2k + 1)πx

−(2k+1) 2 π 2 a 2 t/4` 2

44 Tìm phân bố nhiệt trên một thanh hữu hạn, chiều dài `, có biên x = 0 được giữ cách nhiệt, biên x = ` được giữ ở nhiệt độ bằng 0 Phân bố nhiệt ban đầu trong thanh có dạng ϕ(x) = chx Trong thanh không có nguồn nhiệt

ĐS

u(x, t) = 4πch`

∞

X

n=0

(2n + 1)(−1)n (n + 1)2π2+ 4`2cos(2n + 1)πx

−(2n+1) 2 π2a2t/4`2

45 Tìm phân bố nhiệt độ trên một thanh hữu hạn, chiều dài `, có biên x = 0 được giữ ở nhiệt

độ bằng 0, biên x = ` cách nhiệt Tại thời điểm ban đầu, thanh có nhiệt độ không đổi bằng

T0

ĐS:

u(x, t) = 4T0

π

∞

X

k=0

1 2k + 1sin

(2n + 1)πx

−a 2 (2n+1) 2 π 2 t/4` 2

độ bằng 0, biên x = ` cách nhiệt Tại thời điểm ban đầu, nữa đầu của thanh có nhiệt độ bằng không, còn nữa sau của thanh có nhiệt độ không đổi bằng T0

ĐS:

u(x, t) = 4T0

π

∞

X

k=0

1 2k + 1cos

(2k + 1)π

(2n + 1)πx

−a 2 (2n+1) 2 π 2 t/4` 2

độ bằng 0, biên x = ` cách nhiệt Phân bố nhiệt ban đầu tỉ lệ với khoảng cách từ điểm đó đến gốc toạ độ

ĐS

u(x, t) = 8c`

π2

∞

X

n=0

(−1)n (2n + 1)2sin(2n + 1)πx

−a 2 (2n+1) 2 π 2 t/4` 2

Hướng dẫn: Giải bài toán với điều kiện biên u(0, t) = 0, ux(`, t) = 0, và điều kiện ban đầu u(x, 0) = cx

Trang 10

48 Tìm sự phân bố nhiệt trong một thanh có đầu mút x = 0 cách nhiệt Nhiệt độ môi trường u∗` tiếp xúc với đầu mút x = ` luôn luôn giữ ở nhiệt độ bằng 0 Tại thời điểm t = 0, tất cả các điểm của thanh được nâng lên nhiệt độ không đổi u0 = const Trong thanh không có nguồn nhiệt

ĐS:

u(x, t) = u0

∞

X

n=1

(−1)n−1 2(k

2βn2+ h2)

`(k2β2

n+ h2) + hk

h

βnpkβ2

n+ h2cos βnxe−a2βn2t

Hướng dẫn: Bài toán dẫn đến giải phương trình

ut− a2uxx = 0 thoả mãn điều kiện đầu

u(x, 0) = u0

và điều kiện biên

ux(0, t) = 0 hu(`, t) = −kux(`, t)

49 Tìm nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trình trong miền tròn tâm O bán kính R, biết giá trị trên biên của nghiệm là u(R, ϕ) = R cos ϕ

ĐS:

u(r, ϕ) = r cos ϕ

50 Tìm nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trình trong miền tròn tâm O bán kính R, biết giá trị trên biên của nghiệm là u(R, ϕ) = R2sin 2ϕ

ĐS:

u(r, ϕ) = r2sin 2ϕ

51 Tìm nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trình trong miền tròn tâm O bán kính R, biết giá trị trên biên của nghiệm là u(R, ϕ) = A + B sin ϕ

ĐS:

u(r, ϕ) = A +B

Rr sin ϕ

52 Tìm nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trình trong miền tròn tâm O bán kính R, biết giá trị trên biên của nghiệm là u(R, ϕ) = 2R(cos ϕ + sin ϕ)

ĐS:

u(r, ϕ) = 2r(cos ϕ + sin ϕ)

53 Giải bài toán Dirichlet đối với hình tròn x2+ y2 = r2 6 R2, biết giá trị của nghiệm trên biên

là u(R, ϕ) = 2(x2+ y)

ĐS:

u(x, ϕ) = R2+ 2r sin ϕ + r2cos 2ϕ

54 Tìm nghiệm của bài toán Dirichlet trong hình tròn tâm O bán kính 2, biết giá trị trên biên của nghiệm là u(R, ϕ) = x2− xy + 2

ĐS:

u(r, ϕ) = 4 + r

2

2(cos 2ϕ − sin 2ϕ)

Trang 11

55 Tìm nghiệm của bài toán Dirichlet trong hình tròn tâm O bán kính R, biết giá trị trên biên của nghiệm là u(R, ϕ) = sin3ϕ

ĐS:

u(r, ϕ) = r

4R(3 sin ϕ −

r2

R2sin 3ϕ)

56 Tìm nghiệm của bài toán Dirichlet trong hình tròn tâm O bán kính R, biết giá trị trên biên của nghiệm là u(R, ϕ) = sin4ϕ

ĐS:

u(r, ϕ) = 3

8 −

r2 2R2cos 2ϕ + r

4

8R4 cos 4ϕ

57 Tìm nghiệm của bài toán Dirichlet trong hình tròn tâm O bán kính R, biết giá trị trên biên của nghiệm là u(R, ϕ) = x2y

ĐS:

u(r, ϕ) = r

4(R

2sin ϕ + r2sin 3ϕ)

58 Giải bài toán Dirichlet trong miền chữ nhật (0 6 x 6 a; 0 6 y 6 b) với các điều kiện

u(0, y) = Ay(b − y), u(a, y) = 0, u(x, 0) = 0, u(x, b) = 0 ĐS:

u(x, y) = −8Ab

2

π3

∞

X

n=0

sh(2n + 1)π(x − a)

b (2n + 1)3sh(2n + 1)πa

b

sin(2n + 1)πy

b

u(0, y) = A sinπy

b , u(a, y) = 0, u(x, 0) = 0, u(x, b) = 0

u(0, y) = Ay(b − y), u(a, y) = 0, u(x, 0) = B sinπx

a , u(x, b) = 0 ĐS:

u(x, y) = −8Ab

2

π3

∞

X

n=0

sh(2n + 1)π(x − a)

b (2n + 1)3sh(2n + 1)πa

b

sin(2n + 1)πy

B

shπb a

shπ(y − b)

πx a

u(0, y) = A, u(a, y) = Ay, u(x, 0) = 0, u(x, b) = 0 ĐS:

u(x, y) = A −4Ab

π2

∞

X

n=0

1 (2n + 1)2sh(2n + 1)πa

b

sh(2n + 1)πx

(2n + 1)πy b

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	121,41 KB