Tích phân mặt ôn thi cao học

Trang 1

Người soạn: Nguyễn Anh Quốc Trang 1 quoctoantin2009@gmail.com

TÍCHMẶT LOẠI I

Tóm tắt lý thuyết

∬ f dS hi ch h i S

Tích phân m t lo i một có tính chấ ươ g ự hư ch h hai ớp

i ch c a S ∬ dS

Cách h ch h đường lo i I

g ới h

∬ f dS ∬ f( g )√ (g ) (g ) d d h h chiế c a S g O

∬ đ √ ướ

Giải

√ √ dS √ (√ ) (√ ) d d √ d d

h chiế c a S g O i

∬ dS √ ∬ √ d d Ch a g a độ cực đ c i

√ ∫ d

∫ d √

∬ đ

á ấ

Giải

dS √ d d √ d d

∬ dS √ ∬ d d √ ∫ d ∫ d

√ ∫ d √

BÀI TẬP TRONG GIÁO TRÌNH THẦY NGUYỄN HỮU K ÁN ĐẠI HỌC CẦN T Ơ

1 Tính

∬ á ấ

Trang 2

∬ á ấ

∬

∬ ( ) ớ á Giải

∬ á ấ

dS √ d d

∬ dS ∬ √ d d ∫ d ∫ √ d

√

∫ d

∬ á ấ

dS √ d d

∬ dS ∬ √ d d ∫ d ∫ √ d

√

∫ ( √ √ √ ) |√ d

∫ ( ) d

∬

√R

Trang 3

√R ) (

√R ) d d √ R R d d

R

√R d d

h chiế c a S g O i R

√R d d ch a g a độ cực

R ∫ d

√R R ∫ d

√R R ∫

d

√R

Đ √R R d d

R ∫ R d R (R ) |R R

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II

Tóm tắt lý thuyết

∬ P d d Q d d R d d hi ch h i

Cách tính tích phân m t lo i II

1 Cách 1:Liên h giữa tích phân m t lo i I và tích phân m t lo i II

∬ P d d Q d d R d d ∬ Pc Qc Rc dS

Nhận xét

Nế S c hươ g h h ộc h h chiế c a S g O

N̂ ⃗ ⃗ ⃗

√ ( )

dS √ ( ) d d

N̂ ⃗ ⃗ ⃗

√ ( )

hướ g ới O g c h

N̂ ⃗ ⃗ ⃗

√ ( )

hướ g ới O g c

∬

(

√ ( )

R

√ ( ) )

dS Hay

Trang 4

∬ (P( ) Q( ) ( ) R( )) d d

Dấu + ng với N̂ hướ g

2 Cách 2:Tính tích phân c a những bi u th c đơ giả a đ ổng hợp kết quả Ch ng h hư tính tích phân

∬ R d d

Giả s mỗi đường th ng song song với tr c Oz cắt m t S không quá mộ đi Khi đ hươ g h c a

S có th viế dưới d ng z =z(x,y) với z(x,y) là h đơ ị

G i Dxy là hình chiếu c a S xu ng m t ph ng Oxy

∬ R d d ∬ R d d

Dấu + ng với éc ơ đơ ị N̂ hướng theo phía trên S (t o với Oz một góc nh n)

T ường hợ các đường th ng song song với Oz cắt S nhi hơ ộ đi m ta chia S thành nhi u mảnh nhỏ soa cho mỗi mảnh có tính chấ Khi đ ch h ấy trên S b ng tổng các tích phân lấy trên mảnh nhỏ

Tươ g ự

∬ P d d ∬ P d d

∬ Q d d ∬ Q d d

Tổng hợp l i

∬ P d d ∬ P d d ∬ Q d d

3 Cách 3: Áp d ng công th c Gauss – Ostrogragski

∭ ( P

Q

R )d d d ∬ P d d Q d d R d d

T g đ S bi c a V và tích phân lấy theo m t ngoài c a S

Lư

Khi m t S biên c a mi n kín và lấy theo m t ngoài mới áp d g được công th c Gauss – Ostrograski Công th c Gauss – Ostrograski chỉ áp d g đ chuy n từ tích phân m t lo i II sang tích phân ba lớp còn

đi gược l i không dễ làm

Nế h ∬ P d d Q d d R d d ấ he g i c a S

Mà V là mi được t o bởi S1 và S2

K ∬ P d d Q d d R d d ấ he g i c a S

Trang 5

∭ ( P

Q

R )d d d K

Công th c Stokes

∬ (

) (

) ∫

L là biên c a S, tích phân m t lấy theo phía trên c a S cò ch h đường lấy theo chi dươ g ươ g

ng (theo quy tích v n nút chai)

Lư cô g h c Stokes chỉ đ h ch h đường lo i II sau khi chuy n sang tích phân m t lo i II còn

đi gược l i không dễ dàng

∬ đ á

ớ

Giải

Cách 1 (chuy n sang tích phân m t lo i I)

√ h chiế c a S g O i

√

√ ) (

√ ) d d

d d

√ Phía ngoài c a m t c ươ g ng với phía trên c a S

∬ *

√ √ + d d

Ch a g a độ cực

∫ d ∫ ( c

√

i

√ c ) d ∫ ( c i

c ) d

Cách 2

é ∬ d d

e S c hươ g h √ Ph a g i c a h h c g ới h a c a S

i h h chiế c a S g h g O h

∬ d d

ch a g a độ cực

Trang 6

∫ d ∫ c d ∫ c d ∫ d

é ∬ d d

∬ d d

S

é ∬ d d

∬ √ d d

ch a g a độ cực

∫ d ∫ √ d

Vậ

Cách 3

é S hướ g h a dưới h dươ g O g c

é S S S S hướ g h a g i bi c a i V được ác đị h hư a

V

Áp d ng công th c Gauss - Ostrograski

P Q R

P

Q

R ∬ d d d d d d ∭ ( P

Q

R ) d d d ∭ d d d

ch a g a độ c

∫ d ∫ d ∫ c i c i d ∫ d ∫ d ∫ i c i c d

∫ d ∫ ( i c i c ) d ∫ (

Trang 7

K ∬ d d d d d d ới S hướ g h a dưới

dS d d h h chiế c a S h g O

K

L ∬ d d d d d d ới S hướ g h a dưới dS d d h h chiế c a S h g O

L ∬ d d M ∬ d d d d d d ới S hướ g h a dưới dS d d h h chiế c a S h g O

M

Ta c K L M K L M

ô

∬ đ

Giải P Q R

P

Q

R

∬ d d d d d d ∭ ( P Q R ) d d d ∭ d d d

ch a g a độ c ∫ d ∫ d ∫ i d a a ∮ ớ ế

ượ đ

Giải Áp d ng công th c Stoke P Q R

R

Q

P

R

P

Q

S h ò giới h bởi a hướ g h a

Trang 8

∮ d d d ∬ ( R

Q

)d d (

P R ) d d (

Q P ) d d ∬ d d d d d d Chuy n sang tích phân m t lo i I

∬ d d d d d d √ ∬ dS √ a BÀI TẬP TRONG GIÁO TRÌNH THẦY NGUYỄN HỮU K ÁN Đ CẦN T Ơ 1 Tính ∬ ướ ò

∬

ớ

Giải a ∬ d d S dưới c a ò R

S là m dưới c a m ò hướng c a vecto đơ ị hướng xu ng i h h chiế c a S g h g O hi đ R ∬ d d ∬ d d ch a g a độ cực a được ∫ d ∫ d R b ∬ d d d d d d S h a g i c a Áp d ng công th c Gauss – Ostrogradski P Q R

P

Q

R

V là mi n kín giới h n bởi m t c u a

Trang 9

∬ d d d d d d ∭ ( P

Q

R )d d d ∭ d d d a

c ∬ d d d d d d Với S h a g i c a h

Ta c √

√ √

Phía ngoài c a m t nón ng với vecto pháp tuyến c a m S hướng xu ng

i h h chiế c a S g O hi đ h

∬ d d d d d d

∬ *( √ ) (√ ) ( ) + d d

∬ *( √ ) (

√ ) (√ ) (

√ ) + d d

∬ d d

ch a g a độ cực a được

∫ d

∫ c i d ∫ c i d

∫ d Cách 2: Áp d ng công th c Gauss – Ostrogradski

é ò S h h a ò

Khi đ S S hướ g a g i bi c a i V h

Áp d ng công th c Gauss – Ostrogradski

P Q R

P

Q

R ∬ d d d d d d

∭ ( P

Q

R )d d d ∭ d d d

é K ∬ d d d d d d

h i h h chiế c a S g h g O a c h

K ∬[ h h ( ) ]d d ∬ d d

Trang 10

K ∫ d

∫ c i d

Ta có J=I + K suy ra I = J – K = 0

2 Tính

∬ ớ ậ ớ ở

∬ ớ

Giải

∬ ớ ậ ớ ở

P Q R

P

Q

R ∬ d d d d ∭ ( P

Q

R )d d d ∭ d d d Chuy n sang t a độ tr a được

∫ d

∫ d ∫ d ∫ d

∬ ớ

Giải

P Q R

P

Q

R ∬ d d d d d d ∭ ( P

Q

R )d d d ∭ d d d ∫ d ∫ d

∫ d

∫ d ∫ * + | d

∫ d ∫ *

+ d

Trang 11

3.Tính

∮ đườ ò ế

ớ ấ ượ đ ừ ướ ươ Giải

M h g a g c a độ L đườ g ò L c a c

Á d g cô g h c S e ới S h g giới h bởi L hướ g h a

Ta c P Q R

R

Q

P

R

Q

P ∮ d d d ∬ ( R

Q )d d (

P

R ) d d (

Q

P ) d d ∬ d d d d d d

4.Tính

∮ đườ ò

∮ ế á ớ

Lấ gược chi i đ ng h nhìn từ hướ g dươ g c a tr c Oz

Giải

∮ đườ ò

Đườ g ò L gia c a R ới

Á d g cô g h c S e ới S h g giới h bởi L hướ g h a

Ta c P Q R

R

Q

P

R

Q

P ∮ d d d ∬ ( R

Q )d d (

P

R ) d d (

Q

P ) d d ∬ d d

i h h chiế c a S g h g O d S hướ g h a

a c R

Trang 12

∬ d d

∫ d

∫ i c d ∫ i c d

∫ d R

∮ ế á ớ

Lấ gược chi i đ ng h nhìn từ hướ g dươ g c a tr c Oz

Đườ g ò L ch ế c a a giác C

Á d g cô g h c S e ới S h g C a giới h bởi L hướ g h a

Ta c P Q R

R

Q

P

R

Q

P ∮ d d d ∬ ( R

Q )d d (

P

R ) d d (

Q

P ) d d ∬ d d d d d d

Chuy n sang tích phân m t lo i I

Phươ g h S a

i h h chiế c a S g h g O d S hướ g h a

a c a

∬[ a ( ) ]d d

∬[ a ]d d

∬ a d d

∫ d ∫ a d

∫ a a d ∫ a d

( a ) | a a

ĐỀ THI THẠC SĨ CÁC NĂM

Đợ Đ ơ

∯

ấ

Giải

é V ậ h giới h bởi V a a

V h ậ h giới h bởi S ch h ấ he h a g i S

Ta c P Q R

Trang 13

P

Q

R ∯ d d d d d d ∭ ( P

Q

R )d d d ∭ d d d

Ch a g a độ c a được

c i i i c hi đ a c i V a ∫

∫ ∫ d a

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	361,4 KB