Người soạn: Nguyễn Anh Quốc Trang 9 quoctoantin2009@gmail.com ĐỀ THI THẠC SĨ CÁC NĂM 1.
Trang 1Người soạn: Nguyễn Anh Quốc Trang 1 quoctoantin2009@gmail.com
TÍCH PHÂN BA LỚP
Tóm tắt lý thuyết
∭ ( ) ∫ ∫
( ) ( ) ∫ ( )
( ) ( ) Đổi biến số Đ { ( )
( )
( )
ế ổ {
( )
( )
( )
( )
( ) | |
∭ ( ) ∭ ( ( ) ( ) ( ))
Chuyển sang tọ ộ trụ Đ {
( ) ( )
( )
( ) | | |
|
∫ ∫
( ) ( ) ∫ ( )
Chuyển sang tọ ộ cầu Đ {
( )
( ) | | |
|
∭ ( ) ∭ ( )
ụ ∭( ) * +
Giải ∭( ) ∫ ∫ ∫( ) ∫ ∫ (( ) | +
Trang 2Người soạn: Nguyễn Anh Quốc Trang 2 quoctoantin2009@gmail.com
∫ ∫( ) ∫ (( ) | + ∫ ( * ( ) |
ụ ∭ * +
Giải ∭ ∫ ∫
∫
∫ ∫ (( ) | +
∫ ∫ ( )
∫ ∫ ( )
∫ ∫ ( )
∫ (( ) | + ∫ (
)
ụ ∭ { }
Giải Đ {
( )
( )
∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
ụ ∭( )
* ( ) +
Giải Đ {
( )
( ) | | |
|
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
4
2
-2
-4
Trang 3Người soạn: Nguyễn Anh Quốc Trang 3 quoctoantin2009@gmail.com
ụ ∭ √ * +
Giải
Đ {
( ) ( ) | | | |
∫
∫ ∫ ∫
∫( )
ụ ∭( ) { √ }
Giải
Đ {
√
( )
( )
∫
∫ ∫
√
∫ ∫
√
√
ụ ∭( )
* ( ) +
Giải
Đ {
( )
( )
∫
∫ ∫ ( )
BÀI TẬP TRONG GIÁO TRÌNH THẦY NGUYỄN HỮU HÁNH (ĐH CẦN HƠ) ∫ ∫ ∫
∫ ∫ (( ) |√ +
4
2
-2
-4
Trang 4Người soạn: Nguyễn Anh Quốc Trang 4 quoctoantin2009@gmail.com
∫ ∫( ( )) ∫ ∫( )
∫ (( ) | + ∫ ( )
∭
* +
* +
Giải * +
∭
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( *
∫ ∫ ( )
∫ ( | | | ) ∫( ( ) ( ))
∫ ( ) ∫ ( )
Vì ∫ ( ) ( ) | ∫
∫ ( ) ( ) | ∫
* +
∭
∫ ∫
∫
∫ ∫
∭ ( ) { √ }
Giải ∫ ∫
√ ∫ ( )
∫ ∫ ( ( ) | )
√ ∫ ∫ ( )
√ ∫ ( ) ∫
4
2
-2
-4
Trang 5Người soạn: Nguyễn Anh Quốc Trang 5 quoctoantin2009@gmail.com
∭ { √ ( )}
∭ √ * +
∭( ) * +
Giải
∭ { √ ( )}
Đ {
( ) ( ) | | | |
∫
∫ ∫ ∫( ) ( ) |
∭ √ * +
Đ {
( ) ( ) | | | |
∫
∫ ∫ ∫( ) ( ) |
∭( ) * +
Đ {
( ) ( ) | | | |
4
2
-2
-4
4
2
-2
-4
4
2
-2
Trang 6Người soạn: Nguyễn Anh Quốc Trang 6 quoctoantin2009@gmail.com
∫ ∫ ∫ ∫ ( ) (
) |
ể ọ ộ ụ ọ ộ ầ
∫
√
√
∫
Giải
∫
√
√
Đ {
√
( )
( ) | | |
|
∫ ∫
∫ ∫ √
∫ ∫ √ ( )
∫ ((√ ) | * ∫ ((√ ) *
∫ ((√ ) * ∫( ) ( *
( )
∫
Đ {
4
2
-2
-4
Trang 7Người soạn: Nguyễn Anh Quốc Trang 7 quoctoantin2009@gmail.com
( )
∫
∫ ∫ ∫ ∫
6 Tính các tích phân sau trong hệ tọ ộ cầu ∭ * +
∭ √ * +
∭( ) * ( )+
Giải ∭ * +
Đ {
( )
( )
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∭ √ * +
Đ {
( )
( )
∫ ∫ ∫
∭( ) * ( )+
Đ {
Trang 8
Người soạn: Nguyễn Anh Quốc Trang 8 quoctoantin2009@gmail.com
( ) ∫
∫ ∫
( )
BÀI TẬP LÀM THÊM Tính các tích phân sau (Từ ến 4)
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
√
∫ ∫
√
√
Giải
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ( | ) ∫ ∫ ( ) ∫ (
| ) ∫
∫ ∫ ∫
√ ∫ ∫ (√ | ) ∫ ∫(√ √ ) ∫ (((√ ) (√ ) ) | )
∫ ((√ ) (√ ) )
((√ ) (√ ) ) | ((√ ) (√ ) √ )
∫ ∫
√
√
∫ ∫ ( |√ ,
√
∫ ∫ √
√
∫ (((√ ) (√ ) ) | )
∫ ((√ ) (√ ) )
((√ ) (√ ) ) |
Trang 9Người soạn: Nguyễn Anh Quốc Trang 9 quoctoantin2009@gmail.com
ĐỀ THI THẠC SĨ CÁC NĂM
1 Đ ĐH Cầ
ể ể ầ ụ
Giải Cách 1: Tính gián tiếp ể ố ầ ể ố ầ
ọ ể ể ầ
ể ể
{ √ √ √ √ √ √ }
ể ố O O
∫ ∫
√
√
∫ √
∫ ∫ √
√
√
C ể ọ ộ Đ
∫ ∫ √
∫ (√ ) | ∫( )
Cách 2: Tính tr c tiếp ọ ể ể ầ ố O O
ể { √ √ }
∫ ∫ √
√
C ể ọ ộ
∫ ∫ √
∫ ∫ √ ( )
∫ ( )
Đ ầ
C ộ ộ
ể
ể ố
∭( )
Giải *( ) +
4
2
-2
-4
3
2
1
-1
-2
Trang 10Người soạn: Nguyễn Anh Quốc Trang 10 quoctoantin2009@gmail.com
∭ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ( )
∭( ) ∫
∫ ∫( ) ∫
∫( )
Đ ầ
∭ ể
Giải
∭ ∫ ∫
∫
∫ ∫
∫ ( )
2
1
-1
-2