pp tìm cực trị

Chủ đề :Phương pháp tìm cực trị địa phương và cực trị có điều kiện... Nguyễn Thị Ngọc Tú Phi Thị Tươi Bùi Thị Uyên Nguyễn Kim Xuyến Nguyễn Ngọc Yến Bùi Văn Hùng Vũ Thị Thủy Lê Thị Ninh

Chủ đề :

Phương pháp tìm cực trị địa phương

và cực trị có điều kiện

Nguyễn Thị Ngọc Tú Phi Thị Tươi

Bùi Thị Uyên Nguyễn Kim Xuyến Nguyễn Ngọc Yến Bùi Văn Hùng

Vũ Thị Thủy

Lê Thị Ninh

Văn Thị Thu Giang Trịnh Thị Thu Huyền Nguyễn Mai Sen

Vũ Đức Thiện Chantha Phouthasone Nguyễn Văn Tuyến Nguyễn Thị Huế

Cực trị có điều kiện

Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên D Ta nói rằng hàm số đạt cực đại địa phương(cực tiểu địa phương) tại điểm M0 (x0;y0) D, nếu tồn tại một lân cận U của điểm M0 (x0;y0) sao cho với mọi (x;y) U, (x,y)≠(x0;y0)

1 Định nghĩa

Ta có: f (x,y) < f (x0;y0)

hoặc f (x,y) > f (x0;y0)

Điểm M0 (x0;y0) được gọi là điểm cực đại địa phương (cực tiểu địa phương) của hàm số z = f (x;y) và f (x0;y0) được gọi là giá trị cực đại địa phương (giá trị cực tiểu địa phương) gọi tắt là CĐĐP (CTĐP) gọi chung là cực trị địa phương

∈

∈

2 Điểm dừng

Điểm M0 (x0;y0) được gọi là điểm dừng của hàm số z = f (x;y) nếu:

Bổ đề: Nếu hàm số z = f (x;y) khả vi trong miền D, có cực trị địa phương tại điểm P D thì tại điểm nay các đạo hàm riêng

bằng 0

Nhận xét: Một hàm số có thể không có đạo hàm riêng tại các điểm cực trị địa phương của nó.

∈

VD: Z =

Z ≥ 0 x,y R2

Z = 0  Hàm số đạt cực tiểu địa phương tại O(0,0), zCT = z (0,0) = 0

        (0,0) = =

        (0,0) = =

=> không xác định

=> không xác định

x

z

∂

∂

y

z

∂

∂

3.Phương pháp tìm cực trị địa phương của một hàm số khả vi trong miền D

Z = f (x;y) khả vi trong (D)

• Tìm điểm dừng của hàm số từ việc giải hpt

• Giả sử P (a,b)

• ∆ = AC - B2

• hàm số có cực tiểu địa phương tại P(a,b)

• hàm số có cực đại địa phương tại P(a,b)

• A = (a,b)2 B= (a,b); C= (a,b)

2

.x

x

∂

∂

y x

z

∂

∂

∂2

2

2

y

z

∂

∂

• ∆ < 0  Không đạt cực trị tại P

• ∆ = 0  Chưa kết luận được

Khi đó ta xét số gia ∆

∆ (x0 + ∆x, y0 + ∆y ) = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y ) – f (x0;y0) Nếu

VD: Tìm cực trị của hàm số z = x2 – xy + y2 – 2x + y

Hàm số khả vi trên R2

=> điểm dừng P (1,0)

A = (1,0) = 2

B= (1,0) = -1

C= (1,0) = 2

∆ = AC - B2 = 2.2 – 1 = 3 > 0

A = 2 > 0

Hàm số đạt cực tiểu địa phương tại P (1,0)

2

2

.x

x

∂

∂

y x

z

∂

∂

∂2

2

2

y

z

∂

∂

VD: Tìm cực trị địa phương của hàm số

f(x,y) = x4 + y4 – 2(x-y)2 TXĐ: D = R2

hay













− +

=

−

−

=

) (

4 4

) (

4

4

3 '

3 '

y x

y z

y x

x z

y

x









+

= +

=

− +

+

−

=

−

−

−

=

−

) (

4

0 )

2 )(

( 4 )]

( 2 )

[(

4

3 3

' '

2 2

3 '

'

y x

z z

xy y

x y x

y x

y x

z z

x y

y x









=

− +

=

−

−

0 )

( 4 4

0 )

( 4

4

3

3

y x

y

y x

x









=

=

0

0

'

'

y

x

z

z







−

=

−

=

=

−

3 3

0

x x

y

y

Điểm dừng P1 (0,0), P2 (, -, P3(- )

a điểm dừng P1 (0,0)

A = (0,0) = -4 B= (0,0) = 4 C= (0,0) = -4







−

=

=

x y

y x







−

=

=

− +

+

x y

xy y







=

=

0

0

y

x









−

=

=

2

2

y

x









=

−

=

2

2

y x

; 4

12

2 2

2

−

=

∂

x

x

; 4

2

=

∂

∂

∂

y x

z

4

12 2 2

2

−

=

∂

y z

2

2

.x

x

∂

∂

y x

z

∂

∂

∂2

2

2

y

z

∂

∂

∆ = AC - B2 = (-4).(-4) – 42 = 0

Xét

đủ lớn để Khi đó:

Do đó f (X0) không là cực đại địa phương của f

Xét

đủ lớn để Khi đó:

Ta chọn được m đủ lớn để

R) (n

) n

1 , n

1 (

n

0,

r > ∃

0

2 0

0

1

1 )

f(X )

f(Xn − 0 = 4 + 4 + − = 4 >

n n

n

R) (m

,0) m

1 (

Xm ∈

m

0,

r > ∃

4 2

4 0

m

2 1

1 )

f(X )

f(X

m m

m

−

=

−

=

−

0

2

4 <

−

m

Do đó f (X0) không là cực tiểu địa phương của r

b tại điểm dừng P=(±);

A = (±) = 20

C= (±); = 20

∆ = AC - B2 =20.20 – 42 = 384>0

Ta lại có: A=20>0

=> f (X0) là cực tiểu địa phương của f

2

2

.x

x

∂

∂

y x

z

∂

∂

∂2

2

2

y

z

∂

∂

Bài toán tìm cực trị có điều kiện là bài toán tìm cực trị thông thường của hàm số u = f (x1,x2,…,xn) với các điều kiện ràng buộc Fi (x1,x2,…,xn)

i = 1…m , m<n

Tìm cực trị của hàm số u = f (x,y) với điều kiện ràng buộc

Trường hợp 1: Nếu từ rút ra y = g(x) thì bài toán tìm cực trị trên trở thành bài toán tìm cực trị của hàm số một biến số u = f(x,g(x))

Trường hợp 2: Nếu từ không rút ra được y thì dùng phương pháp nhân tử Lagrange

Bước 1: Thành lập hàm Lagrange

( gọi là nhân tử Lagrange )

0 )

, ( x y =

ϕ

0 )

,

ϕ

0 )

,

ϕ

y) (x, y)

(x, f

y) (x,

Tìm M0(x0,y0, ) từ hệ :

Tính vi phân cấp 2 của hàm số F từ điều kiện ràng buộc

Thay vào

λ











=

=

=

0 y)

(x,

0 y)

(x, F

0 y)

(x, F

y '

x '

ϕ

0 y)

(x, =

ϕ

0 dy

.dx ' y

x

y ' x '

ϕ

ϕ

−

=

=>

2

2F ( x , y ) G ( x , y , ) dx

Nếu > 0 => là điểm cực tiểu

Nếu < 0 => là điểm cực đại

2

) , , ( x y dx

G λ M ( x0, y0)

2

) , , ( x y dx

G λ M ( x0, y0)

VD: Tìm cực trị của hàm số z = 6 – 4x – 3y với dx: x2 + y2 = 1

Hàm





Thế (1),(2) vào (3)

1 x

y)

ϕ

) 1 (x

3y

-4x

-6 y)

(x, y)

f(x, y)











=

=

=

0 )

, (

0

0 '

'

y x

y F

x F









=

− +

= +

−

= +

−

0 1

0 2

3

0 2

4

2

x

y

x

λ λ



















=

− +

=

=

(3)

0 1

y x

(2)

2λ

3 y

(1)

λ

2 x

2 2

(3) 

=>



=>



0 1

) 2

3 ( )

2 ( 2 + 2 − =

λ λ

0

1 4

9

4

2

λ

25

2 − =

λ

2

4













−

=

=

2 5 2 5

λ λ

) 5

3 , 5

4 ( M

5

3

y

; 5

4 x

2

5

) 5

3 , 5

4 -( M

5

3

y

; 5

4 x

2

5

Điểm M1( ,) là điểm cực tiểu

M2( ,) là điểm cực đại

λ

.

2 2

2

=

∂

∂

x

x

0

2

=

∂

∂

∂

y x

2

=

∂

∂

y z

) (

2

2

2

2 2

2

2

y

F y

x

F dx

x

F F

∂

∂ +

∂

∂

∂ +

∂

∂

=>

>

=>

= d F(M1) 0

2

5

=>

<

=>

−

= d F(M1) 0

2

5

Cảm ơn cô và các bạn đã lắng nghe