Gọi N là giao điểm của đường thẳng ME với AK.. Trong một đội thanh niên tình nguyện gồm 2015 người, cứ bốn người bất kì có thể chọn ra được ít nhất một người quen với ba người còn lại..
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG.
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRẠI HÈ HÙNG
VƯƠNG LẦN THỨ XI
MÔN THI: TOÁN - LỚP: 10
(Thời gian: 180 phút không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 01 trang
Câu 1(4 điểm) Giải hệ phương trình
2
Câu 2 (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AK Trong tam giác
ACK, kẻ đường phân giác AE Gọi M là trung điểm AC Gọi N là giao điểm của đường thẳng ME với AK Chứng minh rằng BN và AE song song với nhau.
Câu 3 (4 điểm) Cho ba số dương a, b, c Chứng minh rằng
Câu 4 (4 điểm) Trong một đội thanh niên tình nguyện gồm 2015 người, cứ bốn người
bất kì có thể chọn ra được ít nhất một người quen với ba người còn lại Hỏi có thể có bao nhiêu người trong đội quen với tất cả?
Câu 5 (4 điểm) Cho đa thức P x( ) ( = x2 − 2)(x2 − 3)(x2 − 36). Chứng minh rằng với mọi số
nguyên tố p đều tìm được số tự nhiên n để P(n) chia hết cho p.
.Hết
Trang 2ĐÁP ÁN + BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KHỐI 10.
1
Câu 1(4 điểm) Giải hệ phương trình
2
4.0đ
1
.
4 1 0
x
y
≥
2
2 2
2
Thay vào pt thứ hai ta được
5 1 2 3 3 4
5 1 2 3 3
2 3 5 1 3 0
5 1 1 3 8.
2 2 1
x
x
y
⇔ =
Thoả mãn điều kiện.Vậy hệ có nghiệm là ( )x y; = (8,2 2 1) −
1.5
2
0.5
2
Câu 2 (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AK
Trong tam giác ACK, kẻ đường phân giác AE Gọi M là trung điểm
AC Gọi N là giao điểm của đường thẳng ME với AK.Chứng minh
rằng BN và AE song song với nhau.
4.0đ
(Kí hiệu AEB là góc AEB)
Ta có AEB=ACE+CAE, BAE=BAK+KAE, ACB=ABE, CAE=KAE.
Do đó AEB=BAE hay tam giác ABE cân tại B.
1đ
Kẻ đường cao EP của tam giác ABE Ta được EP=AK và EP//AC. 1đ
Trang 3Kết hợp với định lý Talet ta có AK EP BP BK.
AC = AC = BA = BE
Theo tính chất đường phân giác ta lại có AK EK.
AC = EC
Do đó BK EK(1).
BE = EC
Áp dụng định lý Menelauyt cho tam giác ACK với ba điểm đường
thẳng cắt AC tại M, CK tại E và AK tại N, ta có
1 (2)
MA NK EC = ⇒ EC = NA
1đ
Từ (1) và (2) suy ra
/ /
BN AE
NA = BE ⇒ (Theo định lý Talet đảo).
1đ
Câu 3 (4 điểm) Cho ba số dương a, b, c Chứng minh rằng
4.0đ
Không giảm tổng quát, giả sử c là số lớn nhất trong ba số a, b, c.
3
3
(1) ( 3 )( 3 )( 3 ) 25( )( )( )
3 ( ) 9 ( ) 27
25[ ( ) ( ) ]
4 9 27 25( )
4 13 0.(2)
S S a b c S ab bc ca abc
1.5đ
Ta chứng minh (2) đúng Thật vậy,
3
2 2 2 2
(2) ( ) 4( )( ) 13
=( )[( ) -4( )] 13
= ( )[( ) -4 ] 13
=( )( ) -4 ( ) 13
( )( ) (9 4 4
a b c a b c ab a b c abc
a b c a b c ab c a
(do 9 4 4 0).
b
>
1.5đ
Trang 4Câu 4 (4 điểm) Trong một đội thanh niên tình nguyện gồm 2015
người của một tỉnh cứ bốn người bất kì có thể chọn ra được ít nhất
một người quen với ba người còn lại Hỏi có thể có bao nhiêu người
quen với tất cả?
4.0đ
Rõ ràng có thể xảy ra trương hợp 2015 người quen tất cả 0.5 đ Nếu có hai người không quen nhau, giả sử là A và B Khi đó 2013
người còn lại quen lẫn nhau vì nếu có hai người C, D trong 2013
người đó không quen nhau thì nhóm bốn người A, B, C, D không có
ai quen với ba người còn lại
1đ
Nếu A, B đều quen với 2013 người còn lại thì ta có 2013 người quen
với tất cả
Nếu A không quen với một người C nào đó trong 2013 người còn lại
Khi đó xét nhóm A, B, C, D (với D là một người khác C trong nhóm
2013 người còn lại) tồn tại một người quen với 3 người còn lại Rõ
ràng người đó phải là D, nghĩa là D quen với A, B
Như vậy 2012 người trừ A, B, C quen với tất cả
Vậy số người có thể quen với tất cả chỉ có thể là 2012, 2013, 2015
2.5đ
5
Câu 5 (4 điểm) Cho đa thức P x( ) ( = x2 − 2)(x2 − 3)(x2 − 36). Chứng
minh rằng với mọi số nguyên tố p đều tìm được số tự nhiên n để P(n)
chia hết cho p.
4.0đ
Nếu p =2 thì ta chọn n =2 thì P(2) chia hết cho 2.
Nếu p =3 thì ta chọn n =3 thì P(3) chia hết cho 3.
Xét số nguyên tố p > 3 Giả sử không tồn tại số tự nhiên n để P(n)
chia hết cho p.
Ta có với ∀ ∈n ¥ thì (n2 − 2)(n2 − 3)(n2 − 36) không chia hết cho p.
1đ
Suy ra n2 không đồng dư với 2 mod p, n2 không đồng dư với 3 mod p.
Suy ra 2, 3 là các số không chính phương mod p.
Do đó
1 1
2 1(mod ),3 1(mod )
6 1(mod )
p
p
−
Suy ra 6 là số chính phương mod p.
Tồn tại số tự nhiên k sao cho 6 ≡k2 (mod )p ⇒ 36 ≡k4 (mod ).p
2đ
Do đó tồn tại số tự nhiên m = k2 để 2
36(mod ) ( )
Trang 5Mâu thuẫn với giả sử, hay giả sử sai Vậy ta có điều phải chứng minh.