5 điểm Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, phân giác trong AD, Đường tròn đường kính AD cắt đường thẳng BC tại H, cắt đường thẳng AB tại M và cắt đường thẳng AC tại N.. Chứng minh rằng các đ
Trang 1(Đề thi HSG lớp 10, trại hè Hùng Vương lần VIII, năm học 2012 – 2013)
Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1 (5 điểm)
Giải phương trình sau: ( ) 2 2 3
2
x
Câu 2 (5 điểm)
Giải hệ phương trình:
12
3 12
3
x
y
Câu 3 (3 điểm)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: 9(a4+ +b4 c4)−25(a2+ +b2 c2)+48 0=
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
Câu 4 (5 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, phân giác trong AD, Đường tròn đường kính AD cắt đường thẳng BC tại H, cắt đường thẳng AB tại M và cắt đường thẳng AC tại N Chứng minh rằng các đường thẳng CM,
BN, AH đồng quy
Câu 5 (1 điểm)
Chứng mih rằng trong dãy 9; 99; 999;9999; có vô số số hạng chia hết cho 17
Trang 2Đáp Án
Câu 1 Điều kiện: 2
2
x ≥
Phương trình tương đương với: 2 3( x+1) 2x2− =1 10x2+3x−6
4 2x 1 2 3x 1 2x 1 2x 3x 2 0 (1)
Đặt 2x2− =1 t t( ≥0)khi đó phương trình (1) trở thành:
4t −2 3x+1 t+2x − − =3x 2 0 (2) phương trình (2) có nghiệm:
' 3x 1 4 2x 3x 2 x 3
∆ = + − + − = − phương trình (2) có nghiệm:
( ) ( )
2
2
2 1
2 1
2
x
t
+ − −
−
2
2
2
2 60
7 4 8 0
7 1
2 60 2
7
4 4 5 0
x
x
x
≥ −
+ − =
(thoả điều kiện )
Vậy phương trình có 2 nghiệm 2 60
7
7
Câu 2 Điều kiện: x≥0; y 0;;≥ y+3x≠0
+ Nhận xét x≠0,y≠0
+ Với x≠0,y≠0
1 3
12 2
3 3
12 6
3
x
y
1 9 12
6 27 0 ( ) 6( ) 27 0 3; 9 3
−
Với y 3 y 3x
1 3 ; 3 1 3
Câu 3 Từ giả thiết 9(a4+ +b4 c4)−25(a2+ +b2 c2)+48 0=
2
2
16
3
Biến đổi
P
2
+ +
Trang 3Lại có: a b b c c a a ab b bc c ca2 + 2 + 2 = + + ≤ (a2+ +b2 c2) (a b2 2+b c2 2+c a2 2)
( 2 2 2)2
3
3
Từ đó 2 2 2 1
3
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c =1 GTNN của P = 1
Câu 4 Cách 1
Xét tích T MA HB NC (1)
MB HC NA
=
Do AD là phân giác của ¼BAC nên DB AB (2)
Do tứ giác AMDN nội tiếp nên ta có
Do AD là phân giác của ¼MAN và AD là đường kính nên
AM = AN (4)
Thay (2), (3), (4) vào (1) ta được
T
Do đó các đường thẳng CM, BH, AH đồng quy
Cách 2
Ta chứng minh bài toán cho cả elip và đường tròn như sau: “Elip hoặc đường tròn (E) cắt cạnh BC, CA, AB của ∆ABCở A1,A2; B1,B2; C1,C2 Chứng minh rằng nếu AA1, BB1, CC1 đồng quy thì AA2, BB2, CC2 cũng vậy”
Thật vậy, áp dụng định lý carnaot: “Cho đường cong bậc hai:
F x, y =ax +2bxy cy+ +2dx 2ey f+ + =0 C
Ai, Bi, Ci (i = 1, 2) lần lượt chia cạnh BC, CA, AB của
∆ABC theo tỉ số α β γi, ,i j (Ai, Bi, Ci ≠ đỉnh) Vậy thì: Ai, Bi, Ci ∈
(C) ⇔ α α β β γ γ =1 2 1 2 1 2 1 ", ta có:
AA , BB ,CC đồng quy ⇒ α β γ1 1 1= -1 nên từ
1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 AA , BB ,CC2 2 2
α α β β γ γ = ⇒ α β γ = − ⇒ đồng quy
Quay trở lại bài toán trên, ta thấy đường tròn đường kính AD cắt ba cạnh của tam giác ABC tại 6 điểm H, D; N,A; A,M mà AD, BA, CA đồng quy tại A nên AH, BN, CM đồng quy
Câu 5 Vì (17, 10) = 1 (1) và 17 là số nguyên tố nên theo định lý Fecma nhỏ ta có:
(1017 −10 17)M ⇒10 10( 16−1 17)M (2)
Từ (1) và (2) suy ra 16 16 ( )
10 −1 17M ⇒10 ≡1 mod17
Do đó, với mọi n nguyên dương thì 16.n ( ) 16.n
10 ≡1 mod17 ⇒10 −1 17M
Trang 4Mặt khác 16.n {
n.16
10 − =1 99 9
Vậy có vô số số hạng của dãy 9; 99; 999;9999; chia hết cho 17