4 điểm Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O.. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.. Gọi I, J, M lần lượt là trung điểm của AH, EF, BC; P, Q lần lượt là các giao điểm của EF với cá
Trang 1SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ ĐỀ THI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2014-2015
Môn: Toán; Lớp: 10
ĐỀ ĐỀ NGHỊ Thời gian: 180 phút không kể thời gian phát đề
Câu 1 (4 điểm)
Giải hệ phương trình:
Câu 2 (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE,
CF cắt nhau tại H Gọi I, J, M lần lượt là trung điểm của AH, EF, BC; P, Q lần lượt là các giao điểm của EF với các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O); MF cắt AD tại L; ME cắt đường thẳng qua F và song song với BC tại K
a) Chứng minh MP//CF, MQ//BE
b) Chứng minh IJ luôn đi qua điểm cố định khi (O) và BC cố định, A di động trên cung »BC
c) Tính góc giữa hai đường thẳng IK và EL?
Câu 3 (4 điểm) Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn:
2( ) ( ) ( ) (3 ) (3 )
Câu 4 (4 điểm) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x; p; n) với p là số nguyên tố
thỏa mãn phương trình:
(x−1)(x2 +7x+21 11)= (p n−6)
Câu 5 (4 điểm): Cho tập S = {1;2;3; ;2015}
a) Tìm k nhỏ nhất với k là số phần tử của một tập con bất kì của S để tập đó chứa ít nhất 3 số nguyên liên tiếp
b) Tính số tập con gồm 16 phần tử của S thỏa mãn điều kiện có ít nhất 3 số
nguyên liên tiếp trong tập đó
- Hết
-Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
………
Người phản biện Trần Thị Kim Diên
SĐT: 0983496088
Người ra đề Triệu Văn Dũng SĐT: 0915
Trang 2SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ ĐỀ THI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2014-2015
Môn: Toán; Lớp: 10
HƯỚNG DẪN CHẤM
1 Câu 1 (4 điểm)
Giải hệ phương trình:
4
ĐKXĐ: x2 + 4y2 − 8 ≥ 0; y2 +x− 3 ≥ 0
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki cho (1) ta có:
3 2
2 )
3 2
( ) 2 ( 2 ) 8 4 (
2 x2 + y2 − = x− 2 + y2 +x− 2 ≥ x− + y2 +x−
= y2 +x− 3 + 2 y2 +x− 3 + 1 −y2 = ( y2 +x− 3 + 1 −y)( y2 +x− 3 + 1 +y)
1
Dấu bằng xảy ra <=> x− 2 = 2 y2 +x− 3
<=>
( 4) (2 ) 2
x
≥
(2) <=> (x-y-1)(2x+2y-15) = 0
<=> y =x− 1(4) hoặc
2
2
15 x
y= −
(5)
1
+) Từ (4) và (3) ta được phương trình: y2 + 2y− 3 = 0
<=> (x; y) = (2 ; 1) (thỏa mãn) hoặc (x;y)= (− 2 ; − 3)(loại)
1
+) Từ (5) và (3) ta được phương trình: 3x2 − 52x+ 209 = 0
<=> (x; y) = (
2
7
;
11 −
); (
6
7
; 3
19 )
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm (x; y) là
S = {(2 ; 1); (
2
7
;
11 −
); (
6
7
; 3
19 )}
1
2 Câu 2 (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD,
BE, CF cắt nhau tại H Gọi I, J, M lần lượt là trung điểm của AH, EF, BC P, Q
lần lượt là giao của EF với tiếp tuyến tại B và C của (O) MF cắt AD tại L, ME
cắt đường thẳng qua F và song song với BC tại K
a) Chứng minh MP//CF, MQ//BE
b) Chứng minh IJ luôn đi qua điểm cố định khi (O) và BC cố định, A di động
4
Trang 3trên »BC
c) Tính (IK,EL)?
a) Ta thấy tứ giác BCEF nội tiếp (M) đường kính BC, do đó
AFE= ACB⇒PFB FBP= , suy ra tam giác PFB cân tại P, ta được PB=PF.
Mặt khác, ta có MB=MF nên MP trở thành trung trực của BF
Suy ra MP⊥ BF hay MP//CF Tương tự, có MQ//BE (đpcm)
1,5
b) Ta đi chứng minh IJ đi qua M là điểm cố định:
Nhận thấy tứ giác AFHE nội tiếp (I) đường kính AH, do đó IE=IF=AH/2
Mà ME=MF=BC/2, suy ra MI là đường trung trực của EF
Hay MI đi qua J Vậy IJ luôn đi qua M khi A di động trên »BC (đpcm)
1,5
c) Ta sẽ chỉ ra IK ⊥EL như sau:
Do FK//BC nên FK ⊥IH suy ra LK2 −IK2 =LF2 −IF2
Theo định lí Pythagore cho các tam giác IEK, IFL ta biến đổi:
IL2 −IE2 =IL2 −IF2 =FL2
Và KL2 −KE2 =KL2 −IK2 +IE2 =FL2 −IF2 +IE2 =FL2
Suy ra KL2 −KE2 =IL2 −IE2, hay IK ⊥EL
Vậy (IK EL, ) = π/2
1
3 Câu 3 (4 điểm) Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số thức thỏa mãn:
2( ) ( ) ( ) (3 ) (3 )
Giả sử tồn tại đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn bài toán
Từ GT ta thay x bởi 2y, suy ra:
2 (2 ) ( ) ( ) (5 ) ( )
P y =P y P y− +P y P y (1) với mọi y thuộc ¡
1
Trang 4*) Nếu P(x)=c (const), suy ra c2 = 2c2 hay c=0, suy ra p x ( ) 0 ≡ với mọi x
(thỏa mãn)
*) Nếu P(x) khác hằng số, giả sử P(x) có dạng
0
n i i i
a x
=
∑ (n∈ ¥ * ,a n ≠ 0), so sánh hệ
số dẫn đầu 2 vế (1) ta thấy:
22n 2 ( 1)n 2 5n 2
a = − a + a
Hay 4n = − ( 1)n + 5n
1
+) Nếu n chẵn, suy ra điểu vô lí vì 5n + >1 4n với mọi n thuộc *
¥ +) Nếu n lẻ, suy ra 4n + =1 5n suy ra n=1
Suy ra P(x)=ax+b (a≠ 0) Mà từ GT, thay x=y=0 ta được P(0)=0, nên b=0
1
Thay P(x)=ax vào GT ta có:
a x2 2 = −a x y2 ( − ) 2 +a2 (9y2 −x2 ) với mọi x,y thuộc ¡ ,
2 2
3x 2xy 8y 0
⇔ − − = với mọi x,y thuộc ¡ (Vô lí) Vậy p x ( ) 0 ≡ là đa thức duy nhất thỏa mãn bài
1
4. Câu 4: Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x; p; n) với p là số nguyên tố thỏa mãn phương trình:
( x − 1 )( x2 + 7 x + 21 ) = 11 ( pn − 6 )(*)
4
(*) <=> x3 + 6 x2 + 14 x − 21 = 11 pn − 66
<=> ( x + 5 )( x2 + x + 9 )= 11 pn
Gọi d = (x+ 5 ; x2 +x+9), d∈N*
=> x+ 5 d và x2 +x+ 9 d
=> x+ 5 d và (x− 4 )(x+ 5 ) + 29 d
=> 29 d (1)
1
=> d ∈{ 1 ; 29 }
+) Nếu p = 11 =>(x+5)(x2 +x+9) =11n+1(2)
Mà x2 +x+ 9>x+ 5 do <=> x2 + 4 > 0
Nên kết hợp (1) và (2) suy ra x2 +x+9=11n+1 và x+5 =1
(vô lí vì x∈ N*nên x+5 > 1) => loại
1
+) Nếu p ≠11, xét 2 trường hợp:
TH1: d = 29 => p = 29 vì p nguyên tố
<=> => Loại
1
Trang 5<=> vô lí (loại)
Vậy phương trình vô nghiệm, hay không tìm được bộ (x;p;n) nào thỏa mãn đề
bài với p là số nguyên tố
5 Câu 5 (4 điểm): Cho tập S = {1;2;3; ;2015}
a) Tìm k nhỏ nhất với k là số phần tử của 1 tập con bất kì của S để tập đó
chứa ít nhất 3 số nguyên liên tiếp
b) Tính số tập con gồm 16 phần tử của S thỏa mãn có ít nhất 3 số nguyên liên tiếp trong tập đó
4
a) Nếu k≤1344 và T⊂{1;2;4;5;7;8; ;2014;2015} gồm 1344 phần tử, chọn k bất kì thấy không thỏa mãn
Nếu k≥1345 Ta chứng minh k=1345 thỏa mãn
Thật vậy chia S thành 672 bộ {1;2;3};{4;5;6}; ;{2011;2012;2013};
{2014;2015}
1
Xét 671 bộ trừ bộ {2014;2015} theo nguyên lí Dirichlet tồn tại +1 = 3 phần tử
thuộc tập con 1345 phần tử của S thuộc 1 trong 671 bộ này (đpcm)
Vậy giá trị nhỏ nhất của k= 1345
1
b) Ta sẽ đi chứng minh bài toán tổng quát
Gọi A là họ các tập con của S gồm m phần tử không có 3 số nguyên liên tiếp nào (m < +1) B là họ các tập con gồm m phần tử của tập {1;2; ;n-m+1}, mỗi phần
tử xuất hiện nhiều nhất 2 lần Khi đó tồn tại 1 song ánh f: A-> B Thật vậy: Xét
tập G ∈ A Giả sử G={a1, a2, , am }, aj < aj+1, j= 1;2;3; ;m Ta cho tương ứng:
(a1,a2, ,am) -> (a1,a2-1,a3-2, ,am-m+1) suy ra tồn tại song ánh f: A-> B => lAl =
lBl Số tập B như vậy được tạo thành bằng cách lấy i phần tử từ 1-> n-m+1 ( ≤
i≤ m), sau đó chọn m-i còn lại trong i tập này
1
lBl = Ci
n-m+1.Cm-i
i = lAl
Vậy số các tập thỏa mãn đề bài là: Ck
n - lAl
Thay số n=2015; m=16
1
Lưu ý khi chấm bài:
- Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
- Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm.
- Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.
- Trong lời giải bài 4, nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai hình không cho điểm.
Trang 6- Điểm toàn bài tính đến 0,5 và không làm tròn.