Gọi E, F là hình chiếu vuông góc của D trên AB và AC, K là giao điểm của CE và BF, H là giao điểm của BF với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEK.. Chứng minh DH vuông góc với BF.. Chứng m
Trang 1TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN CAO BẰNG
TỈNH CAO BẰNG
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
ĐỀ THI MÔN TOÁN
LỚP 10
(Đề này có 01 trang, gồm 05 câu)
Câu 1 ( 4,0 điểm ):
Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
( )
+ +
= +
−
=
−
3
1 2 1 4
) 2 1 ( 2 8
2 3
3 2
y x
x
y xy
y x
Câu 2 ( 4,0 điểm ):
Cho tam giác nhọn ABC, phân giác trong góc A cắt BC tại D Gọi E, F là hình chiếu vuông góc của D trên AB và AC, K là giao điểm của CE và BF, H là giao điểm của BF với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEK Chứng minh DH vuông góc với BF
Câu 3 ( 4,0 điểm):
Cho a;b;c>0 thỏa mãn a+b+c+abc=4 Chứng minh rằng
(a b c)
b a
c c
a
b c
b
+
+ +
+
2
Câu 4 ( 4,0 điểm):
Tìm tất cả các bộ ba số tự nhiên lớn hơn 1 sao cho tích của hai số bất kỳ cộng 1 chia hết cho số còn lại
Câu 5 (4,0 điểm)
Cho 2015 tập hợp, mỗi tập hợp có 45 phần tử và hai tập bất kì có đúng một phần
tử chung Chứng minh rằng tồn tại một phần tử thuộc tất cả 2015 tập hợp trên
Hết
Người ra đề
Trương Thị Nguyệt Bằng
ĐT 0915828982
ĐÁP ÁN ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
Trang 2MÔN: TOÁN – LỚP 10
Câu 1
(4,0
điểm)
ĐK: từ pt (2) ,suy ra x> 0
(1)⇔ x(x− 2y) = 4y2 ( 2y−x) ⇔ (x− 2y)(x+ 4y2 ) = 0 ⇔ x= 2y( vì x+4y2> 0 )
1,0đ
Thay vào phương trình (2) có 3 x3 + 4x =x2 + 2x+ 4 (*)
1,0 đ
Ap dụng bất dẳng thức AM-GM tacó
x x x x x
x
x x x x x x
x x
x x x
4 3
4 2
2
3 ) 2 2
4 ( 2
3
2 ) 4 ( 4
3 2
) 4 ( 4
3 4
4 4
2 4
4
3 3
2
2 2
2 2
2
+
= +
≥ +
+
=
= + + +
≥ + + +
+
= + +
⇒
≥
+
1,0 đ
Dấu đẳng thức xảy ra khi x = 2 Hệ phương trình có nghiệm (2,1)
1,0 đ
Câu 2
(4,0
điểm)
I
F E
D A
B
C
*) Gọi I = AK ∩BC
Ta có AI, BF, CE đồng quy
FA IC EB
FC IB EA
Mà AE = AF
cos
cos sin cos cos sin cos
sin cos sin
2,0 đ
Trang 3*) A, E, H, K cùng thuộc một đường tròn ⇒ BE BA BH BK. = .
A, E, D, I cùng thuộc một đường tròn ⇒ BE BA BD BI. = .
⇒ HKID nội tiếp
Mà góc DIK vuông nên góc DHK vuông
Vậy DH ⊥ BF
2,0 đ
Câu 3
(4,0
điểm)
Áp dụng BĐT Bunhiakopxki ta được
(a b c b a c c a b)
c b a b
a
c c
a
b b
c
a T
+ +
+ +
+
+ +
≥ +
+ +
+ +
=
2
Lại có (a b+c +b a+c +c a+b)2 ≤(a+b+c)(2ab+2bc+2ac)
Suy ra: ( )
(ab bc ac)
c b a c b a T
+ +
+ + +
+
≥
Ta sẽ chứng minh a+b+c≥ab+bc+ca(1)
4 (
;
;
2
S P P ab S b
Từ giả thiết suy ra
1
4
+
−
=
P
S
2 1
1
4 1
+
− +
≥ +
−
P
S S P P
S
Nếu P+1−S≤0⇒VT ≤0≤VP
Nếu P+1−S >0 Ta có P(P+1−S)≤ S4 S4 +1−S
2 2
(vì
4
2
S
P≤ ) Suy
ra ( ) 2 ( ) (2 )2
2 2
16
P
Vậy: a+b+c≥ab+bc+ac Từ (*) suy ra
2
c b a
1,0
1,0
1,0
1,0
Câu 4
(4,0
điểm)
Gọi a, b, c là ba số tự nhiên lớn hơn 1 thỏa mãn điều kiện
ab+ Mc bc+ Ma ca+ Mb
Dễ thấy a, b, c là ba số đôi một nguyên tố cùng nhau ( vì nếu có hai số
không nguyên tố cùng nhau chẳng hạn a và b thì ( a, b) >1 Khi đó (ac, b) =
d >1 suy ra ac +1 không chia hết cho d , do đó ac +1 cũng không chia hết
cho b ), suy ra các số đó là khác nhau
1,0
Số S = ab + bc + ca + 1 chia hết cho các số a, b, c nên S chia hết cho abc 1,0
Trang 4( vì các số a, b, c là ba số đôi một nguyên tố cùng nhau) Vì vậy S abc≥
Không mất tính tổng quát, giả sử 2≤ a ≤ b ≤ c
Nếu b≥ 4, khi đó c≥ 5, abc≥ 2.4.5 40 = và
40
1,0
Điều mâu thuẫn này chứng tỏ b< 4, do đó a= 2,b= 3 Vì ab+ =1 7 chia
hết cho 7 nên c= 7
Vậy bài toán chỉ có một bộ ba số duy nhất thỏa mãn điều kiện là 2, 3, 7
1,0
Câu 5
(4,0
Điểm)
Xét tập A trong số 2015 tập đã cho A giao với 2014 tập còn lại nên tồn tại
a A∈ là phần tử chung của không ít hơn 2014 1 45
45
tập còn lại.
Vậy a thuộc các tập A A A, , , , 1 2 A45 và trong 46 tập này không có hai tập
nào có phần tử chung khác a
2,0
Ta sẽ chứng minh a thuộc tập B bất kì trong 20105 tập đã cho
Thật vậy, nếu a B∉ thì B có với mỗi tập A A A, , , , 1 2 A45 một phần tử chung
khác a, suy ra B có không ít hơn 46 phần tử, mâu thuẫn Bài toán được
chứng minh
2,0
Lưu ý khi chấm bài:
- Nếu học sinh giải đúng theo cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai
đó không được điểm.
- Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.- Điểm toàn bài tính đến 0,5 và không làm tròn.