b Trong kì thi THPT quốc gia, tại hội đồng thi X, trường THPT A có 5 thí sinh dự thi.. Tính xác suất để có đúng 3 thí sinh của trường THPT A được xếp vào cùng một phòng thi, biết rằng hộ
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NĂM HỌC 2015-2016 Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (1,5 điểm) Cho hàm số
1
1 2
x
x y a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A là giao điểm của (C) với trục hoành
Câu 2 (0,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( )x42x23
trên đoạn [0; 4]
Câu 3 (1,0 điểm)
a) Giải phương trình z2z10 trên tập số phức
b) Giải bất phương trình log2(x3)log2(x1)3
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân 2
1
2
) ln (x x dx x
Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(5;2;3), B(1;2;3),
)
1
;
2
;
1
(
C Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C và viết phương trình mặt cầu (S) có tâm (2; 1;3) I và tiếp xúc với mặt phẳng (P)
Câu 6 (1,0 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức Asin3sin22, biết 2cos27sin 0
b) Trong kì thi THPT quốc gia, tại hội đồng thi X, trường THPT A có 5 thí sinh dự thi Tính xác suất để có đúng 3 thí sinh của trường THPT A được xếp vào cùng một phòng thi, biết rằng hội đồng thi X gồm 10 phòng thi, mỗi phòng thi có nhiều hơn 5 thí sinh và việc xếp các thí sinh vào các phòng thi là hoàn toàn ngẫu nhiên
Câu 7 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AD là đáy lớn,
AD = 2a, AB = BC = CD = a Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn thẳng AC sao cho HC = 2HA Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng
600 Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và
CD
Câu 8 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có tâm
I(2 32;5), BC = 2AB, góc BAD = 600 Điểm đối xứng với A qua B là ( 2;9) E Tìm tọa
độ các đỉnh của hình bình hành ABCD biết rằng A có hoành độ âm
Câu 9 (1,0 điểm) Giải bất phương trình 2x2 x2 5 2 x2 x x2x3x
Câu 10 (1,0 điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Tìm giá trị lớn nhất của
ca c
a c bc b
c b ab a
b a c b a
-HẾT -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm mathvn.com
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NĂM HỌC 2015-2016 Môn thi: TOÁN
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Câu 1
(1,5 điểm)
a) (1,0 điểm)
2) Sự biến thiên của hàm số:
a) Giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:
*
x
lim
; lim nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
* lim lim 2
x
x nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
0,25
b) Bảng biến thiên:
Ta có:
1
x y
Bảng biến thiên:
x - 1 +
y
2
-
+
2
* Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ;1 và 1;
0,25
3) Đồ thị:
+ Đồ thị cắt trục tung tại (0;1) và cắt trục hoành tại điểm
0
; 2 1
+ Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm I(1; 2) của hai tiệm cận làm tâm đối xứng
0,25
b) (0,5 điểm)
Do A(C)Ox nên
0
; 2
1
2
1 '
Tiếp tuyến của (C) tại A có phương trình: 0 4 2
2
1
Câu 2
(0,5 điểm)
3
'( )4 4
f x x x , f x'( ) 0 4x34x 0 x 0,x1, x1(loại) 0,25
Ta có: f(0) = 3, f(1) = 2, f(4) = 227
Vậy
[0;4]
max ( )f x f(4)227,
[0;4]
O
y
x
2
1
2 1
1
www.MATHVN.com
mathvn.com
Trang 3Câu 3
(1,0 điểm)
a) (0,5 điểm)
Do đó phương trình có hai nghiệm z i z i
2
3 2
1 , 2
3 2
b) (0,5 điểm)
Điều kiện xác định: x3
8 ) 1 )(
3 ( 3 )]
1 )(
3 [(
log 3 ) 1 ( log ) 3 (
5 1
0 5 4
2
Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình là S (3;5] 0,25
Câu 4
2
1
4 2
1 2
1
2
1
3 2
4
15 4
ln )
ln
x
1
2
1
2 2
1
2 1
3 2 ln 2 4 2 ln 2 2 2
ln 2
dx x x x I x
v x
dx du xdx
dv
x u
0,25
4
3 2 ln 2 4
15
Câu 5
(1,0 điểm) AB(4;4;0),AC (4;0;4) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
, (16;16;16)
AB AC n
0,25
Do đó (P) có phương trình: 16(x5)16(y2)16(z3)0 x yz0 0,25
Mặt cầu (S) có bán kính
3
2 1 1 1
3 1 2 )) (
;
d I P
(S) có phương trình
3
4 ) 3 ( ) 1 ( ) 2
Câu 6
(1,0 điểm)
a) 0,5 điểm
2 sin , 4
1 sin
0 sin 7 ) sin 2 1 ( 2 0 sin 7 2 cos
2 2 (loại) 0,25
) sin 1 ( sin 4 sin 4 sin 3 2 sin 3
A
64
29 4
1 1 4
1 4 4
1 4 4
1 3
2 2
3
64
29
b) 0,5 điểm
Số cách xếp ngẫu nhiên 5 thí sinh vào 10 phòng thi là 105 100000 0,25
Gọi B là biến cố đã cho
Có C53cách chọn 3 thí sinh trong số 5 thí sinh của trường A và có 10 cách chọn
phòng thi cho 3 thí sinh đó
Ứng với mỗi cách chọn trên ta có 9.9 cách chọn phòng thi cho 2 thí sinh còn lại
Do đó số cách xếp 5 thí sinh thỏa mãn điều kiện đề bài là 3
5.10.9.9 8100
B C
Xác suất cần tìm là:
1000
81 100000
8100 )
B
0,25
Câu 7
(1,0 điểm)
Theo bài ra thì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD nên
CD
AC Do SH (ABCD) nên SH CD, từ đó ta có CD(SAC)
Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là SCH 0
60
SCH
0,25 mathvn.com
Trang 43 2 3
2
3
2 2
a AC HC
a CD AD AC
a HC
SH tan6002
Gọi O là trung điểm của AD, khi
đó
4
3 3 3
2
a S
Thể tích khối chóp S.ABCD là
ABCD ABCD
S SH S
3
1
2
3 4
3 3 2 3
0,25
Kẻ đường thẳng Ax song song với CD, gọi (P) là mặt phẳng chứa SA và Ax, khi đó
)
//( P
AC Suy ra d(CD;SA)d(CD,(P))d(C,(P))3d(H,(P)) (Do CA = 3HA)
Ta có ACCD nên HA Ax mà SH Axsuy raAx(SAH)
Từ H kẻ HK SA ( KSA), khi đó AxHKHK(P) nên HKd(H,(P))
0,25
3
3 3
AC
13
13 2 4
13 1
1 1
2 2 2
2
a HK a
SH AH
Vậy
13
13 6 ) ,
0,25
Câu 8
(1,0 điểm)
Đặt ABmAD2m
Ta có BD2AB2AD22AB AD cos 6003m2
3
AD BD
AB nên tam giác ABD vuông tại B, nghĩa là IBAE
4
7 2
2 2
2
m
m BE IB
Mặt khác IE2 (2 3)242 28 nên ta có
4 28
4
2
3
0,25
Gọi n( b a; ) là vectơ pháp tuyến của AB ( a2b2 0) khi đó AB có phương trình
0 9 2 0
) 9 ( ) 2 (x b y axby a b
a
4 3 2 )
,
2
b a
b a IB
AB I
a b
b a
b
b( 4 3 )0 0, 4 3
0,25
+) Với b = 0, chọn a = 1, khi đó AB có phương trình x20, suy ra IB có phương
trình y50 Do BABIBnên B(2;5), mà B là trung điểm của AE nên
) 1
; 2 (
A (thỏa mãn điều kiện x A0)
Do I là trung điểm của AC và BD nên ta suy ra C(4 32;9), (4 3D 2;5)
0,25
A
B
E
I
D
C
S
C
B
K
x
O
H
www.MATHVN.com
mathvn.com
Trang 5+) Với b4 3a, chọn a = 1 b4 3, khi đó AB có phương trình
0 3 36 2 3
x , suy ra IB có phương trình 4 3(x2 32)(y5)0
0 19 3 8 3
Do BABIBnên B16 3714;597 , mà B là trung điểm của AE nên
7
55
; 7
14 3 32
A (không thỏa mãn điều kiện x A0)
Vậy A(2;1),B(2;5),C(4 32;9), (4 3D 2;5)
0,25
Câu 9
(1,0 điểm)
Gọi bất phương trình đã cho là (1) Điều kiện xác định: x2
2 ) 1 ( x x x2 x x x x2 x
2 2 2 2 612 22 5
2 2 22 61(2 22 5) 2 22 61
1 6 2 2
2 2
x x x x (Do 2x22x50,xR)
0,25
) 2 ( 2 ) 1 ( 2 1
Đặt a x2,bx1(a0), (2) trở thành
0 0
) (
0 2
2 ) (
0 2
b a
b a b
a b
a
b a b
a b
Do đó ta có
2
13 3 0
1 3
1 )
1 ( 2
0 1 1
x x
x x
x
x x
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm
2
13
3
0,25
Câu 10
(1,0 điểm)
Giả sử abck 0, đặt akx,bky,ckzx,y,z0 và xyz1 Khi đó
zx z
x z yz y
z y xy x
y x zx
z k
x z k yz y k
z y k xy x k
y x k k P
) (
) 3 ( ) (
) 3 ( ) (
) 3 (
z x z y z y x y x x z z
x z z z
y y
z y y y
x x
y x
) (
) ( 4 ) (
) ( 4 ) (
) ( 4
2 2
2
1 5 1 5 1 5 1 1
4 1 1
4 1 1
4
z z
z y y
y x x
x z y y
x x
0,25
Do a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên bcayzx1xx
2
1
x , tức là
2
1
; 0
x Tương tự ta cũng có
2
1
; 0
, z
Ta sẽ chứng minh 5 12 18 3
t t t
t
(*) đúng với mọi
2
1
; 0
Thật vậy: (*) 5 12 18 30
t t
t
0 )
1 (
) 1 3 )(
1 2 ( 0 1 8 21
2
2 3
t t
t t t
t
t t t
(**)
(**) hiển nhiên đúng với mọi
2
1
; 0
t Do đó (*) đúng với mọi
2
1
; 0
0,25
Áp dụng (*) ta được P18x318y318z318(xyz)99 Dấu “=” xảy ra khi xyz abc
3
1
Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 9 khi abc
0,25
-HẾT -
mathvn.com
