Chủ đề tính thể tích và khoảng cách luyện thi thpt quốc gia

Để có thể làm tốt các bài toán tính thể tích và khoảng cách, cần nắm vững các kiến thức căn bản sau : • Góc giữa hai mặt phẳng : là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng

ÔN THI THPT QUỐC GIA VỚI CHỦ ĐỀ TÍNH THỂ TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH

Nguyễn Bá Tuấn – Trường THPT Xuân Thọ, Đồng Nai

Theo cấu trúc đề thi THPT Quốc gia, thường có một bài toán tính thể tích khối đa diện và tính khoảng cách trong hình học không gian (Câu 7) Đối với học sinh trung bình, đa số các em làm được phần tính thể tích, riêng phần tính khoảng cách tương đối khó, tuy nhiên nếu học sinh nắm vững các kiến thức căn bản là có thể làm được Vì vậy, chúng tôi lựa chọn viết chuyên đề này nhằm giúp các em học sinh rèn luyện kỹ năng để làm tốt câu tính thể tích và tính khoảng cách trong các

đề thi THPT Quốc gia

Trong chuyên đề này chúng tôi trình bày cách tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ và tính khoảng cách bằng nhiều phương pháp Tùy vào từng bài toán mà chúng ta lựa chọn phương pháp nào sao cho việc tính toán thuận lợi và hiệu quả nhất, việc này xin dành cho bạn đọc

Để có thể làm tốt các bài toán tính thể tích và khoảng cách, cần nắm vững các kiến thức căn bản sau :

• Góc giữa hai mặt phẳng : là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng cùng

vuông góc với giao tuyến Như vậy, để xác định góc giữa hai mặt phẳng, ta phải :

1- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

2- Quan sát để tìm trong mỗi mặt phẳng một đường thẳng vuông góc với giao tuyến, hai đường thẳng này cắt nhau tại một điểm trên giao tuyến Nếu không tìm thấy thì phải tìm cách vẽ thêm hình

• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng : là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên

mặt phẳng Để xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta phải :

1- Tìm hình chiếu của đường thẳng trên mặt phẳng

2- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng chính là góc giữa nó và hình chiếu của nó

Cần nhớ các công thức tính diện tích tam giác, hình vuông, hình thoi, hình chữ nhật…

Hệ thức lượng trong tam giác vuông, định lý Pitago, các hệ thức lượng trong tam giác thường Công thức tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ…

Việc đầu tiên và hết sức quan trọng cần phải làm là vẽ đúng hình vẽ Nếu không vẽ đúng hình, chúng ta sẽ không xác định được chiều cao khối chóp (hoặc lăng trụ), không xác định được các

góc… Từ đó không tính được thể tích của khối chóp (hoặc lăng trụ) Vì vậy, giáo viên cần hướng dẫn từng bước cho học sinh vẽ đúng hình:

1) Vẽ đáy :

• Hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành, hình thoi được biểu diễn là hình bình hành, thông thường cạnh bên trái và cạnh phía trên vẽ bằng nét đứt (bị che khuất), cạnh bên phải và cạnh phía dưới vẽ bằng nét liền (nhìn thấy)

• Hình thang được biểu diễn là một hình thang, thường đáy lớn nằm ở phía trên và vẽ bằng nét đứt

• Hình tam giác vuông, tam giác đều, tam giác cân … được biểu diễn là một tam giác thường, các cạnh phía trên thường vẽ bằng nét đứt

2) Xác định hình chiếu vuông góc của đỉnh trên đáy, từ đó vẽ đỉnh và đường cao khối chóp (hoặc lăng trụ)

3) Vẽ các cạnh, các đường còn lại : cạnh nào, đường nào bị che khuất vẽ bằng nét đứt; cạnh nào, đường nào nhìn thấy vẽ bằng nét liền

NỘI DUNG :

Phần 1 : TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Thể tích V của khối chóp có diện tích đáy S và chiều cao h là : 1

3

V = S h

Thể tích V của khối lăng trụ có diện tích đáy S và chiều cao h là : V =S h

Thể tích của khối hộp bằng tích diện tích đáy với chiều cao của nó

Thể tích của khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó

I- Phương pháp hình học sử dụng trực tiếp các công thức:

Các bước tiến hành như sau :

1) Xác định chiều cao khối đa diện cần tính thể tích: nhiều bài toán chiều cao này được xác định ngay từ đề bài, nhưng có những bài toán việc xác định chiều cao phải dựa vào các định

lý về quan hệ vuông góc trong chương trình lớp 11, Với các bài toán, đề bài không cho trước hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt phẳng đáy, trong trường hợp này cần lưu ý các tính chất sau :

- Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào năm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia

- Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với một mặt phẳng thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng đó

2) Xác định các góc được cho trong đề bài (nếu có)

3) Tính diện tích đáy

4) Tính thể tích khối đa diện

Ví dụ 1 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA ⊥ (ABCD) , góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a 0

Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AD = CD = a,

AB = 3a Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc bằng 450

Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a (Tốt nghiệp THPT 2011)

Diện tích hình thang ABCD :

3

22

A C= a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A C' ', I là giao điểm của AM và A C' Tính thể

tích tứ diện IABC (Đại học khối D – 2009)

Ví dụ 5 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, BA=3 ,a BC=4a, mặt phẳng

(SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB=2a 3 và SBC
=300 Tính thể tích khối chóp

S.ABC theo a (Đại học khối D – 2011)

Trong một số bài toán, việc tính trực tiếp thể tích một khối đa diện gặp nhiều khó khăn : hoặc

là khó xác định chiều cao, hoặc khó tính được diện tích mặt đáy Trong trường hợp này, người ta thường phân chia, so sánh, liên hệ với một khối đa diện khác mà việc tính thể tích khối đa diện này

Ví dụ 1 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc SC cắt SB, SC,

SD lần lượt tại B’, C’, D’ Biết rằng : , ' 2

a) Gọi H là tâm hình vuông ABCD ⇒SH ⊥(ABCD)

Mp(P) cắt hình chóp theo thiết diện là tứ giác AB’C’D’

Ta có : BD⊥(SAC) ⇒ BD⊥SC, do đó BD // (P), từ đó suy

ra (P) cắt (SBD) theo giao tuyến B’D’ // BD

Kẻ HE // AC’, khi đó : EC’= EC và

Ta có : SC⊥( )P ⇒SC⊥ AC' nên theo chứng minh trên, AC’ vừa là đường cao vừa là đường

trung tuyến của ∆SAC nên AS = SC, suy ra ∆SAC đều Từ đó ta có : 3 6

AC a

SH = = 3

2

Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 5 cm, đường chéo AC =4

cm Đoạn thẳng SO=2 2 cm, SO⊥(ABCD) với O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Gọi M là trung điểm của cạnh SC, giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N Tính thể tích khối chóp S.ABMN (Đại học khối A - 2004)

Nhận xét : Hình thang ABMN có thể tính được diện tích, tuy nhiên việc xác định chiều cao từ đỉnh

S đến mặt phẳng (ABMN) rất phức tạp, vì vậy cách tính trên là hợp lý

III- Phương pháp tọa độ trong không gian :

Các bước tiến hành như sau :

1) Lập một hệ tọa độ phù hợp với đề bài : đây là việc quan trọng nhất quyết định cho việc tính toán ở các bước tiếp theo là đơn giản hay phức tạp

2) Tính toán và tìm tọa độ các điểm, các vectơ cần thiết

3) Tính thể tích dựa vào các công thức sau :

Ví dụ 1 : Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, AA'=2 ,a

A C= a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A C' ', I là giao điểm của AM và A C' Tính thể

tích tứ diện IABC (Đại học khối D – 2009)

a và khoảng cách nhân thêm a

Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, 3

Nhận xét : Rõ ràng so với cách giải trực tiếp bằng phương pháp hình học (ví dụ 4, mục I), cách

giải này dài dòng, phức tạp hơn

Phần 2 : TÍNH KHOẢNG CÁCH

Các bài toán tính khoảng cách thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng trong những năm trước đây và kỳ thi THPT quốc gia năm 2015

Có nhiều phương pháp để tính khoảng cách :

1- Phương pháp trực tiếp bằng cách xác định hình chiếu vuông góc từ một điểm đến một mặt phẳng (hoặc đường thẳng) hoặc xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

2- Phương pháp thể tích

3- Phương pháp tọa độ trong không gian

Hai dạng toán thường gặp là:

• Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

• Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

A- Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

I - Phương pháp trực tiếp :

Các bước tiến hành như sau :

1) Xác định hình chiếu vuông góc của điểm cần tính khoảng cách trên mặt phẳng cần tính khoảng cách tương ứng, bước này rất quan trọng vì nhờ việc xác định này mà ta có đủ dữ liệu để tính toán trong bước tiếp theo

2) Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông, định lý Pitago, hệ thức lượng giác trong tam giác thường, để tính khoảng cách

Ví dụ 1: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc Gọi H là chân đường

vuông góc hạ từ O tới mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng :

a) H là trực tâm của tam giác ABC;

b) 1 2 12 12 12

OH =OA +OB +OC

(Bài tập 4, trang 105, SGK Hình học lớp 11 - chương trình chuẩn)

Giải :

Theo các bước trên, đề bài đã cho hình chiếu vuông góc của

O trên mp(ABC) là H, ta chứng minh H là trực tâm của tam

giác ABC Sau đó áp dụng hệ thức trong tam giác vuông để

tính khoảng cách Lời giải bài toán như sau:

Vì H là chân đường vuông góc hạ từ O tới mặt phẳng (ABC) nên ( , ( d O ABC))=OH

Nhận xét : Bài toán cho H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên

mặt phẳng (ABC) Mấu chốt của bài toán là phải xác định được vị trí

hình chiếu vuông góc H của điểm O nằm ở đâu trên mặt phẳng

(ABC) Để xác định vị trí của điểm H thông thường ta làm như sau:

- Tìm một đường thẳng thuộc mp(ABC) nằm trong mặt phẳng đáy

cùng với điểm O, đó chính là đường thẳng BC, từ O kẻ

Các ví dụ sau sẽ làm rõ thêm nhận xét trên

Kết quả của bài toán trên có một ứng dụng rất hiệu quả trong việc giải một số bài toán tính khoảng cách trong phần “Quan hệ vuông góc” của hình học không gian

Đối với một số bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, nhiều khi chúng ta khó tính trực tiếp khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng mà phải tính thông qua một điểm khác thuận lợi hơn (thường là chân đường vuông góc hạ từ đỉnh đến đáy) Thông thường chúng ta sử

dụng kết quả của bài toán sau để tính :

Bài toán : Cho mặt phẳng ( )α và đường thẳng d cắt ( )α

tại A, trên d lấy hai điểm B và C (khác điểm A) sao cho

Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại B, góc
ACB=300, AC=a 3

SA⊥ ABC và SA=a Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

Giải :

Theo lược đồ ở trên, trước hết ta xác định hình chiếu vuông góc H của A trên mp(SBC), rồi áp dụng

hệ thức trong tam giác vuông để tính khoảng cách Lời giải như sau :

Kẻ AD⊥BC D ( ∈BC), tam giác ADC vuông tại D :

2 2 2 2 2 2

a AH

A C= a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A C' ', I là giao điểm của AM và A C' Tính

khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng IBC (Đại học khối D – 2009)

Giải :

Kẻ AK ⊥A B' tại K, BC⊥( 'A AB)⇒BC ⊥AK Suy ra AK ⊥( 'A BC)⇒ AK ⊥(IBC)

a AK

⇒ = Vậy ( , ( )) 2 5

5

a

d A IBC =

Ví dụ 4 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, BA=3 ,a BC=4a, mặt phẳng

(SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB=2a 3 và
0

30

SBC= Tính khoảng cách từ điểm

B đến mặt phẳng (SAC) theo a (Đại học khối D – 2011)

Giải :

Với bài toán này ta khó tính trực tiếp khoảng cách từ điểm B

đến mặt phẳng (SAC) mà phải tính thông qua điểm H là chân

đường vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy (ABC)

Lời giải như sau :

Ví dụ 5 : Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của A’

trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt đáy bằng 600

Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’) (Đại học khối B – 2014)

Các bước giải của phương pháp này như sau :

1) Giả sử bài toán yêu cầu tìm khoảng cách từ đỉnh S của một hình chóp (hoặc lăng trụ) nào đó

Ta tìm thể tích của khối chóp (hoặc lăng trụ) này theo một cách khác mà không dựa vào

đỉnh S này

2) Tính diện tích đáy đối với đỉnh S

3) Tính khoảng cách dựa vào công thức : với khối chóp h 3V

S

= , với khối lăng trụ h V

S

= với , ,

V S h lần lượt là thể tích, diện tích đáy, chiều cao của một khối chóp (hoặc lăng trụ) nào

đó

Ví dụ 1 : Cho lăng trụ đứng ABC A B C đáy ABC là tam giác vuông tại B, ' ' ' AB=a, AA'=2 ,a

A C= a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A C , I là giao điểm của AM và ' ' A C Tính '

khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng IBC (Đại học khối D – 2009)

Gọi d =d A IBC( , ( )) thì :

3 '

2 '

55

Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, BA=3 ,a BC=4a, mặt phẳng

(SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB=2a 3 và SBC
=300 Tính khoảng cách từ điểm

B đến mặt phẳng (SAC) theo a (Đại học khối D – 2011)

Gọi d là khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) thì :

3

2

721

B SAC SAC

d

S∆ a

III- Phương pháp tọa độ trong không gian :

Các bước tiến hành như sau :

1) Lập một hệ tọa độ phù hợp với đề bài: đây là việc quan trọng nhất quyết định cho việc tính toán ở các bước tiếp theo là đơn giản hay phức tạp

2) Tính toán và tìm tọa độ các điểm, vectơ cần thiết

Ví dụ 1 : Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một

vuông góc nhau Cho OA=a OB, =b, OC=c Tính khoảng cách

từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) theo a b c, ,

Nhận xét : các bạn có thể so sánh với cách tính của ví dụ 1, mục I

Ví dụ 2 : Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, AA'=2 ,a

A C= a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A C' ', I là giao điểm của AM và A C' Tính

khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng IBC (Đại học khối D – 2009)

a AM

Cách giải của phương pháp này như sau :

1) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau chính là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó Vì vậy, nếu như ta xác định được đoạn vuông góc chung đó thì coi như đã tính được độ dài đoạn vuông góc chung Với những bài toán yêu cầu tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc nhau thì việc tìm đoạn vuông góc chung tương đối dễ dàng

2) Đối với bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và không vuông góc nhau, việc xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng này không phải lúc nào cũng dễ dàng Hơn nữa trong nhiều bài toán người ta chỉ yêu cầu tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau mà không yêu cầu xác định đoạn vuông góc chung

Với những bài toán khó xác định đoạn vuông góc chung như vậy, người ta thường chuyển việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d và 1 d về các bài toán sau: (xem 2

nhận xét trang 117, SGK Hình học lớp 11)

a) Nếu d1//( )P và d2⊂( )P thì d d d( ,1 2)=d d( , ( ))1 P

Với A là điểm bất kỳ thuộc d , do 1 d1//( )P ⇒d d( , ( ))1 P =d A P( , ( ))

b) Nếu d1⊂( ), P d2 ⊂( )Q và ( )//( )P Q thì d d d( ,1 2)=d P(( ), ( ))Q

Do ( )//( )P Q nên khoảng cách giữa ( ) P và ( ) Q bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ

của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

Như vậy, nhiều bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau quy về bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Ví dụ 1 : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA⊥(ABCD) và SA=a

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và BD (Ví dụ trang 118, SGK Hình học

11)

Giải :

Với bài toán này, dễ thấy BD⊥(SAC)⇒BD⊥SC