c Tìm các số nguyên x để 3P x nhận giá trị nguyên rồi tính giá trị nguyên đó.. Dựng về phía ngoài của tam giác các hình vuông ABDE và ACGH.. Chứng minh: Tứ giác MNPQ là hình vuông.. a Tứ
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỒNG THÁP
_
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012
_
ĐỀ THI MÔN TOÁN
Ngày thi: 11/3/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
(Đề thi gồm có: 01 trang) Câu 1: (3 điểm)
a) Chứng tỏ rằng số sau đây là một số hữu tỉ:
) 2 10 ).(
5 3 (
5
=
a
b) Chứng minh rằng số:
n=7+72 +73 + +72003 +72004 chia hết cho 400
Câu 2: (4 điểm)
Cho biểu thức: 2 2 2( 1)
P
x
x x x x
−
a) Tìm điều kiện xác định rồi rút gọn biểu thức P
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P và giá trị x tương ứng.
c) Tìm các số nguyên x để 3P
x nhận giá trị nguyên rồi tính giá trị nguyên đó.
Câu 3: (5 điểm)
a) Giải phương trình: 4 3 2 1
2009 2010 2011 2012
b) Giải bất phương trình: 2 11
3
x x
−
>
−
c) Cho hệ phương trình: ( 1) 3 1
x y m
− = +
Hãy xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình này có một nghiệm duy nhất ( x ; y ) mà S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 4: (4 điểm)
a) Cho tam giác ABC ( không có góc nào vuông) Dựng về phía ngoài của tam giác các hình vuông ABDE và ACGH Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của EH, EB, BC, CH
a1 Chứng minh: BH = CE và BH ⊥CE
a2 Chứng minh: Tứ giác MNPQ là hình vuông
b) Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AA’, BB’, CC’ đồng quy tại H Tính tổng:
Câu 5: (4 điểm)
Cho tứ giác lồi ABCD với bốn điều kiện sau đây:
AB // CD; AB < CD; AB = BC = DA; BD ⊥ BC
a) Tứ giác ABCD là hình gì? Tại sao?
b) Tính các góc của tứ giác ABCD
c) So sánh diện tích của tam giác ABD với diện tích của tứ giác ABCD.HẾT
Họ và tên thí sinh: Số báo danh: _ Chữ ký GT1: _ Chữ ký GT2:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỒNG THÁP
_
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012
_
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN TOÁN
Ngày thi: 11/3/2012
(Hướng dẫn chấm gồm có: 04 trang) Câu 1 : (3 điểm)
a) Ta có: a= 3− 5.(3+ 5).( 10− 2)
=2(3− 5)(.3+ 5) 0,25 =2.(9−5)=2.4=8 0,25 b) Ta có: n=7+72 +73 + +72003 +72004
(7+72 +73 +74) (+ 75 +76 +77 +78)+ +(72001+72002 +73003 +72004)
(1 7 72 73) (75 1 7 72 73) 72001(1 7 72 73)
1 7 7 7 7 7 7
(7 7 7 ) 400
400 + 5+ + 2001
Câu 2 : (4 điểm)
Cho biểu thức: 2 2 2( 1)
P
x
x x x x
−
a) Tìm điều kiện xác định rồi rút gọn biểu thức P
- Rút gọn: ( 3 ) ( ) ( )( )
P
P= x( x− −1) (2 x+ +1) (2 x+1) 0,25
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P và giá trị x tương ứng.
- Ta có:
2
1 3 1
2 4
P x− x+ = x− +
- Mà
2 1
0 2
x
− ≥
nên P 3 ( 0 ; 1)
Vậy Min P 3
4
= khi và chỉ khi 1 1
c) Tìm các số nguyên x để 3P
x nhận giá trị nguyên rồi tính giá trị nguyên đó.
- Ta có: 3P 3( 1) ( ) 3
x
− +
Trang 3- Để 3P
x nhận giá trị nguyên thì x∈ Ư(3) ,(∀ ∈x Z x, >0 ; x≠1) 0,25
- Suy ra: 3P 7
Câu 3 : (5 điểm)
2009 2010 2011 2012
x + + x + = x + + x +
⇔ ( 4 1) ( 3 1) ( 2 1) ( 1 1)
x + + + x + + = x + + + x + + (cộng vào hai vế của
phương trình với số 2)
0,5
0,5
Vậy S = { − 2013 }
b) 2
11
3
x
x − >
−
3
x
x − − >
0 3
x x
− + >
Trường hợp 1 : 10 31 0
3 0
x x
− + >
− >
31 10 3
x x
<
>
⇔ 3 < x < 31
10
0,5
Trường hợp 2 : 10 31 0
3 0
x x
− + <
− <
31 10 3
x x
>
<
⇔ không tồn tại x
0,5
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là : 3 < x < 31
10
0,25
x y m
− = +
Để hệ phương trình trên có một nghiệm duy nhất thì 1
m − ≠ − m
− ⇔ m ≠ – 1 0,25 Dùng phương pháp cộng hoặc phương pháp thế giải tìm được 1
3
x m
y m
= +
= −
Khi đó S = x2 + y2= (m+1)2 + (m – 3 ) 2 = 2m2 – 4m + 10 = 2(m – 1) 2 + 8 0,5
Để S đạt giá trị nhỏ nhất thì m = 1, khi đó minS = 8 0,25 Vậy m = 1
Trang 4Câu 4: (4,0 điểm)
a)
K L Q
P
N
M
H
E
A
D
G
a1 Chứng minh: BH = CE và BH⊥
CE.
∆ABH và ∆AEC có :
AB = AE BAH· =EAC· ( 90= 0+BAC· )
AH = AC
=> ∆ABH =∆AEC (c-g-c)
0,5
Gọi K là giao điểm của BH và AC, L
là giao điểm của BH và CE Ta có :
0,25
Mà
· · 900 · · 900
=> CLK· =900 Vậy : BH ⊥CE 0,25
a2 Chứng minh: MNPQ là hình vuông.
MN = PQ = 1
MQ = NP = 1
2CE , BH = CE 0,25
=> MN = NP = PQ = QM 0,25
Do BH ⊥CE nên : MN ⊥NP 0,25
=> MNP· =900 0,25 Vậy MNPQ là hình vuông 0,25
H C'
B'
A'
A
b) Tính tổng: ' ' '
Đặt S = S∆ ABC ; S1= S∆ HBC ;
S2 = S∆ HAC ; S3 = S∆ HAB
Ta có: 1 ' 2 ' 3 '
S
=> ' ' ' 1 2 3
1
+ +
Câu 5 : (4 điểm)
a) vẽ AE // BC ⇒·AED BCD=· (1) 0,25
Trang 5⇒ AE = BC = AD 0,25
và AB = EC 0,25 ⇒ Tam giác ADE cân tại A
⇒ ·ADC=·AED (2)
0,25
Từ (1) và (2) ⇒ ·ADC BCD=· 0,25
Tứ giác ABCD có AB // CD và
thang cân
0,25
b) AE cắt BD tại I
AE // BC,BD⊥BC (gt)
∆ABD cân tại A ( AB = AD ) có AI là
đường cao nên AI cũng là trung tuyến
∆BDC có IE // BC, I là trung điểm BD
Do đó E là trung điểm DC : DE = EC 0,25 Suy ra : AD = AE = DE (= AB) 0,25
⇒ ∆ADE đều ⇒ ·ADC=600 0,25
180 60 120
c) Gọi h là độ dài đường cao vẽ từ D đến
AB
1
2
ABD
1
2
ABCD
= 1 ( 2 ) 3
2h AB+ AB = 2h AB 0,25
Vậy : S ABCD =3S ABD 0,25