ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 ĐỒNG THÁP CỰC HAY

Qua A vẽ tiếp tuyến xy, đường thẳng BM cắt tiếp tuyến xy tại C, đường thẳng BN cắt tiếp tuyến xy tại D.. Gọi P là trung điểm của AC, Q là trung điểm của AD; H là trực trâm của tam giác B

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (5,0 điểm)

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n2 + + n 2 không chia hết cho 3

b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 + 17 là một số chính phương

Câu 2 (5,0 điểm)

a) Giải phương trình: x2 + 4x+5 = 2 2x+3

b) Giải hệ phương trình:

2 2

2x+y = x 2y+x = y

ĐỀ THAM KHẢO

HUYỆN THANH BÌNH

ĐÁP ÁN ĐỀ THI THAM KHẢO

2x+y=x 2y+x=y

Vậy Amin = −1 khi x = -2

Từ (1) và (2) suy ra BH.HE + CH.CF = BC(BI + CI) = BC2

Gọi K là điểm đối xứng của H qua BC suy ra HCB KCB· =·

Mà FAI HCI· = · (do tứ giác AFIC nội tiếp)

+ Khi BAC 90 · = 0 ⇒ BIC 90 · = 0

⇒ F trùng với B, E trùng với C lúc đó EF là đường kính

⇒ EF đi qua điểm O cố định

Vậy đường thẳng EF luôn đi qua điểm O cố định

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH ĐỒNG THÁP

ĐỀ ĐỀ XUẤT

(Đề gồm có 02 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Ngày thi:

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu I (4,0 điểm)

1 Tính : A = 4+ 10+2 5 + 4− 10+2 5

2 Chứng minh rằng số có dạng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n ∈ N và n >1

không phải là số chính phương

3 Chứng minh rằng: P = 2 + 22 + 23 + …+ 22011 + 22012 chia hết cho 6

Câu II (4,0 điểm)

Câu III (4,0 điểm)

1 Cần đặt một ống nước dài 21m bằng hai loại ống: ống dài 2m và ống dài 3m Hỏi mỗi

Câu IV (4,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Chứng minh rằng: 1.Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC

4.Gọi I, K, Q, R lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ E xuống AB, AD, CF, BC

Chứng minh bốn điểm I, K, Q, R cùng nằm trên một đường thẳng

Câu V (4,0 điểm)

1.Một trường học được xây dựng trên khu đất hình chữ nhật

ABCD có AB = 50m; BC = 200m Ở phía chiều rộng AB

tiếp giáp đường chính, người ta sử dụng hai lô đất hình vuông

AMEH, BMIK để xây dựng phòng làm việc và nhà để xe

Diện tích còn lại để xây phòng học và các công trình khác

(hình vẽ) Tính diện tích lớn nhất còn lại để xây phòng học và

các công trình khác

B M

K A

H

C E I

2. Cho đường tròn (O) hai đường kính AB và MN Qua A vẽ tiếp tuyến xy, đường thẳng

BM cắt tiếp tuyến xy tại C, đường thẳng BN cắt tiếp tuyến xy tại D Gọi P là trung điểm của

AC, Q là trung điểm của AD; H là trực trâm của tam giác BPQ

a) Chứng minh AH.AB=AP.AQ

b) Chứng minh H là trung điểm của OA

c) Cho AB cố định Tìm vị trí của đường kính MN sao cho diện tích tam giác BPQ có

Và n2 - 2n + 2 = n2 - 2(n - 1) < n2

Vậy (n - 1)2 < n2 - 2n + 2 < n2 => n2 - 2n + 2 không phải là một số chính

phương

0.250.25

⇔x = 4 ( Thỏa mãn điều kiện).

0.250.25

Gọi x là số ống loại 2m và y là số ống loại 3m

ĐK: x, y là số nguyên không âm

≥ −

+ ≥

Dấu “=” xảy ra khi 7 x x 5− = + ⇔ =x 6

VP: x 12x 38 (x 6) 2 22− + = − 2+ ≥ Dấu “=” xảy ra khi x 6 0− = ⇔ =x 6

Do đó 7 x− + x 5 x 12x 38− = 2− + ⇔ =x 6

Vậy phương trình có nghiệm x=6

0.25

0.250.250.25

E F

0.250.25

H A

D

E F

Đặt AM = a ; MB = b ⇒ (a+b)2 = 502

(a – b)2 ≥ 0 ⇔ a2 -2ab +b2 ≥ 0 ⇔ a2 + b2 ≥ 2ab 0.52(a2 + b2) ≥ (a + b )2 = 502

⇔ a2 + b2 ≥ 1250

Diện tích nhỏ nhất SAMEH + SBMIK = 1250 (m2)

Diện tích lớn nhất còn lại: 10000 – 1250 = 8750 (m2)

0.50.250.25

0.250.25

0.250.25

Phụ chú: - Nếu học sinh có cách giải khác chính xác, lý luận chặt chẽ vẫn hưởng điểm tối đa.

- Điểm thi không làm tròn.

D

C

B A

ĐỀ THAM KHẢO THI HỌC SINH GIỎI

MÔN: TOÁN KHỐI: 9 Đề:

Bài 1 (4điểm) Cho biểu thức

1

)1(22

1

2

−

−+

+

−++

−

=

x

x x

x x x

x

x x P

Bài 2: (3điểm)

a/ Cho

x z

x z C z y

z y B y x

y x A

+

−

=+

−

=+

−

Chứng minh rằng (1+A)(1+B)(1+C) = (1- A)(1- B)(1- C)

b/ Cho các số , , ,a b c , , x y z thoả mãn điều kiện: x by cz= + , y ax cz= + , z ax by= + ,

1401945

701930

x+ + + = + +b/ Cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức: A = 3x4 316

c a c

b c b

a M

+

++

++

= Chứng minh rằng M∉Z

Bài 6: (4điểm)

Cho hình vuông ABCD cạnh là a Gọi M, N, P là ba điểm lần lượt lấy trên các cạnh BC, CD và

DA sao cho tam giác MNP là tam giác đều

x z C z y

z y B y x

y x

A

+

−

=+

−

=+

x y x

y x

+

=+

Tương tự 1+B=

z y

y y x

y x

+

=+

Tương tự 1- B=

z y

)(

(

82

2

2

x z z y y x

xyz x

z

z z y

y y x

x

+++

=+++

0.25

Do đó (1-A)(1-B)(1-C)=

))(

)(

(

82

2

2

x z z y y x

xyz x

z

x z y

z y x

y

+++

=+++

0.25

Suy ra (1+A)(1+B)(1+C) = (1- A)(1- B)(1- C) 0.25

b/ Cộng vế với vế của các đẳng thức ta được: x y z+ + =2(ax by cz+ + )

a/ giải phương trình

20151975

1401945

701930

x+ + + = + +a/ giải phương trình

2015

0)2015

11975

11945

11930

1)(

2015(

2015

20151975

20151945

20151930

2015

12015

11975

401

1945

701

193085

+

⇔

++

+

=

++

+

⇔

++

+

+

=+

++++

x x

x x

x x

x x

x x

(0.5đ)(0.5đ)(0.5đ)

AHB AHC BHC ABC AHB AHC BHC

ABC AHC BHC

AHB ABC ABC ABC

' ' '' ' '

' ' '

AHC BHC AHB

ABC ABC ABC

Câu 6:

a/ Ta có MN2 = MC2 + CN2 = (a - BM)2 + CN2 Lại có: MP2 = AB2 + (BM – AP2 ) = a2 + (BM – AP2 )2

⇒ (a - BM)2 + CN2 = a2 + (BM – AP2 )

⇒ BM2 – 2aBM + CN2 = BM2 – 2BM.AP + AP2

⇒ CN2 – AP2 = 2a BM – 2BM.AP = 2BM( a – AP) = 2 BM DP Vậy CN2 – AP2 = 2BM DP

b/ Ta có: SMNP =

234

MP , do đó S

MNP nhỏ nhất

⇔MP ngắn nhất ⇔

MP = a ⇔MP// ABKhi đó: ∆PND = ∆MCN ⇒ ND = NC

⇒ N là trung điểm CD còn CM = DP = 3

2

a

0 5

0.5

0.5

0.5

Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÁP MƯỜI

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG

TỈNH MÔN : TOÁN

ĐỀ ĐỀ XUẤT Câu 1 (4 điểm)

a) Tính giá trị biểu thức: A = 4+ 5 3 5 48 10 7 4 3+ − +

C

b) Chứng minh rằng: B= +(x y x)( +2 )(y x+3 )(y x+4 ) yy + 4 là số chính phương với mọi số x, y nguyên.

Câu 2 (3 điểm)

Cho biểu thức:

2

1:

1

111

x

x x

x

x P

Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD; E là trung điểm của CD Gọi M là giao điểm của AE và BD, N

là giao điểm của BE và AC

a) Chứng minh: MN song song AB

b) Kẻ đường kính CC', tứ giác CAC'A' là hình gì ? Tại sao?

c) Kẻ AK ⊥ CC', tứ giác AKHC là hình gì ? Tại sao?

d) Tính diện tích phần hình tròn nằm ngoài tam giác ABC

( Biết π ≈3,14, kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2)

HẾT

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI ĐỀ XUẤT CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

VÒNG TỈNH

Môn thi : TOÁN

1

a) A = 4+ 5 3 5 48 10 7 4 3+ − +

0,50,50,250,250,250,25

2 a) ĐKXĐ: x≥0,x≠1

2

1:

1

111

x

x x

3

11

2 1

21

x x

6 02

43(VN)

0,250,250,25- 0,250,250,250,25

0,5

0,25- 0,250,5

0,5

0,250,50,5 - 0,5

Vậy

2

ab MN

a b

=+5

a) Ta có : ∆ ABC cân tại A nên AA' là đường kính của đường tròn (O)

nên AA' đi qua H

Ta có: ·ACK =·AHK (cùng chắn cung AK)

·OAC=·ACO (tam giác AOC cân tại O)

Suy ra ·OAC=·AHK

Nên HK // AC

Suy ra tứ giác AKHC là hình thang (2)

Từ (1) và (2) ⇒ tứ giác AKHC là hình thang cân

0,25

0,250,25

0,250,250,5

Chú ý:

- Học sinh có lời giài khác đúng logic cho điểm tối đa

- Riêng câu 4, câu 5 hình vẽ sai không chấm bài làm

THAM KHẢO

Kỳ thi học sinh giỏi cấp Tỉnh Môn: Toán (Lớp 9) Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)

Bài 3: (3điểm)

Một tổ học sinh được tặng một số quyển vở Số vở này được chia hết và chia đều cho mọi người trong tổ Để đảm bảo nguyên tắc chia, tổ trưởng đã đề xuất cách nhận số vở của mỗi

người như sau: Bạn thứ nhất nhận 1 quyển vở và được lấy thêm 1

11 số vở còn lại Sau khi bạn

thứ nhất lấy phần mình, bạn thứ hai nhận 2 quyển vở và được lấy thêm 1

11 số vở còn lại Cứ

tiếp tục như thế đến bạn cuối cùng thứ n nhận n quyển vở và được lấy thêm 1

11 số vở còn lại.Hỏi tổ học sinh nói trên có bao nhiêu bạn và mỗi bạn được nhận bao nhiêu quyển vở ?

Bài 4: (4 điểm)

a) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC Chứng minh rằng: BC2 =3AH2+BE2+CF2

b) Cho tam giác ABC có AB = 3cm; AC = 6cm; góc A = 1200 Tính độ dài phân giác

AD của tam giác ABC (với D thuộc BC)

Bài 5: (4 điểm)

a) Cho tứ giác ABCD có CB = CD và góc A = 900 Từ A vẽ AH vuông góc với BD tại

H Chứng minh rằng: CD, CH, AH là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông

b) Cho hình thang vuông ABCD (góc A = góc B = 900) có góc CMD = 900, với M là

trung điểm của AB Chứng minh rằng: CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB Hết./.

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1 : (5 điểm)

-Gọi số vở mà tổ được tặng là x (quyển) (x nguyên dương) 0,25

-Số vở bạn thứ nhất nhận được là: 1 1 ( 1) 10

11 11 11

x x

M B

C H

a) Gọi M là trung điểm của BD thì suy ra:

N M

A

B

D

C H

b) Kẻ MH vuông góc CD tại H, gọi N là trung điểm của CD thì MH là đường trung

bình của hình thang ABCD, suy ra MN // AD nên góc DMN = góc ADM (1) 0,5

Mà MN là đường trung tuyến của tam giác vuông DMC nên MN = DN = 1

2DC

Do đó tam giác MND cân tại N, suy ra: góc DMN = góc NDM (2)

0,5

Từ (1) và (2) suy ra: góc ADM = góc HDM Do đó suy ra MA = MH 0,5

Mà MA là bán kính của đường tròn tâm M, đường kính AB

Vậy: CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB 0,5

* Ghi chú: Khuyến khích tính sáng tạo của thí sinh, thí sinh làm bài theo cách khác với hướng dẫn

chấm, nếu lí luận chặt chẽ, đưa đến kết quả đúng giám khảo chấm điểm tối đa. Hết./.