a Tìm m để đồ thị hàm số 1 tiếp xúc với đường thẳng y=x.. Biết rằng E2 đi qua điểm M thuộc đường thẳng ∆.. Tìm tọa độ điểm M sao cho elip E2 có độ dài trục lớn nhỏ nhất.. Hỏi có bao nhi
Trang 1www.vnmath.com
1
0
x ay a
+ − = + − =
Buổi sáng:
Bài 1: (5đ) Cho hàm số
2
2
2
(2 1)
1
y
x
=
− (1), với m là tham số a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y=x
b) Khi m =2, tìm trên đồ thị (C) của hàm số (1) hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua đường thẳng (d): 2 1
4
y= x+
Bài 2: (3đ) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ( ) :x−y+5=0 và hai elip
1
25 16
(E ) :x y 1
a +b = (a>b>0) có cùng tiêu điểm Biết rằng (E2) đi qua
điểm M thuộc đường thẳng ∆ Tìm tọa độ điểm M sao cho elip (E2) có độ dài trục lớn nhỏ nhất
Bài 3: (4đ) Cho hệ phương trình ,với a là tham số
a) Giải hệ phương trình với a=1
b) Tìm a để hệ có hai nghiệm phân biệt (x1,y1), (x2,y2) Chứng minh rằng
(x −x ) +(y −y ) ≤1
Bài 4: (4đ) Lớp 12A của trường trung học phổ thông chuyên có 33 học sinh trong đó
có 7 học sinh nữ Trong một chuyến tham quan thực tế, theo yêu cầu của ban tổ chức, cần chia lớp thành 3 tổ, tổ 1 có 10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh trong đó mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy?
Bài 5: (2đ) Tìm nghiệm nguyên của phương trình
4y3 – 4x2y2 – 4xy2 + x2y + 5x2 +4y2 + 4xy + 8x =0
Bài 6: (2đ) Cho hàm số f: → thỏa điều kiện
( ) ( )
+
+ Chứng minh rằng f là hàm hằng trên
Trang 2www.vnmath.com
2
Buổi chiều :
Bài 1 : (4,5đ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Từ một điểm thuộc miền trong tam
giác vẽ các đoạn thẳng IH, IK, IL lần lượt vuông góc với BC,CA, AB Tìm vị trí của điểm I sao cho AL2 + BH2 + CK2 nhỏ nhất
Bài 2 : (4,5đ) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2 Chứng
minh rằng
a2 + b2 + c2 +2abc < 2
Bài 3 : (4,5đ) Xét phương trình
xn – x2 – x – 1 = 0, n∈ , n>2 Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n>2 thì phương trình trên có một
nghiệm dương duy nhất Chứng minh rằng lim n 1
→+∞ = , trong đó xn là nghiệm dương của phương trình trên
Bài 4 :(4,5đ) Cho dãy số (un) xác định bởi
1 2 1
3 1 ( 4); 1,2,3,
5
n n n
u
u + u u n
=
= + + =
a) Chứng minh rằng (un) là dãy tăng nhưng không bị chặn trên
b) Đặt
1
1 , 1, 2, 3,
3
n n
u
=
+
Bài 5 : (2đ) Tìm tất cả các hàm số liên tục f : → thỏa điều kiện
2
2