Tính giới hạn của dãy trong trường hợp đó.. Tìm tất cả các giá trị của n để a n là số chính phương... Chứng minh rằng với mọi cách chọn số nguyên a,b thì dãy trên hoặc không có số nào
Trang 1CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Bài 1 (T6/85)
Cho a là một số nguyên dương tuỳ ý Đặt r = a 1 + + a Chứng minh rằng với mọi số
tự nhiên n, đều tồn tại một số nguyên dương M n sao cho n
r = M + + 1 M .
Bài 2 (T6/219)
Dãy số { }a n được xác định như sau:
1
n 1 n 3
n
a 1
1
a
+
=
Tìm tất cả các số thực α sao cho dãy { }u n xác định bởi n
n
a
n
α
= ≥ hội tụ và giới hạn của nó khác không
Bài 3 (Thi HSG QG 1995)
Dãy số { }a n n∈¥ , được xác định như sau: a 0 = 1,a 1 = 3 và với mọi n = 0,1,2,3… thì
n 1 n
n 2
n 1 n
a 9a ,n 2k a
9a 5a ,n 2k 1
+ +
+
Chứng minh rằng:
1) 2000 2
k
k 1995
a
=
∑ chia hết cho 20
2)a 2n 1+ không là số chính phương với mọi n ∈ ¥
Bài 4 (T7/221)
Cho các dãy { }a n và { }b n thoả mãn cáccông thức sau (n ∈ ¥ * )
*
n(1 n) n (1 n )
1 n(n 1) * n
n
a
n 1
+
+
Tìm nlim b n
→+∞
Bài 5 (T6/224)
Cho dãy { }x n thoả mãn: x 3 2cos ; x n 1 3x n 1
9 +
π
= = − Tìm nlim x n
→+∞
Bài 6 (T6/225)
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n cho trước, phương trình x 2n 1 + = + x 1 có đúng một nghiệm thực Gọi nghiêm đó là x n Tìm nlim x n
→+∞
Bài 7 (T8/225)
Cho dãy số { }b n n 1∞= được xác định bởi: b 1 = 0,b 2 = 14,b 3 = − 18 và bn 1+ = 7bn 1− − 6bn 2− ,n 3 ≥
CMR với mọi số nguyên tố p ta luôn có b p chia hết cho p
Bài 8 (T7/226)
Trang 2Cho phương trình: x 13 − + x 6 3x 4 − 3x 2 + = 1 0.
1) Chứng minh rằng phương trình có đúng một nghiệm thực
2) Đặt x 1 = 1 và ( 7/3 ) 3/13
n 1 n
x + = x− + 1 − với mọi số nguyên dương n CMR dãy số { }x n có giới hạn và khi đặt x 0 nlim x n
→+∞
= − thì x0 là nghiệm nói trên.
3) Dùng máy tính bỏ túi tính gần đúng giá trị của nghiệm đó
Bài 9 (T7/227)
Cho dãy số { }a n xác định như sau: 2 2
2 3
a ,a a (4a 10a 5) , n 0
−
hạng tổng quát của a n
Bài 10 (T8/228)
Giả sử n n
k 0
3n S
3k
=
∑ , trong đó: m m(m 1) (m s 1)
÷
3n n
n lim S
Bài 11 (T6/229)
Cho dãy số { }x n thoả mãn 1 x < < 1 2 và 2
1
2
+ = + − ∀ ≥ CMR dãy { }x n hội tụ và tìm giới hạn của nó
Bài 12 (T1/233)
Cho dãy số nguyên { }a n n 0∞= thoả mãn: a n 2+ + a n 1− = 2(a n 1+ + a ) n (1)
Chứng tỏ rằng tồn tại số nguyên M không phụ thuộc vào n sao cho M 4a a + n 1 n+ là số chính phương với mọi n 0 ≥
Bài 13 (T1/236)
Cho dãy { }a n thoả mãn:
3 2
n n
1 n 1 2
n n
2a 2a 2
3a 4a 1
+
− − ¢ Chứng minh rằng nếu a ≥2
thì dãy { }a n hội tụ Tính giới hạn của dãy trong trường hợp đó
Bài 14 (T6/237)
Cho dãy { }a n thoả mãn: a 1 = 1,a 2 = 3,a n 1+ = + (n 2)a n − + (n 1)a n 1− ∀ ≥ n 2 Tìm tất cả các giá
trị của n để a n là số chính phương
Bài 15 (T6/238)
Cho dãy số thực { }x n thoả mãn các điều kiện:
4 n
1 n 1
n
x 1
5x
các bất đẳng thức sau: n 1
1
5 < + < ∀ ≥
Bài 16 (T7/240)
Xét dãy số thực { }a n thoả mãn: 2
n 1 n
a + = 3a − 2 ∀ ≥ n 1 Tìm tất cả các số hữu tỉ a 1 mà tồn tại m n ≠ sao cho am = an.
Bài 17 (T6/241)
Trang 3Cho dãy số { }b n n 1∞= được xác định bởi: 2
∀ ≥n 1 CMR dãy
{ }b n là dãy hội tụ và hãy tìm nlim b n
→+∞
Bài 18 (T1/244)
x ; x ; x ; ; x
−
−
− − − trong đó x 1 ≠ 0 và x1≠ ± 1 Chứng
minh rằng x 1997 = x 1
Bài 19 (T7/244)
Cho dãy số {p(n)} được xác định như sau:
p(1) = 1; p(n) = 1 p(n – 1) + 2.p(n – 2) + … + (n – 1).p(1), n 2 ≥
Xác định p(n) với mỗi n ∈ ¥ *
Bài 20 (Thi HSG QG 96 – 97 bảng A)
Cho số tự nhên n >1 không chia hết cho 1997 Xét hai dãy số (a ) i và (b ) i được xác định như sau:
i
ni
a i
1997
= + với i = 1,2,3,…,1996
j
1997 j
b j
n
= + với j = 1,2,3,…,n – 1
Xét tất cả các số của hai dãy trên và sắp thứ tự không giảm ta được: c 1 ≤ ≤ ≤ c 2 c 1995 n+ CMR c k 1+ − < c k 2 với mọi k = 1,2,…,1994 + n
Bài 21 (Thi HSG QG 96 – 97 bảng A)
Có bao nhiêu hàm số f : ¥ * → ¥ * thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:
1) f(1) = 1
2) f (n)f (n 2) f (n 1) 1997 + = 2 + + với mọi n ∈ ¥ *
Bài 22 (Thi HSG QG 96 – 97 bảng B)
Cho dãy số nguyên (a ) n n∈¥ được xác định như sau:
a = 1,a = 45,a + = 45a + − 7a với mọi n = 0,1,2,…
a) Tính số các ước dương của 2
n 1 n n 2
a + − a a + theo n.
b) Chứng ming rằng 2 n 1
n
1997a + 7 4+ là số chính phương với mỗi n.
Bài 23 (T1/245)
−
−
Bài 24 (T6/245)
Cho dãy số { }x n xác định bởi: x 0 = a, x 1 = b và với n > 1 thì 2
n 1 n n 1
x + = 5x − 3x − Chứng
minh rằng với mọi cách chọn số nguyên a,b thì dãy trên hoặc không có số nào chia hết cho 1997 hoặc có vô số số chia hết cho 1997
Bài 25 (T6/247)
Trang 4Cho dãy số { }u n xác định bởi: u 1 = 1,u 2 = 2;un = un 1− + un 2− (n 3 ≥ ) Chứng minh rằng dãy
{ }x n xác định bởi:
n n
k 1 k
1
u
=
=∑ ≥ hội tụ
Bài 26 (T6/251)
Cho dãy số { }x n xác định như sau: x 1 = 7, x 2 = 50;xn 1+ = 4xn+ 5xn 1− − 1975 (n 2 ≥ ) Chứng minh rằng x 1996 M 1997
Bài 27 (T7/252)
Cho số thực α > 2 và dãy số thực dương { }a n n 1∞= thoả mãn điều kiện: a nα = + + + a 1 a 2 a n 1− với mọi n 2 ≥ CMR dãy n
n 1
a n
∞
=
có giới hạn hữu hạn khi n→ ∞ và hãy tìm giới hạn
đó
Bài 28 (T7/253)
Cho dãy { }x n n 0+∞= được xác định bởi: x 0 = 1, x 1 = 5;xn 1+ = 6xn− xn 1− (∀ ≥ n 1) Hãy tìm
{ }
n
lim x 2x
→∞ (Kí hiệu { }a = − a [ ]a là phần lẻ của a)
Bài 29 (T1/265)
Xét dãy số a 1 = 1,a 2 = 3 và an 2+ = 2an 1+ − + an 1 với mọi số nguyên dương n CMR số
n n 2
A 4a a = + + 1 là số chính phương.
Bài 30 (T8/267)
Cho dãy số { }u n n 0∞= được xác định bởi: u 0 = 3,u 1 = 11,u n 2+ = 2u n 1+ + 7u n với n = 0,1,2,… Tìm các số nguyên dương lẻ a sao cho với các số nguyên dương m và n tuỳ ý, luôn tìm được số nguyên dương k thoả mãn k m
n
u − a 2 M
Bài 31 (Đề thi HSG QG 98 – 99 bảng A)
Cho hai dãy số { }x n n 0∞= và { }y n n 0∞= được xác định như sau:
x = 1, x = 4;xn 2+ = 3xn 1+ − xn với mọi n = 0,1,2,…
y = 1, y = 2;yn 2+ = 3yn 1+ − yn với mọi n = 0,1,2,…
1) Chứng minh rằng: 2 2
n n
x − 5y + = 4 0 với mọi n = 0,1,2,…
2) Giả sử a, b là các số nguyên dương thoả mãn a 2 − 5b 2 + = 4 0 CMR tồn tại số tự nhiên k sao cho x k = a và yk = b.
Bài 32 (T6/268)
Dãy số ( )a ,n 0,1, 2 n = được xác định bởi: a0 = a,a1= b,an 2+ = dan 1+ − an với mọi n =
0,1,2…, trong đó a, b là hai số nguyên khác 0 còn d là số thực Tìm giá trị của d để a n
là số nguyên với mọi n = 0,1,2…
Bài 33 (T7/228)
Tìm giới hạn của n
2
S
n khi n → +∞, trong đó: n n
k 1
S kcos
k
=
π
Bài 34 (T7/270)
Trang 5Dãy số ( )u ,n 0,1,2 n = được xác định bởi: u0 = 1,u1= − 1,un 1+ = kun− un 1− với mọi n =
1,2,3… Tìm tất cả các giá trị hữu tỉ của k để dãy (u ) n là một dãy tuần hoàn
Bài 35 (T1/271)
Cho dãy số ( )a ,n 0,1, 2 n = được xác định bởi: 28 27
a = 9,a + = 27a + 28a với mọi n =
0,1,2… Chứng minh rằng số a 11 viết trong hệ thập phân có tận cùng nhiều hơn 2000 chữ số 9
Bài 36 (T7/271)
Cho hai số thực dương a,b với a b ≤ Lập hai dãy số ( )u n và ( )v n (n = 1,2,3…) như sau:
1
u = a, v1= b, un 1+ = 2(un + v )n , n n 2n 2n
n 1
n n
(u v )(u v ) v
u v
với mọi n = 1,2,3…
Chứng minh rằng:
n
3
n 1 n 1
a b
4 (a b) u v 2 ab
2 ab
+
Bài 37 (T1/276)
Lập dãy số nguyên (a ) n (n = 1,2,3…) như sau: a 1 = 2; số an bằng tổng các luỹ thừa bậc 10 của tất cả các chữ số của a n 1− với mọi n = 1,2,3…Chứng minh rằng trong dãy
số đó tồn tại hai số bằng nhau
Bài 38 (T8/277)
Cho số thực x sao cho 0 x < < π và xπ không là số hữu tỉ Đặt S 1 = sinx,S 2 = sinx+sin2x, ,
n
S = sinx+sin2x+ +sinnx Gọi tn là số các số hạng âm trong dãy S ,S , ,S 1 2 n Chứng minh rằng: n
n
lim
n 2
π.
Bài 39 (T6/278)
Dãy số ( )u n (n = 0,1,2,3…) được xác định bởi u 0 = 0,u 1 = 1, un 2+ = 1999un 1+ − un Tìm tất
cả các số tự nhiên n sao cho u n là số nguyên tố
Bài 40 (Đề thi HSG QG 99 – 00 bảng B)
Cho số thực c > 2 Dãy số { }x n , n = 0,1,2… được xây dựng theo cách sau: x0 = c,
x + = c − c x + (n = 0,1,2…) nếu các biểu thức dưới căn không âm
Chứng minh rằng dãy { }x n được xác định với mọi giá trị n và tồn tại giới hạn nlim x n
→+∞
Lưu ý:
(Đề thi HSG QG 99 – 00 bảng A)
Cho số thực dương c Dãy số { }x n , n = 0,1,2… được xây dựng theo cách sau:
x + = c − c x + (n = 0,1,2…) nếu các biểu thức dưới căn không âm Tìm tất cả các giá trị của c để với mọi giá trị ban đầu x 0 ∈ (0;c) dãy { }x n được xác định với mọi giá trị n và tồn tại giới hạn hữu hạnnlim x n
→+∞
Bài 41 (T7/281) 11/2000
Trang 6Xét dãy số nguyên dương { }a n (n = 0,1,2,…) thoả mãn các điều kiện : a 0 = 1
2
n n 1 n 1
a > a a− + với mọi n = 1,2,3…
a) Chứng minh rằng a n > n với mọi n 1≥ .
b) Tìm n 2
→∞
Bài 42 (T6/282) 12/2000
Cho hai dãy số { }a n , { }b n (n = 1,2,3…) được xác định bởi: a 1 = 3,b 1 = 2, 2 2
n 1 n n
a + = a + 2b
và b n 1+ = 2a b n n với n = 1,2,3,… Tìm 2 n
n
n lim b
1 2 n
n lim a a a
Bài 43 (T8/283) 1/2001
Xét dãy số thực a ,a , 1 2 thỏa mãn các điều kiện: 0 a < n < 1 và a (1 a )n 1 n 1
4
+ − ≥ với mọi n =
1,2,3…
Chứng minh rằng: n
a
2 2n − < ≤ 2 với mọi n = 1,2,3…
Bài 44 (T8/284) 2/2001
Cho dãy số { }x n (n = 0,1,2,…) được xác định bởi: x 0 = a và n
n
x n
n 1 x
2 (x ln 2 1) 1 x
2 ln 2 1
+
− +
=
− với
mọi n = 0,1,2,… Hãy tìm giới hạn theo a của dãy trên
Bài 45 (T6/285) 3/2001
Tìm số nguyên dương k sao cho dãy số sau gồm toàn số nguyên: a 1 = 1,
2
a + = 5a + ka − 8 với mọi n = 1,2,3,…
Bài 46 (T7/285) 3/2001
Xét dãy số { }x n (n = 1,2,3…) được xác định bởi: x 1 = ≥ a 1, 2n n 2
n
x 2{x } x
[x ]
, trong đó [x] là phần nguyên của x, {x} là phần thập phân của x Chứng minh rằng dãy số { }x n
có giới hạn, tìm giới hạn đó
Bài 47 (T1/286) 4/2001
Dãy số u ,u , ,u 1 2 k được xác định như sau: n
1 u
n(n 1)(n 2)(n 3)
= + + + với n = 1,2,3…,k.
Đặt S u = + + + 1 u 2 u k CMR 18 1 24
S
Bài 48 (T6/286) 4/2001
Xét dãy số { }u n (n = 1,2,3,…) được xác định bởi: u 1 = 2, 3 2
n n 1
u = 3u − + 2n − 9n + 9n 3 −
với n = 2,3,… Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố p thì: p 1 i
i 1
2000 − u
=
∑ chia hết cho p
Bài 49 (T8/287) 5/2001
Trang 7Giả sử phương trình ax 2 + bx c 0 + = (a 0 ≠ ) có hai nghiệm phân biệt Xét dãy số { }x n (n
= 0,1,2,3,…) được xác định bởi số x 0 cho trước và các điều kiện: x (ax n n 1− + + = b) c 0
với n = 1,2,3,… Hãy tìm nlim x n
→+∞ theo x 0
Bài 50 (Đề thi HSG QG 00 – 01 bảng B)
Cho dãy số { }x n , n ∈ ¥ * được xác định như sau: 1
2 x 3
n 1
n
x x
2(2n 1)x 1
+ =
+ + với mọi
*
n ∈ ¥ Hãy tính tổng của 2001 số hạng đầu tiên của dãy { }x n
Bài 51 (Đề thi HSG QG 00 – 01 bảng B)
Cho số thực a, cho dãy số { }x n ,n ∈ ¥ được xác định bởi: x 0 = a và xn 1+ = xn + sin xn với
mọi n ∈ ¥ Chứng minh rằng dãy { }x n có giới hạn hữu hạn khi n → ∞ Hãy tính giới
hạn đó theo a
Bài 52 (Đề thi HSG QG 00 – 01 bảng A)
Với mỗi cặp số thực (a,b), xét dãy số { }x n , n ∈ ¥ được xác định bởi: x 0 = a và
x + = x + bsinx với mọi n ∈ ¥
1 Cho b = 1 Chứng minh rằng với mọi số thực a, dãy { }x n có giới hạn hữu hạn khi
n → +∞ Hãy tính giới hạn đó theo a.
2 Chứng minh rằng với mỗi số thực b > 2 cho trước, tồn tại số thực a sao cho dãy
{ }x n tương ứng không có giới hạn hữu hạn khi n → +∞.
Bài 53 (T7/293) 11/2001
Xét dãy số { }u n (n = 1,2,3,…) được xác định bởi: u 1 = > a 0, n
n 1 n n
u
3
−
mọi n = 1,2,3,… (kí hiệu [x] là phần nguyên của x) Chứng minh rằng dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó
Bài 54 (T7/294) 12/2001
Dãy số { }a n (n = 1,2,3,…) được xác định bởi n 2
1 a
n (n 2) n 1
=
+ + với mọi n = 1,2,3,…
Chứng minh rằng: 1 2 n
1
a a a
2 2
Bài 55 (T7/295) 1/2002
Hỏi có tất cả bao nhiêu đa thức P (x) n bậc n chẵn thoả mãn các điều kiện:
1) Các hệ số của P (x) n thuộc tập hợp M ={0, 1,1 − } và P (0) 0n ≠ .
2) Tồn tại đa thức Q(x) có các hệ số thuộc M sao cho 2
n
P (x) (x ≡ − 1)Q(x)
Bài 56 (T7/296) 2/2002
Giả sử 0
2
π
< α < Xét dãy số { }u n (n = 1,2,3,…) được xác định bởi: u 1 > 0 và
2
2 2
n
2002cos
u u sin
u
α
Chứng minh rằng dãy số { }u n có giới hạn khi n → +∞ và tìm giới hạn đó.
Trang 8Bài 57 (T8/298) 4/2002
Dãy số { }x n (n = 0,1,2,…) được xác định bởi 0 1
1
x 1, x
2
n 1 n
n 1
x x x
2002x 2001x 2000x x
+ +
=
Hãy tìm công thức tổng quát của x n theo n
Bài 58 (Đề thi HSG QG 01 – 02 bảng B)
Xét phương trình: 1 1 1 1 2 1 2 0
2x + x 1 x 4 + + + x k + + x n =
nguyên dương
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình nêu trên có duy nhất nghiệm trong khoảng (0,1), kí hiệu nghiệm đó là x n
2) Chứng minh rằng dãy số { }x n có giới hạn khi n → +∞.
Bài 59 (Đề thi HSG QG 01 – 02 bảng A)
Xét phương trình: 1 1 21 21 1
x 1 4x 1 + + + k x 1 + + n x 1 2 =
dương
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình nêu trên có duy nhất nghiệm lớn hơn 1, kí hiệu nghiệm đó là x n
2) Chứng minh rằng dãy số { }x n có giới hạn bằng 4 khi n → +∞.
Bài 60 (T6/301) 7/2002
Xét dãy số { }a n được xác định bởi: a 1 = 5,a 2 = 11 và an 1+ = 2an − 3an 1− với mọi n = 2,3,…
Chứng minh rằng:
a) Dãy số trên có vô hạn số dương và vô hạn số âm
b) a 2002 chia hết cho 11
Bài 61 (T8/303) 9/2002
Dãy số thực dương { }a n (n = 1,2,3,…) thoả mãn các điều kiện: 1
1 a 6
i n 1 i 1
1
n
∑ ∑ với n = 1,2,3,… Chứng minh rằng
n
2 i
i 1
a 1
=
<
∑ với mỗi n
Bài 62 (T7/304)
Dãy số { }u n (n = 1,2,3,…) được xác định bởi n n n
n 7n 10 u
(n 1).3
+
= + với mọi n = 1,2,3,…
Chứng minh rằng u 1 + + + u 2 u n < 4 với mỗi giá trị của n.
Bài 63 (T10/308)
Xét dãy số { }v n (n = 0,1,2,…) được xác định bởi: v 0 = 1 và n
n 1
1 v
3 v −
−
= + với mọi n =
1,2,3,… Chứng minh rằng dãy số đó có giới hạn và tìm giới hạn đó
Bài 64 (T8/309)
Trang 9Hãy xác định tất cả các dãy số nguyên dương { }x n (n = 1,2,3,…) thoả mãn:
4
n 1
n
1 x
x 1, x 1, x
x
+ +
+
= > = với mọi n = 1,2,3,…
Bài 65 (T8/309)
Dãy số thực { }x n (n = 0,1,2,…) được xác định bởi x 0 = a và 2
n 1 n
x + = 2x − 1 với mọi n =
0,1,2,… Tìm tất cả các giá trị của a để x n < 0 với mọi n = 0,1,2,…
Bài 66 (Đề thi HSG QG 02 – 03 bảng B)
Cho số thực α ≠ 0, và cho dãy số thực { }x n (n = 1,2,3,…) xác định bởi: x 1 = 0 và
n 1 n
x (x+ + α = α + ) 1 với mọi n = 1,2,3,…
1) Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy { }x n
2) Chứng minh rằng dãy { }x n có giới hạn hữu hạn khi n → ∞ Hãy tìm giới hạn đó.
Bài 67 (T10/315)
Các dãy số { }u n và { }v n (n = 0,1,2,…) được xác định bởi: u 0 = 2001, u1= 2002,
0 1
v = = v 1, u n
2002 2001
n 2 n 1
u + = v + , 2002 2001vn
n 2 n 1
v + = u + với mọi n = 0,1,2,…
Chứng minh rằng tồn tại các giới hạn sau và tìm các giới hạn đó:
2n
n
lim u
→∞ , nlim u 2n 1+
→∞ , nlim v 2n
→∞ , nlim v 2n 1+
Bài 68 (T8/316)
Với mỗi số tự nhiên k > 0, chứng minh rằng số ( )2k
2 + 3 luôn viết được dưới dạng
k k
a + b 6 với a k, b k nguyên dương Tìm hệ thức xác định dãy { }a k , { }b k với k = 1,2,3… Chứng minh rằng với mọi k 2 ≥ thì 2
k 1 k 1 k
a a− + − 6b là một hằng số.
Bài 69 (T9/317)
Với mỗi số nguyên dương k, xét dãy số { }k
n
x (n = 1,2,3,…) được xác định bởi: k
1
x = 1,
k
n
k
n
i 1
i
x
i!
=
=∑ với n = 2,3,…
1) Chứng minh dãy số { }k
n
x có giới hạn hữu hạn với mỗi số nguyên dương k
2) Đặt E k nlim xkn
→∞
= Chứng minh rằng: k
k 1
E y E
= là số nguyên dương với mỗi số nguyên
dương k
Bài 70 (T9/318)
Chứng minh rằng dãy số sau có giới hạn khi n → ∞ và tìm giới hạn đó.
n
k 1
k
s k sin
n
=
=∑ (n = 1,2,3,…)
Bài 71 (T7/322)
Trang 10Dãy số { }u n (n = 1,2,3,…) được xác định bởi n n 2
k 1
1 u
(k!)
=
=∑ với n = 1,2,3,… chứng minh rằng dãy số này có giới hạn và giới hạn đó là số vô tỉ
Bài 72 (T5/THPT Cuộc thi kỉ niệm 40 năm THTT)
Dãy số { }u n (n = 1,2,3,…) thoả mãn các điều kiện sau với mọi n = 1,2,3,…:
1) u n = u n 2004+
2) 2n i
i 1
u 0
=
≤
∑
3) 2n 1 i
i 1
u 0
−
=
≥
∑
Chứng minh rằng u 2003 ≥ u 2004 .
Bài 73 (T10/THPT Cuộc thi kỉ niệm 40 năm THTT)
Dãy số { }x n (n = 1,2,3,…) được xác định theo công thức
n
n
x 1 khi (n 1) 2004 n 2004 là môt sô΄le’
x 0 khi (n 1) 2004 n 2004 là môt sô΄ chăn
&
%
&
Trong đó [x] là phần nguyên của x Tính tổng của 41 số hạng S x = 1964 + x 1965 + + x 2004
Bài 74 (Đề thi HSG QG 03 – 04 bảng A)
Xét dãy số thực { }x n , n = 1,2,3,… xác định bởi x 1 = 1 và
2 n
n 1
n
(2 cos2 )x cos
x
(2 2cos2 )x 2 cos2
− α + − α với mọi n = 1,2,3,… trong đó α là một tham số thực
Hãy xác định tất cả các giá trị của α để dãy số { }y n với
n n
k 1 k
1 y
2x 1
=
=
+
∑ , n = 1,2,3,… có giới hạn khi n → ∞ Hãy tìm giới hạn của dãy số { }y n trong các trường hợp đó
Bài 75 (T8/327)
Hai dãy số { }x n và { }y n (n = 1,2,3,…) được xác định bởi: x 1 = − 1, y 1 = 1,
x + = − 3x − 2x y + 8y , 2 2
n 1 n n n n
y + = 2x + 3x y − 2y với mọi n = 1,2,3,… Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho x p + y p không chia hết cho p.
Bài 76 (T10/327)
Xét hàm số
m n x n
m 0
x
f (x) e
m!
−
=
= ∑ , trong đó x là số thực dương và n là số nguyên dương 1) Chứng minh rằng với mỗi số thực dương k với 0 < k < 1 và mỗi số nguyên dương n thì phương trình f (x) k n = có nghiệm duy nhất.
2) Gọi α n là nghiệm của phương trình nêu trên Tìm
n n
1 lim
→+∞ α .