Bài tích hợp liên môn ứng dụng hàm số mũ và hàm số lôgarit (1)

VẬN DỤNG HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOOGARIT VÀO GIẢI BÀI TOÁN THỰC TẾ Cô giáo, thạc sĩ Toán học: Nguyễn Việt Hương Thực hiện chủ trương đổi mới đồng bộ mục tiêu, nội dung, phương pháp, hình thức

VẬN DỤNG HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOOGARIT VÀO GIẢI

BÀI TOÁN THỰC TẾ

Cô giáo, thạc sĩ Toán học: Nguyễn Việt Hương

Thực hiện chủ trương đổi mới đồng bộ mục tiêu, nội dung, phương pháp, hình thức tổ chức dạy học và kiểm tra, đánh giá chất lượng giáo dục; gắn liền giáo dục trong nhà trường với thực tiễn cuộc sống; góp phần hình thành năng lực giải quyết vấn đề của học sinh trung học

Dạy học tích hợp, liên môn là nội dung dạy học; việc dạy học tích hợp, liên môn trong trường phổ thông nhằm phát triển năng lực cho học sinh, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức vào giải quyết những vấn đề thực tiễn Khi giải quyết một vấn đề trong thực tiễn, bao gồm cả tự nhiên và xã hội, đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức tổng hợp, liên quan đến nhiều môn học Dạy học tích hợp có nghĩa là đưa những nội dung giáo dục có liên quan vào quá trình dạy học các môn học như: tích hợp giáo dục đạo đức, lối sống; giáo dục pháp luật; giáo dục chủ quyền quốc gia về biên giới, biển, đảo; giáo dục sử dụng năng lượng tiết kiệm và hiệu quả, bảo vệ môi trường, an toàn giao thông Dạy học liên môn là phải xác định các nội dung kiến thức liên quan đến hai hay nhiều môn học để dạy học, tránh việc học sinh phải học lại nhiều lần cùng một nội dung kiến thức ở các môn học khác nhau

Với nhiều học sinh luôn cho rằng học toán ngoài các phép tính thì hầu hết các kiến thức toán khác là rất trừu tượng Sự thật toán học có nhiều ứng dụng với các môn học khác nhau và trong thực tế trong cuộc sống hàng ngày của con người Hơn nữa, trong đề thi minh họa THPT Quốc gia năm nay có nhiều câu ứng dụng toán học vào thực tiễn cuộc sống Với lí do trên, với mong muốn giúp học sinh nắm vững và biết vận dụng hàm số mũ, hàm số lôgarit vào giải bài toán thực tế, tôi chọn một nội dung để minh họa cho ứng dụng của toán học đó

là: Vận dụng hàm số mũ, hàm số lôgarit vào giải bài toán thực tế.

A PHẦN NỘI DUNG

1 MỤC TIÊU: Học sinh hình thành được năng lực

Kiến thức: Nắm chắc cách giải một số bài toán thực tiễn, bài toán của các

môn khoa học khác như: Vật lí, Hóa học, Sinh học, Lịch sử, Địa lí,…có vận dụng kiến thức về hàm số mũ, hàm số lôgarit

Kĩ năng:

 Vận dụng thành thạo các tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarít để giải quyết một số bài toán thực tế và bài toán của một số môn khoa học khác

 Rèn kĩ năng chuyển đổi một số vấn đề thực tế về mô hình toán và giải quyết bài toán đó

 Rèn kỹ năng sử dụng kiến thức sử dụng kiến thức liên môn trong các môn học

Tư duy, thái độ:

 Rèn tư duy lôgic, tư duy hệ thống, khoa học chính xác, khả năng khái quát hóa vấn đề

 Rèn tính chịu khó, linh hoạt, sáng tạo từ đó hình thành niềm đam mê, yêu thích môn học và luôn có định hướng biết kết hợp vận dụng các tình huống thực tiễn trong quá trình học tập Đồng thời rèn năng lực làm việc khoa học, chủ động, biết phối hợp để giải quyết công việc có hiệu quả nhất

Phân phối thời gian:

Tiết 1: Tiến hành làm hoạt động 1, 2, 3.

Tiết 2 Tiến hành làm hoạt động 4, 5, 6.

2 Nội dung

Giáo viên đặt vấn đề vào bài học: Trong thực tiễn và trong các môn khoa học

khác, có nhiều trường hợp chúng ta gặp một số bài toán có vận dụng phần kiến thức về hàm số mũ, hàm số lôgarít để giải quyết Và đặc biệt, theo cách thức đổi mới của cấu trúc đề thi năm 2017 sắp tới, bài thi sẽ có những câu hỏi rơi vào bài toán thực tế Chính vì vậy, để chuẩn bị tốt cho kì thi tới, hôm nay chúng ta sẽ luyện tập về một số bài toán thực tế, bài toán của một số môn khoa học khác có vận dụng hàm số mũ, hàm số lôgarit

Hoạt động 1: Tóm tắt kiến thức cần dùng.

1 Định nghĩa:

Giả sử a là số dương khác 1

+, Hàm số dạng y a

 được gọi là hàm số mũ cơ số a

+, Hàm số dạng y loga x được gọi là hàm số lôgarit cơ số a

2 Lôgarit :

2.1 ĐN : 0 a 1, b 0

2.2, T/C : Với 0  a 1, b 0 ta có :

 

log



2.3, Các quy tắc tính :

*, Với các số dương a, b1, b2 và a 1 ta có :

2

b

*, Với các số dương a, b và a 1, , ta có :

1

b

 

*, Với các số dương a, b, c và a  1,c 1 ta có :

log

c

c

b



2.4 Đặc biệt : logarit thập phân và logarit tự nhiên:log 10x logx hay lgx ;

loge x lnx

2.5 Công thức lãi kép : C=A(1+r) N

2.4.Công thức lãi kép liên tục hay công thức tăng trưởng mũ :S=Ae N.r

Hoạt động 2 Bài tập áp dụng vào lĩnh vực kinh tế:

Bài 1 Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo cách nếu đến kì hạn

người gửi không rút lãi thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp(được gọi là thể thức lãi kép), với lãi suất 1,65% một quý Hỏi sau bao lâu người đó được ít nhất 20 triệu đồng cả vốn lẫn lãi, giả sử lãi suất không thay đổi

Cách giải

+, Sau một quý người đó nhận được số tiền cả gốc và lãi là:

+, Số tiền cả vốn lẫn lãi người gửi sẽ có sau 2 quý là:

15 1 0,0165

+, Số tiền cả vốn lẫn lãi người gửi sẽ có sau n quý là:

+, Theo bài ta có S=20

+, Do đó:logS log15.1,065n

log 20 log15

17,58 log1,0165

nên sau 4 năm 6 tháng người đó sẽ nhận được ít nhất 20 triệu đồng

Bài 2.(câu 21 đề thi minh họa THPT quốc gia năm 2017)

Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 12% năm Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: sau đúng một tháng kể từ ngày vay ông bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn

nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay Hỏi theo cách đó số tiền m mà ông A phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn

nợ là bao nhiêu Biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông hoàn nợ

3

100 1,01

3

m  triệu đồng B,  

3 3

1,01

m 

 triệu đồng

3

m  triệu đồng D,  

3 3

120 1,12

m 

 triệu đồng đáp án B

Bài 3 Một người đi làm với mức lương khởi điểm là x đồng /tháng Sau 36

tháng người đó được tăng lương thêm 10% Hàng tháng người đó lấy 20% tiền lương để gửi tiết kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép với lãi suất 0,5% tháng Sau 48 tháng thì người này nhận được số tiền cả gốc và lãi là 100 triệu đồng Tìm x?

A, 7.999.504 đồng B.8.999.504 đồng

C, 9.999.504 đồng D, 10.999.504 đồng

Bài 4.Một công ty vừa tung ra thị trường sản phẩm và họ tổ chức quảng cáo trên

truyền hình mỗi ngày Một nghiên cứu thị trường cho thấy, nếu sau x quảng cáo được phát ra thì số phần trăm người xem mua sản phẩm là

0,015

100

e



Hãy tính số quảng cáo được phát tối thiểu để số người mua đạt hơn 75%

A 320 B 325 C 333 D 430

Hoạt động 3 Bài toán vận dụng trong lĩnh vực xã hội

Bài 5 Biết rằng năm 2016 dân số Việt Nam là 91,7 triệu người và tỉ lệ tăng dân

số hàng năm luôn là 1% thì ước tính dân số Việt Nam sau x năm sẽ là: 91,7.e0,01.x

(người) Hỏi cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì sau bao nhiêu năm nữa dân số nước ta ở mức trên 120 triệu người?

Cách giải:

+, Lấy logarit tự nhiên hai vế ta được:

0,01.

ln120 ln 91,7

26,9 0,01

Bài 6 Các loài cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một lượng nhỏ

cacbon 14(một đồng vị của cacbon) Khi một bộ phận của một cái cây nào đó bị chết thì hiện tượng quang hợp cũng ngưng và nó sẽ không nhận thêm cacbon14 nữa Lượng cacbon 14 của bộ phận đó sẽ phân hủy một cách chậm chạp, chuyển hóa thành nito 14 Biết rằng nếu gọi P(t) là số phần trăm cacbon 14 còn lại trong một bộ phận của một cái cây sinh trưởng từ t năm trước đây thì P(t) được tính theo công thức: P t ( ) 100 0,5 5750t  %

Phân tích mẩu gỗ từ công trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng cacbon còn lại trong mẩu gỗ đó là 65% Hãy xác định niên đại của công trình kiến trúc đó

A khoảng 3574 năm B khoảng 3585 năm

C khoảng 3580 năm D khoảng 3590 năm

Gợi ý (nếu cần)

+, Theo bài ta có PT: 65 100 0,5   5750t

+, Từ đó ta tìm được 5750.ln 0,65

ln 0,5

t 

3574

Nên chọn đáp án A

Hoạt động 4: Bài toán áp dụng trong lĩnh vực khoa học – tự nhiên

Bài 7 (Độ chấn động trong địa vật lí)

Cường độ một trận động đất M(richter) được cho bởi công thức:

0

M  A A với A là biên độ rung chấn tối đa và A0 là một biên độ

chuẩn( hằng số) Đầu thế kỉ 20, một trận động đất ở SanFrancisco có cường độ 8,3 độ Richter Trong cùng năm đó, một trận động đất khác ở Nam Mỹ có biên

độ mạnh gấp 4 lần Cường độ trận động đất ở Nam Mỹ là?

A 2,075 B 8,9 C 11,2 D 33,3

Gợi ý(nếu cần)

+, Từ công thức M  logA logA0

0

A



+, Theo bài M=8,3 8,3

0 10

A A

+, Gọi A’ là biên độ rung chấn tối đa của trận động đất ở Nam Mỹ , ta có

'

4

A  A , do đó 8,3

0

' 4.10

A

A 

Nên cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ là log 4.10 8,3  8,9 (chọn đáp án B)

Bài 8 Trong mỗi dung dịch, nồng độ ion hidro [H3O+] đặc trưng cho tính axit, nồng độ hydroxyn [OH-] đặc trưng cho tính bazơ (kiềm) Để đặc trưng cho tính axit, bazơ của một dung dịch người ta chỉ xét độ pH với pH=-log[H3O+] Do đó

ta có:

pH < 7: dung dịch có tính axit

pH > 7: dung dịch có tính kiềm

pH = 7: dung dịch là trung tính

Hãy tính độ pH của bia, rượu nếu biết bia có [H3O+]=0,00008 và rượu có

[H3O+]= 0,0004

A 4-log2 và 4-log3 B 4-log8 và 3-log4

C 5-log8 và 4-log4 D 5-log2 và 4-log2

Gợi ý:Ta có bia: [H3O+]=0,00008 suy ra

pH=-log[0,00008]=5-log8

Tương tự, rượu: có pH=4-log4

KL: bia và rượu đều có pH<7 nên đó là dung dịch có tính axit

Hoạt động 5: Bài toán áp dụng trong lĩnh vực Y – tế

Bài 9 Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn tuân theo công thức trong đó A là

số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0), t là thời gian tăng

trưởng Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con Hỏi sau bao lâu số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng gấp đôi

Gợi ý

+, Trước tiên ta tính tỉ lệ tăng trưởng mỗi giờ của loại vi khuẩn này: (tức là tỉ lệ tăng trưởng là 21,97% mỗi giờ)

+, Từ 100 con ban đầu để có 200 con thì t cần thiết là:

Bài toán theo hướng trắc nghiệm:

Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn tuân theo công thức trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0), t là thời gian tăng trưởng Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con Hỏi sau bao lâu số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng gấp đôi

A 2 giờ 30 phút B 3 giờ 9 phút

C 4 giờ 9 phút C 5 giờ 30 phút

Hoạt động 6: Giải toán bằng tiếng Anh

Exercise10: The flation rate of a country during 10 years is 5 percent If in

2010, the petrol prices is 3 dollar per litre, in 2015 how much does a litre cost? (only assuming gas prices adjusted for inflation)

A 3,53 $ B 3,83$

C 4,13$ D 4,23$

Dịch nội dung bài tập:

Biết rằng tỉ lệ lạm phát hàng năm của một quốc gia trong 10 năm qua là 5% Hỏi nếu năm 2010 giá xăng của quốc gia đó là 3$/lít thì đến năm 2015 giá xăng

sẽ là bao nhiêu tiền (giả sử giá xăng chỉ điều chỉnh theo lạm phát)

A 3,53 $ B 3,83$

C 4,13$ D 4,23$

Exercise 11:The national petroleum reserve is S With the national oil

production is m million barrels per year, the oil reserve can be exploited within

100 years Due to increasing demand for oil, oil production of this country rise

by 4 % per year How long can oil exploitation last?

A 35 year B 41 year

C 49 year D 55 year

Dịch nội dung bài tập

Một quốc gia A có trữ lượng dầu mỏ là S Nếu quốc gia này khai thác với sản lượng m triệu thùng một năm có thể kéo dài trong 100 năm Vì nhu cầu sử dụng tăng nên quốc gia đó khai thác mỗi năm tăng sản lượng thêm 4% Hỏi khi đó quốc gia này có thể khai thác trong thời gian bao lâu

A 35 năm B 41 năm

C 49 năm D 55năm

3 Bài tập vận dụng

Bài 1 Một khu rừng có trữ lượng gỗ 4.105 mét khối Biết tốc độ sinh trưởng của các cây ở khu rừng đó là 4% mỗi năm Hỏi sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có bao nhiêu mét khối gỗ?

A 3,8666.105 (m3) B 4,6888.105 (m3)

C 4,8666.105 (m3) D 5,8666.105 (m3)

Bài 2 Theo số liệu của trung tâm thống kê y tế quốc gia (National Center for

Helth Statistics, Mỹ) tuổi thọ trung bình của một người sinh ra vào năm x (1900< x < 2050) được ước tính bởi công thức 24 0,0301.

79,257 ( )

D x

e





Tính tuổi thọ trung bình của một người sinh ra vào năm 2020?

A khoảng 72 tuổi B khoảng 74 tuổi

C khoảng 76 tuổi D khoảng 78 tuổi

Bài 3 Cho biết chu kỳ bán hủy của một chất phóng xạ Plutôni Pu239 là 24360 năm (tức là một lượng Pu239 sau 24360 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa)

Sự phân hủy được tính theo công thức S=A.e r.t trong đó A là lượng chất phóng

xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy t Hỏi 10gam Pu239 sau bao nhiêu năm phân hủy sẽ còn 1 gam?

A khoảng 81200 năm B khoảng 81250 năm

C khoảng 82100 năm D khoảng 82235 năm

Bài 4 Ban quản lí của một ngân hàng ABC đưa ra chiến lược kinh doanh nhằm

thu hút khách hàng như sau: tiền của khách gửi vào ngân hàng sẽ được tăng 30% so với vốn sau 2 năm Vậy theo ngân hàng phải trả mức lãi suất hàng năm

là bao nhiêu? Biết rằng mức lãi suất hàng năm là không đổi và lãi được tính liên tục

A 8% B 10% C 12% D 15%

Bài 5 Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của Ấn Độ là 1,7% Năm 1998 dân số của Ấn

Độ là 984 triệu Hỏi sau bao nhiêu năm dân số của Ấn Độ sẽ đạt 1,5 tỉ người ( giả sử tỷ lệ tăng dân số không đổi)

Bài 6 Ông A gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0,35% tháng Hỏi

tổng số tiền cả gốc và lãi của ông A sau 15 tháng là bao nhiêu (giả sử lãi suất không thay đổi trong thời gian ông gửi) Tính chính xác đến hàng đơn vị

Đáp án

Bài 4 Chọn B

Bài 5 +, theo công thức tăng trưởng mũ ta có:

.

. N r

S A e

=1,5.10 3  984.e0,017N

3 ln1,5.10 ln 984

25 0,017

+, kết luận: vậy sau 25 năm dân số của Ấn

Độ sẽ đạt 1,5 tỉ người Bài 6 +, vì lãi được tính liên tục nên ta có số tiền

cả gốc lẫn lãi sau 15 tháng là:

(1 )N

C A r =108(1+0,0035)15=105.380.597 đồng

+, kết luận: tổng số tiền cả gốc và lãi của ông A sau 15 tháng là: 105.380.597 đồng

4 BÀI TẬP VỀ NHÀ:

Bài 1 Dân số của xã An Bình hiện nay là 15 nghìn người Người ta dự tính dân

số của xã sau hai năm nữa sẽ là 15.365 người Hỏi sau 9 năm nữa dân số của xã

sẽ là bao nhiêu?(giả sử mức tăng dân số ổn định và lấy chính xác đến hàng đơn vị)

A 16.714 người B 16.987 người C 17.100 người D.17.153 người

Bài 2 Một người được lĩnh lương khởi điểm là 1 triệu đồng/tháng Cứ 3 năm

anh ta tăng thêm một bậc với mức lương mới tăng thêm 7% Hỏi sau 36 năm công tác anh ta nhận được tất cả bao nhiêu tiền? (tính chính xác đến hàng đơn vị)

A 440.740.380 đồng B.446.740.380 đồng

C 450.740.380 đồng D.455.740.380 đồng

Bài 3 Trong Vật Lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bởi công

thức:

1 r 0

1 m(t) = m

2

, trong đó m0 là khối lượng ban đầu của chất phóng xạ (tại thời điểm t = 0); t là chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác) Chu kì bán rã của Cácbon 14 là

và xác định được nó đã mất khoảng 25% lượng Cácbon ban đầu của nó Hỏi mẫu đồ cổ có tuổi là bao nhiêu?

A 2378 năm B 2300 năm C 2378 năm D 2400 năm

Bài 4 pH đất phản ánh mức độ đất chua (acid) hay kiềm và được định nghĩa là:

pH=-log[H+] Căn cứ vào bảng cho dưới đây:

Nồng độ H+ (mol/lit) Độ chua của đất

Hãy tính độ pH của đất để thích hợp cho cây Thanh Long, biết rằng Thanh Long

có khả năng sống ở đất có độ chua ít đến chua nhiều

A 3< pH <5 B 4< pH <6

C pH=-4 hoặc pH=-6 D 4 pH 6  

Bài 5 Để đặc trưng cho độ to, nhỏ của âm người ta đưa ra khái niệm mức

cường độ của âm và được tính theo công thức:

0

L

I

 ( đơn vị dB) hay

0 log I

L

I

 (đơn vị B) Trong đó: I là cường độ của âm

I0 là cường độ của âm ngưỡng nghe (=10-12W/m2)

Một người có khả năng nghe được tiếng ồn có mức cường độ âm L là 110dB Hãy xác định cường độ âm I của tiếng ồn đó

A 10-3 W/m2 B 10-2 W/m2

C 10-1 W/m2 D 10 W/m2

Bài 6 Ông A mua một chiếc xe máy với trị giá 22 triệu đồngvà trả góp hàng

tháng với số tiền 800000 đồng, lãi suất 0,15% /tháng Hỏi sau bao lâu người đó trả hết nợ mua xe