sáng kiến kinh nghiệm rèn kỹ năng tìm nguyên hàm cho học sinh

Lý do chọn đề tài Trong chương trình Toán trung học phổ thông, bài toán tìm đạo hàm, nguyên hàm và tích phân của một hàm số là không thể thiếu.. Tính thành thạo đạo hàm của hàm số, có th

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình Toán trung học phổ thông, bài toán tìm đạo hàm, nguyên hàm

và tích phân của một hàm số là không thể thiếu Đây là lớp bài toán quan trọng, có liênquan mật thiết với nhau Tính thành thạo đạo hàm của hàm số, có thể giúp chúng ta suyluận để hướng tới kết quả của bài toán tìm nguyên hàm, cũng như kiểm tra tính đúngđắn của kết quả Ngược lại, tìm thành thạo nguyên hàm, có thể giúp ta tính được nhiềutích phân đơn giản của các hàm số khác nhau… Tuy nhiên, với nhiều học sinh, việc tìmđược nguyên hàm của một hàm số lại không phải là vấn đề đơn giản Chính vì lẽ đó, ởđây tôi xin đưa ra một số phương pháp tìm nguyên hàm nói chung, và phương pháp tìm

nguyên hàm của một số lớp hàm số nói riêng Đề tài được mang tên “Rèn kỹ năng tìm

nguyên hàm cho học sinh” – hy vọng sẽ giúp các bạn học sinh tạo được các kỹ năng

cần thiết khi tìm nguyên hàm của hàm số

2 Nội dung đề tài

Trình bày các phương pháp tìm nguyên hàm với những ví dụ minh họa cụ thể

Đề tài gồm 2 chương:

Chương 1 Kiến thức bổ trợ

Chương này nhắc lại một số công thức lượng giác cần nhớ, cần thiết cho quátrình biến đổi hàm số; các công thức và quy tắc tính đạo hàm; vi phân của hàm số…

Chương 2 Các phương pháp tìm nguyên hàm

Chương này trình bày một số phương pháp tìm nguyên hàm: Phương phápđổi biến số; Phương pháp nguyên hàm từng phần; Nguyên hàm của hàm hữu tỉ; Nguyênhàm của hàm lượng giác…

Nội dung của chương, được trình bày thành 4 bài:

§1 Định nghĩa nguyên hàm

§2 Một số phương pháp tìm nguyên hàm

§3 Nguyên hàm của hàm hữu tỉ

§4 Nguyên hàm của hàm lượng giác

Tuy nhiên, chúng ta cũng biết rằng, bài toán tìm nguyên hàm là khá phức tạp.Cho nên, đòi hỏi ở học sinh khả năng áp dụng sáng tạo các phương pháp tìm nguyênhàm Và rất thường khi, cũng sẽ gặp nhiều phép biến đổi không theo khuôn mẫu có sẵnnào cả, và tất nhiên cũng sẽ không được trình bày trong phần nội dung các phương pháptìm nguyên hàm Từ đó, lại càng thấy rõ hơn sự cần thiết hình thành kỹ năng biến đổihàm số để tìm nguyên hàm cho học sinh!

NỘI DUNG

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC BỔ TRỢ

Trong Chương này, ta nhắc lại một số kiến thức cần thiết khi biến đổi các biểuthức lượng giác cần tính nguyên hàm, công thức tính đạo hàm của một số hàm số…

A CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ

I Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

1 Cung đối nhau

cos 2 cos   sin  2cos   1 1 2sin   cos   sin 

sin 2 2sin cos 

2

2 tantan 2

4

  

       

3 3 3cos cos3cos3 4cos 3cos cos

1

t t

 



2

2cos

1

t t

 



2

2tan

1

t t

cos cos 2cos cos

1 Công thức tính đạo hàm của hàm số hợp

Cho y là hàm số theo u và u là hàm số theo x thì ta có: y'x y u u' 'x

2 Các quy tắc tính đạo hàm (ở đây u u x  ; v v x  )

CHƯƠNG 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

Trong chương trình Toán trung học phổ thông, bài toán tìm đạo hàm, nguyên hàm

và tích phân của một hàm số là không thể thiếu Đây là lớp bài toán quan trọng, có liênquan mật thiết với nhau Tính thành thạo đạo hàm của hàm số, có thể giúp chúng ta suyluận để hướng tới kết quả của bài toán tìm nguyên hàm, cũng như kiểm tra tính đúngđắn của kết quả Ngược lại, tính thành thạo nguyên hàm, có thể giúp ta tính được nhiềutích phân đơn giản của các hàm số khác nhau… Tuy nhiên, với nhiều học sinh, việc tìmđược nguyên hàm của một hàm số lại không phải là vấn đề đơn giản Chính vì lẽ đó, ởđây tôi xin đưa ra một số phương pháp tìm nguyên hàm nói chung, và phương pháp tìmnguyên hàm của một số lớp hàm số nói riêng Nội dung của chương, được trình bàythành 4 bài:

§1 Định nghĩa nguyên hàm

§2 Một số phương pháp tìm nguyên hàm

§3 Nguyên hàm của hàm hữu tỉ

§4 Nguyên hàm của hàm số lượng giác

Tuy nhiên, chúng ta cũng biết rằng, bài toán tìm nguyên hàm là khá phức tạp Chonên, đòi hỏi ở học sinh khả năng áp dụng sáng tạo các phương pháp tìm nguyên hàm

Và rất thường khi, cũng sẽ gặp nhiều phép biến đổi không theo khuôn mẫu có sẵn nào

cả, và tất nhiên cũng sẽ không được trình bày trong phần nội dung các phương pháp tìmnguyên hàm

Mọi hàm số liên tục trên đoạn a b đều có nguyên hàm trên đoạn ;  a b ; 

B BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP

6 cosxdxsinx C cosudu sinu C

7 sinxdx cosx C sinudu  cosu C

5 ln tan

C x

§2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

Trong bài này, chúng ta tìm hiểu một số phương pháp cơ bản tìm nguyên hàm,như: Áp dụng công thức nguyên hàm của một số hàm số thường gặp; Phương pháp đổibiến số; Phương pháp nguyên hàm từng phần…

I PHƯƠNG PHÁP 1 ÁP DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

• 4 4   1 5

cos sin sin sin sin

5

I  x xdx xd x  x C

• I  1 3sin 2xcosxdx 1 3sin 2x d sinx

• I cos3xdxcos cos2x xdx 1 sin 2x.cosxdx

1 sin2  sin  sin 1sin3

1 CÁC DẠNG ĐỔI BIẾN SỐ THƯỜNG GẶP

1 NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP

Phương pháp này thường được sử dụng khi ta cần tính nguyên hàm của một tích.Giả sử cần tính I f x f x dx1  2  , ta làm như sau:

Đặt  

 

1 2

Thứ tự ưu tiên đặt u trong phương pháp Nguyên hàm từng phần:

Lôgarít  Đa thức  sin ,cos

212

x x

Tính 1 1 cos4

2

I  x xdx Đặt

11

22

dx

x x

1

12

IV PHƯƠNG PHÁP 4 PHỐI HỢP ĐỔI BIẾN SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

V TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG NGUYÊN HÀM PHỤ

Giả sử cần tính I f x dx  Khi đó ta tìm nguyên hàm phụ J g x dx  saocho việc tính I J và I J đơn giản hơn Chẳng hạn:

4 4

sin cossin cos

C x

§3 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ

a) Bậc của P x nhỏ hơn bậc của   Q x Xét các khả năng sau (ở đây ta xét   Q x 

là đa thức bậc 3, các trường hợp khác làm tương tự):

• Q x có các nghiệm đơn khác nhau, giả sử   Q x   x a x b x c       .Khi đó ta tìm A, B, C sao cho  

 3 2 12

dx I

§4 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC

Trong bài này, chúng ta tìm hiểu một số bài toán tìm nguyên hàm của hàm lượnggiác có dạng khá đặc biệt

I Dạng 1

sin sin

dx I

sin  sin 6 sin

2cos

1sin

x dx

IV Dạng 4

sin cos

dx I

2

212sin

1tan

cos

12tan

1

dt dx

t t x

t x

t t x

212

1cos

1

dt dx

t

t t x

212

1cos

1

dt dx

t

t t x

sin tan

dx K

2tan

1

dt dx

t

t t x

1 ln tan 1 3

2 3 tan 1 3

x

C x

1cos

1

dt dx

t

t t x

x t

Vậy:

tan2

3 2ln 2sin cos 1 ln

tan 22

VII Dạng 7 Biến đổi đưa về nguyên hàm cơ bản hoặc 6 dạng ở trên

• cos3 cos4 1 cos cos7 

• tan tan tan

tan tan tan

sin 3 4sin 3sin 4sin sin 3

4cos 3cos cos3cos 4cos 3

4

sin 4 cos 2 cos sin 3

sin cot sin

x u

x

x dx

KẾT LUẬN

Trong đề tài này đã trình bày một số phương pháp để tìm nguyên hàm của hàm số

và nhiều ví dụ minh họa chi tiết… Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song do điều kiện thờigian và năng lực của bản thân có hạn nên chắc chắn đề tài này không thể tránh khỏinhững thiếu sót Tôi kính mong nhận được sự góp ý của các thầy cô giáo và bạn đọc để

đề tài này có thể được chính xác, đầy đủ hơn và có ích cho các bạn học sinh tìm hiểu vềlớp bài toán nguyên hàm – tích phân

Xin trân trọng cảm ơn!