Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD.. Tìm toạ độ đỉnh A... …thực hiện tương tự cách trên... Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD.. Tìm toạ độ đỉnh A.. Ta chứng minh
Trang 1ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG T9/2015
Lịch học: T3: 16h – 18h; T6: 14h – 16h
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
Nội dung kiến thức:
Đại số: Phân tích nhân tử, ẩn phụ, đẳng cấp
Hình học: Chứng minh vuông góc cơ bản
Câu 1 (2 điểm) Giải bất phương trình x2+ x + 3 x −2 ≤ 5x2−2x −22
Câu 2 (2 điểm) Giải phương trình
(x −1)(x2+ 7x −5)
3+ 3−2 trên tập số thực
Câu 3 (2 điểm) Giải phương trình 2x +5( 2− x + 2 2x +5)3= 64 trên tập số
thực
Câu 4 (3,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD Gọi M là
điểm trên cạnh BC sao cho CM = 2BM, và G là trọng tâm tam giác ADC Giả sử G(5;2), M(-2;3) Tìm toạ độ đỉnh A
Câu 5 (1 điểm) Giải phương trình sau trên tập số thực
x2+ x −5+ −x2+ 6x +16 = (x −1) 8− x + 4 x + 2
-HẾT -
Họ và tên thí sinh:……… …….; Trường: ………
Trang 2ĐÁP ÁN T9/2015
Câu 1 (2 điểm) Giải bất phương trình x2+ x + 3 x −2 ≤ 5x2−2x −22
Điều kiện:
x2+ x ≥ 0
x−2 ≥ 0
5x2−2x −22 ≥ 0
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⇔ x ≥1+ 111
5
Bất phương trình tương đương với:
( x2+ x + 3 x −2)2≤5x2−2x −22 ⇔ 3 x2+ x x −2 ≤ 2 x( 2−3x −1)
⇔ 2(x2−2x)−3 x2−2x x +1−2(x +1) ≥ 0
⇔ ( x2−2x −2 x +1)(2 x2−2x + x +1) ≥ 0
⇔ x2−2x −2 x +1 ≥ 0 ⇔ x2−2x ≥ 2 x +1
x≥2
← →⎯⎯ x2−2x ≥ 4(x +1)
x≥ 2
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪ ⇔ x ≥ 3+ 13
Vậy tập nghiệm
S= 3+ 13;+∞⎡
Câu 2 (2 điểm) Giải phương trình
(x −1)(x2+ 7x −5)
3+ 3−2 trên tập số thực
Điều kiện:
− 33 ≤ x ≠1
5 Phương trình tương đương với:
Phương trình tương đương với: x3+ 6x2−2x + 3= (5x −1) x3+ 3.
Đặt t = x3+ 3 ≥ 0, phương trình trở thành:
t2+ 6x2−2x = (5x −1)t ⇔ t2−(5x −1)t + 6x2−2x = 0 (1)
Ta có: Δt = (5x −1)2−4(6x2−2x) = (x −1)2
, vì vậy (1) tương đương với:
t= 5x −1−(x −1)
t= 5x −1+ (x −1)
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
3+ 3 = 2x
x3+ 3 = 3x −1
⎡
⎣
⎢
⎢
x= 3+ 21
2
x= 4+ 3 2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
Trang 3
Cách 2: Phân tích thành nhân tử, đưa về phương trình:
x3+ 6x2−2x + 3
3+ 3 ⇔ x3+ 6x2−2x + 3= (5x −1) x3+ 3
⇔ x3+ 6x2−2x + 3−2x(5x −1) = (5x −1)( x3+ 3−2x)
⇔ x3−4x2+ 3−(5x −1)( x3+ 3−2x) = 0
⇔ ( x3+ 3−2x)( x3+ 3 + 2x)−(5x −1)( x3+ 3−2x) = 0
⇔ ( x3+ 3−2x)( x3+ 3 + 2x −(5x −1)) = 0
⇔ ( x3+ 3−2x)( x3+ 3−3x +1) = 0
3+ 3 = 2x
x3+ 3 = 3x −1
⎡
⎣
⎢
⎢
x= 3+ 21
2 ;x= 4+ 3 2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
Vậy nghiệm phương trình
x =1;x =3+ 21
2 ;x= 4+ 3 2
Cách 3: Sử dụng liên hợp, Phương trình tương đương với:
(x −1)(x2+ 7x −5)
x3−1
x3+ 3 + 2⇔ (x −1)
x2+ 7x −5 5x−1 −
x2+ x +1
x3+ 3 + 2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥= 0
⇔ (x −1) (x⎡ 2+ 7x −5) x3+ 3−(5x −1)(x2+ x +1)+ 2(x2+ 7x −5)
⎣⎢
⎤
⎦⎥= 0
⇔ (x −1) (x⎡ 2+ 7x −5) x3+ 3−5x3−2x2+10x −9
⎣⎢
⎤
⎦⎥= 0
…thực hiện tương tự cách trên
Câu 3 (2 điểm) Giải phương trình
2x +5 2− x + 2 2x +5( )3
= 64 trên tập số thực
Điều kiện:
−5
2≤ x ≤ 2 Đặt
a = 2− x
b = 2x +5
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
a2= 2− x
b2= 2x +5
⎧
⎨
⎪⎪
2+ b2 = 9
Phương trình trở thành:
b(a + 2b)3= 64 2a2+ b2
9
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟
2
(*)
+ Nếu b = 0, phương trình (*) vô nghiệm
+ Nếu b > 0, đặt t= a ≥ 0, phương trình (*) trở thành:
Trang 4
64 2t
2+1
9
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟
2
−(t + 2)3= 0 ⇔ 64(2t2+1)2−81(t + 2)3= 0
⇔ (t −2)(256t3+ 431t2+ 632t + 292) = 0← →⎯⎯ t = 2 ⇔ t≥0 2− x
2x+5 = 2 ⇔ x = −2
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = - 2
Câu 4 (2,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD Gọi M là
điểm trên cạnh BC sao cho CM = 2BM, và G là trọng tâm tam giác ADC Giả sử G(5;2), M(-2;3) Tìm toạ độ đỉnh A
Ta chứng minh tam giác AGM vuông cân tại G Gọi I là tâm hình vuông ABCD,
Đặt
IA
!"!
= a", ID! "!
= b" a"
.b"
= 0; a" = b" = a
Ta có:
GA
! "!
= IA!"!− IG! "! = a"−1
3b
"
, và
GM! "!!
= IM! "! − IG! "! = MC
BC .IB
!"!
+ MB
BC .IC
! "!
− IG! "!
= −2
3b
"
−1
3a
"
−1
3b
"
= −1
3a
"
−b"
Do đó:
GA! "!
.GM! "!!
= a"−1
3b
"
⎛
⎝
⎜⎜
⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ −13a"
−b"
⎛
⎝
⎜⎜
⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟=−a32 + b2
3 = 0 ⇒ GA ⊥ GM
Mặt khác
GA2= a!−1
3b
!
⎛
⎝
⎜⎜
⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟2= a2+b
2
9 =10a
2
9 ;GM
2= −1
3a
!
−b!
⎛
⎝
⎜⎜
⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟2 = a
2
9 + b2=10a
2
9
Suy ra GA = GM, vì vậy tam giác AGM vuông cân tại G
Gọi A(x;y), toạ độ điểm A là nghiệm của hệ:
AG2 = GM2
AM2 = 2GM2
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪
⇔ (x−5)
2+ ( y −2)2= 72+12
(x+ 2)2+ ( y −3)2 = 2(72+12)
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪
⇔ x = 6, y = 9
x = 4, y = −5
⎡
⎣
⎢
Vậy A(6;9) hoặc A(4;-5)
Câu 5 (2 điểm) Giải phương trình sau trên tập số thực
x2+ x −5+ −x2+ 6x +16 = (x −1) 8− x + 4 x + 2
Điều kiện: −2 ≤ x ≤8
Phương trình tương đương với:
Trang 5
x + 2( 8− x −4)−(x −1) 8− x + x2+ x −5 = 0
⇔ ( 8− x −4)( x + 2 − x +1)−(x −1) 8− x
+x2+ x −5+ (x −1)( 8− x −4) = 0
⇔ ( 8− x −4)( x + 2 − x +1)+ x2−3x −1= 0
⇔ ( 8− x −4)( x + 2 − x +1)+ (x −1+ x + 2)(x −1− x + 2) = 0
⇔ (x −1− x + 2)(x −1+ x + 2 − 8− x + 4) = 0
⇔ (x −1− x + 2)(x + 3+ x + 2 − 8− x ) = 0
⇔ x −1= x + 2
x + 3+ x + 2 − 8− x = 0
⎡
⎣
⎢
⎢
x= −1
x= 3+ 13
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
Vậy nghiệm phương trình
x = −1;x = 3+ 13
2
