MÃ KÍ HI U Ệ
[*****]
Đ THI CH N H C SINH GI I THÀNH PHỀ Ọ Ọ Ỏ Ố
L P 9 Ớ Năm h c ọ 20152016
MÔN: Toán
Th i gian làm bài: 150 phútờ
( Đ thi g m 05 câu, 01trang) ề ồ
Câu 1 (2 đi m):ể
a) Cho x= +3 2 ; y= −3 2. Không dùng b ng s và máy tính, hãy tính giá tr c a bi u th c ả ố ị ủ ể ứ
A = x5 + y5
y
A
+ + + + + + . Bi t ế xyz=4, tính A Câu 2(2 đi m):ể
a) Gi s phả ử ương trình: x2+ax+b = 0 có hai nghi m xệ 1, x2 và phương trình :x2+cx +d = 0 có hai
nghi m xệ 3, x4
Ch ng minh r ng: 2(ứ ằ x1+x3) (x1+x4) (x2+x3) (x2+x4) = 2(bd)2 (a2c2)(bd)+(a+c)2(b+d)
b) Cho h phệ ương trình: 2 2
x my
− = + = (v i ớ m là tham s ). Tìm ố m đ h ph ng trình đã choể ệ ươ
có nghi m ệ (x y; ) th a mãn h th c: ỏ ệ ứ 2014 2015 2 214 8056
4
x y
m
+
Câu 3(2đi m):ể
a) Cho a,b là các s nguyên dố ương th a mãn ỏ P a= 2+b2là s nguyên t ố ố P−5 chia h t cho ế
8. Gi s các s nguyên x,y th a mãn ả ử ố ỏ ax2−by2 chia h t cho P. Ch ng minh r ng c hai ế ứ ằ ả
s x,y đ u chia h t cho P.ố ề ế
b) Cho x>1; y>0, ch ng minh: ứ 1 3 1 3 13 3 3 2
Câu 4(3 đi m):ể
Cho đo n th ng ạ ẳ AC có đ dài b ng ộ ằ a Trên đo n ạ AC l y đi m ấ ể B sao cho AC =4AB. Tia Cx
vuông góc v i ớ AC t i đi m ạ ể C g i , ọ D là m t đi m b t k thu c tia ộ ể ấ ỳ ộ Cx (D không trùng v i ớ C
). T đi m ừ ể B k đẻ ường th ng vuông góc v i ẳ ớ AD c t hai đắ ường th ng ẳ AD và CD l n l t t iầ ượ ạ
,
a) Tính giá tr ịDC CE theo a
b) Xác đ nh v trí đi m ị ị ể D đ tam giác ể BDE có di n tích nh nh t .ệ ỏ ấ c) Ch ng minh r ng khi đi m ứ ằ ể D thay đ i trên tia ổ Cx thì đ ng tròn đ ng kính ườ ườ DE luôn
có m t dây cung c đ nh.ộ ố ị Câu 5(1 đi m):ể
Trong m t cu c thi gi i toán có 31 b n tham gia. M i b n ph i gi i 5 bài. Cách cho đi mộ ộ ả ạ ỗ ạ ả ả ể
nh sau: m i bài làm đúng đư ỗ ược 2 đi m, m i bài làm sai ho c không làm s b tr 1 đi m, đi mể ỗ ặ ẽ ị ừ ể ể
th p nh t c a m i b n là 0 đi m (không có đi m là s âm). Ch ng t r ng có ít nh t 7 b n cóấ ấ ủ ỗ ạ ể ể ố ứ ỏ ằ ấ ạ
s đi m b ng nhau.ố ể ằ
H t ế
Trang 2MÃ KÍ HI UỆ
[*****]
ĐÁP ÁN Đ THI CH N H C SINH GI I THÀNHỀ Ọ Ọ Ỏ
PHỐ
L p 9 Năm h cớ ọ 2015 2016
MÔN:Toán
(H ướ ng d n ch m g m 05 trang) ẫ ấ ồ Chú ý:
Thí sinh làm theo cách khác n u đúng thì v n cho đi m t i đaế ẫ ể ố
Đi m bài thi làm tròn đ n 0,25ể ế
Câu 1
2 đ
a) (1 đi m)ể
Tính được x + y = 6 và xy = 7 Tính được x2 + y2= 22
Và x3 + y3 = 90 Tính được x5 + y5 = (x2 + y2)(x3 + y3) – x2y2(x + y) = 1686
0,25 0,25 0,25 0,25
b) (1 đi m)ể
ĐKXĐ x,y,z 0. K t h p xyz=4 ế ợ �x y z, , >0; xyz =2 Nhân c t và m u c a h ng t th hai v i ả ử ẫ ủ ạ ử ứ ớ x , thay 2 m u c a h ng ở ẫ ủ ạ
t th ba b i ử ứ ở xyz ta được
xy
A
Suy ra A=1 ( vì A>0)
0,25 0,25
0,25
0,25
Câu 2
2 đ
a) ( 1 đi m)ể
VT = 2[x1+x1(x3+x4)+x3x4][ x2 +x2(x3+x4)+x3x4] =2(x1 cx1+d) (x2 cx2+d)( theo Vi ét) =2[x1 x1 c x1x2(x1+x2)+d(x1 + x2)+c2x1x2 cd(x1+x2)+d2] =2[b2+abc+d(a22b)+c2b+acd+ d2] =2(bd)2+2a2d+2c2b+2abc+2abd
VP = 2(bd)2 a2(bd)+c2((bd)+ a2(b+d)+c2(b+d)+2ac(b+d) =2(bd)2+2a2d+2c2b+2abc+2abd
0,5
0,5
Trang 3b) (1 đi m)ể
Dùng phương pháp th , ta có:ế
2 2
mx y
x my
− = + =
2 2
2 2
2
2
mx
y
mx
−
=
−
( )
2
2
2
2 10 2
4 2
5 4 4
4
m
, m R m
m
+
=
−
+
Nên h luôn có nghi m duy nh t: ệ ệ ấ 2
2
2 10 4
5 4 4
m x
m y m
+
= + ∀
−
= +
Thay vào h th c: ệ ứ 2015 2 214 8056
2014
4
x y
m
+
Ta được: 2014 22 7 8050 2015 2 214 8056
2014m 7m 8050 2015m 14m 8056
�
� m2 − 7 m + = 6 0 � ( m − 1 ) ( m − = 6 ) 0 1
6
m m
=
=
K t lu n: đ h phế ậ ể ệ ương trình đã cho có nghi m ệ ( x; y ) th a mãn hỏ ệ
th c: ứ
2 2
2014
4
x y
m
1 6
m m
=
=
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 3
2 đ
a) ( 1 đi m)ể
Đ t P=8k+5 ( k là s t nhiên)ặ ố ự
Ta có ( )2 4 2 ( )2 4 2 ( 2 2) 4 2 8 4 4 2 8 4
ax k+ by k+ ax by a k+ x k+ b k+ y k+ P
0,25
Trang 4(a4k+ 2+b4k+ 2).x8k+ 4−b4k+ 2(x8k+ 4+y8k+ 4) P
Mà 4k 2 4k 2 ( )2 2 1k ( )2 2 1k 2 2
và b < P 8 4 8 4 ( )
*
k k
x + +y + P
N u trong hai s x,y có m t s chia h t cho P. thì t (*) ta suy ra s thế ố ộ ố ấ ừ ố ứ hai cũng chia h t cho p.ế
N u c hai không chia h t cho P , theo đ nh lý Fec ma ta cóế ả ế ị
8k 4 8k 4 1 mod 8k 4 8k 4 2 mod
x + �y + � P �x + +y + � P mâu thu n v i (*)ẫ ớ
V y c hai s x,y cùng chia h t cho P.ậ ả ố ế
0,25 0,25
0,25
b) ( 1 đi m)ể
x>1; y>0 3 3
( 1)
x
−
− > > > > >
−
Áp d ng BĐT Côsi cho 3 s dụ ố ương:
3
(x 1) + +�۳− (x 1) (x 1) x 1
3
1 1 1 3 1 .1.1 1 3( 1) 2 (2)
�− �+ +�۳− �− � �− � −
3
T (1); (2); (3): ừ
3
3
6
+� �+ − + +
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 53 đ
Hình vẽ
N M
E
K B
D
a) ( 1 đi m): ể Tính giá tr ịDC CE theo a.
Ta có: EBC ADC ﾷ = ﾷ (Cùng bù v i góc ớ ﾷKBC); ﾷ ACD ECB = ﾷ = 90o
ACD
∆
� và ∆ ECB đ ng d ng v i nhau(gg)ồ ạ ớ
DC AC DC CE AC BC
;
4
a
DC EC AC BC = =
0,25
0,25
0,25
0,25
b) (1 đi m): ể Xác đ nh v trí đi m ị ị ể D đ tam giác ể BDE có di n tích nhệ ỏ
nh t.ấ
1 2
S∆ = BC DE S∆ nh nh t khi và ch khi ỏ ấ ỉ DE nh nh t.ỏ ấ
4
a
DE DC EC = + DC EC = = a ( Theo ch ngứ minh ph n a)ầ
D u ấ " " 3
2
a
DC EC
(BDE)
S nh nh t b ng ỏ ấ ằ 3 2 3
8
a khi D thu c tia ộ Cx sao cho
3 2
a
CD =
0,25
0,5
0,25
c) (1 đi m): ể Ch ng minh r ng khi đi m D thay đ i trên tia ứ ằ ể ổ Cx thì đường tròn đường kính DE luôn có m t dây cung c đ nh.ộ ố ị
Trang 6G i giao đi m c a đọ ể ủ ường tròn đường kính DE v i đớ ường th ngẳ
AC là M, N ( M n m gi a A và B) ằ ữ M, N đ i x ng qua DE.ố ứ
Ta có: Hai tam giác ∆ AKB và ∆ ACD đ ng d ng (gg)ồ ạ
AK AB AK AD AC AB
Hai tam giác ∆ AKM và ∆ AND đ ng d ng (gg)ồ ạ
AK AM AK AD AM AN
T (1) v à (2) suy ra ừ . 2
4
a
AM AN AC AB = =
2
4
a = AC MC AC NC − + = AC − MC
2
,
M N là hai đi m c đ nh. ể ố ị
V y đậ ường tròn đường kính DE luôn có dây cung MN c đ nh.ố ị
0,25
0,25
0,25
0,25
5
1 đ
S đi m c a m i b n có th x p theo 5 lo i sau đây:ố ể ủ ỗ ạ ể ế ạ Làm đúng 5 bài, được 10 đi m.ể
Làm đúng 4 bài, được 7 đi m.ể Làm đúng 3 bài, được 4 đi m.ể Làm đúng 2 bài, được 1 đi m.ể Lo i còn l i, đ u b 0 đi mạ ạ ề ị ể
Vì 31 chia 5 có thương là 6 và d 1, nên theo Nguyên lý Điríchlê, có ít ư
nh t 7 b n có s đi m b ng nhau.ấ ạ ố ể ằ
0,5
0,5
H t ế
NGƯỜI SO N Đ T CHUYÊN MÔN BAN GIÁM HI UẠ Ề Ổ Ệ
