Đề thi chọn HSG cấp thành phố môn Toán 9 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Gia Lai

Nhằm giúp các bạn học sinh có cơ hội đánh giá lại lực học của bản thân cũng như trau dồi kinh nghiệm ra đề của giáo viên. Mời các bạn và quý thầy cô cùng tham khảo Đề thi chọn HSG cấp thành phố môn Toán 9 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Gia Lai. Chúc các em thi tốt.

SỞ GD & ĐT GIA LAI KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TP

LỚP 9 NĂM HỌC 2018 – 2019

MÔN TOÁN

Thời gian làm bài 150 phút

Câu 1(3 điểm).Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 Có thể lập được bao nhiêu số tự

nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau lớn hơn 2019

Câu 2(5 điểm)

1 Chứng minh 3

3 15

A n  n chia hết cho 18 với mọi n

2 Một đoàn học sinh đi tham quan quãng trường Đại Đoàn Kết Tỉnh Gia Lai Nếu mỗi ô tô chở 12 người thì thừa 1 người Nếu bớt 1 ô tô thì số học sinh của đoàn chia dều được cho các ô tô còn lại Hỏi có bao nhiêu học sinh đi tham quan và có bao nhiêu ô tô ? Biết rằng các ô tô chở không quá 16 người

Câu 3(6 điểm)

1.Một cây nến hình lăng trụ đứng đáy lục giác đều có chiều cao và độ dài cạnh đáy lần lượt là 20cm và 1cm Người ta xếp cây nến vào trong một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật sao cho cây nến nằm khít trong hộp tính thể tích cái hộp

2.Cho đường tròn (O;R) và điểm I cố định nằm bên trong đường tròn (I khác A), qua điểm I dựng hai cung bất kỳ AB và CD Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của IA,

IB, IC, ID

a)Chứng minh bốn điểm M,N,P,Q cùng thuộc 1 đường tròn

b)Giả sử các dây cung AB và CD thay đổi nhưng luôn luôn vuông góc nhau tại I Xác định vị trí các dây cung AB và CD sao cho tứ giác MNPQ có diện tích lớn nhất

Câu 4(4 điểm)





2.Với các số thực dương x,y,z thoả mãn 2 2 2

x y z  xyz , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Pxyyzzx  2xyz

Câu 5(2 điểm).Trong kỳ thi chọn học sinh THCS cấp Tỉnh, đoàn học sinh huyện A

có 17 học sinh dự thi mỗi thí sinh có báo danh là một số tự nhiên trong khoản từ 1 đến 907 Chứng minh rằng có thể chọn ra 9 học sinh trong đoàn có tổng các số báo

danh chia hết cho 9

Lời giải Câu 1(3 điểm) Chọn chữ số hàng nghìn có 8 cách chọn

Chọn sữ số hàng trăm có 9 cách chọn

Chọn chữ số hàng chục có 6 cách chọn

Chọn chữ số hàng đơn vị có 5 cách chọn.Vậy có 2160 cách chọn

Câu 2(5 điểm)

1.Ta có 3

3 15 3( 1) ( 1) 18

A n  n n n n  n chia hết cho 18 với mọi n

2.Gọi a là số xe , b là số học sinh ( a,b ∈ N,a,b > 0 )

Vì xe chở 12 hs thì thừa 1 hs nên ta có phương trình b =12a+1 (1)

Vì giảm 1 xe nên số xe sau đó là a-1(xe) khi đó mỗi xe cần chở số hs là

1

b

a (2)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thay (1) vào (2) và ta có mỗi xe chở 12a 1

1

a



 (3) ( và thương số này phải là số nguyên

dương).Ta có 12a 1 12a-12+13 12 13



   Để (3) dương thì a-1 là ước của 13 nên chỉ xảy ra hai trường hợp là a =2 hoặc a=14

Khi a=2 thì b=25 khi đó (3) có giá trị là 25 >16 nên loại

Khi a=14 thì b=169 khi đó (3) có giá trị là 13<16 chọn Vậy số ô tô lúc đầu là 14 chiếc xe Số hs đi tham quan là 169 hs

Câu 3(6 điểm)

1.Ta có AB 10(cm A); D  2 5(cm)

D D 20 5.20 400 5( )

2.a

Ta có MPNMQN MPINPIMQINQI DACDBC 1800 Ta có lúc đó bốn điểm

M,N,P,Q cùng thuộc 1 đường tròn

2b.Ta có giả sử các dây cung AB và CD thay đổi nhưng luôn luôn vuông góc nhau tại I thì

MPNQ

.Tứ giác MNPQ có diện tích lớn nhất là 1. 2 D2

AB C

khi I trùng với O

Câu 4(4 điểm)

1.Ta có điều kiện x  1;y 2.Ta có

hành giải 2 hệ phương trình sau

TH1.Ta có

0 0

x

y x

I

O

A

B C

D

Q

N

S

P

N M

B A

TH2.Ta có

2

0 0

1 4 2 5 2 ( 1) 5

3 2

3 2

x y

x

y











2.Do bất đẳng thức có tính đối xứng nên ta giả sử , 1

2

x y hoặc , 1

2

x y Ta có 1

2

       Mặt khác ta có

1 x y z  2xyz 2xyz  2xyz  z 1 2xy.Nhân hai bất đẳng thức trên ta có

xyyzz   yzxyyzz yz Vậy giá trị lớn nhất của P là 1

2 khi x,y,z là các hoán vị của 1 1; ; 0

2 2

Câu 5(2 điểm).Xét 5 số tự nhiên tuỳ ý, khi chia cho 3 có thể xảy ra: Có 3 số dư

giống nhau Tổng 3 số tương ứng chia hết cho 3 Trái lại, sẽ có 3 số dư đôi một khác nhau Tổng 3 số tương ứng không chia hết cho 3.Vậy trong 5 số tự nhiên bất

kì, tồn tại 3 số có tổng chia hết cho 3 Xét 17 số tự nhiên tuỳ ý: Chia chúng thành 3 tập, có lần lượt 5, 5, 7 phần tử Trong mỗi tập, chọn được 3 số có tổng lần lượt là:

1 2 3 1 2 3

3a ;3a ;3a (a ;a ;a  )còn lại: số, trong 8 số này, chọn tiếp 3 số có tổng là

4

3a , còn lại 5 số, chọn tiếp 3 số có tổng là 3a5 Trong 5 số a ;a ;a ;a ;a1 2 3 4 5 có 3 số

1 ; 2 ; 3

a a a có tổng chia hết cho 3 9 học sinh tương ứng có tổng các số báo danh là:

3a i  3a i  3a i  3(a i a i a i ) 9





17 9   8

