Vành các hàm số số học

Một ví dụ điển hình của hàm số số học là phi hàm Euler 1 , 1 Mục đích của bản luận văn này là nhằm tìm hiểu cấu trúc đại số và tính chất giải tích của vành các hàm số số học với phép t

NGUYỄN THỊ HIẾU

VÀNH CÁC HÀM SỐ SỐ HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2015

NGUYỄN THỊ HIẾU

VÀNH CÁC HÀM SỐ SỐ HỌC

CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS NGUYỄN THÀNH QUANG

NGHỆ AN - 2015

MỞ ĐẦU

Hàm số số học f n( ) là hàm số nhận giá trị phức và xác định trên tập hợp các số nguyên dương Một ví dụ điển hình của hàm số số học là phi hàm Euler

1 ( , ) 1

Mục đích của bản luận văn này là nhằm tìm hiểu cấu trúc đại số và tính chất giải tích của vành các hàm số số học với phép tích chập Dirichlet và công

cụ hàm giá trị trung bình của mỗi hàm số số học

Với những lý do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài luận văn ‘‘Vành các hàm số số học’’ nhằm tìm hiểu sâu hơn những tính chất và ứng dụng của các

hàm số số học

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn này gồm

có 2 chương Chương 1 trình bày các kiến thức cơ sở tổng quan và các kết quả cơ bản về hàm số số học Chương 2 giới thiệu một số phép toán đại số 2 - ngôi trên tập hợp các hàm số số học Ngoài ra, chương 2 còn xem xét các nội dung: Cấu trúc đại số của vành các hàm số học với phép tích chập Dirichlet; Phép lấy đạo hàm trên vành hàm số số học; Cấu trúc giải tích trên vành các

hàm số số học thông qua xem xét hàm thực giá trị trung bình của mỗi hàm số

số học f n( ) được xác định như sau:

- Sử dụng công thức tính giá trị và tính chất của hàm số số học

- Phép toán chập Dirichlet

- Cấu trúc đại số của tập hợp các hàm số số học

- Hàm giá trị trung bình của hàm số số học

- Phép tính đạo hàm trên vành các hàm số số học

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và chu đáo của

thầy giáo hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp này tôi xin bày

tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn khoa học, người

đã dành nhiều thời gian và công sức giúp tôi hoàn thành luận văn này

Nhân dịp này tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô giáo thuộc chuyên

ngành Đại số và Lý thuyết số, Khoa Sư phạm Toán học, Phòng Đào tạo Sau

Đại học - Trường Đại học Vinh - đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn và giúp đỡ

chúng tôi trong học tập và nghiên cứu

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Trung học Cơ sở Vĩnh Hòa,

Phòng Giáo dục huyện Vĩnh Lộc, tỉnh Thanh Hoá đã tạo mọi điều kiện cho

chúng tôi trong học tập để hoàn thành nhiệm vụ của khóa học

Tuy đã có nhiều cố gắng, song chắc chắn luận văn này vẫn còn nhiều

thiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự góp ý, chỉ bảo của quý thầy cô giáo

và các đồng nghiệp

Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã quan tâm giúp đỡ tác giả trong

suốt thời gian học tập sau đại học vừa qua.

TÁC GIẢ

Chương 1 HÀM SỐ SỐ HỌC

1) Tồn tại số nguyên dương n để cho f n( )  0

2) Với mọi cặp số nguyên dương a b, nguyên tố cùng nhau, ta có

( ) ( ) ( ).

Trong trường hợp đẳng thức trên đúng với mọi số nguyên dương a b,

thì hàm số số học f được gọi là hàm có tính chất nhân mạnh

Hàm số số học f được gọi là hàm cộng tính nếu với mọi cặp số

nguyên dương a b, nguyên tố cùng nhau, ta có f ab( )  f a( )  f b( ).

Những ví dụ đơn giản nhất về hàm có tính chất nhân mạnh là

2 1

1) f(1)  1; k 1  0

2) Hàm f g xác định bởi f g n  f n g n    cũng là hàm nhân

Chứng minh 1) Vì f là hàm nhân, nên có số nguyên dương n để f n( )  0 Khi đó, ta có f n  f  1n  f    1 f n Vì f n  0, nên f  1  1 Ngoài ra,

Ta có điều phải chứng minh ▄

1.1.3 Định lý (Công thức tổng trải) Nếu số nguyên dương n có sự phân tích

1

j

n

j i

Như vậy, hệ thức trên là đúng ▄

1.1.4 Định lý Giả sử f là hàm có tính chất nhân Khi đó, hàm số số học

và d2 là uớc của n, hơn nữa d d1, 2, nguyên tố cùng nhau Do đó, sử dụng tính chất nhân của hàm f , ta có

Chứng minh Ta chứng minh công thức trên bằng phép quy nạp toán học Nếu

m = 1 hoặc n = 1, kết quả là hiển nhiên Giả sử các số tự nhiên

1 (1) (1) 1

đều nằm trên hyperbol xy n trong góc phần tư thứ nhất

Gọi m là số tất cả các điểm nguyên trên hyperbol xyn trong góc phần

tư thứ nhất Nếu d i là một ước của n thì  

i i

a n

là số nguyên Do đó, a là một ước của n Điều này cho thấy

1.2.3 Hàm tổng các ước Hàm ( )n là hàm số xác định với mọi số nguyên dương n, biểu thị tổng các ước nguyên dương của n:

Chứng minh Gọi d d1, 2, ,d( )n là ước của n Theo Định lí 1.2.2 các điểm

nguyên trên hyperbol xyn trong góc phần tư thứ nhất là

1.2.6 Định nghĩa Hàm T n được xác định như sau:

 

1

n x

1.2.7 Định lý về sự biểu diễn hình học của của hàm T n Giá trị T (n) bằng

số các điểm nguyên nằm trong miền D xác định bởi x 0 ;y 0 ;xyn Nói cách khác, T (n) bằng số các điểm nguyên nằm trên hoặc phía dưới hyperbol xyn

trong góc phần tư thứ nhất nhưng trừ những điểm nguyên nằm trên hai trục toạ

độ

Chứng minh Xét miền D xác định bởi x 0 ;y 0 ;xyn Ta có, mỗi điểm nguyên của D phải nằm trên một trong các đường cong hyperbol sau

n xy xy

xy 1 ;  2 ; ; 

trong góc phần tư thứ nhất Mặt khác, mỗi điểm nguyên trên những đường

cong nói trên (trong góc phần tư thứ nhất) là một điểm nguyên trong miền D

Từ đó suy ra số điểm nguyên trong miền D bằng số điểm nguyên trên các đường cong hyperbol sau

n xy xy

xy 1 ;  2 ; ; 

và bằng

(1) (2) ( )n

    Nhưng

(1) (2) ( )n T n( )

    

và vì vậy định lí được chứng minh ▄

1.3 Một vài ứng dụng của hàm số số học Euler

1.3.1 Định nghĩa Hàm số Euler  n xác định tại mọi số nguyên dương n , biểu thị số tất cả các số tự nhiên khác 0, không vượt quá n và nguyên tố cùng nhau với n :

1 ( , ) 1

Chứng minh Ta sắp xếp tất cả các số nguyên dương không vượt quá tích mn

thành một bảng số Giả sử r là số nguyên dương không vượt quá m và

1)

là có đúng ( )n số trong hàng này nguyên tố cùng nhau với n Do đó, trong

mỗi hàng này có ( )n số nguyên tố cùng nhau với mn Có cả thảy ( )m

hàng như vậy Vì vậy, trong bảng số trên có ( ) ( )m n số nguyên tố cùng

nhau với mn, hay(mn) ( ) ( ).m n Định lý được chứng minh ▄

1.3.3 Định lý (Hệ thức Gauss) Giả sử n là số nguyên dương Khi đó, ta có

công thức sau ( ) ,

d n

 

 trong đó tổng được lấy theo mọi ước của n

Chứng minh Thật vậy, nếu n 1, thì công thức đúng Giả sử n 1 và

k

k p p

1, ,

0 1, ,

0 1

Như vậy, công thức Gauss đã được chứng minh ▄

1.3.4 Định lý Euler Giả sử n 1 và a là số nguyên, nguyên tố cùng nhau với n , khi đó

( ) 1(mod )

n

Chứng minh Giả sử r r 1, , ,2 r( )n là một hệ thặng dư thu gọn modn, khi đó do

a và n nguyên tố cùng nhau Từ đó suy ra hệ ar ar1, 2, ,ar( )n cũng là một hệ

thặng dư thu gọn modn Vì mỗi thặng dư của hệ này đồng dư với một và chỉ một thặng dư của hệ kia theo modn, cho nên ta có:

1.3.5 Ứng dụng của hàm Euler Hàm số  trong tiếng Anh còn được gọi là

hàm "totient" Hàm này thường được gọi là hàm số Euler, theo tên nhà toán

học Thụy Sỹ Leonhard Euler, người đã nghiên cứu và ký hiệu nó bằng chữ cái

Hy Lạp: Phi () Đối totient của n được định nghĩa là n  ( ),n nghĩa là số các

số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n mà không nguyên tố với n

Hàm  có nhiều ứng dụng vì nó là kích thước (cấp) của nhóm nhân các lớp khả nghịch của vành n các số nguyên modn Hơn nữa, đối với hàm Euler

ta có công thức Gaus, gọi là công thức tổng trải, trên các ước dương của n :

k

k p p

p

k 1 2  

2 1

Khi đó, theo định lý Euler ta có

( ) 1(mod ).

i

j i

Chương 2 VÀNH CÁC HÀM SỐ SỐ HỌC

Chứng minh 1) Vì D là một đồng cấu của nhóm cộng aben của vành R, do

đó, D có mọi tính chất của một đồng cấu nhóm cộng Chẳng hạn:

1 1

2.1.4 Trường các thương của một miền nguyên Một miền nguyên là một

vành R sao cho nếu b b1 2, R và b b1 2,  0,thì b b1 2 0 Tương ứng với mỗi một miền nguyên có một trường các thương của nó, bao gồm tất cả các

thương có dạng a, ,a b R b, 0

b  d  Phép cộng và phép nhân được định nghĩa thông thường bởi

số hữu tỉ (phân thức) với hệ số thuộc F

2.1.5 Định lý Giả sử R là một miền nguyên với trường các thương F và D

là phép đạo hàm trên R Khi đó, tồn tại một phép đạo hàm D F duy nhất trên

Ngược lại, giả sử R là một miền nguyên với trường các thương F và

D là phép đạo hàm trên R, ta định nghĩa một hàm D F trên F bởi:

2.1.6 Phép đạo hàm lôgarit trên một trường Giả sử D là một phép đạo

hàm trên trường F Phép đạo hàm lôgarit L x( ) được định nghĩa bởi:

L x( ) D x( ), x F

x



   Nếu x y, F thì

f t  t là đa thức có bậc n 1 và N0( )f là số nghiệm phân biệt của f t( )

Vì trường số phức là trường đóng đại số (Định lý cơ bản của Đại số), nên ta

có sự phân tích duy nhất sau

 

0 ( ) 1

0 ( ) 1

N f i i

( ) ( )

i i i

m n

2.2 Vành các hàm số số học

2.2.1 Tổng, tích từng điểm và tích chập Dirichlet các hàm số số học

Cho các hàm số học f và g, khi đó ta lần lượt định nghĩa:

Tổng f g của f và g được định nghĩa bởi

là tổng chạy trên tất cả các ước dương d của n.

Hàm e bởi e n 1 nếu n1 và e n 0 nếu n2.

Hàm zero O bởi O n 0 với mọi số nguyên dương n

Hàm I bởi 1 n 1 với mọi số nguyên dương n Ta có

2.2.2 Định lý Tập các hàm số học với phép toán cộng và phép nhân chập

Dirichlet lập thành một vành giao hoán có phần tử không là hàm O và phần

2.2.3 Định lý Giả sử f và g là các hàm số số học Khi đó, f  g O khi

và chỉ khi f O hoặc g O Nói khác đi, vành các hàm số số học là một miền nguyên

Chứng minh Giả sử f  g O , khi đó f g   n O n   0, n 1 Do đó

Điều đó có nghĩa là f O hoặc g O ▄

2.2.4 Định lý Với mỗi số nguyên dương N , ký hiệu I N là tập hợp tất cả các hàm số số học f sao cho f n   0, n N. Khi đó, I N là một iđêan của vành các hàm số số học

Chứng minh Giả sử f g, I N , khi đó ta có

2.2.5 Định lý Với mỗi hàm số số học f n , ký hiệu

số số học f và g, trong đó L f n.      L n f n  log n f n  Thật vậy

2.3 Giá trị trung bình của hàm số số học

2.3.1 Định nghĩa Giá trị trung bình F x  của hàm số số học f n  được định nghĩa bởi

Giả sử x y, là các số thực với y    x và f t  là hàm đơn điệu không âm trên

đoạn y x,  Khi đó   x   max    , 

Nếu f t  là hàm đơn dạng không âm trên  1,  thì

được gọi là hàm số Mobius

Một số nguyên n được gọi là số tự do chính phương (square-free) nếu

nó không chia hết cho bình phương của số nguyên tố Chẳng hạn, 6 là số tự

do chính phương; 4 không phải là số tự do chính phương vì 4 chia hết cho 2

Chứng minh Tính chất nhân của hàm Mobius trực tiếp suy ra từ định nghĩa

bởi vì nếu m và n là các số tự do chính phương nguyên tố cùng nhau với k

và l là các nhân tử nguyên tố tương ứng, thì mn là số tự do chính phương với

kl nhân tử và

         m n 1 k 1 l 1 k l    m n .

      Tiếp theo chúng ta chứng minh công thức tích chập ở trên Nếu n 1 thì

n p p là dạng phân tích tiêu chuẩn của n Nhắc lại rằng, căn của n là ước tự do chính phương lớn nhất của n, nghĩa là

  1 k

là tích các ước nguyên tố phân biệt của n Giả sử mrad n  Nếu d là ước của n và  d  0 thì d là số tự do chính phương và d là ước của m Vì m

là tích của k số nguyên tố nên suy ra rằng hệ số tổ hợp i

k

C là ước thực sự của

m có thể viết như là tích của i số nguyên tố phân biệt và điều này có nghĩa là

số các ước của m sao cho  d ilà i

ta có I =I  e, với hàm e xác định bởi e n 1 nếu n1 và e n 0

nếu n2, là phần tử đơn vị của vành các hàm số học Như vậy, hàm Mobius

là hàm khả nghịch trong vành các hàm số học với hàm nghịch đảo là I

2.4.3 Định lý Nếu n có sự phân tích chuẩn tắc 1 2

f  1 g   1 g    1 g e g Định lý được chứng minh ▄

Ta giới hạn chỉ xét các ước dương trong chứng minh Giả sử d là một ước của n, khi đó:

'

n d d

KẾT LUẬN

Luận văn bao gồm các nội dung chính sau:

1 Trình bày các kiến thức cơ sở tổng quan và các kết quả cơ bản về hàm số số học;

2 Giới thiệu một số phép toán đại số 2 - ngôi trên tập hợp các hàm số

số học Mô tả một số tính chất về cấu trúc đại số của vành các hàm số số học với phép tích chập Dirichlet;

3 Khảo sát phép lấy đạo hàm trên vành hàm số số học;

4 Tìm hiểu cấu trúc giải tích trên vành các hàm số số học thông qua xem xét hàm thực giá trị trung bình của mỗi hàm số số học;

5 Tìm tòi một số tính chất và ứng dụng của hàm số Mobius

TÀI LIỆU THAM KHẢO

TIẾNG VIỆT

[1] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, Nhà

xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội

[2] Phan Huy Khải (2006), Các chuyên đề Số học, Nhà xuất bản Giáo

dục, Hà Nội

[3] Đàm Văn Nhỉ, Lưu Bá Thắng, Nguyễn Việt Hải (2006), Số học,

Nhà xuất bản Hải Phòng

[4] Nguyễn Thành Quang (2011), Lý thuyết trường và ứng dụng, Nhà

xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội

TIẾNG ANH

[5] D M Burton (2002), Elementary Number Theory, Tata McGraw

– Hill Company, New Delhi

[6] M B Nathason (1999), Elementary Methods in Number Theory,

Springer

[7] S G Telang (2001), Number Theory, Tata McGraw-Hill

Company, New Delhi

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 HÀM SỐ SỐ HỌC 3

1.1 Định nghĩa và tính chất 3

1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2 Mệnh đề 3

1.1.3 Định lý (Công thức tổng trải) 4

1.1.4 Định lý 4

1.1.5 Định lý 5

1.1.6 Định lý 5

1.2 Một vài hàm số số học 7

1.2.1 Hàm đếm các ước 7

1.2.2 Định lí 7

1.2.3 Hàm tổng các ước 8

1.2.4 Định lí 8

1.2.5 Mệnh đề 8

1.2.6 Định nghĩa 9

1.2.7 Định lý về sự biểu diễn hình học của của hàm T n 9

1.3 Một vài ứng dụng của hàm số số học Euler 10

1.3.1 Định nghĩa 10

1.3.2 Định lý 10

1.3.3 Định lý 11

1.3.4 Định lý Euler 11

1.3.5 Ứng dụng của hàm Euler 12

Chương 2 VÀNH CÁC HÀM SỐ SỐ HỌC 13

2.1 Phép đạo hàm trên vành 13

2.1.1 Định nghĩa 13

2.1.2 Mệnh đề 13

2.1.3 Định lý 14

2.1.4 Trường các thương của một miền nguyên 15

2.1.5 Định lý 15

2.1.6 Phép đạo hàm lôgarit trên một trường 16

2.1.7 Phép đạo hàm trên vành các đa thức với hệ số phức 16

2.2 Vành các hàm số số học 18

2.2.1 Tổng, tích từng điểm và tích chập Dirichlet các hàm số số học 18

2.2.2 Định lý 18

2.2.3 Định lý 19

2.2.4 Định lý 20

2.2.5 Định lý 21

2.3 Giá trị trung bình của hàm số số học 22

2.3.1 Định nghĩa 22

2.3.2 Định lý 22

2.4 Hàm Mobius và ứng dụng 27

2.4.1 Định nghĩa 27

2.4.2 Định lý 27

2.4.3 Định lý 28

2.4.4 Định lý (Mobius inversion) 29

2.4.5 Hệ quả 30

KẾT LUẬN 32

TÀI LIỆU THAM KHẢO 33