Xấp xỉ giá trị của các hàm số học t( n) và s( n) luận văn thạc sỹ toán học

MỞ ĐẦU Số học là một trong những lĩnh vực cổ xưa nhất của toán học, và cũng là lĩnh vực tồn tại nhiều những bài toán, những giả thuyết chưa có câu trảlời.. Trên con đường tìm kiếm lời gi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS NGUYỄN THÀNH QUANG

NGHỆ AN, 2011

MỞ ĐẦU

Số học là một trong những lĩnh vực cổ xưa nhất của toán học, và cũng

là lĩnh vực tồn tại nhiều những bài toán, những giả thuyết chưa có câu trảlời Trên con đường tìm kiếm lời giải cho những giả thuyết đó, nhiều tưtưởng lớn, nhiều lí thuyết lớn của toán học đã nảy sinh Hơn nữa, trongnhững năm gần đây, số học không chỉ là một lĩnh vực của toán học líthuyết, mà còn là lĩnh vực có rất nhiều ứng dụng, đặc biệt trong lĩnh vựcbảo mật thông tin Vì thế, việc trang bị những kiến thức cơ bản về số họccho học sinh ngay từ trường phổ thông là hết sức cần thiết Tuy nhiên,trong chương trình Số học ở trường phổ thông hiện nay, môn Số học chưađược dành nhiều thời gian Cũng vì thế mà học sinh thường rất lúng túngkhi giải các bài toán số học, đặc biệt là trong các kì thi chọn học sinh giỏiquốc gia, quốc tế Tình hình đó đòi hỏi phải có những tài liệu tham khảo vànghiên cứu về số học phục vụ cho học sinh và giáo viên, đặc biệt là giáoviên toán các trường trung học phổ thông chuyên và sinh viên các trường

sư phạm

Một đối tượng và cũng là công cụ nghiên cứu hiệu quả của toánhọc, đó là các hàm số số học Ngoài những hàm số đã được nghiên cứu mộtcách có hệ thống như: hàm số Euler, hàm phần nguyên, hàm Mobius, hàmtổng các ước, hàm đếm các ước còn có những hàm khác, đó là hàm T(n) vàS(n)

Luận văn này được trình bày trong hai chương:

Chương 1 Hàm số số học

Chương 2 Xấp xỉ giá trị hàm T(n) và S(n)

Nội dung chủ yếu trong luận văn gồm:

1- Giới thiệu định nghĩa và tính chất cơ bản của hàm T(n) và S(n)

2- Trình bày khái niệm bậc O – lớn được giới thiệu bởi nhà toánhọc Landau và hiện đang rất có ích trong ngành toán và tin học để ướclượng độ phức tạp của các thuật toán Một nội dung quan trọng của luậnvăn dành để trình bày lý thuyết xấp xỉ giá trị của hàm số học T(n) bằngcách sử dụng công cụ bậc O – lớn.

3- Giới thiệu và trình bày chi tiết chứng minh Định lí Dirichlet đánhgiá xấp xỉ giá trị của hàm T(n) và hàm S(n) bởi công thức:

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới PGS.TS Nguyễn Quý Dy, PGS

TS Ngô Sỹ Tùng, PGS TS Lê Quốc Hán, TS Nguyễn Thị Hồng Loan,

TS Đào Thị Thanh Hà đã giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy cô giáo của Khoa Toánhọc, Khoa Đào tạo Sau đại học – Trường Đại học Vinh, đã tạo điều kiệnthuận lợi cho chúng em, hoàn thành nhiệm vụ học tập của chương trình đàotạo thạc sĩ toán học

Mặc dù đã rất cố gắng nhưng thật khó tránh khỏi những thiếu sót bởinhững hiểu biết còn hạn chế của bản thân Vì vậy, tác giả rất mong nhậnđược ý kiến góp ý của các thầy cô giáo và các bạn

Tác giả

CHƯƠNG 1 HÀM SỐ SỐ HỌC

1.1 Hàm phần nguyên

1.1.1 Định nghĩa Hàm phần nguyên xác định với mọi số thực x, biểu thị

số nguyên lớn nhất không vượt quá x, ký hiệu bởi  x Như vậy, phần nguyên của x là số nguyên thoả mãn  x  x  x 1 Hiệu x  x  x được gọi là phần lẻ của x.

1.1.2 Định lí Phần nguyên của số thực x có các tính chất sau:

Chứng minh (1) Giả sử  x a Theo định nghĩa hàm phần nguyên thì a là

số nguyên lớn nhất không vượt quá x Do a x nên x a 0 Đặt

d  x a, khi đó d 0 Mặt khác, vì a là số nguyên lớn nhất không vượt quá x, nên a 1 x (thật vậy nếu a 1 x, thì a 1cũng là số nguyên

không vượt quá x, trái với giả thiết về a) Từ a 1 x suy ra d  x a1

Vậy từ  x a suy ra x a d  , với a là số nguyên và 0 d 1

Đảo lại, giả sử x a d  , với a là số nguyên và 0 d 1 Khi đó từ

0

d  suy ra a x Từ d 1 suy ra a 1 x mà a 1 cũng là số nguyên

nên a là số nguyên lớn nhất không vượt quá x Theo Định nghĩa 1.1.1 thì

Vì n a nguyên và 0 d 1, nên lại theo tính chất  1 thì

n x   n a  2

Từ  1 và  2 suy ra điều phải chứng minh

 3 Ký hiệu n là số các số nguyên dương là bội của d và không lớn hơn x.

2 d thì

    Ta có điều phải chứng minh ■

1.1.3 Hệ quả  1  x y      x  y , x y, R; dấu đẳng thức xảy ra khi

và chỉ khi 0   x  y 1

 2 Nếu n là một số tự nhiên thì n x    nx

Chứng minh  1 Vì  x x và  y y cho nên    x  y  x y

Theo Định nghĩa hàm ta suy ra:     x  y  x y 

 2 Ta có x x  x   nx n x  n x   (vì n x nguyên)  

Do n x  suy ra  0 n x    0 Vậy, n x    nx ■

1.2 Hàm số    n và    n

1.2.1 Định nghĩa Cho n là một số nguyên dương  n là số các ước nguyên dương của n kể cả 1 và n.

1.2.2 Định nghĩa Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho miền phẳng D Điểm

có toạ độ  x y ;  thuộc D với x y  ; Z được gọi là điểm nguyên trong D.

1.2.3 Định lí   n bằng số điểm nguyên trên hyperbol xy n nằm trong góc phần tư thứ nhất.

Chứng minh Cho d d1, , ,2 d là ước của t n Khi đó  n điểm nguyên

1 1

; n

d d

  (1)nằm trên hyperbol xy n trong góc phần tư thứ nhất Mặt khác, nếu

trên hyperbol xy n

Gọi m là số điểm nguyên trên hyperbol xy n trong góc phần tư thứ

nhất Nếu d là một ước bất kỳ của n thì điểm nguyên i i;

i

n d d

nằm trênhyperbol xy n

m n (3)

Vậy từ (2) và (3) suy ra  n m ■

Ví dụ Nếu n 10 thì  n 4 và điểm nguyên trên hyperbol xy 10 làmột trong bốn số đó là 1;10 ; 2;5 ; 5;2 ; 10;1       

1.2.4 Định nghĩa Cho n là một số nguyên dương  n bằng tổng các ước

số nguyên dương của n bao gồm cả 1 và n.

1.2.5 Định lí  n bằng tổng của hoành độ x (hoặc tung độ y) của tất cả điểm nguyên trên hyperbol xy n nằm trong góc phần tư thứ nhất.

Chứng minh Gọi d d1, , ,2 d là ước của n Theo Định lí 1.2.3 điểm nguyên t

trên hyperbol xy n là 1

1

; n

d d

Do đó, ( )n d1 d2  d t là tổng của hoành độ x của tất cả

các điểm nguyên trên hyperbol xy n

1) Mỗi số nguyên n 1 có ít nhất 2 ước là 1 và n Từ đó  n

không thể nhỏ hơn 2 với n 1

2) Với mỗi số nguyên tố p, p 2 Từ đó suy ra  n nhận giá trị

2 khi n dần đến vô hạn, bởi vì số các số nguyên tố là vô hạn Vậy, ta viết

diễn qua các hạng tử của n, thậm chí xấp xỉ Tuy nhiên, chúng ta sẽ chỉ

trong mục dưới đây rằng giá trị trung bình của  n thể được ước lượngxấp xỉ bằng các hạng tử của n Vì vậy, chúng ta sẽ chứng minh rằng giá trịtrung bình

Nói theo cách khác, Định lí phát biểu rằng T n( ) bằng số điểmnguyên nằm trên hoặc dưới hyperbol xy n trong góc phần tư thứ nhấtnhưng loại trừ điểm nguyên nằm trên hai trục toạ độ (xem hình 1.1).

trong (1) là một điểm nguyên trong R bởi vì đường cong nằm hoàn toàn trong R Từ đó số điểm nguyên trên R bằng số điểm nguyên trên đường

cong xy1;xy2; ;xy n và bằng

    , nhưng (1) (2)  ( )n T n( ) Vậy định lí được chứng minh ■

xO

y

xy = n

1.3.3 Định lí Cho n là số nguyên dương thì

Chứng minh T n( ) bằng số điểm nguyên nằm trong R xác định trong Định

lí 1.3.2 bằng số điểm nguyên trên đường thẳng x1,x 2, ,x n nhưngcác đoạn thẳng đang xét nằm trên các đường thẳng x1,x2, ,x n có

Vế trái và vế phải đều bằng 1 nên đẳng thức đúng Ta chứng minh

rằng nếu đẳng thức (1) đúng với n thì cũng đúng với n 1, theo nguyên lí quy nạp chúng đúng với mọi n.

Nếu n 1 không chia hết cho k nghĩa là nếu n 1 qk r với số dư

r nằm giữa 1 và k  1, thì n qk r  ' với r' r 1, nghĩa là 0  r k 2.

Ta thấy trong trường hợp này n 1

CHƯƠNG 2

XẤP XỈ GIÁ TRỊ HÀM T(n) VÀ S(n)

2.1 Khái niệm cơ bản

2.1.1 Khái niệm bậc O – lớn

Giả sử g n( ) là hàm số xác định với mọi số nguyên dương n a với a

là số nguyên dương nào đó Nếu tồn tại một hàm đơn điệu dương h n( )xácđịnh với mọi số nguyên dương n a và một hằng số k không phụ thuộc vào n sao cho:

( ) ( ),

g n kh n n a Khi đó ta viết: ( )g n O h n( ( ))

Chú ý rằng, k phải là một số thực dương nhưng trong phần tiếp theochúng ta sẽ luôn luôn giả sử rằng k là một số nguyên dương h n( )thường

là một hàm đơn giản như:

2 3

3 2

1 1 1, log , log , 1, , , , , , ,

4, 3n3 n2  2 O n 3 vì 3n3 n2 2 6 n3

2

15,

( )2

O n n

Từ định nghĩa của bậc O - lớn ta có thể làm rõ hơn như sau:

Đại lượng O h n phụ thuộc n mà giá trị của nó không vuợt quá ( )

3, Cho g g1, , 2 là những hàm của những số nguyên dương j g n j( ) k j Đặt h n( )g n1( )  g n n( ) ta có:

i, Nếu

1 j

j k

2,    

3 2

O n O n O n 

 

 

 Hàm này giảm ngặt với x tăng và luôn

dương với mọi x 0 Bởi vậy theo một tính chất tốt của tích phân Ta có

n n

1

1( )

n

m n n

n m

1

1log

n m

2.2.3 Định lí Cho  là một số thực với  1 Khi đó

 

1

1log

Chứng minh Theo Định lí 1.3.2 rằng T n bằng số điểm nguyên trong 

miền R xác định bởi x0,y 0,xy n nhưng không có điểm nguyên trong

tập R xác định bởi 0 < x < 1 và 0 < y < 1 Bởi vậy T n bằng số điểm 

nguyên trong miền OCEPFDB loại trừ những điểm trên trục Ox và Oy Gọi

P là điểm  n n trên hyperbol xy = n Vẽ PA vuông góc với Ox và PB, 

vuông góc với Oy thì hiển nhiên số điểm nguyên trong miền OAPFD bằng

số điểm nguyên trong miền OBPEC Suy ra:

 

T n = Số điểm nguyên trong miền OCEPFDB

= Số điểm nguyên trong miền OAPFDB

+ số điểm nguyên trong miền OBPECA - số điểm nguyên trong miền OAPB

= 2( số điểm nguyên trong miền OAPFD)- số điểm nguyên trong miền OAPB

Tung độ ở điểm nguyên x y là ;  n

P n, n

xO

xy = n

FD

y

A

B

CE

Số điểm nguyên trên OA bằng  n

  và mỗi đường thẳng của những điểm này trên PB chứa  n

  điểm nguyên Từ đó số điểm nguyên trong miền OAPB là

 n  n

     n  2,0  1

   

 

22

1

Sau đây là một ví dụ minh hoạ cho Định lí Dirlechlet ứng với n = 24 và n

ii, Vấn đề khám phá giá trị của T n đang được nghiên cứu kỹ trong

thời gian gần đây, kết quả mới nhất là: T n  nlogn 2 2 1 O n 

110

2

c

c c

c

dx x c

dx x c

 2 1 2

10

c t

c t

dx x

16

S n   n O n n

Chứng minh S n   1  2   n là tổng tung độ y của tất cả

các điểm nguyên trên đường cong xy1,xy2, ,xy n Theo Định lí1.2.5 thì   n bằng tổng tung độ y của tất cả các điểm nguyên trên miền R

xác định bởi x0,y0,xy n Khi đó, số điểm nguyên trên R đều được

đặt trên đường thẳng đứng từ các điểm 1,0 , 2,0 , ,0   n  đến đường

cong xy n Độ dài của đường thẳng từ các điểm x,0 là n

1

1

12

1

log 12

1 2 2

15 185

12  

Vậy sai số của 1 2 152

2  với giá trị của S(15) chỉ là 4.

2.3.4 Hệ quả Giá trị của  n là

Nội dung chủ yếu của luận văn gồm:

- Giới thiệu định nghĩa và tính chất cơ bản của hàm số T(n) vàS(n)

- Giới thiệu khái niệm bậc O – lớn, ký hiệu bởi Oh n  Kháiniệm này đã trở thành một công cụ hiệu quả, được giới thiệu bởi nhà toánhọc Landau và đang rất có ích trong toán và tin học để ước lượng độ phứctạp của các thuật toán.

- Trình bày lý thuyết xấp xỉ giá trị của hàm số học T(n) bằng cách

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[3] Hà Huy Khoái (2004), Số học, NXB Giáo dục, Hà Nội.

[4] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, NXB Đại

học Quốc gia Hà Nội

[5] Nguyễn Thành Quang (2003), Số học hiện đại, Trường Đại học Vinh [6] Nguyễn Thành Quang (2011), Lý thuyết trường và ứng dụng, Nhà xuất

bản Đại học Quốc Gia Hà Nội

TIẾNG ANH

[7] Z I Borevic and R I Shafarevich (1966), Number Theory, Acamedic

Press

[8] D M Burton (2002), Elementary Number Theory, Tata McGraw-Hill

Company Limited, New Delhi

[9] M B Nathanson (2000), Elementary Methods in Number Theory,

Springer

[10] S G Telang (2001), Number Theory, Tata McGraw-Hill Company

Limited, New Delhi