chuyen de ung dung tích phân 12

TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG1.. Diện tích hình thang cong Cho hàm số fx liên tục trên đoạn [a; b].. Diện tích hình phẳng 2.1.. b a *Ngoài ra ta còn dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đố

A TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1 Diện tích hình thang cong

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường

y = f(x), x = a, x = b và trục hoành là

b

a

Phương pháp giải toán

Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b].

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

b

a

f(x) dx

2 Diện tích hình phẳng

2.1 Trường hợp 1.

Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = f(x), y = g(x), x = a, x = b là

b

a

Phương pháp giải toán

Bước 1 Tìm nghiệm thuộc [a;b] giả sử có 2 nghiệm (a £ a < b £ b)

Bước 2

b

a

*Ngoài ra ta còn dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối

2.2 Trường hợp 2.

Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

b

a

trình f(x) = g(x) (a £ a < b £ b) .

2.3.Tính hình phẳng giới hạn bởi nhiều đường

Xét đại diện 4 đường (C1),(C2),(C3),(C4)

Phương pháp: dùng đồ thị

B1 vẽ 4 đồ thị lên cùng 1 mp

B2 xđ giao điểm của chúng giả sử x1,x2,x3,x4

B3:

B TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY

1 Trường hợp 1.

Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x) ³ 0 x" Ỵ [a;b], y = 0, x = a và

x = b (a < b) quay quanh trục Ox là

b 2 a

2 Trường hợp 2.

Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y) ³ 0 y" Ỵ [c;d], x = 0, y = và c

y = d (c < d) quay quanh trục Oy là

d 2 c

Bài tập

1 Tính diện tích hình phẳng:

Bài 1:

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Bài 2: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =

2 x

12 x 10

x2 +

−

Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =

1 x

x

x2 +

+

Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 + 3x2, trục hoành và các đường thẳng x

= -2, x = -1

Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, trục tung, đồ thị hàm số y = x3 - 3x + 1 và đường thẳng x = -1

Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành và đồ thị của hàm số y = 2xx++11

Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = ex, y = 2 và đường thẳng x = 1

Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x và y = x + sin2x với x ∈ [0; π]

Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn [0; 2π], trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2π

Bài 10: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) y = x3, x + y = 2, y = 0;

b) y = x, y = 0, y = 4 - x;

e 2

1

− , y = e-x, x = 1;

d) x + y = 1, x + y = -1, x - y = 1, x - y = -1

Bài 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) y = x3 - 1 và tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 - 1 tại điểm (-1; -2)

b) (P): y = -x2 + 6x - 8, tiếp tuyến tại đỉnh của parabol (P) và trục tung

c) y = x3 3x và tiếp tuyến với đường cong tại điểm có hoành độ x =

-2

1

2 Thể tích vật thể tròn xoay:

Bài 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây khi quay quanh trục Ox

Bài 2: Tính thể tích các hình tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh trục Ox:

Bài 3: Tính thể tích các hình tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh trục Ox:

a) y = 2 - x2, y = 1; b) y = 2x - x2, y = x;

c) y = x3, y = 8 và x = 3

Bài 4: Tính thể tích các hình tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường (C) y = x2 + 1, x = 0 và tiếp tuyến của (C) tại điểm (1; 2) khi quay quanh trục Ox

Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

1) y = x2 - 2x + 2, y = 0, x = -1, x = 2

a) y= sin 2xcos ,x x= 0,x=π,y= 0

2) y = x2 - 2x, y = 0, x = -1, x = 2

3) y = -x2 + 4x, y = 0

4) y = x2 + x + 2, y = 2x + 4

5) y = x2 - 2x + 2, y = -x2 - x + 3

4

1

2

1

x + 3x

b) y2 = 4 ;x y x= − 3

7) y = x, y = 0, y = 4 - x

c) y x P y= 2 ( ); = 0,tiếp tuyến của (P) tại x= 2

8) y = x2, y = 2

8

1

x , y =

x

8 9) y = x2 −3x+2 , y = 2

10) y = x2 −4x+3 , y = x + 3

11) (P): y = x2, x = 0 và tiếp tuyến với (P) tại điểm có hoành độ x = 1

13) (P): y = -x2 + 4x - 3 và các tiếp tuyến của (P) tại các điểm M1(0; -3), M2(3; 0)

14) (P): y = -x2 + 4x và các tiếp tuyến của (P) đi qua điểm A(

2

5

; 6)

15) y = tgx, y = 0, x = 0, x =

4

π

16) y = lnx, y = 0, x =

e

1 , x = e

17) y =

2

2

x , y = 2

1

1

x

18) y = - 4 x− 2 , x2 + 3y = 0

19) y =

4 4

2

x

2 4

2

x

20) y = x 1 x+ 2 , x = 0, x = 1

e 2

1

− , y = ex, x = 1

22) y2 = 2x, y = x, y = 0, y = 3

23) y2 = 2x + 1, y = x - 1

24) y = x , x + y - 2 = 0.

Bài 3: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

1) y = lnx, y = 0, x = 1, x = 2, quay xung quanh trục Ox

2) y = tgx, y = 0, x = 0, x =

4

π , quay xung quanh trục Ox.

3) y =

x

4

, y = 0, x = 1, x = 4, quay xung quanh trục Ox

4) y = xlnx, y = 0, x = 1, x = e, quay xung quanh trục Ox

5) y =

3

3

x , y = x2, quay xung quanh trục Ox

6) y = 2x2, y = 2x + 4, quay xung quanh trục Ox

7) y = 5x - x2, y = 0, quay xung quanh trục Ox

8) y2 = 4x, y = x, quay xung quanh trục Ox

9) y = x ln(1+x3), y = 0, x = 1, quay xung quanh trục Ox

1

2x

e

x

, y = 0, x = 1, x = 2, quay xung quanh trục Ox

Tổng hợp:

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng

4

p

4

3

m) x2 +y2 = 8,y2 = 2x

Bài 2:a)Xét hình phẳng (H) bị chắn dưới bởi (P) : y=x2 và phía trên bởi dt đi qua A(1;4) cĩ hsg k Tìm K để (H)

cĩ diện tích nhỏ nhất

6

Bài 3: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh Ox

2

b) y xe y= x, = 0,x= 0,x= 1

c) y x= ln(1 +x2 ),y= 0,x= 1

d) y= − 4 x y2 , = + 2 x2

e) y x= 2 − 4x+ 6,y= − −x2 2x+ 6

f) y= x y, = − 2 x y, = 0

2

h) (x− 2) 2 +y2 = 1

l) y= − + 3x 10,y= 1,y x= 2