Chuyên đề đặc biệt về KHOẢNG CÁCH trong không gian

Đây là chuyên đề hình học đặc biệt về khoảng cách, nó phù hợp cho các bạn học sinh đang gặp khó khăn trong việc giải toán hình học không gian.Chuyên đề chủ yếu đi phân tích tư duy làm toán cho các em và qua đó các em tự mình tìm tòi ra những vấn đề của bài toán. Mở rộng kiến thức ra để qua đó rút được kinh nghiệm làm toán hình học.Hi vọng chuyên đề này sẽ giúp ích cho rất nhiều bạn học sinh đang gặp vấn đề trong việc học hình.Xin cám ơn các em.

“Cuộc chiến THẤT BẠI-THÀNH CÔNG trong bạn sẽ kéo dài mãi mãi nếu bạn cứ hoài

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC

Biên soạn: Trần Mậu Tú-TMT

TƯ DUY TỐT VỀ TOÁN HỌC

LÀ ĐIỀU MÀ TÔI MONG CÁC BẠN CÓ ĐƯỢC KHI ĐỌC CHUYÊN ĐỀ LẦN NÀY

CÁC BÀI TOÁN LÀ CÁC CÁCH GIẢI DẪN CÁC EM ĐÊN VỚI TƯ DUY BÀI TOÁN CHỨ KHÔNG PHẢI LÀ

TRÌNH BÀY 1 BÀI TOÁN

HÌNH HỌC – HỌC HÌNH CŨNG GIỐNG NHƯ TÌM CÁCH ĐỂ YÊU MỘT CÔ GÁI VẬY

BAN ĐẦU ĐA PHẦN LÀ KHÓ, KHÓ TRONG CÁCH TIẾP CẬN, KHÓ TRONG CÁCH HIỂU ĐƯỢC CÔ

CHĂM HỌC

MÀ VẪN

DỐT NÈ!

Ờ! HỌC NHIỀU CŨNG CHẢ HIỂU NỮA!

XẠO TỤI MÀY ƠI, KHÔNG HỌC THÌ NGỒI ĐÓ MÀ CHỜ

GIỎI

CHĂM CHỈ NHƯNG PHẢI CÓ TƯ DUY NỮA CHỚ!!

CHUYÊN ĐỀ DÀNH CHO ÔN THITỐT NGHIỆP VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC 3 CHUNG ĐỔI MỚI CỦA BGD

XIN CHÀO CÁC BẠN HỌC SINH THÂN QUÝ

Lần này tôi xin được biên soạn chuyên đề hình học về khoảng cách, đây là 1 vấn đề hay gặp trong các đề thi đại

học và thi tốt nghiệp, đặc biệt trong xu thế đổi mới cách ra

đề như hiện nay thì vấn đề tôi muốn nói ở đây là các bài toán

khoảng cách ở dạng: Dùng để tính thể tích khối đa diện và

dùng để tính khoảng cách nào đó theo yêu cầu bài toán Tôi

xin đề cập đến khía cạnh này vì có 1 số bài toán gặp phải

tính khoảng cách làm nhiều em học sinh toát mồ hôi

Các bài toán sẽ đi từ rất dễ đến khá đến khó và đến cực khó Tài liệu này phù hợp với học sinh có học lực TRUNG

BÌNH và KHÁ dùng cho ÔN THI ĐẠI HỌC KIỂU MỚI

Sau chuyên đề này sẽ là chuyên đề tính thể tích của đa diện, mong các em học sinh đón đọc

Trong quá trình biên soạn sẽ không tránh khỏi những sai sót, mong các em đọc và cho ý kiến chỉ giáo qua địa chỉ:

BAN ĐẦU ĐA PHẦN LÀ KHÓ, KHÓ TRONG CÁCH TIẾP CẬN, KHÓ TRONG CÁCH HIỂU ĐƯỢC CÔ GÁI VÀ KHÓ CẢ TRONG CÁCH TÌM PHƯƠNG PHÁP HÓA GIẢI CÔ GÁI ĐÓ

HÌNH HỌC – HỌC HÌNH CŨNG GIỐNG NHƯ TÌM CÁCH ĐỂ YÊU MỘT CÔ GÁI VẬY

MỤC LỤC:

Bài toán 1: Các bài toán tính khoảng cách để áp dụng

tính thể tích khối đa diện và các bài toán khác tính khoảng

cách, xác định khoảng

cách ………

………

Bài toán 2: Các bài toán liên quan đến cực trị trong việc

tính khoảng

cách………

………

……

Bài toán 1: Các bài toán tính khoảng cách để áp dụng tính

thể tích khối đa diện và các bài toán khác tính khoảng cách

Sau đây là các bài toán tính khoảng cách để áp dụng vào

tính thể tích: Trong 1 số bài toán thì người ta yêu cầu tìm thể

tích khối đa diện, vấn đề khó khăn hay gặp là tính khoảng cách

hoặc tìm diện tích đấy để đi giải quyết bài toán Tôi sẽ đề cập

đến vấn đề khoảng cách trong các bài tính thể tích Sau chuyên

đề này tôi sẽ biên soạn tiếp theo chuyên đề hình học là thể tích

đa diện Mong độc giả đón đọc

Chúng ta sẽ đi từ những bài toán cơ bản đến phức tạp

Bài 1: Cho khối lăng trụ

ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác

đều cạnh a, cạnh bên AA1 tạo với

mặt đáy 1 góc 600 Và A1 cách đều

3 đỉnh A,B,C

a Tính khoảng cách từ A tới

(ABC)

b Tính độ dài BC1

c Khoảng cách từ B tới

(AA1C1C)

Lời bình:

a Do tam giác ABC có đáy là tam giác đều nên ta gọi M, N

là trung điểm của AC và BC

Khi đó BM AC và AN BC Gọi H là giao điểm của

AN và BM, khi đó H là tâm của tam giác đều ABC , mặt khác

thì do A1 cách đều các đỉnh của ABC nên A1H (ABC)

(Điều này có được là dựa vào lý thuyết các em đã được học)

Điều này có nghĩa là khoảng cách từ A1 tới mặt phẳng (ABC):

d(A1/(ABC)) = A1H

ABC có cạnh bằng a, và là tam giác đều nên ta có AN cũng là

trung tuyến, va có độ dài AN = √ => AH = AN = √ a

Gỉa thiết có rằng A1A tạo với đáy góc 600, ta đi xác định góc:

Do A1H (ABC), nên hình chiếu của A1A xuống mặt đáy là

AH, ta biết rằng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc tạo

bởi đưởng thẳng đó với hình chiếu của nó lên mặt phẳng, vì vậy

góc ở đây chính là ( 1) = 600

Vậy trong tam giác vuông AA1H vuông tại H có ( 1 ) =

600

Do đó : A1H = tan600.AH = √ √3 = A1H=

Tư duy bài toán: Đây là bài toán không khó, em nào làm nhiều

bài tập rồi thì khi gặp bài này sẽ không có vấn đề gì khó khăn

cả, song , chúng ta qua đây thấy được điều gì, đó là nếu bài toán

yêu cầu tìm thể tích lăng trụ ABC A1B1C1 thì việc còn lại là tìm

diện tích ABC Có 1 số bài toán có thể yêu cầu các em tìm

đáy thì rất dễ rồi

b Bài toán tính BC1 có thể là không dùng để tìm thể tích

nhưng nó là 1 bài toán tính độ dài đáng lưu tâm

Nhìn vào hình vẽ, thực sự mà nói để tìm được lời giải cũng cần

mất khoảng thời gian khá dài Các em thấy BC1 nó hầu như chưa

có mối liên hệ rõ ràng nào với các đối tượng đã biết Vậy hướng

tư duy ở đây là, nhận thấy BC1 và BC = a có chút quan hệ với

nhau khi chúng là các cạnh của hình bình hành CC1B1B Nhưng

tìm được BC1 như thế nào?

Liệu rằng CC1B1B có thể là 1 hình chữ nhật hoặc 1 hình nào đó

đặc biệt hơn không?

Ở đây, nó có thể là hình chữ nhật không?

Ta có: AN BC, và A1H BC (Do A1H (ABC))

Suy ra BC (A1AN), suy ra tiếp là BC A1A ( Do A1A thuộc

(A1AN))

Mặt khác A1A // B1B nên BC BB1, điều này có nghĩa là

CC1B1B là hình chữ nhật thật

Có nghĩa là CC1B vuông tại C có BC = a, vậy chúng ta chỉ cần

tìm thêm CC1 bằng

bao nhiêu nữa là tìm

được BC1 Rõ ràng là

CC1=AA1 = =

√

( Các em tính

được AH rất dễ rồi

nhỉ)

Vậy CC1= √ ; do

đó ta có :

BC1 = √ 1 +

Tư duy bài toán: Qua bài toán này chúng ta tư duy như thế nào,

có thể người ra đề sẽ yêu cầu các em tính CB1 thay vì tính BC1

BC1 = a

hoặc là chứng minh CC1B1B là hình chữ nhật chẳng hạn hoặc là

tính thể tích VA1.ANB…….Bài này nhằm mục đích giúp các em tư

duy hình học nhìn nhận vấn đề và khai thác triệt để mối tương

quan của các dữ kiện trong bài toán

c Gọi I là hình chiếu của B lên AA1

Xác định khoảng cách đó như thế nào?

Ta có các kết quả sau:

 Tư duy kiểu 1:

A1H (ABC) => A1H AC, lại có AC BM, nên AC

(A1MB), điều này ta có kết quả tiếp theo là dẫn đến AC BI (

BI thuộc (A1MB))

Mặt khác là BI A1M, cho nên BI (A1ACC1) Do đó khoảng

cách là BI

 Tư duy kiểu 2:

Do A1 cách đều ABC nên ta có A1AC cân tại A1, mà M là

trung điểm AC nên A1M AC, lại có AC BM =>AC

(A1MB), sau đó chúng ta làm tương tự như tư duy trên

Tóm lại chúng ta có kết quả cần dùng là BI (A1ACC1)

Khi đó khoảng cách từ B tới (A1ACC1): d(B/( A1ACC1)) = BI

Tính BI như thế nào?

Tôi xin giới thiệu 1 cách tư duy cho các bạn tính:

Các bạn thấy là hoàn toàn tìm được số đo góc 1 dựa vào

tam giác vuông A1MB, vuông tại H và đã biết độ dại cạnh A1H

và MH Sau khi tìm được số đo góc 1 thì dựa vào tam giác

vuông MIB vuông tại I sẽ tính được BI khi biết số đo góc 1

và cạnh MB ( Các bạn có thể tự trình bày được lời giải thì tốt

hơn)

Lời giải: Tan( 1) = A1H/MH = a : √ =

√ = 2√3

 cotg( 1) =

√ = √ => sin( 1)= ( ) =

= √

√

 Khi đó trong tam giác vuông BMI có BI = sin( ).MB

= √

√ √ a =

√ BI = √

Bài 2: Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy là tam

giác vuông cân tại B và độ dài 2 cạnh vuông là a Gọi B’ là

trung điểm SB và C’ là hình chiếu của A lên SC

a Tính khoảng cách từ A tới (SBC)

b Tính độ dài B’C’

Lời giải:

Phân tích đề toán: Các bạn thấy SA=BC=AB=a, điều này

sẽ có các kết luận bổ ích như ASB là tam giác vuông cân

tại A, mà B’ là trung điểm của SB nên suy ra AB’ là trung

trực của ASB

Điều hiển nhiên là SA (ABC) , cho nên SA BC, mặt

khác BC AB ( giả thiết), điều này dẫn tới BC (SAB)

suy ra BC AB’(do AB’ thuộc mặt phẳng (SAB))

Vậy từ các kết quả trên ta có được BC AB’ và AB’

SB cho nên AB’ (SBC)

Điều này đồng nghĩa với việc khoảng cách từ A tới mặt

phẳng (SBC) chính là đoạn

AB’ Ta đi tính AB’:

Rõ ràng SA AB => ASB

vuông cân tại A có cạnh vuông

bằng a, do đó đường cao AB’ có

rất nhiều cách tính

AB’= sin450.SA =

= √

a Theo kết quả trên thì ta có

AB’ (SBC) nên AB’

B’C’ dẫn đến AB’C’

vuông tại B’, và tam giác này đã biết độ dài AB’, khi

đó để tìm được B’C’ thì ta nên đi tìm thêm cạnh AC’, AC’ nó thuộc vào tam giác SAC cũng vuông tại A

và đã biết cạnh SA còn AC thì có thể tìm được thông qua ABC vuông cân có 2 cạnh vuông bằng a

Ta đi tìm AC bằng định lý pytago với ABC

AB’= √ a

AC = √2a , suy ra AC’ sẽ được tính theo công thức đường cao

1 1 1 1 1 3

2 '

3

    

 

Khi đó ta dễ dàng tìm được

B’C’ = AC'2 AB'2  23a2  12a2  16a

Tư duy bài toán:

Nếu giả thiết bài toán không cho B’ khi đó các bạn phải tự

hình dung và vẽ thêm hình, bài này cho B’ là đã giúp các bạn

50% tìm khoảng cách A tới (SBC), gặp bài toán khác, nếu họ

yêu cầu tìm khoảng cách đó mà không nói B’ là trung điểm SB

thì các em nên tự hình dung bài toán

Còn nữa nếu bài này khai thác thêm ở chỗ SA=AB=BC, vậy nếu

độ dài 3 cạnh đó khác nhau liệu bài toán này có làm được như

thế nữa không? Câu trả lời là có

Vì khi đó AB’ không phải là khoảng cách từ A tới (SBC) nữa

mà là đường cao hạ từ A xuống SB và hoàn toàn tính được

đường cao này

B’C’= 1

6a

Phát triển bài toán này thì có nhiều vấn đề cho các bạn khai thác,

mong các bạn dành nhiều thời gian nghiên cứu phát triển và tự

mình ra đề bài để làm toán

Bài 3: Cho hình lập

phương

ABCD.A’B’C’D’ có

cạnh bằng a

Tính khoảng cách

sau: d(AC;DC’)

Lời giải:

Bài toán yêu cầu tính d(AC;C’D) khoảng cách giữa 2 đường

thẳng trong không gian, cách tư duy khi làm loại toán này là đưa

về 1 đường thẳng và 1 mặt phẳng chứa đường thẳng còn lại sao

cho đường thẳng và mặt phẳng song song với nhau

Với bài này thì ta thấy AC//A’C’ => AC//(A’C’D) và DC’ thuộc

( A’C’D) cho nên khoảng cách d(AC;DC’) chính là

d(AC;(A’C’D)

Điều này có được là do chúng ta biết rằng: Khoảng cách giữa 2

đường thẳng chính là khoảng cách giữa mặt phẳng chứa 1 trong

2 đường thẳng và song song với đường thẳng còn lại với đường

thẳng còn lại ấy

Vậy ta có khoảng cách đó tính thế nào?

AC//(A’C’D) nên mọi điểm trên AC đều có chung khoảng cách

tới (A’C’D) hay ta có các kết quả sau:

d(A/(A’C’D))=d(C/(A’C’D))=d(D’/(A’C’D))

Tại sao lại có d(C/(A’C’D))=d(D’/(A’C’D)) , có được điều này

là vì ta thấy C và D’ có khoảng cách tới DC’ là như nhau Nên

theo tính chất về khoảng cách ta có kết quả đó

Vậy tóm lại : d(AC;DC’) = d(D’;(A’C’D))

Ta có D’.A’C’D là chóp tứ diện vuông tại D’ ta cócông thức

sau:

' ' ' ' ' 3

’; ’ ’

’; ’ ’

3

Tư duy bài toán:

Đây là 1 bài toán với mức độ khó bình thường, nếu bạn

học sinh nào làm quen nhiều với hình lập phương thì bài này

không là vấn đề gì

Tôi có 1 số tư duy cho những ai còn kém về phần này: Để

làm được loại này thì các em học sinh cần phải nắm chắc được

kiến thức về khoảng cách từ 2 đường thẳng, khoảng cách điểm

đến mặt phẳng và khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng,

sau đó tìm mối liên hệ giữa chúng Ví dụ như: Khoảng cách giữa

đường thẳng đến mặt phẳng thì có mối liên hệ thế nào với

khoảng cách từ 1 điểm đến mặt thẳng, mối quan hệ của nó là tất

cả các điểm nằm trên đường thẳng đều có chung 1 khoảng cách

tới mặt phẳng, vậy nên ta chỉ cần tìm được khoảng cách từ 1

điểm là suy ra được khoảng cách của đường thẳng đến mặt

( Đương nhiên đường thẳng và mặt phẳng là song song với

nhau thì mới có khoảng cách nhé các em)

Một lưu ý nữa là vấn đề vẽ hình là 1 việc vô cùng quan

trọng trong giải toán hình học, các em cũng nên vẽ hình 1 cách

dễ nhìn, rõ ràng và phải để phô ra những dữ kiện đã biết của bài

toán

Các em nên rèn luyện kỷ năng vẽ hình cho mình, tìm hiểu

các tính chất của tất cả các hình học trong không gian để có

được những kiến thức hữu ích phục vụ giải toán

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang ,

= =900 , BA=BC=a, AD=2a Cạnh bên SA vuông góc

với đáy và SA=√2a

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB Tính d(H;(SCD))

Lời giải:

Cách giải bài này khá là hay và cần 1 cái nhìn tinh tế với bài

toán:

Sẽ có nhiều cách giải, nhưng tôi xin đề cập đến vấn đề áp dụng

tứ diện vuông để tính

Gọi N là giao điểm của AB và CD thì ta được 1 tứ diện vuông

S.AND

Gọi K là giao điểm của AH với SN khi đó ta có các tư duy sau

đây:

Thay vì tính trực tiếp d(H;(SCD)) ta sẽ đi tính d(A;(SCD)) và

dựa vào mối quan

hệ tỷ lệ của

;( ) (talet);

trong đó ta có

d(H;(SCD)) =

d(H;(SND)) và

d(A;(SCD)) =

d(A;(SND)) trong

đẳng thức này ta

phải đi tìm cho

được tỷ lệ là

bao nhiêu? Còn việc tính d(A;(SCD)) thì dễ hơn nhiều thông qua

tứ diện vuông S.AND với công thức

( ; ( ))

d A SND  SA  AN  AD , trong công thức này ta chỉ cần tính

AN là áp dụng xong

Vậy bài toán chỉ còn việc tìm cho được tỷ lệ và AN

Ta có AH SB nên :

cos ( ) cos ( )

2 3 ( )

SH cos HSA SA SA a

HSA BSA SA

cos HSA

 

Mặt khác ta có thể chứng minh được B là trung điểm của AN

NA AD  a  vậy B là trung điểm của AN, mặt khác 2

3

SH

SB  điều này chứng tỏ H phải là trọng tâm của tam giácSAN mà A,H,K thẳng hàng cho nên ta có tỷ lệ cần tìm

;( )

Suy ra H; (SND) = ;( )

Ta có ; ( ) tính dựa vào tứ diện vuông A.SND theo

công thức:

2 7 ( ; ( ))

7

2 7

21

a

d A SN D

a

2 7 21

a

Tư duy bài toán:

Bài toán này đã vận dụng sự đặc biệt của điểm H để đi giải

quyết kết hợp với tính gián tiếp qua A, lý do là A đã thuộc 1 tứ

diện vuông A.SND rất dễ tính toán, và dựa vào mối tương quan

của H và A để tìm tỷ lệ khoảng cách Các bạn có thể tính gián

tiếp qua B xem thế nào Hoặc áp dụng cách khác để đi giải quyết

bài toán Những bài tiếp theo tôi sẽ tiếp tục đi áp dụng các tứ

diện vuông với công thức tính khoảng cách ở tứ diện vuông

CLB THÔNG BÁO Trên đó chỉ là bản đọc thử cho

các em Nếu cảm thấy chuyên đề này phù hợp với bản thân

mình thì

ĐĂNG

KÝ MUA NGAY

thì nhanh tay đăng ký mua ngay để được nhận tài liệu này

ĐẶC BIỆT KHI MUA CÁC EM SẼ ĐƯỢC TẶNG BỘ File

ĐỌC CUỐN SÁCH DÀY 160 TRANG RẤT NỔI TIẾNG

Mọi chi tiết đăng ký mua tài liệu xin vui lòng gửi vào

địa chỉ email: tailieuhoctaptmt@gmail.com

Hoặc facebook: https://www.facebook.com/tailieu01

ĐẦU TƯ CHO HỌC TẬP LÀ MỘT SỰ LỰA CHỌN THÔNG MINH

CÁC EM Ạ - KỲ THI SẮP ĐẾN RỒI, NHANH TRANG BỊ KIẾN THỨC

CHO MÌNH NÀO CÁC EM !

Với cuốn sách này anh tin các em

có thể có được những bước đột phá trong học tập, nếu chịu khó áp dụng những gì thâm túy trong cuốn này

Do đây là sách của tác giả nước ngoài, khi được biên dịch về tiếng việt thì nó cũng bị hạn chế nhiều, anh tin các em biết chắt lọc để có được điều cần cho mình

Anh sẽ tiếp tục xây dựng các video về kỹ thuật tạo hưng phấn trong học tập cho các em, các em theo dõi qua kênh Youtube: CLB Gia Sư Bài Thi Khoa Học

TRẦN MẬU TÚ-TMT-