MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ... + Nếu fx, gx chứa các căn thức cùng bậc thì ta nhân đại lượng liên hợp ở tử và mẫu.. + Nếu fx, gx chứa các căn thức không cùng bậc thì ta thêm
Trang 1TRƯỜNG THPT TIÊN DU SỐ 1
**************************
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
GIÁO VIÊN: VŨ THỊ THẢO
Bắc Ninh, tháng 2 năm 2012
Trang 2L x f x
x x x
thì:
)(lim)(lim)]
()([
lim
0 0
0
x g x
f x
g x f
x x x
x x
0 0
0
x g x
f x
g x f
x x x
x x
)(lim
)(lim)(
)(lim
0
0
x f x
g
x f
x x
x x x
x f x
f
x x x
x f x
f
x x x
0 0
x f x
f
x x x
x x x
xlim ( ) lim ( )
\);
()()(
0 0
0
x x
lim0
L x f x
x x x
L x f x
x x x
x x x
0 0
II) Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực
x f x x
n k
n k
x k
x
0lim
Trang 30 0
0)
(lim
0
0
x g
L x f
x x
x x
0)(lim.)
()
(lim
0
0
0
x g L
khi
x g L
khi x
g x f
x x
x x x
)(
)(lim
0
x f
x x
0)
(lim
0
0
x g
L x f
x x
x x
(
)(lim
x g L khi x
g
x f
x x
B MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
x lim ( )
0
x f x
Ví Dụ 1 Tính các giới hạn sau:
a)
x x
x x
4)(
3 2
x khi x
x khi x
x f
Giải:
a)
x x
x x
1lim 2
13)3(
2 (
f
x x
) 2 ( )
2 (
f
x x
) 2 ( )
2 (
Trang 4Bài tập tương tự Tính các giới hạn sau:
x x
2
1)
(
3
x khi x
x khi x
x x f
0)
(lim
0
0
x g
L x f
x x
x x
0)(lim.)
()
(lim
0
0
0
x g L
khi
x g L
khi x
g x f
x x
x x x
1
x x
x
32
12lim
1
x x
Trang 5x x
4.)2(
6.)3(
) ( lim
x g
x f
0)
(lim
0
0
x g
L x f
x x
x x
(
)(lim
x g L khi x
g
x f
x x
Ví Dụ 3.Tính các giới hạn sau:
a)
3
3lim
x
1 ( 1)
54lim
3(
2
x x
x x
x
Trang 6c)
)34)(
3(
x
x
d)
x x
1lim
x x
1
2
1]21
[
32lim
x
12lim
2(
13lim
3(
2
) 4
) ( lim
x g
x f
+ Nếu f(x), g(x) là các đa thức thì ta phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử để rút gọn
+ Nếu f(x), g(x) chứa các căn thức cùng bậc thì ta nhân đại lượng liên hợp ở tử và mẫu + Nếu f(x), g(x) chứa các căn thức không cùng bậc thì ta thêm bớt hằng số (biểu thức) và viết
về tổng các giới hạn đơn giản
4lim 2
1
)(
)(lim
a x
a x na a x I
n n n a
93lim)
3)(
3(2
)93)(
3(lim
2 3 2
x
x x x
x x
Trang 72)12(
4lim 2
281
)2)(
2(lim)
1)(
2(
)2)(
2)(
2(lim
2 2
2 2
x x
x x
x
x x
c)
4
52
22lim)2)(
1(
)22)(
1(lim2
2
2 1 3
2 1
2 3 4
2 3
x x
x x x x
x x x
x x
x x
x
d)
1
)1(
)1()1(lim1
lim
2 1
x x
n x x
x n
x
1
)]
1
(
)1(1)[
1(
lim
2 1
x
.1
)]
1
(
)1(1)[
1(
lim
2 1
x
2
)1(
21)]
1
(
)1(1
2 2
1 2
1
)(
])
)[(
(lim)
(
)(lim
a x
na a
xa a
x x a x a
x
a x na a x I
n n
n n
n a
x
n n n a
na a
xa a
2 2
1
)
(
a x
a xa a
a x a
)(
)(
lim
1 2 1
2 1
1
a x
a x a a
x a a
)(
)(
lim
2 2
2 1
1
a x
a x a a
x
a x a a
x
a x a a
x
a
a x
n n a x
n n a x
n n a
)(
lim)(
lim)(
lim
2 3
3 2 2
2 1
1
2 2
4 4
5 5
4 2
n
I
Trang 8)3()
2()
1[(
2
2 1
1()2()3(
321[
2 2
n n
lim
a x
a x a x
15
134
1lim
)23)(
1(
)23)(
23(lim1
23lim
1 2
1 2
x
x x
x
x
x x
x
8
1)23)(
1(
1lim
2 2
lim
a x
a x a
x
a x a
x
a x a x
a x a
x a
a x a x
a x a
x a
x a x
a x a x
a x a
x a
12
1)
(lim
1lim)
(
))(
3)(
34(
)15
3)(
15
3(lim3
4
15
3
3 2
x x
x x
x x
x x
4
1)15
3)(
1(
2lim
)15
3)(
3)(
1(
)3(2lim
134)(
134(
)134)(
1)(
1(lim134
1lim
3
3 2
3
3 2 3
1 3
x x
x
x
x x
)1)(
1(4
)134)1(lim)1)(
134)(
134(
)134)(
1)(
1(lim
3
3 2 1
3
3 2
3
3 2 3
x x x
x
x x
x x
x x
6
1)1(
4
134lim
Trang 9Ví Dụ 3 Tính các giới hạn sau:
a) I
x
x x
x
3 0
81
2
3 0
3121lim
x
x x
L
x
131.21lim
3 0
3 0
82lim21
2lim8
221
2
x
x x
x x
x x
I
x x
2lim)11
(
2lim)
21
2(
)21
2)(
21
2(lim21
2lim
0 0
0 0
x
x x
x
x I
x x
x x
))8(8
24(
))8(8
24)(
82(lim8
2lim
3
3 3
0 3
0 2
x x
x
x x
x x
x I
x x
24(
lim
3 0
x x
24
1lim
3 0
2 0
2
3 0
31)1(lim)1(21lim3
1)1()1(21
x
x x
x
x x x
x x
x x J
x x
2 2
0 2
0 1
x x J
x x
1)1(21
1lim
)1(21
lim
0 2
2 0
])31(31)1()1[(
)31()1(lim
31)1(lim
3 2
2
3 0
2 3 0
2
x x
x x
x
x x
x
x x
3lim
3 2
Trang 10c) Ta có
x
x x
x x
x
x x
L
x x
131.212121lim131.21lim
0 0
x
x x
x x
x x
x x
x
)131(21lim121lim131.212121lim
3 0
0 3
121
2lim
121lim
0 0
x L
x x
x
))31(311(
213lim
)131(21
3 3
0 3
0 2
x x
x
x x
x
x x
213
3 3
L
m n
x
11
.1lim
1
21
2lim
5 4
n x
11
3
4 12 4
12
t t x
t t x t
1(
1lim
1
1lim1
1
2 1 4
3 1 3
t x
x I
t t
x
5 1 4
1
5 4
12lim
1
112lim1
21
2lim
x
x x
x x
x x
J
x x
*
4 1 1
11
2
11
2
1)
0(12
4 4
t x
t x t
t x
Do đó
2
1)1)(
1(
2lim
21
1
1 4
t t
Trang 1112lim
*
1 2
1lim
1
1
1 5
y y
Vậy
10
75
12
1lim
x n
x
c)
44
82
2 4
3
33lim
)51()1(
lim
x x
x x
)(lim
BÀI 4.2 Tính các giới hạn sau:
3 3
c)
x x x
x
x
33
1lim
3 2
x x
x
769
x x
1
e)
1
23
22lim
x x
lim
2
34
626
2
2 2
x x
j)
187
223lim 2
x x
12lim
m)
9
25
x x
32
Trang 12p)
134
1lim
x
3 2 0
11
2 3
x
c)
1
75
x
x x
x
3
0
81
3lim
1
21
2lim
5 4
x
h)
x
x x
x
13814lim
3 0
3121lim
x
x x
x x
x
1101.81.61.41lim
5 4
3 0
x
DẠNG 5
) (
) ( lim
x g
x f
Phương pháp:
+ Nếu f(x), g(x) là các đa thức thì ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x
+ Nếu f(x), g(x) chứa các căn thức thì ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x hoặc
nhân thêm đại lượng liên hợp
+ Chú ý:
B A B
A 2 với A 0; B 0
B A B
x x
x x
c)
x x
x x
12(
x
x x x
21
4lim
2
534lim
x x
x x x
132lim1
132lim
2
2 2
x x
x x
Trang 13b) 0
11
113lim13
lim
2
3 2 3
x
x x
x x
c)
x
x x
x x
x
x x
x x
x
x x
x
x x
)3)(
12(lim3
4
)3)(
12(lim3
4
)3)(
12(lim
1)
31)(
12(lim
2
x x
x x x
11
2 >0 với x0
d)
x
x x x x x
x x x x
x
x x x
x x
21
14lim3
4
21
14lim3
4
21
4lim
2 2
4
21114lim
2 3
2
3 2 2
21
5
34lim2
1
5
34lim
21
5
34lim2
534lim
x x
x x
x x
x x x
x x x
x x x
x x
x x x
x x
x x
123
1
924
x
c)
1310
5
2 4
13
)1)(
52(
x
e)
)13)(
1(
3lim
3
2 4
x
g)
34
12
x
Trang 14h)
1
1)
41(
25
3)
12(lim
x x
x x
1(
x
x x x
14
32
2 6
2
21
2 4
x x
+ Nếu f(x), g(x) là các đa thức thì ta nhóm lũy thừa cao nhất của x là thừa số chung
+ Nếu f(x), g(x) chứa các căn thức thì ta nhân thêm đại lượng liên hợp
x x x x x x x
x x
x x
2lim
2lim
2
2 2
2
1
2lim
2
2lim
x
x x
)2134).(
2134()
(
)).(
(lim
2
2 2
2
2 2
x x
x
x x
x x x
x x
x x
x x x x x x
2134()
(
)).(
(lim
2
2 2
2
2 2
x x
x
x x
x x x
x x
x x
x x x x x x
x
45)2134(
13)
1
11(
1lim
)2134(
13)
(lim
x x
x x
x
x x
x x
x
x x
Trang 1511.lim61
lim
x x
x x x x x x
x x
x
x x
611111.lim
x x x
x x
BÀI 6.3 Tính các giới hạn sau:
11
12
2332lim
x x x
lim
2 2
Trang 16)(lim)(1
)(lim)()
(lim
0 0
0
x f
x g x
g
x f x
g x f
x x x
x x
x
Ví Dụ 7 : Tính các giới hạn sau:
)2(
)2(lim)2)(
2(
)2(lim4)
2(lim
2 2
2 2
x
x x x
x x
x x
x
211
12.)
11(lim2
11
12
1)
1(lim2
12)1(lim
3 2 3
x x
x x
x x
x x
x
x x
x x
3(
x x
11lim
12
x
15
32
Trang 17DẠNG 8 Giới hạn của các hàm số lượng giác
)(sinlim
0 )
x f
x f
Ví Dụ 8 : Tính các giới hạn sau:
5
5sin.5lim5
sinlim
x
x
313
3sin
sin.3
1lim3
sin
sinlim
x
x x
3)
22
2sin2lim2
sin2limcos
1lim
2 2
0
2 2
2
0 2
0
a ax
ax a
x
ax x
ax
x x
x x x
x
x x
x x
x x x
x
x x
x x
x
sin2sin2lim2
cos
)2cos1(2sinlim2
cos
2cos2sin2sinlim2
sin2tan
2 0
3 0 3
0 3
41.1.42cos
1
sin.2
2sin.4
x
x
0 2
0
6coscoscos
cos1lim6
coscos1lim
x
x x x
x x
x x
x x
1
lim
x
x x
x
x
x x
2 2 0
2 2
0 2
2 0
2 2
0
3sincos2lim2sin2lim3
sincos2lim2sin2
lim
x
x x
x
x x
x x
x
x
x x
13
3sin.cos18lim2
2sin2
1
lim
2
0 2
x
x
x x
Ví Dụ 9 : Tính các giới hạn sau:
1)
33
5sinlim
x x
Trang 183)
10tan5
lim
5
x x
3cos
1lim
5sin)33(lim33
5sinlim
0 0
x x
x x
x
x
x x
x
0 0
sinlim
243
121lim2
43
sin121
x x
x x
x
x x
x
x x
I
x x
1)(
(
)243)(
2(lim)121)(
243)(
243(
)243)(
121(121(lim
0 0
x x
x x
x x
x x
x x
I
x x
42
8)121)(
1(
)243(2lim
x
4
sin.)1(
)243(lim)243)(
243(
sin)243(lim
243
sinlim
0 0
x x
x x
x x
x x x
x x
x I
x x
x
Vậy I=0
10tan5
lim
5
x x
)5(tan.lim10tan5
lim
0 0
5
t t
t t
x x
t t
10
10lim10sin10
cos.lim
t t
t t
t t
14
2
3cos1lim
2
3cos
14
2
3cos
12
3cos
1lim
2 2
4 2
2 2
x x
x
x x
J
x
Trang 19cos21lim
2
3cos
14
2
3cos1lim
2 2
4 2
2
x x
2cos342
2coslim
2
3cos
142
2cos11lim
4 2
x
x x
2cos2
2
2222
32
1)
1(2
32
2sin3
1
2
2sinlim2
32
2cos342
2coslim
0 4
x
x J
0
0
5cos1lim
lim
x
x x
x 0 sin2
3coscos
x
x x
x
x x
x
x x x
2coscos1lim
x
nx x
x x
x 1 sin cos
cossin
1lim
1lim
BÀI 8.2 Tính các giới hạn sau:
Trang 203)
2 0
11
cos1lim
cos12lim
cos1
lim
x
x x
x
x x x
x
x x
11
2lim
3 2 0
x 1 cos
1312lim
2cos1lim
x
x x
1lim
x
x
x 1 sin coslim
cos22lim
x
tancos
1lim
3sinlim
coslim
3cos.2coscos1lim
x
x x
x
x x
x
x
x
2sin.1
1lim
2 2
x x
x x
x sin
sinlim
0
Trang 212 0
cos 1 lim
x
x x
x
x x x
x
!
sin
2 sin sin lim
x 0 sin 3
sin tan lim
a x
a x
9)
b x
b x b
cos cos
c x
x x
x
x sin
cos1lim
3 0
13)
c x
c x
2 2
2 2
sin sin
lim
a x
a x
coscos
lim
x
x x
x sin
3sin5sinlim
lim
1
x x
8 lim
3 cos 2 cos cos 1 lim
sin sin
2 2 sin lim
x
a x a x
tan tan
2 2 tan lim
x
a x
a x
cos.coscos
lim
x
cx bx ax
lim
) (
tan sin
bx ax
x
25)
x
x x
1 1
2 lim
3 2 0
a
x
) cos(
) cos(
tan sin lim
x
x x
sin cos sin lim
x x x
x tan2 .tan 4 lim
tantan
.tanlim
x
a x
a x a
4 sin sin 2 sin lim
x
x x x
x sin 11
7cos.5cos1
1 lim
2sinsinlim
2
x
x x
39)
2 2 0
cos 1
lim
x
x x
sin 1 tan 1 lim
x
x x
Trang 2241)
) 1 tan(
2 3 lim
x
0
cos1lim
0
2
coslim
cos22lim
7 cos 5 cos 3 cos lim
x
x x x
cossin
1sin2
1 lim
x x x
x x
x tan sin
sin tan lim
cos 1 lim
x 1 cos
sin.lim
0
x x
x
2 cos 1 lim
2 0
)1sin(
3cos4
1sin2
5 sin 7 sin lim