CHUYÊN ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ PHẦN I: PHẦN LÝ THUYẾT BÀI TẬP MINH HỌA Dạng 1. Định nghĩa giới hạn Phương pháp: Định nghĩa và các tính chất Với mọi số nguyên dương , ta có: ; , , Xác định dấu hoặc dựa trên dấu của tích số, thương số, , , Ví dụ 1. Tính giới hạn a. ; b. ; c. ; d. ; Giải a. ; b. c. ; d. . Dạng 2. Giới hạn một bên Phương pháp: Nếu thì không tồn tại Nếu thì Hàm số liên tục tại khi và chỉ khi . Hàm số liên tục tại khi và chỉ khi . Ví dụ 2. Tìm giới hạn a. ; b. ; Giải a. ; b. Dạng 3. Khử dạng vô định Phương pháp: 1) Phương pháp khử dạng vô định khi x +, x – Xét hàm số: thì
Trang 1Hướng dẫn giải:
CHUYÊN ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ PHẦN I: PHẦN LÝ THUYẾT BÀI TẬP MINH HỌA
Dạng 1 Định nghĩa giới hạn
Phương pháp: Định nghĩa và các tính chất
Ví dụ 1. Tính giới hạn
Giải
a ; b
Dạng 2 Giới hạn một bên
Phương pháp:
Ví dụ 2. Tìm giới hạn
a ; b ;
Giải
a ; b
Dạng 3 Khử dạng vô định
Phương pháp:
k xlim x k
x x
x x
lim k 0
x x
x x0
x
0
3 1 2 3
Lim
1
x
x
0
1 Lim
1
x
x x x x
2
1
Lim
1
x
x
5 1 Lim
x
x x
0
3 1 2 3
1
x
x
0
1
1
x
x x x x
2
1
Lim
x
x
Lim
x
x x
lim ( ) lim ( )
x x f x x x f x
0
lim ( )
x x f x
lim ( ) lim ( )
x x f x x x f x L
0
lim ( )
x x f x L
0 0
( ) khi khi
y
x x f x k
0 0
( ) khi ( ) khi
y
g x x x x x 0 lim ( ) 0 lim ( ) 0
x x f x x x g x
2 3
1 3 2
lim
3
x
x x
x
2 2
4 lim
2
x
x x
2 3
1 3 2
lim
3
x
x x
x
2
x x x x
x x x x
Trang 21) Phương pháp khử dạng vô định khi x +, x –
thì
Ví dụ 3. Tính giới hạn a ; b.
Giải
Dạng 4 Khử dạng vô định
Phương pháp:
Đối với biểu thức chứa căn thức, ta nhân lượng liên hợp để khử căn thức, tạo ra thừa
Ví dụ 4. Tính giới hạn
a ; b
Giải
a
b
Dạng 5 Khử dạng vô định hay
Phương pháp:
1
1
m
n n
n
0 0
0 lim ( )
x
khi m n a
b khi m n
3
A A B B x x2 x x
2
x x
2
lim
x
x
1 lim
1
x
x x
2
1 2
2
x
2 2
2
1 1 1
1 1
x x
x x
0 0
0
( ) lim ( )
x x
f x
g x
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
f x
0
x x
4
2
16
Lim
2
x
x
2 2 4
3 4 Lim
4
x
4
16
x
2
2
0.
Trang 3Nhân chia lượng liên hợp để khử căn Chuyển về dạng hoặc đã biết.
Ví dụ 5. Tính các giới hạn sau: ;
Giải
2
2
2
3 3
3
x
x
PHẦN II PHẦN BÀI TẬP TỰ GIẢI (LẤY ĐIỂM MIỆNG)
A PHẦN TỰ LUẬN
Bài 1 Tính giới hạn
HD: Thay vào
a
0
(3 1)(2 3 ) 2
x
x
0
x
x x x x
2
1
.lim
x
c
1
.lim
x
x d
x
Bài 2 Tìm giới hạn
HD:
2
n
HD:
2
2 1
x
0 0
0
3 1 2 3
Lim
1
x
x
0
1 Lim
1
x
x x x x
2
1
Lim
1
x
x
5 1 Lim
x
x x
2
2
1 Lim
1
x
x
2 3
1 3 2
lim
3
x
x x
x
2 2
4 lim
2
x
x x
lim
2
x
x x
lim
2
x
x x
lim 3
x
x x
3
lim 3
2
lim
1
x
x x
lim
3
x
x x
lim
3
x
x x
2 lim
x
x
4
2 1 lim 4
64
x
x x x
2 4
1 lim 2 1
3 1
x
x x
Trang 4
4
1 1
3 1
x x
Bài 4 Tìm giới hạn của các hàm số sau:
Phương pháp: Tính xlim ( ) , lim ( )x o f x x x o f x
lim ( ) lim ( )
x x f x x x f x
thì không tồn tại 0
lim ( )
x x f x
lim ( ) lim ( )
x x f x x x f x L
thì 0
lim ( )
x x f x L
HD: a Ta có:
2 2
1 ) lim ( ) lim
f x
x
f x
lim ( ) lim ( ) lim ( )
b Ta có:
) lim ( ) lim 2 3 2 2.2 3 3
) lim ( ) lim 4 3 4.2 3 5
Nhận thấy: lim ( ) lim ( )2 2
x f x x f x
Không tồn tại lim ( )2
x f x
Bài 5 Tìm để các hàm số có giới hạn tại:
Phương pháp: Tính xlim ( ) , lim ( )x o f x x x o f x
,
lim ( ) lim ( )
x x f x x x f x L
Ta giải PT này để tìm m.
HD: a Ta có:
2 2
3 2
1 1
1 2
khi x x
f x
x khi x
x x khi x
f x
m
2 3
0
1
0 2
x khi x x
f x
2
0
100 3
0 3
khi x x
x x x x
x x x x
Trang 5
2
2
2 3
) lim ( ) lim
) lim ( ) lim lim
x
f x
Để hàm số có giới hạn tại x=0 thì 0 0
lim ( ) lim ( ) 0
b Ta có:
2
100 3 3
) lim ( ) lim
f x
x
Để hàm số có giới hạn tại x=0 thì lim ( ) lim ( )0 0 1
x f x x f x m
Bài 6 Tính giới hạn
d ; e.
HD:
2
2
lim
x
a
x x
3
2
2
2
3
1 1
3 1
8
lim
2
lim
x
x
b
x
c
x
x
d
x x
x x
e
3
10 2
2
3 3 1
Bài 7 Tính giới hạn
2
2
Lim
x
x x
2
1 3 Lim
2 3
x
x
2
Lim
x
2
2
1 lim
x
x
x x
3 3
lim
3 3
x
x x
Trang 6a ; b ;c ; d
Giải:
4
2
2
2
2
5
16
2 15
5
x
x
a
b
c
d
x
5
x x
Bài 8 Tính giới hạn
a
Phương pháp: Nhân biểu thức liên hợp.
Giải:
a
2
3
2
2 2
7 2
12
x
b
x
2
6 3
5 3
c
x
2
2
8
d
4
2
16
Lim
2
x
x
2 2 4
3 4 Lim
4
x
3 1
1 Lim
5 6
x
x
x x
2 5
2 15 Lim
5
x
x
0
Lim
4
x
x
x
1
7 2 Lim
1
x
x x
2 2
5 3 lim
2
x
x x
2 lim
4 1 3
x
x
lim0
x
x x
Trang 7
x
x
Phương pháp: Thêm bớt 1 lượng để nhân với biểu thức liên hợp.
Giải:
3
2
2
2
1
lim
lim
lim
x
x
x
a
3 3
2
2
2
2
lim
lim
lim
x
x
x
b
3
1
Lim
1
x
x
3 0
3 4 8 5 lim
x
x
0
lim
x
x
Trang 8
3
2
2
2
2
lim
lim
lim
x
x
x
c
x
Bài 10 Tính các giới hạn sau: a) b)
Giải:
2
2
4 1
1 lim
2
x
x
x x
B PHẦN TRẮC NGHIỆM
Đáp án:
Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
0
1
lim
x x
0
1 lim
x x
0
1 lim
x x lim0 1
x x
3 2 2
lim
1
x
x x
x x
10
3
10 7
Trang 9Câu 3: bằng:
HD:
2
2
2 3 5
1
x
x
2
3
3
3
2
3
6 : lim
9 3
) lim 6 ( 3) 6 3 0
) lim 9 3 0, 9 3 0 3
6
lim
9 3
x
x
x
x
x
HD
x x
x
x
1
1
1
1
3 1
:lim
1 ) lim 3 1 3.1 1 4 0
) lim 1 0, 1 0 1
3 1
lim
1
x
x
x
x
x
HD
x
x
x
x
3 1
1 lim
x
x x x
1
1 2
2 2
lim
1
x
x x x
2 3
6 lim
9 3
x
x x
1
1
1
lim
1
x
x x
4
lim
x
x x
x x
3 5
2 5
Trang 104 5
4
4
3 2
5 3 2
3
) lim 2 2 0 ,
3
x
x
HD
x
khi x
x
Câu 8: bằng
HD: Chia cả tử và mẫu cho x2
Câu 11: là:
HD: Thay vào
Câu 12: Tính Kết quả là:
HD: Thay vào
: lim 4 3 1 lim 4
2
1 lim
2
x
x x
1
2
lim
2
x
x x
2 2
lim
3
x
x x
1
3
2
2 3 1
3 lim
2
x
x x
1
lim
1
x
x x
1 2
2 3
1
lim
2
x
x x x
Trang 11A 1 B C 5 D
HD: Thay vào
HD: Chia cả tử và mẫu cho x4
HD: Thay vào
2
2
HD
2
12 35
2 3
2
2 2
2
2 2
lim
2
x
x
HD
x x
x
2 3
5 3
4 4
lim
x
x x
x x
4 9
3 5
4 1
3 lim
5
x
x x
x x
4
5
4 7
2 7
2 5
2 2 4
lim
4
x
x x
x x
5 4
5 4
2 5
lim
5
x
x x x
2
5
2 5
3 2 2
2 2 lim
2
x
x x
2
2
3 2 2
2 2
2
lim
x
x x x