Phan dang va cac phuong phap giai toan chuyen de gioi han

Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn 0 của dãy số .... Sử dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, tìm giới hạn, biểu thị một số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số ....

SĐT: ĐC: ớhòng , dãy T p thể xã t c.Tớ HU

Biên so n: Ths Tr n Đình C

Bài giảng Giải tích11

Chương IV

HU Ế, NGÀY 4/1/2017

1

M ỤC LỤC

CH ộG IV GI I H N 2

BÀI 1 GI I H N C A DÃY S 2

Dạng 1 Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn 0 của dãy số 3

Dạng 2 Sử dụng định lí để tìm giới hạn 0 của dãy số 4

Dạng 4 Sử dụng các giới hạn đặc biệt và các định lý để giải các bài toán tìm giới hạn dãy 5

Dạng 5 Sử dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, tìm giới hạn, biểu thị một số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số 6

Dạng 6 Tìm giới hạn vô cùng của một dãy bằng định nghĩa 9

Dạng 7 Tìm giới hạn của một dãy bằng cách sử dụng định lý, quy tắc tìm giới hạn vô cực 10

M T S D NG TOÁN NÂNG CAO {Tham kh o} 12

BÀI 2 GI I H N HÀM S 20

Dạng Dùng định nghĩa để tìm giới hạn 23

Dạng 2 Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức 26

Dạng 3 Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn một bên 27

Dạng 4 Sử dụng định lý và công thức tìm giới hạn một bên 27

Dạng 5 Tính giới hạn vô cực 29

Dạng 6 Tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định 0 0 29

Dạng 7 Dạng vô định   31

Dạng 8 Dạng vô định    32 ;0 M T S D NG TOÁN NÂNG CAO {Tham kh o} 35

BÀI 3 HÀM S LIÊN T C 38

Dạng 1 Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x 0 38

Dạng 2 Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm 41

Dạng 3 Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng K 43

Dạng 4 Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x) 45

Dạng 5 Chứng minh phương trình f x = có nghiệm 45

M T S BÀI T P LÝ THUY T {Tham kh o} 51

ÔN T ớ CH ộG 53

a) Dãy số (u ) cĩ giới hạn là 0 khi và chỉ khi dãy số n  u cĩ giới hạn 0 n

b) Dãy số khơng đổi (u ) , với n un  cĩ giới hạn 0 0

Các định lí

* Định lí 1: Cho hai dãy số  u và n  v Nếu n un  với mọi n và vn limvn  thì 0 lim un  0

* Định lí 2: Nếu q 1 thì limqn  0

Định nghĩa dãy cĩ gi i h n hữu h n

* Định nghĩa : Ta nĩi dãy (v ) cĩ giới hạn là số L ( hay n v dần tới L) nếu n nlim v n L 0

 Nếu un  với mọi n thì L 00  và lim un  L

* Định lí 2: Giả sử limun L và lim vn  M 0, c là một hằng số Ta có:

u lim u alim u v a b; lim cu cL; lim u v lim u limv ; lim ;

5 Tổng c a c p s nhân lùi vơ h n

 Cấp số nhân lùi vơ hạn là cấp số nhân vơ hạn và cĩ cơng bội q thỗ mãn q 1

 Cơng thức tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn: 1

ub)Nếu lim u a 0 và lim v 0 và v 0 với mọi n thì lim

vTương tự ta lập luận các trường hợp còn lại

c) Nếu lim u và lim v a 0 thì lim u v

Dạng 1 Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn 0 của dãy số

ớh ng pháp: lim un  khi và chỉ khi |u0 n| cĩ thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ số hạng nào đĩ trở đi

n 1

Ta có lim v lim 0 Do đó, v có thể nhỏ hơn một số dương tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi (1)

nMặt khác, theo giả thiết ta có u v v (2)

Từ (1) và (2) suy ra u có thể



n

nhỏ hơn một số dương tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là lim u 0

Ví d 2 Biết rằng dãy số (un) cĩ giới hạn là 0 Giải thích vì sao dãy số (vn) với vn=|un| c)ng cĩ giới hạn là

0 Chiều ngược lại cĩ đúng khơng?

H ng d n

Vì (u ) có giới hạn là 0 nên u có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng

nào đó trở đi

Mặt khác, v  u  u Do đó, v cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy y

n n

ù, kể từ một số hạng nào đó trở đi Vậy (u ) có thể nhoe hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số

hạng nào đó trở đi Vậy (v ) cũng có giới hạn là 0

(Chứng minh tương tự, ta có chiều ngược lại cũng đúng)

Ví d 3 Vì sao dãy (u ) với n  n

n

u   khơng thể cĩ giới hạn là 0 khi n  ? 1

lim q 0 nếu q 1

Ví d 1

a) Cho hai dãy số (u ) và (v ) Chứng minh rằng nếu n n limvn 0 và un  với mọi n thì vn lim un  0

b) Áp dụng kết quả câu a để tính giới hạn của các dãy số cĩ số hạng tổng quát như sau

 Nếu biểu thức cĩ dạng phân thức tử số và mẫu số chứa luỹ thừa của n thì chia tử và mẫu cho

nk với k là m) cao nhất bậc ở mẫu

 Nếu biểu thức chứa căn thức cần nhân một lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản

3

3

A B lượng liên hiệp là: A B

A B lượng liên hiệp là: A B

A B lượng liên hiệp là: A B

A B lượng liên hiệp là: A B A B

A B lượng liên hiệp là: A B A B

b n b n b n bXét p m

HướngDẫn: Xét n p Chia cả tử và mẫu cho

n ,p là bậc cao nhất ở mẫuTính giới hạn sau:

2 3n n 1

1 4n2n 1 3 n n 2

H ng d n và đáp s : Nhân lượng liên hiệp

ớh ng pháp: Cấp số nhân lùi vơ hạn là cấp số nhân vơ hạn và cĩ cơng bội là |q|<1

 Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vơ hạn (un)

II Bài t p rèn luyên

Bài 1 Hãy viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng một phân số  34,1212 (chu kỳ 12)

   Tính tổng S 1 tan   tan2 tan3  .

c) Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số hữu tỉ

n

a aa aaa alim

10



  

H ng d n: Ta có

Lấy số dương M lớn tùy ý.

n

lim n vì vậy n lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng

nào đó trở đi mặt khác u n nên u lớn hơn một số dương bất kì kể

từ một số hạng nào đó

Vì lim n nên n có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi

Mặt khác, theo giả thiết u n với mọi n, nên u cũng có thể lớn hơn một số dương tùy

y,ù k

 



n

ể từ số hạng nào đó trở đi Vậy lim u  

Ví d 4 Cho biết limu   và n vn với mọi n Cĩ kết luận gì về giới hạn vun n

10

Ví d 5 Cho dãy số (un) hội tụ, dãy (vn) khơng hội tụ Cĩ kết luận gì về sự hội tụ của dãy un vn

H ng d n: Kết luận dãy unvn khơng hội tụ

Xét dãy u v , giả sử nó hội tụ nghĩa là lim u v a và limu b

Khi đó limu limv a

Vậy limv a limu

Mặt khác, vì vnu với mọi n nên (-v ) ( u )với mọi n.n n   n (2)

Từ (1) và (2) suy ra (-vn) cĩ thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đĩ trở đi Do

đĩ, lim( v ) n  hay limvn  

3 3 3 2 2 2

n

2 2

1 3nsin2n cos2n

15

n n

* n

 Nếu dãy số (un tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn

 Nếu dãy số (un) giảm và bị chặn dưới thì nó có giới hạn

2 Ch ng minh m t dãy s tăng và bị chặn trên ( dãy s tăng và bị chặn d i) bởi s M ta thực

hi n: Tính một vài số hạng đầu tiên của dãy và quan sát mối liên hệ để dự đoán chiều tăng (chiều giảm) và số M

3 Tính gi i h n c a dãy s ta thực hi n theo m t trong hai ph ng pháp sau:

* ớh ng pháp :

 Đặt lim un  a

 Từ limun 1 limf(u )n ta được một phương trình theo ẩn a

 Giải phương trình tìm nghiệm a và giới hạn của dãy (un) là một trong các nghiệm của phương rình Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì đó chính là giới hạn cảu dãy cần tìm còn nếu phương trình có nhiều hơn một nghiệm thì dựa vào tính chất của dãy số để loại nghiệm

 Chú ý: Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất

* ớh ng pháp :

 Tìm công thức tổng quát un của dãy số bằng cách dự đoán./

 Chứng minh công thức tổng quát un bằng phương pháp quy nạp toán học

 Tính giới hạn của dãy thông qua công thức tổng quát đó

Với n=1, ta có u 2 2 thì (1) đúng

Giả sử bất bất đẳng thức đúng với n=k thì u 2

Mà 0 u 2 nên u u Vậy (u ) là dãy tăng (2)

Từ (1) và (2) suy ra (u ) có giới hạn

Vì u 0nên lim u a 0.Vậy lim u =2

Trong lời giải trên, ta đã áp dụng tính chất sau:

Chứng minh dự đoán trên bằng quy nạp:

Với n=1, ta có: u 2 (đúng)

Giả sử đẳng thức (1) đúng với n=k (k 1), nghĩa là

Giả sử lim u lim sinn a.Khiđó lim sin n 2 a lim sin n 2 sinn 0

2 lim cos n 1 sin1 0 lim cos n 1 0 lim cosn 0

mặt khác: cos n 1 cosncos1 sinnsin1,Suy ra lim sinn 0

cos n sin n 0, vô lý

Vậy dãy số (u ) với u sinn không có giới hạn



II Bài t p rèn luy n

Bài 1 Chứng minh dãy (un) với n

2 2

n 1

n

n 1 n

n 1 n

41

18

 Giả sử

n n

n n

lim u a, tìm a

a 1

2lim u 1

 Chứng minh dãy (un) cĩ giới hạn và tìm giới hạn đĩ

b) Cho dãy (un xác định bởi: n 1n n

dãy có giới hạn

* Đặt lim u a,a 0

1Vậy lim u

a) Chứng minh rằng un 2 với mọi n 2

b) Chứng minh dãy (un) cĩ giới hạn và tìm giới hạn đĩ

Giả sử lim u lim cosn a lim cos n 2 a lim cos n 2 cosn 0

2 lim sin n 1 sin1 0 lim sin n 1 0 lim sinn 0

mặt khác: sin n 1 sinncos1 cosnsin1,Suy ra lim cosn 0

Suy ra : lim cos n

Định nghĩa: Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y=f x xác định trên K hoặc trên K \ {x } 0

Ta nĩi hàm s y=f(x) cĩ giới hạn là số L khi x dần đến x0 nếu với dãy số (xn) bất kì,

Các định nghĩa về giới hạn  ( hoặc  ) của hàm số được phát biểu tương tự các định ở trên

Chẳng hạn, giới hạn  của hàm số y=f(x) khi x dần đến dương vơ vực được định nghĩa như sau

Định nghĩa: Cho hàm số y=f x xác định trên khoảng  a;

Ta nĩi hàm số y=f(x) cĩ giới hạn là  khi x nếu với mọi dãy số (x ) bất kì, n

nếu k nguyên dương

3 lim x 0 nếu k nguyên âm

 Cho hàm số y=f x xác định trên khoảng (a; ) Ta nĩi hàm số y=f(x) cĩ giới hạn là số L khi khi

x  nếu với mọi dãy số (xn) bất kì, xna và xn  ta có: f(x )n  L

 Cho hàm số y=f x xác định trên khoảng ( ;a) Ta nĩi hàm số y=f(x) cĩ giới hạn là số L khi khi

x  nếu với mọi dãy số (xn) bất kì, xna và xn  ta có: f(x )n  L

c)Nếuf(x) 0 và lim f(x) L thì :L 0 và lim f(x) L

Dấu của f(x) được xác định trên khoảng đang tìm giới hạn, với x x

Định nghĩa : Cho hàm số y=f x xác định trên khoảng (x0;b) Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm

số y=f(x) khi x nếu với dãy số (xx0 n) bất kì, x0 xn b và xnx ta có: f(x )0 n  Kí hi u: L

Định nghĩa : Cho hàm số y=f x xác định trên khoảng (a;x0) Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm

số y=f(x) khi x nếu với dãy số (xx0 n) bất kì, a x n x và x0 nx ta có: f(x )0 n  Kí hi u: L

Nếu x xlim f(x) L 0 và lim g(x)0 x x0 hoặc  thì lim f(x)g(x)x x0

2 Để chứng minh hàm số f(x) khơng cĩ giới hạn khi x ta thực hiện: x0

Chọn hai dãy số khác nhau (xn) và (yn) thỗ mãn: xn, yn thuộc tập xác định của hàm số và khác x0

 nlim xn x , lim y0 n n x0

   

 Chứng minh lim f xn  n nlim f y hoặc một trong hai  n

n1Xét dãy x khi n ;x 0

n1lim f(x ) lim 2 2 (2)

nVậy với (1) và (2) hàm số không có giới hạn khi x 0

2 n2

n n n

n

n n n 2

n n

n n n

n n

1b) (x ),x 1; ,lim x 1 lim

a Vẽ đồ thị hàm số f(x) Từ đĩ dự đốn về giới hạn của f(x) khi x 0

b Dùng định nghĩa chứng minh dự đốn trên

H ng d n

a) Dự đốn Hàm số khơng cĩ giới hạn khi x 0

b) Lấy hai dãy số cĩ số hạng tổng quát là an 1; và bn 1

a) Chứng minh rằng hàm số y=sinx khơng cĩ giới hạn khi x

b) Giải thích bằng đồ thị kết luận câu a)

H ĩng d n: Xét hai dãy a với a n n 2n và b với b n n 2n

Giả sử (x )là dãy bất kì thõa mãn x a và x Vì lim f(x) L nên lim f(x ) L

Vì lim g(x) M nên lim g(x ) M Do đó: lim f(x ).g(x ) L.M

Từ định nghĩa suy ra: lim f(x).g(x)

H ng d n

n n

ät số hạng nào đó trở đi

Nếu số dương này là 2 thì -f(x ) 2 kể từ một số hạng nào đó trở đi

Nói cách khác, luôn tồn tại ít nhất một số x a; sao cho -f(x ) 2 hay f(x ) 2 0

Vì lim f(x) nên với dãy số x bất lỳ, x K \ x và x x ta luôn có lim f(x )

Từ định nghĩa suy raf(x ) có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó tr 

 

n

k 0 k k

ở đi

Nếu số dương này là 1 thì f(x ) 1 kể từ một số hạng nào đó trở đi

Nói cách khác, luôn tòn tại ít nhất một số x K \ x sao cho f(x ) 1

Đặt c x , ta cóf(c) 0



26

Dạng Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức

ớh ng pháp: Đề tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định ta thực hiện:

1 Nếu f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x0 thì  0

x x0lim f(x) f x

2 Áp dụng các định lý tính giới hạn và các quy tắc về giới hạn 

Ví d 1 Tính các giới hạn của các hàm số sau:

2 2

Gi i

x x 2 neáu x 1f(x) x 1

 a b c d 0 thì pt có một nghiệm là x 1, để phân tích 1

thành nhân tử ta dùng phép chia đa thức hoặc dùng sơ đồ Hooc-ner    

 a b c d 0 thì pt có một nghiệm là x1 1, để phân tích thành nhân tử ta dùng phép chia đa thức hoặc dùng sơ đồ Hooc-ner     

3 Nếu u(x) và v(x) cĩ chứa dấu căn thì cĩ thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hiệp, sau đĩ phân tích chúng thành tích để giản ước

3

3

A B lượng liên hiệp là: A B

A B lượng liên hiệp là: A B

A B lượng liên hiệp là: A B

A B lượng liên hiệp là: A B A B

A B lượng liên hiệp là: A B A B

30

 2

II Bài t p rèn luy n

Bài 1 Tìm các gi ới hạn của hàm số sau:

x 1

8x 11 x 7lim

I Các ví d m u

Ví d 1 Tính giới hạn 33 2

x

3x 5xlim

32

2 2 2

II Bài t p rèn luy n

Bài 1 Tìm các gi ới hạn của các hàm số sau

33

1 Nếu biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thì nhân và chia với biểu thức liên hợp

2 Nếu biều thức chứa nhiều phân thức thì quy đồng mẫu và đưa về cùng một biểu thức

3 Thông thường, các phép biến đổi này có thể cho ta khử ngay dạng vô định    hoặc ;0.chuyển về dạng vô định ;0

II Bài t p rèn luy n

Bài 1 Tính các giới hạn sau

Ví d 1 Tính các gi i h n c a hàm s sau

2 3

x 0 x 0 x 0

x 0 x 0 x 0

2 2

1 sin2x cos2x 2sin x sin2x

1 sin2x cos2x 2sin x sin2x

1 cos 2x sin 2x 4sinxcos x

x 0

sin3xa)Xét hàm số f(x) ,đặt x t

1 cos5x cos7x 1 cos5x cos5x cos5x cos7x 2

cos12x cos10x sin11x 11

II Bài t p rèn luy n

Bài 1 Tính các gi ới hạn sau

98 1 cos3xcos5xcos7x cos x sin x 1

2 x

Ta nhận thấy: -2 sin2x 3 cos2x 2

x 2 x sin2x 3 cos2x x 2

Vậy

21

1Vậy lim x sin 0

II Bài t p rèn luy n

Bài t p1 Tìm gi ới hạn của các hàm số sau:

2

2 2

b) Tương tụ bài mẫu 2 ĐS:0

c)Ta có: 1 cos x 1 x 1, x

 y f(x) liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của  khoảng đĩ

 y f(x) liên tục trên đoạng [a;b] nếu nĩ liên tục trên khoảng (a;b) và

a) Hàm số đa thức liên tục trên tồn bộ tập số thực

b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng

Định lí 2: Giả sử y f(x) và y g(x)  là hai hàm số liên tục tại điểm điểm x Khi đĩ 0

a) Các hàm số

0

f(x) g(x), f(x) g(x) và f(x).g(x) cũng liên tục tại điểm x 

b) Hàm số f(x) liên tục tại điểm x , nếu g x0  0 0

Định lí 3: Nếu hàm số y f(x) liên tục trên đoạn a;b   và f(a).f(b) 0 thì tồn tại ít nhất một điểm

 

c a;b sao cho f(c)=0

Mệnh đề tương đương Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a b] và f a f b < Khi đĩ phương trình f(x)=0 cĩ ít nhất một nghiệm trong khoảng (a;b)

x 1f(1) a 1

       số gián đoạn tại điểm x0 1

Ví d 2 Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x  1

II Bài t p rèn luy n

BT 1 Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0 1

 là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên ; 2 và  2; 

Ta xét tính liên tục của hàm số taih điểm x 2

  nên hàm số liên tục tại x 2

Vậy hàm số liên tục trên

 là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên   và ;2  2;

Ta xét tính liên tục của hàm số taih điểm x 2

  nên hàm số không liên tục tại x 2

Vậy hàm số không liên tục trên

Bài 4 Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x=0 và x=3

Đánh giá hoặc giải phương trình L1f (x ),2 0 từ đó đưa ra kết luận liên tục phải

- B c 4: Đánh giá hoặc giải phương trình L1=L2 , từ đó đưa ra kết luận

I Các ví d m u

Ví d 1 Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0=0:

2

x a khi x 0f(x)  x 1 khi x 0

Gi i

b) Tìm a để f(x) liên tục tại phải điểm x=1

c) Tìm a để f(x) liên tục trên R

Gi i

Ta cĩ:

x 2 khi x 1f(x) a khi x 1

lim f(x) tồn tại và lim f(x) =f(1)

Ta có: lim f(x) lim 2 x 1 và f(1) a

Vậy điều kiện là a=1

lim f(x) tồn tại và lim f(x) =f(1)

Ta có: lim f(x) lim x 2 1 và f(1) a

Vậy điều kiện là a=-1

c) hàm số liên tục trên R trước hết phải cĩ:

x 1lim f(x) lim f(x)x 1 1 1 (mâu thuẫn)

Vậy không tồn tại a để hàm số liên tục trên R 

II Bài t p rèn luy n

Bài 1 Xét tính liên tục của hàm số sau tại x0  0 : f(x) x 2a2 khi x 0