10 bài tập HAY THPT 2016

Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai.. Tìm q và hai nghiệm của phương trình.

10 BÀI TẬP HAY THPT 2016

Bai 1 T×m x, y trong c¸c trêng hîp sau:

a) x + y = 17, x.y = 180 e) x2 + y2 = 61 , x.y = 30 b) x + y = 25, x.y = 160 f) x - y = 6, x.y = 40

c) x + y = 30, x2 + y2 = 650 g) x - y = 5, x.y = 66

d) x + y = 11 x.y = 28 h) x2 + y2 = 25 x.y = 12

Bai 2 a) Phương trình x2−2px+ =5 0 Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ

hai

b) Phương trình x2+5x q+ =0 có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai.

c) Cho phương trình : x2−7x q+ =0, biết hiệu 2 nghiệm bằng 11 Tìm q và hai

nghiệm của phương trình

d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x2− +qx 50 0= , biết phương trình có

2 nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia

Bài giải:

a) Thay x1 =2 v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc :

1

4 4 5 0

4

T ừ x x1 2 =5 suy ra 2

1

5 5 2

x x

b) Thay x1 =5 v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc

25 25+ + = ⇒ = −q 0 q 50

T ừ x x1 2 = −50 suy ra 2

1

50 50

10 5

x x

c) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1− =x2 11 và theo VI-ÉT ta có

x + =x , ta giải hệ sau: 1 2 1

Suy ra q x x= 1 2 = −18

d) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1 =2x2 và theo VI-ÉT ta có

1 2 50

x x = Suy ra

2

2

5

5

x

x

= −



Với x2 = −5 th ì x1 = −10

Với x2 =5 th ì x1=10

Bai 3 Cho x1=3; x2 =2 lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên

Bµi gi¶i: Theo hệ thức VI-ÉT ta có 1 2

1 2

5 6

P x x

= + =



 vậy x x là nghiệm của phương 1; 2

trình có dạng:

x −Sx P+ = ⇔x − x+ =

Bµi tËp 4 Cho phương trình : x2− + =3x 2 0 có 2 nghiệm phân biệt x x Không giải 1; 2

phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : 1 2

1

1

x

= + và

2

1

x

= +

Bµi gi¶i: Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:

1 2

2 2

2 2

Vậy phương trình cần lập có dạng: y2−Sy P+ =0

0 2 9 9 0

2 2

Bµi tËp 5 Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = −3 và tích P = ab = −4

Bµi gi¶i:

Vì a + b = −3 và ab = −4 nên a, b là nghiệm của phương trình : x2+3x− =4 0

giải phương trình trên ta được x1 =1 và x2 = −4

Vậy nếu a = 1 thì b = −4

nếu a = −4 thì b = 1

Bµi tËp 6 Tìm 2 số a và b biết

1 a + b = 9 và a2 + b2 = 41

2 a −b = 5 và ab = 36

3 a2 + b2 = 61 v à ab = 30

H

ướ ng d ẫ n : 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức VI-

ÉT thì cần tìm tích của a v à b

2

Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng : 2 1

2

4

9 20 0

5

x

x

=



Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5

nếu a = 5 thì b = 4

2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b

Cách 1: Đ ặt c = −b ta có : a + c = 5 và a.c = −36

Suy ra a,c là nghiệm của phương trình : 2 1

2

4

5 36 0

9

x

x

= −



Do đó nếu a = −4 thì c = 9 nên b = −9

nếu a = 9 thì c = −4 nên b = 4

Cách 2: Từ ( ) (2 )2 ( ) (2 )2

13

13

a b

a b

a b

+ = −



*) Với a b+ = −13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :

1 2

2

4

13 36 0

9

x

x

= −



Vậy a = 4− thì b = −9

*) Với a b+ =13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :

1 2

2

4

13 36 0

9

x

x

=



Vậy a = 9 thì b = 4

3) Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:

T ừ: a2 + b2 = 61 ( )2 2 2 2

2 61 2.30 121 11

11

a b

a b

+ = −



⇒  + =

*) Nếu a b+ = −11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình:

1 2

2

5

11 30 0

6

x

x

= −



Vậy nếu a = 5− thì b = 6− ; nếu a = 6− thì b = 5−

*) Nếu a b+ =11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình :

1 2

2

5

11 30 0

6

x

x

=



Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5

Bµi tËp 7 Cho phương trình x2−4 3x+ =8 0 có 2 nghiệm x 1 ; x 2 , không giải phương trình, tính

1 2 1 2

6 10 6 Q

=

+

Q

Bµi tËp 8 Cho phương trình : (m−1)x2−2mx m+ − =4 0 có 2 nghiệm x x Lập hệ 1; 2 thức liên hệ giữa x x sao cho chúng không phụ thuộc vào m.1; 2

HD : Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :

2

1 1

4

5

m m

≠



≠

Theo hệ th ức VI- ÉT ta có :

1 2 1 2

2 (1)

m

m

Rút m từ (1) ta có :

1 2

1 2

Rút m từ (2) ta có :

1 2

1 2

Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có:

( 1 2) ( 1 2 ) ( 1 2) 1 2

Bµi tËp 9 Gọi x x là nghiệm của phương trình : 1; 2 (m−1)x2−2mx m+ − =4 0 Chứng minh rằng biểu thức A=3(x1+x2)+2x x1 2−8 không phụ thuộc giá trị của m.

HD: Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :

2

1 1

4

5

m m

≠



≠

Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó :

1 2

1 2

2 1 4

1

m

m m

x x

m

 + =



thay v ào A ta c ó:

( 1 2) 1 2

Vậy A = 0 với mọi m≠1 và 4

5

m≥ Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m

Bµi tËp 10 Cho phương trình : x2−(m+2) (x+ 2m− =1) 0 có 2 nghiệm x x Hãy lập 1; 2

hệ thức liên hệ giữa x x sao cho 1; 2 x x độc lập đối với m.1; 2

H

do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2

Theo hệ thức VI- ÉT ta có

1 2

1 2

1 2

1 2

2(1) 2

1

2

x x

= + −

 + = +

Từ (1) và (2) ta có:

1 2

1

2

x x