105 bài tập TOÁN cơ bản cấp 3 từ dễ đến KHÓ

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu2Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần * đã hướng dẫn Ta biến đổi B như sau: Với cách thêm bớt khác ta lại có: Cách 2: Đưa về giải phư

CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN CƠ BẢN CẤP 3 TỪ DỄ ĐẾN KHÓ

Bµi tËp 3 a) Phương trình x2 2px 5 0 Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai.

b) Phương trình x25x q 0 có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai.

c) Cho phương trình : x2 7x q 0, biết hiệu 2 nghiệm bằng 11 Tìm q và hai nghiệm của

x x

Bµi tËp 4 Cho x  ; 1 3 x  lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên2 2

Bµi gi¶i: Theo hệ thức VI-ÉT ta có 1 2

1 2

56

Bµi tËp 5 Cho phương trình : x2 3x  có 2 nghiệm phân biệt 2 0 x x Không giải phương trình trên,1; 2

hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : 1 2

Bµi gi¶i:

Vì a + b =  3 và ab =  4 nên a, b là nghiệm của phương trình : x23x 4 0

giải phương trình trên ta được x  và 1 1 x 2 4

*) Với a b 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : 2 1

*) Nếu a b 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình : 2 1

Bµi tËp 8 Cho phương trình x2 4 3x   có 2 nghiệm x8 0 1 ; x 2 , không giải phương trình, tính

Bµi tËp 9 Cho phương trình : m1x2 2mx m  4 0 có 2 nghiệm x x Lập hệ thức liên hệ 1; 2

giữa x x sao cho chúng không phụ thuộc vào m.1; 2

HD : Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :

2

11

1

m

x x

m m

m  Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m

Bµi tËp 11Cho phương trình : x2 m2x2m10 có 2 nghiệm x x Hãy lập hệ thức liên hệ1; 2giữa x x sao cho 1; 2 x x độc lập đối với m.1; 2

4

Bµi tËp 12 Cho phương trình : x24m1x2m 4 0.

Tìm hệ thức liên hệ giữa x và 1 x sao cho chúng không phụ thuộc vào m.2

H

ướ ng d ẫ n: Dễ thấy 2 2

(4m 1) 4.2(m 4) 16m 33 0

        do đó phương trình đã cho luôn có 2

nghiệm phân biệt x1 và x2

Bµi tËp 13 : Cho phương trình : mx2 6m1x9m 3 0

Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x và 1 x thoả mãn hệ thức : 2 x1x2 x x1 2

Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 l à :

(thoả mãn điều kiện xác định )

Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x và 1 x thoả mãn hệ thức : 2 x1x2 x x1 2

Bµi tËp 14 Cho phương trình : x2 2m1x m 2 2 0

x x

m m

6

Bµi tËp 16 Cho phương trình: ax2bx c   (a  0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm:0

trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm ….

2x  3m1 x m  m 6 0 có 2 nghiệm trái dấu

Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì

2 2

Bµi tËp 17 Cho phương trình : x22m1x m 0

Gọi x và 1 x là các nghiệm của phương trình Tìm m để :2

Gọi x và 1 x là các nghiệm của phương trình Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu2

Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn

Ta biến đổi B như sau:

Với cách thêm bớt khác ta lại có:

Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B để

phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

2 2

B B

B B

1

2

B  m

Bài 19: (Bài toán tổng quát)

Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có:

1 Có nghiệm (có hai nghiệm)    0

2 Vô nghiệm   < 0

3 Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau)   = 0

4 Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau)   > 0

5 Hai nghiệm cùng dấu   0 và P > 0

8

6 Hai nghiệm trái dấu   > 0 và P < 0  a.c < 0

7 Hai nghiệm dương(lớn hơn 0)   0; S > 0 và P > 0

8 Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0)   0; S < 0 và P > 0

9 Hai nghiệm đối nhau   0 và S = 0

10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau   0 và P = 1

11 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn  a.c < 0 và S < 0

12 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn

Nếu ’< 0  1- k < 0  k > 1  phương trình vô nghiệm

Nếu ’= 0  1- k = 0  k = 1  phương trình có nghiệm kép x1= x2=1

Nếu ’> 0  1- k > 0  k < 1  phương trình có hai nghiệm phân biệt

x1 = 1- 1 k; x2 = 1+ 1 k

Kết luận:

Nếu k > 1 thì phương trình vô nghiệm

Nếu k = 1 thì phương trình có nghiệm x=1

Nếu k < 1 thì phương trình có nghiệm x1 = 1- 1 k ; x2 = 1+ 1 k

Bài 21: Cho phương trình (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)

a) Tìm m để (1) có nghiệm

b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?

c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)?

Giải

a) + Nếu m-1 = 0  m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0  x =

2

3 (là nghiệm) + Nếu m ≠ 1 Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ’=12- (-3)(m-1) = 3m-2

(1) có nghiệm  ’ = 3m-2  0  m 

32

+ Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với m 

3

2 thì phương trình có nghiệmb) + Nếu m-1 = 0  m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0  x =

2

3 (là nghiệm) + Nếu m ≠ 1 Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2

(1) có nghiệm duy nhất  ’ = 3m-2 = 0  m =

3

2 (thoả mãn m ≠ 1)

32

11

với m =

3

2 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 3c) Do phương trình có nghiệm x1 = 2 nên ta có:

(m-1)22 + 2.2 - 3 = 0  4m – 3 = 0  m =

43

Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do m -1 =

4

3-1=

4

1

 ≠ 0)

9

Theo đinh lí Viet ta có: x1.x2 = 12 6

41

31

Vậy m =

4

3

và nghiệm còn lại là x2 = 6

Bài 22: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)

a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn x1 +x2  10 e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m

f) Hãy biểu thị x1 qua x2

Giải

a) Ta có: ’ = (m-1)2 – (– 3 – m ) =

4

152

Hay phương trình luôn có hai nghiệm (đpcm)

b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  a.c < 0  – 3 – m < 0  m > -3 Vậy m > -3

c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm

Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3) Khi đó phương trình có hai nghiệm âm  S < 0 và P > 0

3

10

)3(

0)1(

230230

0320

0320

m m

m m m m

m m m m

Vậy m 

2

3 hoặc m  0e) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm

2

22

)3(

)1(2

2 1

2 1 2

1

2 1

m x

x

m x x m

x x

m x

21

8

x

x x

21

8

x

x x

a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 = 1

c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn

2 1 1

1

x x

y   ;

1 2 2

1

x x

y   với x1; x2 là nghiệm của phương trình ởtrên

1

02

m P

2.y +

Bµi 24: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh : x2 – 2(m + 1) +2m+10 = 0

11

* Nếu m – 3 0  m  3 Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số /

 = m2 – (m –3)(m – 6) = 9m – 18

- Nếu /

 = 0  9m – 18 = 0  m = 2 phơng trình có nghiệm kép

x1 = x2 = -

3 2

Với m = 2 phơng trình có nghiệm x1 = x2 = -2

Với m > 2 và m  3 phơng trình có nghiệm x1,2 =

3

2 3

2)

1)(

1(

2)(

2 1

2 1

S x

x

x x

+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x1 + x2) + x1x2

1 1

1

2 1

1 )

1 )(

1

(

1

2 1

1 Chứng minh phơng trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k

2 Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu

Vậy k > 1 là giá trị cần tìm

Bài 28:

Cho phơng trình : x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số)

1 Giải phơng trình (1) với m = -5

2 Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với mọi m

3 Tìm m để x 1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hao nghiệm của phơng trình (1) nói trong phần 2.)

3 Vì phơng trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thức Viét ta có:

Vậy x 1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 19 khi m = -

2 1

Bài 29 : Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m là tham số)

1) Giải phơng trình khi m = -

2 9

2) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m

3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia

Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt

x1 =

) 2 (

2

5 1 2

4 2

2 ( 2

) 3 ( 2 ) 2 ( 2

5 1 2

m m

m

Tóm lại phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

3)Theo câu 2 ta có m  - 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia ta sét 2 trờng hợp

(thoả mãn đầu bài)

Bài 30: Cho phơng trình : mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) với m là tham số

1 Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình (1)

2 Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu

3 Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3 Tìm nghiệm thứ hai

Giải

1 + Nếu m = 0 thay vào (1) ta có : 4x – 3 = 0  x =

4 3

2 4 2

m = 4 : phơng trình (1) Có nghiệm kép x =

2 1

0  m < 4 : phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

2 (1) có nghiệm trái dấu 

m m

m m

Trờng hợp 



 0 3

m m

không thoả mãnTrờng hợp 



 0 3

m m

Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m =

-4

9

thoả mãn14

1

x x

9

)24

9(2)2(2

9

34

93

Bài 31: Cho phơng trình : x2 + 2kx + 2 – 5k = 0 (1) với k là tham số

(Có a + b + c = 2+ 5 – 7 = 0 ) => k1 = 1 , k2 = -

2 7

Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k1 , k2 vào /

 = k2 + 5k – 2 + k1 = 1 => /

 = 1 + 5 – 2 = 4 > 0 ; thoả mãn + k2 = -

8 70 49 2 2

35 4

Từ điều kiện x1 + x2 = 10 ta tìm đợc k1 = 1 ; k2 = -

2

7

(cách tìm nh trên)Thay lần lợt k1 , k2 vào phơng trình (1)

a/ Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m

b/ Tìm để phơng trình có một nghiệm x = 2, tìm nghiệm kia

 m = 3 ẩ m = -3/4

c/ Giả sử phơng trình có 2 nghiệm: x1 = 2x2  ta có:

x1 + x2 = 3x2 =2m  x2 =2m/3 (1) và x1x2 = 2x2 = 2m - 1x2 = (2m - 1)/2 (2)

16

a/ Tìm m để phơng trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép này

b/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt trái dấu

c/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm

d/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều dơng

Với mọi m ta luôn có: m - 3 < m  1 < m - 3 < m < 6  4 < m < 6

17

b) Giải phơng trình khi m = -6.

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

d) Với m tìm đợc ở câu c, hãy viết một hệ thức giữa x1và x2độc lập đối với m

Lời giải

a) Phơng trình (1) có một nghiệm bằng -1 nên:

2

5 0

5 1 1

x

18

Vì a + b + c = 0, nên phơng trình có hai nghiệm: 1 1 2   3

a

c t

t ,

* 1  1  1  1

x x

2      x  x 

x x t

2

5 3 2

5 3

2 1

a) Giải phơng trình (I) khi m = -2

b) Tìm m để phơng trình (I) có nghiệm? Có hai ngiệm phân biệt?

c) Tìm m để phơng trình (I) có hai nghiệm trái dấu ?

d) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn điều kiện x12x22 4

e) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn điều kiện x 1 2x2

f) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu

g) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm

h) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dơng

i) Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 1 Tìm nghiệm còn lại

j) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn điều kiện 2x1 4x2   3

Lời giải

a) Khi m = -2, phơng trình (I) trở thành: x2  6x 2  0

Ta có ' b'2 ac321.270 phơng trình có 2 nghiệm phân biệt

7 3 1

7 3

; 7 3 1

3 2 0 2 1 1

3 2 0 2 1 1

d) Điều kiện để phơng trình có nghiệm x1; x2 là:

a

c x x m a

b x x

Do đó x12x22 4   2 4 2 1 2 2. 2 2 4 2 2 4 2 0

2

2 2

2x

x

(2)

2 m

x x

(1)

1 m

2 x

x

2 1

2 2

1

2 1

3

14

;3

12

1 2

10 3 8

0 26 16

2 9

1 8

2 3

1 4

m m

m m

m

19

f) Phơng trình (I) có 2 nghiệm cùng dấu   

0 m

m a

2 1 3 0 2 2 0 0 0

2 '

a a

h) Phơng trình (I) có hai nghiệm cùng dơng 2 2

2 1 3

0 0 0

a a

i) Phơng trình (I) có một nghiệm bằng 1

2 1

j) Phơng trình (I) có nghiệm thoả ĐK: 2x1 4x2   3

4 - 4x

-2x

(2)

2 m

x

x

(1) 1

m 2 x

x

2 1

2 2

1

2 1

Từ (1) và (3) ta có

3

2

; 3

6 4

2 1

m x

6 3 6 0

18 12 2

9 6 4 2 2 3

m m

m m m

m

m

(TM)

Bài 42 : Xác định m để phơng trình x2  5 x  3 m  1  0

a) Có hai nghiệm trái dấu

b) Có hai nghiệm âm phân biệt

Hớng dẫn :

a) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu <=>

0 0

a ac

Vậy m <

1

3 thì phơng trình có hai nghiệm trái dấu

b) Phơng trình có hai nghiệm âm phân biệt

Vậy

29 1

3  m  12 thì phơng trình có hai nghiệm âm phân biệt

Bài 43: Cho phơng trình

2

mx  (m 1)x   2  0, m  0

(1)Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt x , x1 2

thỏa mãn điều kiện

2 1

x x

Theo định lí Vi- ét: m = 1 2

9 2 4

26 29

x x

m

Thay vào (1) => 1

4 2

Bài 47: Cho phơng trình bậc hai x2  ax  a  7  0

không thỏa mãn điều kiện (*) và a 2 4

thỏa mãn điều kiện (*)Vậy a = - 4

Bài 48: Cho phơng trình bậc hai x2  mx  m  7  0

Bài 49: Cho phơng trình x2  3 x  m  0

a) Tìm những giá trị của m để phơng trình có nghiệm

b) Tìm giá trị của m để phơng trình có một nghiệm bằng - 2 Tìm nốt nghiệm kia

Hớng dẫn:

a) Phơng trình có nghiệm <=>

9 0



c) b = 14 và x2 =

24 13

x x

aThay x = x1; x = x2vào hệ và giải ta đợc giá trị của tham số

Bài 53: Lập phơng trình bậc hai nhận hai số 2 và 3 làm nghiệm

Hớng dẫn: Phơng trình có dạng (x - 2)(x - 3) = 0 <=> x2 – 5x + 6 = 0

Bài 54:

Lập phơng trình khi biết phơng trình có hai nghiệm: x1 = 3 - 2 2 ; x2 = 3 + 2 2

Bài 55: Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm x x1, 2

liên lạc với nhau bởi hệ thức

a) Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình  1

Hãy tính giá trị của biểu thức

1) Không giải phơng trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

a) x1x2

; x x1 2 b)

3 3

x x

c) x1  x2 2) Xác định phơng trình bậc hai nhận

 u + v

194

-  3 3

x x

+x x1 2 = 22 -

175

8 + 2 =

175 48 175 1276





Vì 2 số u và v có tổng u + v

194



và tích u v

1278

1) Không giải phơng trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

a) x1x2

; x x1 2 b)

3 3

x x

2) Xác định phơng trình bậc hai nhận 2x1  3x2



 u + v =

92



 Vì 2 số u và v có tổng u + v =

92



và tích u v

932





26

Nªn u; v lµ 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai:

b) Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh  1

H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: B =

x x

Gi¶i:



Bµi 64: Cho ph¬ng tr×nh 2x2 7x 1 0 gäi x1 ; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh

Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, h·y tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau:

a) x1x2

; x x1 2 b) x1  x2

Gi¶i:



27

Bài 65: Chứng minh với bất kì giá trị nào của k, phơng trình:

a) 7 x2  kx  23  0 có hai nghiệm trái dấu

a) Chứng minh rằng phơng trình có hai nghiệm trái dấu với mọi m

b) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x x1, 2

3

m 

= 0 <=> m =

2 3

Bài 67 Cho phơng trình x2 – 2(m – 4)x – 2m – 8 = 0

a) Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b) Cho A = x2(x2 – 2) + x1(x1 – 2) Tìm m để A đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 69 Cho phơng trình bậc hai

2

x  2(m 1)x 2m 10 0a) Tìm m để phơng trình có nghiệm

Khi m 3 m2 5 m22 25P 128

Vậy MinP = 32 <=> m = - 3

Bài 70 Cho phơng trình x2 – 2(m – 6)x – 2m – 2 = 0

28

a) Chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt.

b) Cho P = x1 + x2 – 26x1x2 - x1 x22 Chøng minh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P kh«ng phô thuéc vµo tham sèm

KÕt qu¶: b) P = 196 => gi¸ trÞ cña biÓu thøc P kh«ng phô thuéc vµo tham sè m

Bµi 71 Cho ph¬ng tr×nh

2

x  2( m 1)x m 40a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 1

b) Chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m

    

, víi mäi mc) A = 10 => Gi¸ trÞ biÓu thøc A kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña tham sè m

=> A 48Khi m 3 => m + 3 6 => m32 36

a) Hai sè x, y lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai X2  11X280