NHŨNG BÀI TẬP TOÁN CỰC HAY CẤP THPT HAY VÀ KHÓ DÀNH CHO CÁC EM HỌC SINH VÀ CÁC BẬC PHỤ HUYNH....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Trang 116 BÀI TẬP TOÁN HỌC THPT HAY
Bài 1: Cho phơng trình : x2 + 2kx + 2 – 5k = 0 (1) với k là tham số
1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép
2 Tim k để phơng trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện :
x1 + x2 = 10
Giải.
1.Phơng trình (1) có nghiệm kép /
= 0 k2 – (2 – 5k) = 0
k2 + 5k – 2 = 0 ( có = 25 + 8 = 33 > 0 )
k1 =
2
33
5
; k2 =
2
33
5
Vậy có 2 giá trị k1 =
2
33
5
hoặc k2 =
2
33
5
thì phơng trình (1) Có nghiệm kép
2.Có 2 cách giải
Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm:
/
0 k2 + 5k – 2 0 (*)
Ta có x1 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2
Theo bài ra ta có (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10
Với điều kiện(*) , áp dụng hệ trức vi ét: x1 + x2 = -
a
b
- 2k và x1x2 = 2 – 5k Vậy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10 2k2 + 5k – 7 = 0
(Có a + b + c = 2+ 5 – 7 = 0 ) => k1 = 1 , k2 = -
2 7
Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k1 , k2 vào / = k2 + 5k – 2
+ k1 = 1 => /
= 1 + 5 – 2 = 4 > 0 ; thoả mãn + k2 = -
2
7
=> /=
8
29 4
8 70 49 2 2
35 4
49
Vậy k = 1 là giá trị cần tìm
Cách 2 : Không cần lập điều kiện / 0 Cách giải là:
Từ điều kiện x1 + x2 = 10 ta tìm đợc k1 = 1 ; k2 = -
2
7
(cách tìm nh trên) Thay lần lợt k1 , k2 vào phơng trình (1)
+ Với k1 = 1 : (1) => x2 + 2x – 3 = 0 có x1 = 1 , x2 = 3
+ Với k2 = -
2
7
(1) => x2- 7x +
2
39
= 0 (có = 49 -78 = - 29 < 0 ) Phơng trình vô nghiệm
Vậy k = 1 là giá trị cần tìm
Bài 2
Cho phơng trình: x2 - 4x + m + 1 = 0
a/ Giải phng trình khi m = 2
b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm
c/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 + x2 = 10
d/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x , x thoả mãn: x + x = 34
Trang 2Giải
a/ Khi m = 2 PT x2 - 4x + 3 = 0 do a + b + c = 0 ị x1 = 1, x2 = 3
b/ ' = 4 - m - 1 = 3 - m, phơng trình có nghiệm 3 - m 0 m Ê 3
c/ Để phơng trình có 2 nghiệm thì phải có 0 m Ê 3
Khi đó: x1 + x2 = 10 (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 10 16 - 2(m + 1) = 10 m = 2 d/ Để phơng trình có 2 nghiệm thì phải có 0 m Ê 3
x1 + x2 = 34 (x1 + x2)[(x1 + x2)2 -3x1x2] =34 4[16 -3(m + 1)] =34 m +1 =10
m = 9
Bài 3
Cho phơng trình: x2 - 2(m - 1)x - 3 - m = 0
a/ Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
b/ Tìm để phơng trình có một nghiệm x = 2, tìm nghiệm kia
c/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 + x2 10
d/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 , x2 sao cho P = x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất
Giải
a/ ' = m2 - 2m + 1 + m + 3 = m2 - m + 4 = (m- 1/2)2 + 15/4 > 0 ị với mọi m thì phơng trình luôn có nghiệm
b/ x = 2 thay vào phơng trình ta có: 5m = 5 m = 1 Khi đó phơng trình có dạng:
x2 - 4 = 0 x = 2 ẩ x = -2
c/ x1 + x2 10 (x1 + x2)2 - 2x1x2 10 [2(m - 1)]2 + 2(m + 3) 10
4m2 -8m + 4 + 2m + 6 10 4m2 - 6m 0 m(2m - 3) 0 m 3/2 ẩ m
Ê 0
d/ P = x1 + x2 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = [2(m - 1)]2 + 2(m + 3) = 4m2 - 6m + 10 =
(2m - 3/2)2 + 31/4 ị Pmin = 31/4 m = 3/4
Bài 4
Cho phơng trình: x2 - 2mx + 2m -1 = 0
a/ Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
b/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn 2x1 + 2x2 - 5x1x2 = 27 c/ Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia
d/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn: x1 = x2
Giải
a/ ' = m2 - 2m + 1 = (m + 1)2 0 ị với mọi m phơng trình luôn có nghiệm
b/ 2x1 + 2x2 - 5x1x2 = 27 2[(x1 + x2)2 - 2x1x2] - 5x1x2 = 27 2(x1 + x2)2 - 9x1x2 =
27 8m2 - 9(2m + 1) = 27 8m2 - 18m - 18 = 0 4m2 - 9m - 9 = 0
m = 3 ẩ m = -3/4
c/ Giả sử phơng trình có 2 nghiệm: x1 = 2x2 ị ta có:
x1 + x2 = 3x2 =2m x2 =2m/3 (1) và x1x2 = 2x2 = 2m - 1x2 = (2m - 1)/2 (2)
Từ (1) và (2) ị 4m2/9 = (2m - 1)/2 8m2 - 18m + 9 = 0 m = 3/4 ẩ m = 3/2 d/ Ta có: x = m + m + 1 = 2m + 1 ẩ x = m - m - 1 = -1
Trang 3Nếu x1 = 2m + 1, x2 = -1 thì ta có: 2m + 1 = 1 m = 0
Nếu x1 = -1, x2 = 2m + 1 thì ta có: -1 = (2m + 1)2 vô lý Vậy m = 0 Bài 5
Cho phơng trình: (m - 1)x2 + 2(m - 1)x - m = 0
a/ Tìm m để phơng trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép này
b/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
c/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm
d/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều dơng
Giải
a/ Phơng rình có nghiệm kép m ạ 1 và ' = 0 m2 - 2m + 1 + m2 - m = 0
2m2 - 3m + 1 = 0 (m - 1)(2m - 1) = 0 m = 1 ẩ m = 1/2
Vậy m = 1/2 thì phơng trình có nghiệm kép: x = 1
b/ Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
'
1 2
c/ Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm
ạ
ạ
'
1 2
1 2
0 m 1 / 2
m 1 / 2 0
2(m 1)
0
d/ Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều dơng
ạ
ạ
'
1 2
1 2
m 1 / 2
0
2 0 2(m 1)
0
Vậy không tồn tại m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều dơng
Bài 6
Cho phơng trình: x2 - (2m - 3)x + m2 - 3m = 0
a/ Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm khi m thay đổi
b/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: 1 < x1 < x2 < 6
Giải
a/ = 4m2 - 12m + 9 - 4m2 + 12m = 9 > 0 ị phơng trình luôn có 2 nghiệm
Trang 4b/ x1 =
2m 3 3
m 3
2 ; x2 =
2m 3 3
m 2
Với mọi m ta luôn có: m - 3 < m ị 1 < m - 3 < m < 6 4 < m < 6
Bài 7
Cho phơng trình: 3x2 - mx + 2 = 0 Tìm m để pt có 2 nghiệm thoả mãn: 3x1x2 = 2x2
- 2
Giải
ĐK:
2
x x 2 / 3 x x 2 / 3 x 1 / 3
Bài 8
Gọi a, b là nghiệm của phơng trình: x2 + px + 1 = 0
c, d là nghiệm của phơgn trình: x2 + qx + 1 = 0
a/ Chứng minh rằng: (a - c)(a - d)(b - c)(b - d) = (p - q)2
b/ Chứng minh rằng: (a - c)(b - c)(a + d)(b + d) = q2 - p2
Giải
Theo định lý Viét ta có:
a/ VT = (a - c)(a - d)(b - c)(b - d) = (a2 - ad - ac + cd)(b2 - bc - bd + cd) =
[a2 - a(c + d) + cd][b2 - b(c + d) + cd] = (a2 + aq + 1)(b2 + bq + 1) =
a2b2 + a2bq + a2 +ab2q + abq2 + aq + b2 + bq + 1 =
1 + aq + bq + q(a + b) + [(a + b)2 - 2ab] + q2 + 1 =
2 + q(a + b) - pq + p2 - 2 + q2 + 1 = p2 - 2pq + q2 = (p - q)2 = VP
b/ VT = (a - c)(b - c)(a + d)(b + d) = [ab - c(a + b) + c2][ab + d(a + b) + d2] = (1 +
cp + c2)(1- dp + d2) = 1- dp + d2 + cp - cdp2 + cd2p + c2 - c2dp + c2d2 =
= 1- dp + d2 + cp - p2 + dp + c2 - cp + 1 = (c + d)2 - 2cd - p2 + 2 = q2 - p2 = VP
Bài 9 Cho phơng trình: 2 1 5 0
x ( ) (1) a) Tìm m để phơng trình có nghiệm bằng -1 Tìm nghiệm còn lại
b) Giải phơng trình khi m = -6
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
d) Với m tìm đợc ở câu c, hãy viết một hệ thức giữa x1và x2độc lập đối với m
Lời giải
a) Phơng trình (1) có một nghiệm bằng -1 nên:
2
5 0
5 1 1
1 2
ị
) (m )( ) m m
(
Khi đó ta có phơng trình: 0 ị
2
5 2
7
2
x
x nghiệm còn lại của PT là:
2 5
Trang 5b) Với m = -6 ta có PT: 2 5 11 0
x
x có 19 0ị phơng trình vô nghiệm
c) Ta có: 2 6 19
Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi 2 6 19
Ta xét dấu
m 3 2 7 -3+2 7
+ 0 - 0 + Vậy khi m < 3 2 7 hoặc m > -3+2 7 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
d) Ta có: x1 x2 m1 (1); x1x2 m (2)
Từ (2) suy ra: m = x1x2 5, thay vào (1): x1 x2 x1x2 6
Vậy hệ thức cần tìm là: x1 x2 x1x2 60
Bài 10 Giải các phơng trình sau:
a) 4 4 2 3 0
x
(
x
x x
x
Lời giải
a) Đặt x2 t (ĐK: t 0)
Khi đó phơng trình đẫ cho trở thành: 2 4 3 0
t t
Vì a + b + c = 0, nên phơng trình có hai nghiệm: 1 1 2 3
a
c t
t
t
Vậy phơng trình có 4 nghiệm : x = -1; 1; 3 ; 3
b) ĐK: xạ0 Đặt t
x
x 1
Ta đợc: 2 4 3 0
t
t .Theo câu a/ 1 1 2 3
a
c t
* 1 1 ị 1 1
x x
x x t
2
5 3 2
5 3
2 1
Bài 11: Cho phơng trình 2 2 1 2 2 0
m x m
a) Giải phơng trình (I) khi m = -2
b) Tìm m để phơng trình (I) có nghiệm? Có hai ngiệm phân biệt?
c) Tìm m để phơng trình (I) có hai nghiệm trái dấu ?
d) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn điều kiện x12x22 4 e) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn điều kiện x 1 2x2
f) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu
g) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm
h) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dơng
i) Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 1 Tìm nghiệm còn lại j) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn điều kiện
3 4
2x1 x2
Lời giải
a) Khi m = -2, phơng trình (I) trở thành: x2 6x 2 0
Ta có 'b'2 ac321.270 phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
7 3 1
7 3
; 7 3 1
7
3
2
x
Trang 6b) Phơng trình (I) có nghiệm
2
3 0
3 2 0 2 1 1
Phơng trình (I) có hai nghiệm phân biệt
2
3 0
3 2 0 2 1 1
'
c) Phơng trình (I) có hai nghiệm trái dấu 0 m2 2 0 2 m 2
a c
d) Điều kiện để phơng trình có nghiệm x1; x2 là:
2
3
Ê
m
Khi đó theo hệ thức Vi-et ta có: 2 1; 2 2
2 1 2
a
c x x m a
b x x
Do đó x12x22 4
2 4 2 1 2 2. 2 2 4 2 2 4 2 0
2
2
2
12 0 1
e) Điều kiện để phơng trình có nghiệm x1; x2 là:
2
3
Ê
m
Khi đó theo Vi-et và đề bài ta có
(3)
2x
x
(2)
2 m
x
x
(1)
1 m
2 x
x
2 1
2 2
1
2 1
3
1 4
; 3
1 2
1 2
x
m
10 3 8
10 3 8
0 26 16
2 9
1 8
2 3
1 4
.
3
1
m
m
m m
m m
m m
m
f) Phơng trình (I) có 2 nghiệm cùng dấu
Ê
Ê
2 3 2 2 2 0
'
m m m
m a
2 1 3 0 2 2 0 0 0
2 '
Ê
Ê
m m m m m
a a
h) Phơng trình (I) có hai nghiệm cùng dơng 2 2
2 1 3
0 0 0
'
Ê
Ê
m m m
a a
i) Phơng trình (I) có một nghiệm bằng 1
2 1
1
2 1 1
2 2 2
a
c x
j) Phơng trình (I) có nghiệm thoả ĐK: 2x1 4x2 3
ĐK:
2
3
Ê
m (để phơng trình có nghiệm)
Theo hệ thức Vi-et và yêu cầu bài toán, ta có:
(3)
4 -4x
-2x
(2)
2 m
x
x
(1) 1
m 2 x
x
2 1
2 2
1
2 1
Từ (1) và (3) ta có
3
2
; 3
6 4
2 1
m x
m
x thay vào (2), ta đợc
6 3 6
6 3 6 0
18 12 2
9 6 4 2 2 3
2
.
3
6
m
m m
m m
m m m
m
m
(TM)
Bài 12 : Xác định m để phơng trình x2 5 x 3 m 1 0
a) Có hai nghiệm trái dấu
b) Có hai nghiệm âm phân biệt
Trang 7Hớng dẫn :
a) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu <=>
0 0
a ac
ạ
<=>
1 0,
m m
<=> m <
1
3
Vậy m <
1
3 thì phơng trình có hai nghiệm trái dấu
b) Phơng trình có hai nghiệm âm phân biệt
<=>
0
0
0
0
a
P
S
ạ
<=>
1 0,
12 29 0
3 1 0
5 0,
m m
m
m
ạ
<=>
29
12
1 3
m
m
<=>
29 1
3 m 12
Vậy
29 1
3 m 12 thì phơng trình có hai nghiệm âm phân biệt
Bài 13: Cho phơng trình
2
mx (m 1)x 2 0, m ạ 0 (1)
Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt x ,x1 2
thỏa mãn điều kiện
2 2
1 2
x x 2
Giải: Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x ,x1 2
<=> 0 <=> m2 10m 1 0 <=> (m 5)2 24 0
<=> m > 5 2 6 hoặc m < 5 2 6
- Theo hệ thức Vi – ét, ta có: 1 2 1 2
x x ; x x
- Theo đề bài
2 2
1 2
x x 2
<=> x1 x22 2x x1 2 2
<=> m 1 2 2. 2 2
<=> m2 6m 1 0 (*)
Giải phơng trình (*) ta đợc m1 10 3,m2 10 3
Đối chiếu với điều kiện của tham số m => m1 (loại) và m2 (nhận)
Vậy m = 10 3
Bài 14: Cho phơng trình x2 3 x m 0
Trang 8x1 và x2 là hai nghiệm phân biệt của phơng trình Không giải phơng trình, tìm giá trị của m để :
a) x1 x2 6
b)
2 2
1 2 34
c)
2 2
1 2 30
e) 3 x1 2 x2 20
Hớng dẫn:
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 <=> 9 4 m 0 <=> m <
9 4
Khi đó, theo định lí Vi – ét ta có:
1 2
3
a) x1 x2 6
<=> x1 x22 36
<=>
1 2 1 2 2 36
<=> x1 x22 4 x x1 2 36
<=> 9 – 4m = 36 <=> m =
27 9
4 4
Vậy :
27 4
b)
2 2
1 2 34
<=> x1 x22 2 x x1 2 34
Từ đó tìm đợc m =
25 9
2 4
Vậy :
25 2
c)
2 2
1 2 30
<=> ( x1 x2 )( x1 x2) 30
<=> x1 x2 10
<=> x2 x1 10
<=> x12 x22 2 x x1 2 100 (giả sử x > x )2 1
<=> x1 x22 4 x x1 2 100
<=> 9 - 4m = 100 <=> m =
91 9
4 4
Vậy :
91 4
d) Giải hệ
3 2
1 2
2 1
x x
Theo định lí Vi- ét: m = 1 2
9 2 4
x x
Vậy m = 2
e) Giải hệ
3
1 2
26 29
x x
Theo định lí Vi- ét: m = 1 2
9 754
4
Trang 9Vậy m = - 754
Bài 15: Xác định các giá trị của tham số m để phơng trình
2
có hai nghiệm x x1, 2
thỏa mãn : a) Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia 1 đơn vị
b) 2 x1 3 x2 13
Hớng dẫn:
Phơng trình có hai nghiệm x x1, 2
<=> m2 14 m 1 0
<=> ( m 7 4 3 )( m 7 4 3 ) 0 Sau khi giải bất phơng trình này đợc
kết quả: m Ê 7 4 3 hoặc m - 7 + 4 3 (*)
a) Giả sử
2 1
1 2
1 (1)
ta có hệ 5 (2)
6 (3)
(1) + (2) => 2
6 2
m
Thay vào (1) => 1
4 2
m
Thay x x1, 2
vào (3) => m = 0 hoặc m = -14 thỏa mãn điều kiện (*)
Vậy m = 0 hoặc m = -14
b) Ta có hệ
1 2
1 2
2 3 13
5 6
Từ hệ này tìm đợc m = 0 hoặc m = 1
Bài 16: Cho phơng trình bậc hai 3 x2 mx 2 0
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x x1, 2
thỏa mãn hệ thức 3 x x1 2 2 x1 2
Tính x x1, 2
?
Hớng dẫn: Phơng trình có hai nghiệm x x1, 2
<=> m2 24 m 0
<=> m 2 6 hoặc m Ê 2 6
Ta có:
1 2 1
1 2
1 2
3 2 3
m
x x
3